CC BY
27
изображенной на рис. 2, происходит смена вида квазистатического процесса, т.к. внешние силы являются потенциальными.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976.542 с.
2. Минаева Н.В. Адекватность математических моделей деформируемых тел. М.: Научная книга, 2006. 235 с.
539.375
ПРЕДЕЛЬНО-РАВНОВЕСНОЕ СОСТОЯНИЕ ПОКРЫТИЯ ПРИ НАЛИЧИИ МАЛЫХ ТРЕЩИН С КОНЦЕВЫМИ ПЛАСТИЧЕСКИМИ ЗОНАМИ
Канд. техн. наук, дог/, ШТ. ГАСАНОВ
Рассматривается задача механики контактного разрушения для покрытия, имеющего в сечении трещины. Считается, что концевые зоны трещин находятся в состоянии пластического течения при постоянном напряжении. Определение неизвестных параметров, характеризующих рост трещин, сводится к решению системы сингулярных интегральных уравнений,
Разработка расчетных моделей исследования напряженно-деформированного состояния пары «покрытие - упругое основание» представляет актуальную проблему.
Постановка задачи. Рассмотрим задачу механики контактного разрушения для дорожного покрытия, имеющего в сечении произвольное число прямолинейных трещин с концевыми пластическими зонами. Причиной происхождения таких дефектов чаще всего бывает нарушение режима технологии строительства дорог или механические повреждения поверхности дороги в условиях интенсивной эксплуатации.
№12
2008
Рассмотрим напряженно-деформированное состояние дорожного покрытия в процессе работы. Будем считать, что в сечении покрытия имеются прямолинейные внутренние трещины длиной 2£к (£ = 1,2, АО- Рассматривается практически важный случай, когда трещины имеют малую длину. В этом случае напряженно-деформированное состояние в окрестности трещин можно с достаточной для практики точностью найти, решая соответствующую задачу для плоскости (/? ->оо, где И - высота покрытия) с трещинами, на берегах которых действуют силы, определяемые в процессе решения задачи.
Расчетная схема для дорожного покрытия принята в следующем виде:
1) покрытие является неразрезной балкой бесконечной длины неизменного поперечного сечения, лежащей на сплошном упругом основании;
2) вертикальные силы приложены в плоскости симметрии покрытия, а боковые и продольные силы не влияют на величину изгибающего момента;
3) существует линейная зависимость между величиной равномерно распределенной по длине покрытия нагрузки и вызванной ею осадкой у.
4) форма упругой линии изгиба дорожного покрытия от произвольной динамической нагрузки с учетом неровностей, колебаний подрессорных масс и т.п., в любой момент времени соответствует форме, возникающей от действия постоянной нагрузки, взятой в тот же момент времени.
Согласно этой расчетной схеме распределение изгибающего момента Мш по длине бездефектного дорожного покрытия будет [1]
эффициент постели основания; Е - модуль продольной упругости материала; I - момент инерции поперечного сечения покрытия относительно горизонтальной оси; х - расстояние от расчетного сечения до точки приложения силы Рк давления колеса.
Вблизи точки взаимодействия колеса с дорожным покрытием будут неправильности [1] в распределении напряжений по сравнению с распределением нормальных напряжений по элементарной теории изгиба балок. Поэтому к напряжениям, порождаемым изгибающим моментом (1), нужно еще добавить [1] местные напряжения
(1)
где р =. - - коэффициент относительной жесткости дорожного основания; Л - ко-
№ 12
2008
2Рк СОБ в
--;
(2)
тс
где г - радиальное расстояние от точки приложения силы давления колеса; Ъ - ширина покрытия.
Материал покрытия моделируем упругопластической средой с механическими характеристиками С (модуль сдвига), /л (коэффициент Пуассона) и СТ (предел текучести материала на растяжение). В центрах трещин разместим начала локальных систем координат ХкОкУк, оси х* которых совпадают с линиями трещин и образуют углы щ с осью х. Высокая концентрация напряжений вблизи вершины трещин в некоторых случаях приводит к разупрочнению материала, окружающего трещину. Это может проявляться в появлении зон пластического течения. Анализ экспериментальных данных, а также условий равновесия и развития трещины с учетом взаимодействия ее берегов и зон разупрочнения приводит к модели трещины с концевой зоной, в которой имеет место пластическое течение при постоянном напряжении. В ряде работ [2, 3] рассматривались модели трещин, в которых принимается, что в концевых зонах, размер которых соизмерим с длиной трещины, имеет место пластическое течение при постоянном напряжении [4]. Принимаем, что эти области примыкают к вершине трещин, а их размеры, заранее неизвестные, могут быть сравнимы с размерами трещин.
