CC BY
13
УДК 519.2
Ю. С. Хохлов, О. И. Румянцева2
ПРЕДЕЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДЛЯ МНОГОМЕРНОГО ОБОБЩЕННОГО ПРОЦЕССА КОКСА
В работе исследуется предельное поведение распределений многомерного обобщенного процесса Кокса при неслучайном центрировании и некоторой специальной скалярной нормировке к сдвиговой смеси многомерного нормального распределения при í 4 оо. В этом специальном случае найдены необходимые и достаточные условия сходимости к предельному распределению.
Ключевые слова: многомерный обобщенный процесс Кокса, условия сходимости к предельному распределению.
1. Введение. В настоящей работе рассматривается некоторый специальный случай многомерного обобщенного процесса Кокса. Процессы такого типа часто встречаются в разнообразных прикладных задачах в финансовой и актуарной математике, теории телетрафика, некоторых задачах физики плазмы и других. При этом важно знать, каким будет предельное распределение такого процесса при больших значениях времени функционирования системы, динамика которой описывается с помощью этого процесса. В нашей работе рассматривается только случай скалярной нормировки. Более того, используется только нормировка вида Наш основной результат является перенесением на многомерный случай аналогичного результата из книги [1], где рассматривается случай произвольной скалярной нормировки. Не представляет особого труда получить и наш результат в такой же степени общности, используя методы из упомянутой книги. Но это приведет к усложнению обозначений и менее прозрачному доказательству. Для тех приложений, которые мы предполагаем рассмотреть позднее, вполне достаточно того результата, что мы приводим в настоящей работе.
2. Описание модели и вспомогательные результаты. Рассмотрим многомерный пуассонов-ский процесс N(t) = (Ni(t),..., Nm(t))T с независимыми компонентами, а также некоторый случайный процесс Л(t) = (Ai(í),..., Лm(t))T с, вообще говоря, зависимыми компонентами, траектории которого являются неубывающими функциями, причем
E(Ak(t)) = lk-t, Cov(Ak(t),Aj(t)) = Skj-t, D(Ak(t)) = Sk2-t.
Рассмотрим далее последовательность случайных векторов X,¡ = (Хд,..., X¡TO)T с конечными моментами второго порядка, таких, что E(Xj) = a,:¡ = (ají,..., a,jm)T,
Co v(Xji,Xjk) = oik.
Определим многомерный обобщенный процесс Кокса C(t) = (Ci(í),..., CTO(í)), где
Nk(Ak(t))
Ck(t) = xjk. j=l
Вычислим моменты первого и второго порядка для процесса C(t). Для этого будем использовать формулу полного математического ожидания
E(Nk(Ak(t))) = E(E(Nk(Ak(t))\Ak(t))) = E(Ak(t)) = lk-t, E(Ck(t)) = E(E(Ck(t)\Nk(Ak(t)))) = E(Nk(Ak(t)) ■ ak) = ak-lk-t.
Аналогично по формуле полного математического ожидания получаем
E([Nk(Ak(t))}2) = E(E([Nk(Ak(t))]2)\Ak(t)) = E(Ak(t) + [Лk(t)}2) = lk ■ t + S2 ■ t + l2 ■ t2,
1 Факультет BMK МГУ, проф., д.ф.-м.н., e-mail: yskhokhlovQyandex.ru
2 Факультет BMK МГУ, acn., e-mail: rumyantseva_olgaQmail.ru
пк(Ак(г)) ч 2Х / / /Щ(Ак(г)) ч 2
Е(с1(г)) = Е(( £ Е
мк(Ак(г))^ =
Мк(Ак(1))) ) =Е((4 + а1)-Мк(Ак(1)) + 4-(Мк(Ак(1))2^Мк(Акт) =
= Е (Е ( Е Х% + Е ' Хзк
3 гФз
= Е{ок • ЛГ*(А*(*)) + а2к ■ ЛГ*(А*(*))2) = (а2к ■ 1к + ак ■ (1к + Б2)) ■ I + I2 ■ а2 • г2.
Отсюда получаем выражения для дисперсий
0(Мк(Ак(т = (1к + Б2) ■ г, £>(<?*(*)) = [а2 ■1к + 4 ■ (1к + 52)] • ¿.
