CC BY
9Решетнеескцие чтения. 2015
УДК 539.3+539.4
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ ТЕРМОУПРУГИХ ПЛОСКИХ КОНСТРУКЦИЙ С КРИВОЛИНЕЙНЫМ АРМИРОВАНИЕМ
Ю. В. Немировский1, Р. Терлецкий2, Н. А. Федорова3
1Институт теоретической и прикладной механики им. С. А. Христиановича СО РАН Российская Федерация, 630090, г. Новосибирск, ул. Институтская, 4/1 2Институт прикладных проблем механики и математики им. Я. С. Подстригача НАН Украины Украина, 79060, г. Львов, ул. Научная, 3 «б» 3Сибирский федеральный университет Российская Федерация, 660074, г. Красноярск, ул. Киренского, 26 E-mail: [email protected]
С целью описания поведения волокнистого композита, армированного волокнами по криволинейным траекториям, получена разрешающая система дифференциальных уравнений. Формулировка задачи выполнена на основе структурной модели в рамках плоской неоднородной линейной задачи термоупругости. Построен эффективный численный метод, учитывающий особенности разрешающей системы для армированной среды. Получены частные решения соответствующих краевых задач. Приведены рекомендации по эффективному армированию плоских конструкций.
Ключевые слова: армирование, структурная модель, криволинейные траектории.
BREAKING STRAINS OF PLANAR THERMOELASTIC CONSTRUCTIONS REINFORCED
BY CURVILINEAR STRUCTURES
Yu. V. Nemirovsky1, R. Terletsky2, N. A. Feodorova3
1Khristianovich Institute of Theoretical and Applied Mechanics SB RAS 4/1, Institutskaya Str., Novosibirsk, 630090, Russian Federation 2Pidstrihach Institute for Applied Problems of Mechanics and Mathematics NAS of Ukraine 3b, Nauchnay Str., Lviv, 79060, Ukraina 3Siberian Federal University 26, Kirenskogo Str., Krasnoyarsk, 660074, Russian Federation E-mail: [email protected]
To describe the behaviour offibrous composite material reinforced by fibers along curvilinear trajectories a resolving system of differential equations has been obtained. The problem is stated on the basis of a structural model in the framework of the two-dimensional non-uniform linear thermoelasticity problem. The effective numerical method is constructed to take into account the particularity of a resolving system for the reinforced structure. Partial solutions of the corresponding boundary problems have been obtained. The suggestions for the effective reinforcement of planar constructions have been presented.
Keywords: reinforcement, structural model, curvilinear trajectories.
В работах авторов [1; 2] сформулирована плоская задача армированной среды в криволинейных ортогональных координатах (Е,, п ), которая включает уравнения равновесия, обобщенный закон Дюамеля-Неймана в условиях термоупругого анизотропного деформирования [3], соотношения для напряжений в волокне на основе структурной модели [4]. Пусть армирование выполнено k семействами волокон, Фm - углы армирования m-м семейством волокон (m = 1,...,k) - являются непрерывными функциями координат, гm - деформация в волокне, am - интенсивность армирования m-м семейством волокон. Деформации в волокне определим по структурной модели [4]:
S11lm1 + S22lm2 + S12lm1 lm2 _ Sm ,
0 _ + T T _ a t Sm _ Sm + Sm , Sm _ amT ,
где lm1 _ cos9m, lm2 _ sin9m, am - коэффициент линейного расширения m-го семейства волокон; T -заданная постоянная температура. Напряжение в волокне CTm находим по формуле CTm _ EmSm + EmSÍ >
где Em - модуль Юнга материала m-го семейства волокон. Связь напряжений и деформаций для неоднородного армированного материала запишем в виде
*
Работа выполнена при частичной поддержке грантом Российского фонда фундаментальных исследований № 14-01-90400 Укр_а.