Выделим части трещин длиной с/ц и (1г к (концевые области), примыкающие к ее вершинам, в которых для данного материала имеет место пластическое течение при постоянном напряжении.
Так как концевые зоны и толщина зоны пластического течения малы по сравнению с остальной упругой частью сечения покрытия, то их можно мысленно заменить разрезами, поверхности которых взаимодействуют по некоторому закону и препятствуют раскрытию трещин.
Под действием контактного давления колеса (внешней нагрузки) на дорожное покрытие в концевых зонах, соединяющих берега трещин, возникают нормальные а- (хк) = стт и касательные усилия т (хк) = тт. Следовательно, в концевых зонах
к берегам трещин приложены нормальные и касательные напряжения, равные <ТГ и Тт
(предел текучести материала на сдвиг), соответственно. Размеры концевых зон заранее неизвестны и подлежат определению при решении рассматриваемой задачи механики разрушения. Вне концевых зон (во внутренней области трещин) берега трещины свободны от нагрузок.
2008
(3)
Граничные условия на берегах трещин будут иметь вид:
<у = 0; Т =0 на свободных берегах трещин
Ук хкУк
(¿ = 1,2,..., Ы)
(У — (у • т = Г, на берегах концевых зон трещин
У к 1 9 хкУк 1 Г
Метод решения. Напряженно-деформированное состояние в окрестности трещин определяем приближенно, т.е. [5] будем удовлетворять граничным условиям задачи на контурах трещин -условию (3) и требовать, чтобы на значительном расстоянии от трещин напряженное состояние в покрытии совпадало с напряженным состоянием, вызванным давлением колеса Рк для сплошного покрытия. Решения задачи ищем в виде
сг =<т°+<71: СУ = сг° 4- а1 : а = сг° + СГ1 , (4)
X X X ь у у у 5 ху ху ху* 4 '
где напряжения сг®, сг ° э <т° есть распределение напряжений для сплошной бездефектной балки (покрытия). Тогда граничные условия (3) для определения введенных напряжений <У1Х, ах , сх можно записать в виде
<?1к = ; тхХкУк = на свободных берегах трещин
\ _ о 1 о ^
&Ук -сгт- сгук; тХкУк = тт - на берегах концевых зон трещин
Здесь компоненты аук , по известным формулам [5] теории упругости определяются через сг° , <уу , т°ху.
Компоненты напряжений сг]х, а\9 сг]ху должны удовлетворять уравнениям плоской задачи теории упругости. Следовательно, их можно выразить через две комплексные функции Ф(г) и Ч*(г) по формулам Колосова-Мусхелишвили [5], используя которые, запишем краевые условия в виде граничной задачи для отыскания комплексных потенциалов Ф(г) и ^(¿г)
/0 (/¿) на свободных берегах трещин
//г \
аТ - пт + /0 ) на берегах
концевых зон трещин
№ 12 2008
Здесь /0(/л) - -(<7° ~ ~ аФФикс тоттек берегов к-ой трещины; / -
мнимая единица.
Комплексные потенциалы Ф(^) и Ч^) , дающие решение граничной задачи (6) ищем в виде [б]
1 А'^ДОА
2ж *=| г1
(7)
2л-
■яЛО
где Г, = + ;
~Шк (г-^); £¿(0 - искомые функции, характеризую-
щие раскрытие берегов трещины.
Удовлетворяя функциями (7) краевым условиям (6) на берегах трещин с концевыми зонами, после некоторых преобразований, получим систему N сингулярных интегральных уравнений относительно неизвестных функций gk (хк ).
£ }к, 0, *л к (о+(л к (ок = */„ (л)
(8)
?' ( ' ) На СВ0^ОДНЬ1Х берегах трещин
[аг — ¡хг + ун° на берегах концевых зон трещин
Здесь Япк и Зпк определяются по соотношениям
£Шк
я„ =-
пк 9
1 е
■ +
-На.. \
7е
-2 ш„
К системе сингулярных интегральных уравнений (8) для внутренних трещин следует добавить дополнительные равенства
обеспечивающие однозначность смещений при обходе контуров трещин.
