Предельные свойства кода с суммированием Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

Библиографический список

1. Некоторые замечания относительно понятия бессознательного в психоанализе / З. Фрейд // Зарубежный психоанализ : хрестоматия / Сост. и общ. ред. В. М. Лейбина. - СПб. : Питер, 2001. - 505 с. - ISBN 5-318-00211-0.

2. О психотерапии / З. Фрейд // Зарубежный психоанализ : хрестоматия / Сост. и общ. ред. В. М. Лейбина. - СПб. : Питер, 2001. - 505 с. - ISBN 5-318-00211-0.

3. Психоанализ как методологический проект в социально-гуманитарном познании [Электронный ресурс] / Д. Г. Доброродний. - Режим доступа: http://credonew.ru/ content/view/817/44.

4. Сознание, бессознательное и индивидуация / К. Юнг // Зарубежный психоанализ : хрестоматия / Сост. и общ. ред. В. М. Лейбина. - СПб. : Питер, 2001. -505 с. - ISBN 5-318-00211-0.

5. Человек в поисках смысла / В. Франкл. - М. : Прогресс, 1990. - 367 с. - ISBN 5-01-001606-0.

6. The frame of unquestioned constructs / A. Schutz // Rules and meanings. The anthropology of everyday knowledge / Mary Douglas. - N. Y. : Routledge, 2003. - ISBN 0415-29107-0.

7. Философский словарь / Под ред. И. Т. Фролова. - М. : Политиздат, 1991. -560 с. - ISBN 5-250-00316-8.

8. Забытый язык / Э. Фромм // Забытый язык. Иметь или быть? - М. : АСТ, 2009. - 442 с. - ISBN 978-5-17-056685-3.

8. Бытие и ничто : Опыт феноменологической онтологии / Ж. П. Сартр. -М. : Республика, 2000. - 639 с. - ISBN 5-250-02729-6.

9. Идея индивидуального бытия человека и проблема абсурда / Д. Б. Пучков // Вестник ЛГУ им. А. С. Пушкина. - 2009. - № 3. - Т. 1 (Серия «Философия»). - С. 155-162.

10. Становление личности. Взгляд на психотерапию / К. Роджерс // Искусство консультирования и психотерапии. - М. : Эксмо; Апрель-пресс, 2002. - 966 с. - ISBN 5-699-01513-2.

Статья поступила в редакцию 14.07.2010;

представлена к публикации членом редколлегии Вал. В. Сапожниковым

УДК 681.326.7

Вал. В. Сапожников, Вл. В. Сапожников, Д. В. Ефанов ПРЕДЕЛЬНЫЕ СВОЙСТВА КОДА С СУММИРОВАНИЕМ

Приводятся новые свойства кода с суммированием при организации функционального контроля дискретных устройств. Рассмотрены зависимости необнаруживаемых ошибок фиксированных кратностей в информационных разрядах между различными кодами с суммированием. Доказывается предельная теорема о доле необнаруживаемых ошибок информационных разрядов четной кратности от общего числа ошибок в информационных разрядах.

функциональный контроль, код с суммированием, информационные разряды, необнаруживаемая ошибка.

Введение

Дискретные устройства являются значимой составляющей многих объектов железнодорожной автоматики и телемеханики, обеспечивающих перевозочный процесс. Ввиду этого наиболее важным моментом в построении дискретных устройств является обеспечение контроля за правильностью передаваемой информации, а также защита самих устройств от внутренних неисправностей. Для этого целесообразно использовать функциональный контроль дискретного устройства [1].

При построении схем функционального контроля используются свойства того или иного кода, выбранного для реализации контрольного блока. Подробно данные вопросы можно изучить, обратившись к [2].

Рассмотрим схему функционального контроля, построенную с использованием свойств кода с суммированием (кода Бергера [3], (m, n)-кода). Код с суммированием является разделимым кодом, содержащим m информационных и к контрольных разрядов. При этом число контрольных разрядов вычисляется по следующей формуле:

к-п- т =] log2 (т +1)[.

Контрольный вектор представляет собой двоичный эквивалент суммы числа единиц в информационном векторе.

