Предельные теоремы для числа плотных серий с заданными параметрами в выходной последовательности генератора Пола Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.214

Предельные теоремы для числа плотных серий с заданными параметрами в выходной последовательности генератора Пола

© Н.М. Меженная

МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия

Работа посвящена изучению случайных величин, связанных с плотными сериями в выходной последовательности генератора Пола. С помощью метода Чена — Стейна получены оценки расстояния по вариации между распределением числа плотных серий заданных длины и веса в выходной последовательности генератора Пола с двумя регистрами и сопровождающим пуассоновским распределением. На основании этих оценок выведены предельные теоремы Пуассона для указанных случайных величин и, как следствие, центральная предельная теорема (в смысле сближения с распределением Пуассона с растущим параметром).

Ключевые слова: плотные серии, генератор Пола, метод Чена — Стейна, предельная теорема Пуассона, центральная предельная теорема, расстояние по вариации.

Введение. В настоящей работе рассмотрен генератор Пола, или мультициклический генератор [1], с двумя регистрами взаимно простых длин т и п над кольцом вычетов по модулю М (М ^ 2). Пусть (Х0, ..., Хт-1) и (У0, ..., Yn-i) — случайные заполнения регистров длин т и п соответственно, состоящие из независимых равномерно распределенных на множестве {0,1, ..., М — 1} случайных величин. Тогда выходная последовательность генератора Пола образуется в соответствии с правилом

Zt = xt mod т + Yt mod n mod M, t = 0, 1, 2,... (1)

Последовательность, полученная согласно формуле (1), имеет гарантированный период длины т.п. Основные свойства выходной последовательности генератора Пола описаны в работе [1].

Многие статистические процедуры проверки свойств случайных последовательностей основаны на свойствах серий. В докладе [2] приведена предельная теорема Пуассона для числа цепочек без самоналожения (и, как следствие, для обычных серий) в выходной последовательности генератора Пола.

Настоящая работа посвящена изучению свойств числа плотных серий в выходной последовательности такого генератора.

Предельные теоремы. Напомним, что отрезок последовательности {х\, ..., Хк} образует плотную а-цепочку, если а Е {%i,%i+i},

г = 1, ..., к — 1. Плотная а-цепочка называется плотной а-серией, если ее нельзя продлить в обе стороны с сохранением этого свойства (место появления первого знака а будем называть ее началом). Длина плотной а-серии — число знаков в отрезке последовательности, содержащем все ее знаки а, а вес плотной а-серии — число входящих в нее знаков а. Свойства плотных серий в последовательности независимых случайных величин рассмотрены в работах [3, 4].

Пусть — число плотных а-серий длины в и веса т в выходной последовательности генератора Пола (1), которые начались до момента Т ^ тп. Будем считать, что выполнено естественное требование т ^ 1, т ^ 5 ^ 2'ш — 1. Если ^ + 4 < шах{т, п}, то среднее число плотных серий веса 5 и длины т

= Е^ = Т ^ — , ра,„ = СЖ ^ — ¿У™ (2)

Эта формула получена в работе [4]. Требование 5 + 4 < шах{т,п} означает, что плотная а-серия в выходной последовательности Zt образована независимыми равномерно распределенными случайными величинами из заполнений регистров (Х0, ..., Хт_^ и (У0, ..., Уп-1).

Обозначим через р(и,У) расстояние по вариации между распределениями случайных величин и и V. Для случайных величин, распределенных на множестве неотрицательных целых чисел,

те

г(и,У ) = 1Е 1р{^ = к} — р{у = к}1.

к=0

Теорема 1. Пусть т,п ^ 1, Т ^ тп, т ^ 1, т ^ 5 ^ 2'ш — 1, а случайные величины Х0,..., Хт_ 1,У0,..., Уп-1 независимы и равномерно распределены на множестве Ам = {0,1, ..., М — 1}. Тогда

, ) ^ 2(т + п)(2в + 7)р.%ш,

где жз, т — случайная величина, распределенная в соответствии с законом Пуассона с параметром 1.