Прикладная математика
= a <cj + Y,<m®mUmj , где напряжения в связуЮ-
m=1
щем «cij определяем по формулам
<ii = -
E
(1 -V2) E
<j =
(1 + V)
( + VSjj -ac (1 + V)T)
j = 3 - i, i = 1,2,
где E, V- соответственно модуль Юнга и коэффици-
k
ент Пуассона связующего материала; a = 1 - ^ юm -
m=l
удельная интенсивность прослоек связующего между армирующими слоями. При наложении дополнительных условий постоянства сечений волокон, что соответствует условиям технологического процесса, интенсивность армирования юm удовлетворяет следующим соотношениям:
д д
— (H2®m COS 9m ) +~ (H1®m sin 9m ) = 0.
dq дп
(1)
Интенсивность (^ найдем из (1) после вычисления углов армирования при задании уравнений конкретных траекторий армирования и начальных условий выхода арматуры. В работе построены изогональные траектории к данным семействам плоских кривых, что расширяет многообразие непрерывных криволинейных траекторий.
В рамках прямой задачи (известна структура армирования) замкнутая разрешающая система формулируется относительно компонент тензора деформации, поставлена краевая задача в криволинейных координатах [1; 2]. Коэффициенты системы и краевых условий содержат все структурные характеристики композита (заданные углы армирования, интенсивность армирования, механические характеристики материалов связующего и арматуры. В случае осе-симметрической задачи (концентрическое кольцо) армирование проводится одним, двумя и тремя семействами волокон, представляющих собой алгебраические спирали и им изогональные траектории. Разрешающая система формулируется в перемещениях и приводит к краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений относительно радиального и окружного перемещений. Особенность полученной системы состоит в том, что она является системой, не разрешенной относительно старшей производной. На основе работы [5] для такой системы разработан новый эффективный численный метод, учитывающий особенности армированной среды и уменьшающий ошибки численного счета. Такой подход позволяет решать задачи о криволинейно армированных вращающихся дисках, являющихся элементами конструкций ответственного назначения [6].
Сформулированная плоская задача армированной среды в криволинейных ортогональных координатах позволяет решать и обратную задачу по определению эффективной рациональной структуры, если к ней добавить требования равнодефомируемости волокон и равнотрещиностойкости в связующем по критерию Баландина [2]. Полученные численные результаты показывают, что за счет выбора вида структуры, геометрии армирования (углы армирования, интенсивность армирования), комбинаций материалов связующего и арматуры возможно управление технологическими параметрами и создание конструкции с заранее заданными прочностными характеристиками.
Библиографические ссылки
1. Немировский Ю. В., Федорова Н. А. Математическое моделирование плоских конструкций из армированных волокнистых материалов : монография / СФУ. Красноярск, 2010. 136 с.
2. Немировский Ю. В., Федорова Н. А. Исследование рациональных структур криволинейного армирования в полярной системе координат // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. «Сер. Физ.-мат. науки». 2013. № 1(30). С. 233-244.
3. Коваленко А. Д. Введение в термоупругость. Киев : Наук. думка, 1965. 204 с.
4. Nemirovsky Yu. V. On the elastic behavior of the reinforced layer // Int. J. Mech. Sci. 1970. Vol. 12. P. 898-903.
5. Бабенко К. И. Основы численного анализа. М. : Наука, 1986. 744 с.
6. Немировский Ю. В., Федорова Н. А. Предельное деформирование дисков газовых и гидротурбин при различных структурах армирования // Известия высших учебных заведений. Физика. 2013. Т. 56, №7/3. С. 191-196.
References
1. Nemirovsiy Yu. V, Feodorova N. A. Mate-maticheskoe modelirovanie ploskikh konstruktsii iz armi-rovann'ykh voloknist'ykh materialov / Sib. fed. univ. Krasnoyarsk, 2010. 136 s.
2. Nemirovsiy Yu. V, Feodorova N. A Vestn. Samar. gos. techn. univ. Ser. fiz.-mat. nauki, 2013. No. 1(30), s. 233-244.
3. Kovalenko A. D. Vvedenie v termouprugost. Kiev : Naukova Dumka, 1965. 204 s.
4. Nemirovsky Yu. V. On the elastic behavior of the reinforced layer // Int. J. Mech. Sci. 1970. Vol. 12.
5. Babenko K. I. Osnovy chislennogo analiza. M. : Nauka, 1986.
6. Nemirovsiky Yu. V., Feodorova N. A. Izvestia vuzov. Phisics. 2013. Vol. 56, no. 7/3, s. 191-196 .
© Немировский Ю. В., Терлецкий Р., Федорова Н. А., 2015