1 Особенности построения схем функционального контроля

На рис. 1 изображена схема функционального контроля по коду с суммированием. Дискретное устройствоfx) реализует функцииfi,f2, ...,fm, составляющие информационный вектор <f f2.fm>. Блок fx) дополняется блоком контрольной логики g(x), вычисляющим значения контрольных разрядов gi, g2,..., gk. В итоге кодовый вектор <f f2...fm gig2 - gk> является одним из слов некоторого кода с суммированием. Факт принадлежности кодового вектора выбранному коду фиксирует самопроверяемая схема тестера (n, m)-CQT. Если на входе тестера присутствует вектор кода с суммированием и если схема тестера исправна, то выходные сигналы zi и z2 являются парафазными, иначе обнаруживается неисправность в схеме функционального контроля. С методами построения тестеров можно познакомиться в [4].

рабочие

выходы

контрольные

выходы

Рис. 1. Схема функционального контроля

При работе дискретного устройства во внутренней его структуре и на выходах могут возникать искажения. При функциональном контроле по коду с суммированием обнаруживаются любые однонаправленные ошибки. Интерес представляют необнаруживаемые ошибки, а именно такие, которые не нарушают контрольного вектора. Пример такой ошибки изображен на рис. 2.

m к

0 1 0 1 0 1 0 11

III!

1 0 1 0 0 1 0 11

Рис. 2. Необнаруживаемая кодом Бергера ошибка

Замечание. В общем случае необнаруживаемыми ошибками информационных разрядов являются разнонаправленные ошибки четной кратности, в которых число искажений 0^1 равно числу искажений 1^0.

2 Свойства кода с суммированием

Отметим следующее замечательное свойство кода с суммированием в схемах функционального контроля, формулировка и доказательство существования которого приведены в [5].

Теорема 1. Доля необнаруживаемых ошибок информационных разрядов кратности k от общего числа ошибок информационных разрядов

данной кратности не зависит от числа информационных разрядов и является постоянной величиной

Р

к

к

С 2 2к '

(1)

В том же источнике приводится формула расчета числа необнаруживаемых ошибок фиксированной кратности к в информационных разрядах при контроле кодом с суммированием (к -четное):

к

Nk=Ckm-C}- 2т~к. (2)

Учитывая (1), можно записать выражение (2) в следующем виде:

(3)

Сомножитель Скт- 2т в формуле (3) представляет собой общее число ошибок кратности к.

Приведем несколько свойств кода с суммированием в схемах функционального контроля.

Свойство 1. Для кодов (п\ m + i) и (п, т) отношение числа

необнаруживаемых ошибок кратности к равно отношению числа ошибок кратности к.

Доказательство. Запишем выражение для отношения числа необнаруживаемых ошибок кратности к двух кодов (п\ m + i) и (п, т), зная формулу (2):

5

т* N

r.m+i-k /-1 к /-1 2 Z ' ^m+i ' ^к

ът-к /-1 к 2 Z '^т '^к

к_

\т—к г*i к 2

' 'Z '^m+i '^к

ът-к /-1 к 2 Z ''^к

■ С

21 m+i

с

ml- (т + Y) ■ (т + 2)х. ..х(т + i - Y) • (т + i)

к !• (т - к) !• (т - к +1) • (т - к + 2) х... х (т - к + i -1) • (т - к + Г) _ ^

т\

к\-(т-к)\

(т +1) • (т + 2) х... х (т + i -1) • (т + i)

(т - к +1) • (т - к + 2) х... х (т - к + i -1) • (т - к + г)

= 2'

Запишем выражение для отношения общего числа ошибок кратности к двух кодов (п\ m + i) и (п, т):

8 , =

т,к

N,

ko

r\m+i s *

2 m-C

ryi rytn s~i

2“ -C h

■ C h

___ 2* . tn+i

C

m !• (m +1) • (m + 2) x... x (m + i -1) • (m + i)

к !• im - к) !• (m - к +1) • (m - к + 2) x... x (m - к + / -1) • im - к + /)

mi

к\-(т-к)\

(tn +1) • (m + 2) x... x (m + i -1) • (m + i)

(m - к + 1) • (m - к + 2) x... x (m - к + i -1) • (m - к + i)

Нетрудно заметить, что выражения (4) и (5) равны:

= (5)

= 2*

k ' ko

(т +1) • (т + 2) х... х (т + i -1) • (т + г)

(т - к +1) • (т - к + 2) х... х (т - к + i -1) • (т - к + г)

(6)

к

к

Из свойства 1 вытекает свойство 2.

Свойство 2. Для кода (n\m + i) по сравнению с кодом (п, т) число необнаруживаемых ошибок кратности к увеличивается в пределе в 2 раза для любого к.