Теперь посчитаем ковариацию перекрестных компонент процесса С* , Ск :
Соу(С*(*),Сг(*)) = Я(С*(*) • Сг(*)) - Е{Ск{1)) ■ Е{ст
для к ф г. Используя независимость Хрк и Х(1г для р ф д и формулу полного математического ожидания, получим
,мк(Ак(г)) Щ(А^г))
(±1 "гК'ЧКЧ) N
Хрк- Хдг ) =
р=1 д=1 '
^ (*Р*-а*)- ^ (Хф^а^ +ак-аз-Е(Мк(Ак(1))-Щ(А^))) =
р=1 д=1
р=1 д=1
= оы ■ Е{ш\п{Ык{Ак{1)), Л^(ЛДг)))) + а* • а* • [Бы ■ I + 1к ■ Ь ■ г2} . Таким образом, получаем следующее выражение для ковариации:
Соу(С*(*), Сг(1)) = аы ■ Е(тт(Мк(Ак(г)), Щ(А^)))) + ак ■ щ ■ Бы ■ I.
Лемма 1. При приведенных выше условиях для всех к = 1,т имеет место следующая сходимость:
4 I, .-»«,
Доказательство. Так как Е(Ак(1)) = 1к1 и 0(Ак(1)) = то отсюда следует, что Ак(1)
имеет некоррелированные и стационарные второго порядка приращения. Тогда нетрудно показать, что применим закон больших чисел, т.е.
А*(*) р ,
р
Тогда Ак(1) —> оо и
г
Щ(Ак(1)) Мк(Ак(1)) Лfc(í)
t Ак(г) г
Утверждение леммы следует из того факта, что —ь 1 при I ^ оо.
Используя эту лемму, легко получить следующий результат.
Лемма 2. При приведенных выше условиях для всех к, г = 1,т, к ф г, имеет место следующая сходимость:
Е I --- I -чтт^.у, г ^ оо.
Таким образом, элементы ковариационной матрицы для всех к ф % имеют вид Соу(Ск(1), СДг)) ~ (аы • + ак • а« • •
а дисперсии равны
£>(<?*(*)) = + 4 -С^ + ^и
при I ^ оо.
Далее нам потребуется еще один хорошо известный результат (см. [2]).
Лемма 3. Пусть {X.,•} есть последовательность независимых одинаково распределенных случайных векторов в Кт со средними а = («1,... ,ат)Т и матрицей ковариаций Е = (сгрч). Тогда нормированная сумма
* _ X | + ... + А'„ - пч
— Г-
Vй
имеет асимптотически многомерное нормальное распределение со средним 0 и матрицей ковариаций Е.
3. Критерий сходимости многомерного процесса Кокса. Теперь мы готовы рассмотреть вопрос о сходимости распределений процесса Кокса. Всюду далее слабая сходимость распределений случайных векторов обозначается как =$>. Следующая теорема является основным результатом нашей работы.
Теорема. Сходимость
с*Ц) = с{г)фт ^ г, ^ос, (1)
имеет место для некоторого случайного вектора '/.. где Ак(1) = ак • 1к • тогда и только тогда, когда имеет место сходимость
^-о, (2)
для некоторого случайного вектора V, где Ак(1) = 1к • Причем
гк±\Ук + ак- V*, (3)
где Ш = ... имеет многомерное нормальное распределение со средним 0 и ковариациями
тт(1р,1д) • ( + О'р^ро)-, $рд символ Кронекера,, ^ и V независимы.
Доказательство. Докажем достаточность условия (2) для сходимости (1) и представления (3). Рассмотрим следующее представление компоненты Ск(Ь) процесса С(Ь)\
Ni.Xki.Xt)) Щ(Ак(г)) . . . .. Х<)к — а,к1к1 ^ (х,к - ак) + Мк(Акф)ак - ак1кг Ск{г) - Ак(1) = з=о_= j=Q_=
Щ(АкЦ))
~ ак)
i=b Nk(Ak(t)) , Nk(Ak(t)) - Ak(t) Ak(t) Ak(t) - tlk _ , _
ak-/. , ч-А/—7--ak-1=- 11 J.- + I'J J.- + '.'¡J.--
х/ЩлйШ V t x/X^f) V t ft
Таким образом,
C*(t) = h(t) + I2(t) + I3(t). (4)
He ограничивая общности рассуждений, предположим, что 0</i<...</TO<oo. По лемме 1 имеем i* t —> оо. Отсюда следует, что
JVi(A!(i))4oo, N2(A2(t)) - N^A^t)) ^ оо, ..., JVm(Am(i)) - JVm_i(Am_i(i)) 4 оо.