Следствие 1. Пусть случайные величины Х0, ..., Хт_ ]_,У0, ..., Уп-1 независимы и равномерно распределены на множестве Ам, т,п,1и ^ то, Т ^ тп, так что

. . 1п т 1п п

К ш ^ 1 е (0, то) и--1---> 0.

п т

Тогда закон распределения случайной величины ™ сходится к закону Пуассона распределения случайной величины с параметром 1.

Следствие 2. Пусть случайные величины Х0, ..., Хт_ 1,У0, ..., Уп-1 независимы и равномерно распределены на множестве Ам, т,п,т ^ то,

Т ^ тп, так что

К3 ш —У ж и 3--1--— 0.

\ п т )

Тогда закон распределения случайной величины —

сходится к стандартному нормальному закону распределения.

Обозначим

2ад—1 "ад ^ ^ "в, т

число плотных а-серий веса т в выходной последовательности генератора Пола (1), которые начались до момента Т ^ тп.

Из выражения (2) следует, что среднее число плотных а-серий веса т (и любой длины)

К = = У^ К,™ = Т У] I 1 — —

2'ш— 1 2ш— 1 1 / 1 \

Е"ш = ^ = СI— —I 1 — — )

(' — ¿)

1 \4 1 ( 1х 1

= 41 — м)^, = 2 —-

Последняя формула получена в работе [3].

Теорема 2. Пусть т,п ^ 1, Т ^ тп, т ^ 1, а случайные величины Х0, ..., Хт_ 1, ..., Уп_ 1 независимы и равномерно распределены на множестве Ам. Тогда

р("ш, ) ^ 2(т + п)(4ы + Ъ)ргш,

где — случайная величина, распределенная в соответствии с законом Пуассона с параметром .

Следствие 3. Пусть случайные величины Х0, ..., Хт_ 1,У0, ..., Уп_ 1 независимы и равномерно распределены на множестве Ам, т,п,1и — ж, Т ^ тп, так что

. . 1п т 1пп

— 1 е (0, ж) и--1---> 0.

п т

Тогда закон распределения случайной величины сходится к закону Пуассона распределения случайной величины с параметром Л.

Замечание 1. В условиях следствия 1 и 3 вес т = 0(1пТ). Следствие 4. Пусть случайные величины Х0, ..., Хт_ 1,УЪ, ..., 1 независимы и равномерно распределены на множестве Ам, т,п,т — ж, Т ^ тп, так что

I , \ „

— ж и W--1--— 0.

\ п т )

Тогда закон распределения случайной величины (С™ — )сходится к стандартному нормальному закону распределения.

Замечание 2. Можно показать, что условия следствия 4 выполнены, если Т = тп, т > п, п —> оо,

w =

ln тп — ln ln тп

ln Р

-1

^ 1 / 1 \ ln т lnln т р = тт 2--,--> 0.

м v мГ п

Доказательство теоремы 1. Отметим, что распределение последовательности

Zt = а — Xt mod m + Yt mod n mod M, t = 0,1, 2,..., (3)

совпадает с распределением последовательности (1), так как в условиях теоремы распределения наборов

(Хо, ..., Xm-1) и (а — Xo, ..., а — Xm-1)

совпадают. Знак минус означает вычитание по модулю M. Формула (3) удобнее тем, что

{^t {^t mod m Yt mod n}.

Пусть W— событие, состоящее в том, что в момент t в последовательности Z0,Z1, ... началась плотная а-серия длины s и веса w, i = t mod m, j = t mod n (такая серия начинается со знаков Xi и Yj). Обозначим UT = {(t mod m, t mod n): t = 0,1,... ,T — 1}, при

(i, j) £Ut

Uitj = U и U, U = №', f) eUT : | i' — il ^ s + 3}, U = /) eUT: \j' —H ^ S + 3}.

Тогда

< U + lUl = (2(s + 3) + l)(rn + n). (4)

Согласно методу Чена — Стейна [5],

1 _ g —

p(Zs,w, ps,w) ^ -(Si + S2), (5)

^s, w

где

Si = ^ £ p{w::w}p{ws'W,},

(i, j)euT (i', j')eUi,

S2 = £ £ P{wis,iwwis,w}. (6)

(i, j)euT (i', j')eUij

Оценим сумму й1. В условиях теоремы 1

4

} = } = (1 — Ра>т < р.