Доказательство. Запишем выражение для отношения числа необнаруживаемых ошибок кратности к двух кодов (п\ m + i) и (п, т) и подсчитаем его предел:

Нш 5,„, = Нш 2г • ■

(т +1) • (т + 2) х... х (т + i -1) • (т + /)

= Нш 2г

(т - к +1) • (т - к + 2) х... х (т - к + i -1) ■ (т - к + /)

f ™ л \ (™ ^ (т j_\\ f ™ i \

Х...Х-----1----

ут т )

т 1

\т т у

т 2

\т т

т i — + —

V т т у

(7)

т к 1 ут т т

т к 2

ут т т J

Х...Х

т к 1

ут т т

т к i

ут т т J

= 2г

В частности, при разнице в информационных разрядах между двумя кодами с суммированием на единицу (т. е. рассматриваются два соседних кода (nl\ т +1) и (п, т), причем п' = п или п +1) мы имеем следующее:

т +1

т - к+ V

lim = 2.

со

(8)

(9)

Формулы (8) и (9) следуют непосредственно из формул (6) и (7). Используя формулу (3), запишем выражение для отношения общего числа необнаруживаемых ошибок четной кратности к общему числу ошибок четной кратности:

т,т-1

к т,т-1

V,

М0 12"-*-С-су УР4-2"-С„

к _ к=2

к=2

Ко

т,т—1

т,т-1

У 2т-Ск У 2т-С

к=2 к=2

т,т-1 т,т-1

2" • £ Р* -Q* УР,-С„*

т,т-1

т -У с к

/ 1 т к=2

т,т-1

к=2

(10)

где к = 2,4,w, если m - четное число;

к = 2,4,w — 1, если w? - нечетное число.

В табл. 1 представлены результаты расчетов величины v|/m для первых четырнадцати кодов с суммированием.

ТАБЛИЦА 1. Результаты расчетов величины 1|/

m Nm Nko К ш - —— m К

2 2 4 0,5

3 12 24 0,5

4 54 112 0,482142857

5 220 480 0,458333333

6 860 1984 0,433467742

7 3304 8064 0,409722222

8 12614 32512 0,387979823

9 48108 130560 0,368474265

10 183732 523264 0,351126773

11 703384 2095104 0,335727487

12 2700060 8384512 0,322029475

13 10392408 33546240 0,309793527

14 40100216 134201344 0,298806367

15 155084752 536838144 0,288885493

На рис. 3 представлен график зависимости отношения общего числа необнаруживаемых ошибок к общему числу ошибок четной кратности Ц1т

от числа информационных разрядов m по результатам расчетов, приведенных в табл. 1.

Рис. 3. График зависимости величины фт от т

Рассмотрим величину, характеризующую общее число ошибок в коде (n, m):

т

т

дт _____ X 1 к X 1 к 1 , 2 , , т-1 , т

^ то / ^ ^'?п / ^ ^'т ^'?п ' ^'?п ' *** ' ^'?п ' ^'?п

к-1 к-1

(11)

= Т ■ С 0 ± С 1 + С 2 + + с И_1 + С m = Т • Т - С 0 = 2“ • 2m -1

mm™ ™ ™ ™

Воспользовавшись формулами (3) и (11), запишем выражение для отношения общего числа необнаруживаемых ошибок четной кратности к общему числу ошибок:

m.m-1

m.m-1

Фи =

К

N

IX-2“ 2“.^Р к<

m,m-1

k=2

k=2

2m ■ 2m - \

2m ■ 2m - \

2m - \

- -Live, (12)

-l k=2

где к = 2,4,m, если m - четное число; к = 2,4,..., m -1,если m - нечетное число.

В табл. 2 приведены результаты расчетов величины фт для первых четырнадцати кодов.

ТАБЛИЦА 2. Результаты расчетов величины фт

m Nm Nmo Nm Ф = —— N mo

2 2 12 0,166667

3 12 56 0,214286

4 54 240 0,225

5 220 992 0,221774

6 860 4032 0,213294

7 3304 16256 0,203248

8 12614 65280 0,193229

9 48108 261632 0,183877

10 183732 1047552 0,175392

11 703384 4192256 0,167782

12 2700060 16773120 0,160975

13 10392408 67100672 0,154878

14 40100216 268419072 0,149628

15 155084752 1073709056 0,144939

На рис. 4 представлен график зависимости отношения общего числа необнаруживаемых ошибок к общему числу ошибок от числа информационных разрядов m по результатам расчетов, приведенных в табл. 2.