30 Известия вузов. МАШИНОСТРОЕНИЕ______
_ _ _
Система комплексных сингулярных интегральных уравнений (8) при дополнительных условиях (9) с помощью процедуры алгебраизации [2, 6] сводится к системе
ЫхМ алгебраических уравнений для определения ШМ неизвестных gi.itт) (к = 1, 2,
/л*г) (10)
т
М
1>л(О = 0 (и=1,2,...яЛГ; г= 1, 2, М-1),
т=1
Если в (10) перейти к комплексно сопряженным значениям, получим еще ШМ алгебраических уравнений. Для замкнутости системы (10) не хватает 2Ы уравнений, определяющих размеры концевых зон. Условиями, служащими для нахождения размеров концевых зон, являются условия конечности напряжений в окрестности вершин каждой трещины. Записывая условия конечности напряжений, получаем еще 2N недостающих уравнения в следующем виде
= (* = 1,2, (П)
т=1 4 М
Полученные алгебраические системы (10) и (11) позволяют определить значения искомых функций gk(tm) (& = 1Э2, т = 1,2,...9М) в узловых точках, а также
размеры концевых зон трещин. Система (10) и (11) из-за неизвестных размеров йхк и
к
{к = 1,2,И) концевых областей трещин оказалась нелинейной. Нелинейную алгебраическую систему решали методом последовательных приближений.
Анализ предельного состояния. Для определения предельного равновесия вершин трещин с концевыми областями пластического течения используем условие предельного (критического) раскрытия берегов трещин у основания пластической зоны. Считается, что предельное состояние наступает, когда на краю концевой области пластического течения выполняется условие
где бс - трещиностойкость материала, определяемая опытным путем.
Используя решение задачи, вычислим смещения на берегах концевых зон тре-
щин
1 "4™ /С
К (**) = ^ (** ,0)~ шк (хк ,0) (Аг = 1,2.....ТУ)
20 -(к
где к0 - постоянная Мусхелишвили.
Смещения на берегах концевых зон при хк = х{)к будут 1 + к Хк
——Г (**) = ик (**>°) - (хк ,0) 20 -1к
Применяя замену переменных и заменяя интеграл суммой, находим
1 + ^к ^ёк({т)=ок(х0к,0)-шк(х0к,0) (13)
в М ж-.,
где Мхк - число узловых точек, содержащихся в интервале (— Ск, х0А.). Учитывая, что git (/л1) = ик (г1,,,)- ш\((т) из (13) находим
---- ' —Т" X ик От) ;
в М „ы
/ 1 + /С0 о/ \
(-Г м т=\
Тогда модуль вектора перемещений на берегах концевой зоны при хк — хок будет
(И)
о м
А/,а Д/и
где
т-1 т=1
Для определения предельного состояния, при котором происходит рост трещины, используем критическое условие (12).
Таким образом, условием, определяющим предельное значение внешней нагрузки (контактного давления), будет 1 + к0 х£к
^Агк+Вгк=5с {к = 1,2.....ЛГ)
С М
Анализ модели развития трещин в покрытии на упругом основании в процессе эксплуатации сводится к параметрическому совместному исследованию разрешающей алгебраической системы (10), (11) и критерия роста трещины при различных значениях па-
раметров покрытия. Построенная расчетная модель позволяет варьированием параметров ОСк и исследовать различные случаи расположения малых трещин в сечении покрытия на ее несущую способность.
В заключение отметим, что если к покрытию приложена система вертикальных нагрузок, то на основе принципа суперпозиции согласно (1) получим
) ^Р
где х] - координаты точки приложения силы Рщ от действияу'-го колеса транспортного средства. Эпюра распределения изгибающего момента по длине дорожного покрытия одновременно определяет закон изменения во времени момента Миз в рассеченном сечении при движении колес вдоль дорожного покрытия. Эта картина изменения нагрузки будет периодически повторяться при прохождении каждого автомобиля.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Тимошенко СИ Сопротивление материалов. - М.: Наука, Т. 2 - 1965. - 480 с.
2. Мир салимо и В.М. Неодномерные упругопластические задачи. - М: Наука, 1987. - 256 с.
3. Панасюк В.В. Механика квазихрупкого разрушения материалов. - Киев: Наукова думка, 1991.-416.
4. Витвицкий П.М., Панасюк В.В., Ярема С.Я. Пластические деформации в окрестности трещины и критерии разрушения: Обзор // Проблемы прочности. - 1973. - №2. - С. 3 - 19.
5. Мусхелишвили НИ. Некоторые основные задачи математической теории упругости. - М.: Наука. 1966. - 707 с.
6. Панасюк В.В., Саврук М.П., Дацышин АП. Распределение напряжений около трещин в пластинах и оболочках. - Киев: Наукова думка., 1976. - 443 с