поэтому из (4) имеем

й = Е Е }р{щу} <

(г, иТ (г', Г

< Е — ^ (1 — (2з + 7)(т + п)р2,ш =

(г, ])еит V / V /

= (2з + 7) (т + п)р.%т. (7)

Теперь оценим сумму й2 с использованием следующей леммы.

Лемма 1. Если (г',/) е \ {(г,])}, то

( 1 V / 1 / 1 у-ад+242

„2 /1___ I = I Г™-™ 1___ 1

V м) м)

РЩТТУЖ}^р2,41 — ±)=(с'т:1 — -¿Г^). (8)

С помощью формулы (8) оценим правую часть выражения (6):

1 V

52 = Е Е }< Е 1 — <

(г, ])еит (г',(г, ])&т 1 ^

^ — м)Т (23 + 7) (т + п)р2^ = ^ (23 + 7) (т + п)р*,п. (9)

Подставляя (7) и (9) в формулу (5), получаем

1 _

р("з,ш, ) ^ 2—--,ш (2з + 7) (т + п)р3,ш <

Ля

^Я, 'Ш

■>8, ад •

< 2(2 з + 7) (т + п)р3

Теорема 1 доказана. □

Доказательство теоремы 2. Доказательство теоремы 2 проведем аналогично доказательству теоремы 1. Так как при весе т максимальная длина серии з = 2т — 1, окрестности определяются формулами

иг,3 = иг и и3,

иг = №',/) е иТ : |г' — г\ ^ 2^ + 2},

из = {(г',/) еит : \/ — Ц ^ 2^ + 2}.

Из формулы (4) получаем

Щ, з\ < \Щ + \из \ = (2(2ш + 2) + 1)(т + п) = (^ + 5) (т + п).

Далее все рассуждения полностью повторяют рассуждения при доказательстве теоремы 1, в которых окрестности Ui,j заменены на Ui, j, а вероятности ps,w на pw. Имеем

,4

Е I ^>w( 1

Si < >: 1иг,шi — ) ^

(i, з)^ит

1

М

,4

^ - -M^j Т (4w + 5) (т + n)p2w = 1w (4w + 5) (т + п)рь

S2 < Е I(Ui,jIp2w( 1 - ■—) < 1w (4w + 5) (т + n)Pw,

М

значит, расстояние по вариации , ) ^ (4ш + 5) (т + п)рт.

Теорема 2 доказана. □

Доказательство леммы 1. Отметим, если 1 ^ |г- г= Ц -^ 5 , то } = 0. Например, при 1 ^ 1-1' = ] - ]' ^ в одна

из серий начинается со знаков Х- и Yj и Х--2 = 1--2, Х—1 = У--1, но знаки Х--2, У--2, Х—1, У--1 образуют плотную серию совпадений знаков, начинающихся со знаков Ху и У у.

Пусть — событие, состоящее в том, что в момент Ь в последовательности Z0, Z1, ... началась плотная а-цепочка длины э и веса ш. Очевидно, что

р{^т} {ж-:;™ }( 1 - ^ )2,

р^ж^} ^ }( 1 -

Если 5 + 1 ^ |г - г'| = Ц - ^ 5 + 3, то

(10)

P\w:fws:w} ^ } (1 - ММ) ^

< рmw}pmw } ( 1 - -1

-1

М

Таким образом, формула (8) для случая 1 ^ |г- г= Ц -^ 5 + 3 доказана. Далее будем считать, что |г - г= Ц -

Зафиксируем конфигурации С1 и С2 совпадающих и несовпадающих знаков отдельно на отрезках (Х-,..., Х-+8-1) и ^,..., -1) и на отрезках (Х^ ,...,Х#+8-1) и (У^,... 8-1) соответственно. Предположим, что обе конфигурации совпадений могут осуществиться вместе (в противном случае вероятность их совместного появления равна 0 и лемма доказана). Число таких различных конфигураций для

каждой пары отрезков равно С^—. Поэтому общее число конфигураций совпадений С = С1 П С2, которые могут осуществиться вместе, не превосходит ( С'^—) .