0,25-

0,2-

0,15

0,1

0,05-

►

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 m

Рис. 4. График зависимости величины срт от т

Приведем еще одно свойство кода с суммированием.

Свойство 3. Для кода (п\ т + i) по сравнению с кодом (п, т) общее число ошибок увеличивается в пределе в 41 раза.

Доказательство. Используем формулу (11) и обозначим через гт отношение общего числа ошибок для кодов (vl\ m + i) и (п, т). Тогда:

2m+i j 2Z 2

m+i

\m+2i

■T

s =

m

T

1

2“ -1

2“ -1

(13)

Вычислим предел zm при m —> ос:

2

m+2i

2*

i^m+H 21

lime.

lim

/М—»co

lim

2l

T

4*

lim-

2"

4'. (14)

1

2"

В частности, для двух соседних кодов (ri, т +1) и (п, т) справедливо следующее:

(15)

(16)

2т-\ lim =4.

Формулы (15) и (16) следуют непосредственно из формул (13) и (14).

Теорема 2. Доля необнаруживаемых ошибок информационных разрядов кратности 2, 4, к от общего числа ошибок информационных разрядов в коде Бергера стремится к нулю при т —> оо.

Доказательство. Здесь к - некоторое фиксированное число. Пусть A - число необнаруживаемых ошибок информационных разрядов для достаточно большого т, когда Ътк близко к 2 (см. (9)). Тогда дальнейшее увеличение Лк при увеличении т, согласно свойству 3, выражается формулой Ак ■ 2 ■ 2 х... х 2 = Ак ■ 2Щ . Пусть В есть общее число ошибок информационных разрядов для достаточно большого т, когда гт близко к 4 (см. (16)). Тогда дальнейшее увеличение В, согласно свойству 3, выражается формулой i?-4-4x...x4 = i?-4OT2. Поскольку предел (16) сходится быстрее, чем предел (9), можно считать, что т2-т1-т. Имеем

л . от А

lim = Пт *

В-41

В-Т

= 0.

(17)

1

1

1

Из (15) следует, что доля необнаруживаемых ошибок кратности к (к = 2, 4, ..., к) стремится к нулю при m —> со. Поскольку предел суммы равен сумме пределов, то тем самым теорема 2 доказана.

В табл. 3 приведены расчеты числа необнаруживаемых ошибок кратности 2-46 для кода (107, 100). Общее число ошибок для этого кода

равно 2100 • (2100 -1) = 1,606938044 • 1060. Отношение числа

необнаруживаемых ошибок к их общему числу равно 2,159770221-10 13, т. е. практически равно нулю.

ТАБЛИЦА 3. Необнаруживаемые ошибки в коде (107, 100)

Кратность ошибки к Число необнаруживаемых ошибок данной кратности

2 3,137435235 -1033

4 1,864028709-1036

5 4,722220606-1038

6 6,45032834-Ю40

10 5,40011245 -1043

12 3,00380773 -1044

14 1,71645472-1046

16 3,35039393 -1047

2-5-16 3,470616935 -1047

Заключение

Рассмотренные свойства кода с суммированием определяют

возможности его применения в схемах железнодорожной автоматики и телемеханики при организации функционального диагностирования

логических устройств.

Библиографический список

1. Основы технической диагностики / Вал. В. Сапожников, Вл. В. Сапожников. -М. : Маршрут, 2004. - 316 с. - ISBN 5-89035-123-0.

2. Salf-checking and Fault-tolerant Digital Design / Parag K. Lala, University of Arkansas, 2001. - 216 с. - ISBN 0124343708.

3. О кодах, обнаруживающих ошибки в асимметричных каналах. Теория кодирования / Д. Бергер. - М. : Мир, 1964. - С. 105-115.

4. Самопроверяемые дискретные устройства / Вал. В. Сапожников, Вл. В. Сапожников. - СПб. : Энергоатомиздат, Санкт-Петербургское отделение, 1992. - 224 с. - ISBN 5-283-04605-2.

5. О свойствах кода с суммированием в схемах функционального контроля / Д. В. Ефанов, Вал. В. Сапожников, Вл. В. Сапожников // Автоматика и телемеханика. -2010. - № 6. - С. 155-162.

Статья поступила в редакцию 07.05.2010

УДК 338.242.4

П. А. Соколов