Рассмотрим первое слагаемое 1\. Для вектора х = (х\,...,хт)Т € К™ обозначим
= (0, ...,0,ж^+1,...,жто)
— вектор, полученный из вектора х обнулением первых к координат. Процесс h(t) можно представить в виде
JViGMt)) N2(A2(t)) Nm (Arn (t))
Ev vW V" -уУ171-1) Л™-1) Xj — aj 2s Л j ~ aj Z^ Л j ~ aj J = 3 = 1_ | j=N\ (Ai (t)) + l__| j=Nm-i (ATO_i (t))+l_
JVi(Ai(i)) /JV2(A2(i)) - JVi(Ai(t)) Nm(Am(t)) - N^A^t))
где
91 = V 92 = У ——Г—, дто=у ^
По условию теоремы все слагаемые в этой сумме независимы. В силу леммы 3 первый множитель в каждом слагаемом имеет асимптотически многомерное нормальное распределение со средним О и матрицей ковариации полученной из матрицы £ обнулением первых к строк и столбцов, где
матрица £ имеет вид
' 2 ^ 012 ••• 0\щ
2
(7m2 ■ ■ ■ (7m<
Второй множитель каждого слагаемого в силу закона больших чисел сходится по вероятности к ^Jlk — lk-i- Получаем, что h(t) имеет асимптотическое при t ^ оо нормальное распределение со средним 0 и матрицей ковариаций £(/i, h-, ■ ■ ■, lm)-, которая строится следующим образом: первая строка и первый столбец матрицы £ умножаются на второй столбец и вторая строка, за исключением элементов, уже умноженных на 11, умножаются на I2 и т. д. Фактически это означает, что элементы новой матрицы имеют вид opq • min(lp,lq).
Аналогичные рассуждения и хорошо известный результат об асимптотической нормальности процесса Пуассона при t ^ ос позволяют показать, что h(t) имеет асимптотически многомерное нормальное распределение со средним 0 и матрицей ковариаций £2, элементы которой имеют вид min(lp,lq) ■ ар2 ■ 6pq.
По условию теоремы случайный вектор h(t) := (а\ • /зд(£),..., ат • /з,то(^)) сходится по распределению к случайному вектору V = (aiVi,..., a,mVm).
В работе Роббинса [3] для одномерной ситуации показано, что при наших условиях величины (t) и hit) асимптотически независимы. Результат без труда переносится и на многомерную ситуацию. Используя те же методы, можно показать, что h(t), hit) и h(t) также асимптотически независимы.
Используя это замечание, получаем, что случайный вектор Z можно представить в виде
Z = W + aF,
где случайные векторы И ' и V независимы и Ш имеет многомерное нормальное распределение со средним 0 и ковариациями тт(1р, 1д)-(аРд+ар28ря), 8т — символ Кронекера. Таким образом, достаточность доказана.
Докажем необходимость условия (2). Пусть имеет место сходимость С*(£) по распределению к некоторому случайному вектору С при t ^ оо. Дословно так же, как при доказательстве достаточности, можно показать, что первые два слагаемых в представлении (4) сходятся по распределению к случайному вектору с невырожденным многомерным нормальным распределением и являются асимптотически независимыми с третьим слагаемым. Характеристические функции предельных распределений первых двух слагаемых нигде не обращаются в ноль (вследствие невырожденности предельного распределения), следовательно, поскольку имеет место сходимость (1), характеристическая функция третьего слагаемого имеет непрерывный предел. А это и означает, что третье слагаемое сходится по распределению к некоторому неслучайному вектору. Теорема доказана.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Королев В.Ю., Бенинг В.Е., Шоргин С.Я. Математические основы теории риска. М.: Физматлит, 2000.
2. Крамер Г. Математические методы в статистике. М.: Мир, 1975.
3. Robbins Н. The asymptotic distribution of the sum of random number of random variables // Bull. Amer. Math. Soc. 1948. 54. P. 1151-1161.
Поступила в редакцию 05.06.13
LIMIT DISTRIBUTUION OF GENERALIZED MULTIVARIATE COX PROCESS Khokhlov Yu. S., Rumyantseva O. I.
In the paper convergence of distributions of generalized multivariate Cox process under nonrandom centering and some special scalar normalization to shift-mixture of multivariate normal distribution as t oo is investigated. In this special case necessary and sufficient conditions of the convergence to limit distribution were founded.
Keywords: generalized multivariate Cox process, conditions of converggence to limit distribution.