Обозначим через Щ™С1 и Щ^>,С2 события и Щ'™, при фиксированных конфигурациях С1 и С2. Тогда

Щ,г = ищ^, Щ^ = и^;;,с2. (Ц)

Сх С2

Рассмотрим граф Г = ( С,У), в котором множество вершин С = /и 3, I = {%, ..., ъ + з — 1} и {%', ..., г' + з — 1}, 3 = {], ...,] + з — 1}и{/, ..., / + з — 1}.

Множество ребер построим следующим образом. Пусть и,у е С. Если при конфигурации совпадений С знаки Хи и Хь связаны отношением равенства или неравенства, то вершины и и будут связаны ребром первого или второго типа соответственно. При таком построении каждой вершине инцидентны не более двух ребер. Таким образом, множество ребер Е имеет вид

Е = {(г+к, э+к), к = 0,1,..., з— 1}и{(г'+к,/+к), к = 0,1,..., з—1}.

Ребрам первого типа припишем метку р = {Х1 = У1} = 1/М, а ребрам второго типа — метку 1 — р =1 — 1/М.

Приведем следующие важные для нас свойства графа Г:

1) граф Г является двудольным с долями I и 3;

2) каждой вершине инциденты не более двух ребер;

3) граф Г не имеет циклов и параллельных ребер;

4) граф Г состоит из одной или нескольких цепей ребер.

Из этих свойств графа Г и независимости всех случайных величин {Х0, ..., Хт_ 1} и \у0,...,Уп_ 1} следует, что вероятность } равна произведению меток всех ребер графа Г, поэтому

} = р2т (1 — 'р)2(3 ~т). (12)

Из выражений (10)-(12) следует формула (8).

Лемма 1 доказана. □

Заключение. С помощью известного метода Чена — Стейна установлена скорость сближения распределения числа плотных серий заданных длины и веса в выходной последовательности генератора Пола с двумя регистрами с их сопровождающими пуассоновскими распределениями. Это позволяет получить пуассоновскую и нормальную предельные теоремы для указанных случайных величин при определенном изменении параметров схемы и указать скорость сходимости в них. Эти результаты дополняют полученные ранее в работах [2-4].

Автор выражает признательность ведущему научному сотруднику Математического института им. В. А. Стеклова РАН В. Г. Михайлову за идею доказательства леммы 1 и ряд полезных замечаний.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 11-01-00139-а).

ЛИТЕРАТУРА

[1] Pohl P. Description of MCV, a Pseudo-random Number Generator. Scand. Actuarial J., 1976, no. 1, pp. 1-14.

[2] Меженная Н.М., Михайлов В.Г. Вероятностные свойства выходной последовательности генератора Пола. Семинар отдела дискретной математики МИАН. URL: http://www.mathnet.ru/php/seminars.phtml ?option_lang=rus&presentid=6239 (дата обращения 10.05.2013).

[3] Меженная Н.М. Предельные теоремы для числа плотных серий в случайной последовательности. Дискретная математика, 2009, т. 21, вып. 1, с. 105-116.

[4] Меженная Н.М. Предельная теорема Пуассона для числа плотных серий заданной длины и веса. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки, 2011, спец. вып. Прикладная математика, с. 75-82.

[5] Barbour A.D., Holst L., Janson S. Poisson Approximation. Oxford, Oxford University Press, 1992, 277 p.

Статья поступила в редакцию 15.05.2013

Ссылку на эту статью просим оформлять следующим образом:

Меженная Н.М. Предельные теоремы для числа плотных серий с заданными параметрами в выходной последовательности генератора Пола. Инженерный журнал: наука и инновации, 2013, вып. 4. URL: http://engjournal.ru/catalog/fundamentals/math/661.html

Меженная Наталья Михайловна — канд. физ.-мат. наук, доц. кафедры «Прикладная математика» МГТУ им. Н. Э. Баумана. e-mail: [email protected]