Предельно периодические движения при резонансе в системах, описываемых интегродифференциальными уравнениями типа Вольтерра Текст научной статьи по специальности «Математика»

2488

Фундаментальные проблемы теоретической и прикладной механики Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (5), с. 2488-2489

УДК 531.1

ПРЕДЕЛЬНО ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ ПРИ РЕЗОНАНСЕ В СИСТЕМАХ, ОПИСЫВАЕМЫХ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ ТИПА ВОЛЬТЕРРА

© 2011 г. В.С. Сергеев

Вычислительный центр им. А. А. Дородницына РАН, Москва

vsergeev@ccas.ru

Поступила в редакцию 24.08.2011

Рассматриваются движения, которые при неограниченном возрастании времени стремятся к периодическим режимам. В критическом случае пары чисто мнимых корней для уравнений движения с голоморфной правой частью и аддитивным малым возмущением, периодически (предельно периодически) зависящим от времени, при условии необращения в ноль постоянной Ляпунова g определяемой по членам до 3-го порядка, первым методом Ляпунова строится семейство предельно периодических решений при резонансе, когда частота внешнего возмущения совпадает с собственной частотой линеаризованной невозмущенной системы.

Ключевые слова: нелинейные колебания, интегродифференциальные уравнения типа Вольтерра, критический случай пары чисто мнимых корней, резонанс.

Рассматриваются системы с последействием, описываемые уравнениями

dx г

— = Ax + 1K(t — т)x(x)dx + ц/ (t) + F(x), (1)

dt о

где x e Rn, ц — малый параметр, A — постоянная (пхп)-матрица, K(t) —непрерывная (пхп)-матри-ца, заданная при t > 0 и удовлетворяющая неравенству

||к(t)||< C exp(-^t), C > 0, в> 0 — const, F(x) — аналитическая в некоторой окрестности нуля функция, представимая степенным рядом без свободного и линейного членов, функция//)е C1.

Используется следующее определение: непрерывную функцию <p(t) будем называть предельно периодической, если она представляется в виде суммы

ф(0 = Ф p (t) + Фе (t), где 9p(t) — периодическая функция и (pe(t) — функция, стремящаяся к нулю при t ^

Движение, описываемое предельно периодической функцией, будем называть предельно периодическим.

Функция ft) в уравнении (1) считается предельно периодической.

Предполагается, что характеристическое ура-

Re X'j < 0, X'N—1 = /ю, X'N = —/ю,

j = 1,k,N — 2, ю = const > 0.

Будем считать, что производная функции ft) имеет ограниченное изменение и периодическая часть/^) функции представляется абсолютно сходящимся рядом Фурье с периодом T = 2п/ю.

Проведем серию преобразований [1], выделяющую критическую подсистему и позволяющую по членам 3-го порядка правых частей уравнений, не зависящих от параметра ц, определить постоянную Ляпунова g3 и представить критическую и некритическую подсистемы в следующей форме:

dw',

dt

- = hn —1w'2—1 w'n +Wn(—l(u, W', t) +

+ Wn(—1 (u, w', t) + / 'n—1 (t) + ЦЖп— 1 (u, w', t, Ц)

dw

dt

n = hnw'n—1 wan +wn2\u, w1, t) +

+ wnv (u, w', t) + ц/'n (t) + ц Wn (u, w', t, ц), (2) hn—1, hn = const, w' = col(w'n—1 , wn ),

Л'2 = diag(X'1X'n—1),

— = Л'2 u + U (2)(u, w1, t) + dt 2

+ U (3)(u, w’, t) + ц/ ’(t) + ци (u, w’, t, ц), (3)

где W(2)(u,w\t), U(2\u , w1, t)

внение для уравнения (1) имеет в комплексной полуплоскости ЯеА > —в конечное число корней

А (, = 1,..., N N > п), пронумерованных в поряд- шлет и, члены, такие, что ^Р)(2)(0, ж’, 0 = О,

ке возрастания вещественных частей, причем

U (2)(0, w1, t) = 0 (j = n — 1, n), W(3)(u, w1, t) — чле-

ны более 2-го порядка, не содержащие кубических членов, зависящих только от ж'п_1, ж' п [1];/'(О =

= Со1(/\(0,..., /'п_2 (0) , Гп_1«, /п (0 _ предельно периодические функции и их периодические части /^) разлагаются в абсолютно схо-дящиеся ряды Фурье; операторы (и,ж1,1,ц), и. (и, ж1,1,ц) в (2) и (3) _ величины 2-го порядка по и, м>'.

Уравнения (2) для, = п _ 1 и, = п, так же как и переменные ж' ,, ж', являются комплексно-со-

г п_1’ п

пряженными. Будем считать, что вещественная постоянная

Кп_1Кп ^ 0.

В уравнения (2), (3) вводится малый параметр £ с помощью замены

3

ж а = £У,, а = п _ 1, п , и = £У, Ц = £ , где V = со1^,..., Vn—2), и последовательно строится семейство предельно периодических решений этих уравнений в форме степенных рядов по £, так что

V, (() = X £kv(^k) (*), I = 1, 2, к, п,

к=О

и начальным значениям vJo функций vl(t). При этом начальные значения ^ представляются в виде степенных рядов

vok(£)=Х£Чк? к=п_1п.

р=О

Семейство предельно периодических решений уравнений (2), (3) может быть построено, содержит п _ 2 произвольные постоянные и представляется степенными рядами по п _ 2 начальным значениям некритических переменных и малому параметру £ = ц1/3. Проведенные преобразования от переменной х в уравнении (1) к пе-

ременным ж, (/ = п _ 1, п), и уравнений (2), (3) позволяют сделать заключение о существовании семейства предельно периодических решений уравнения (1).

Абсолютная сходимость рядов доказывается методом мажорантных функций построением соответствующих мажорирующих уравнений. Вычислена в первом приближении амплитуда периодической части предельно периодического движения.

Дается обобщение рассмотренной задачи. Приводится пример существования предельно периодических движений в задаче о качении железнодорожной колесной пары в резонансном случае в постановке, указанной в [2], учитывающей нелинейные силы крипа и вязкоупругие свойства материала.

Для дифференциальных уравнений (в уравнении (1) интегральное ядро К(£) = 0) полученный результат трансформируется в следствие о существовании в резонансном случае периодических решений, устанавливаемых по членам 3-го порядка. Вопрос о существовании периодических решений при допущении о разрешимости амплитудных уравнений общей формы рассматривался в [3].

Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант № 08-01-00600.

Список литературы

1. Сергеев В.С. // ПММ. 1998. Т. 62. Вып. 1. С. 79_86.

2. Сергеев В.С. // Автоматика и телемеханика. 2009. №9. С. 157_161.

3. Малкин И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1956. 491 с.

LIMITING PERIODIC MOTIONS WITH RESONANCE IN SYSTEMS DESCRIBED BY VOLTERRA

INTEGRO-DIFFERENTIAL EQUATIONS

V.S. Sergeev

Motions which tend to periodic oscillations with time are considered. The critical case of a pair of pure imaginary roots is analyzed by the first Lyapunov's method for equations with analytical nonlinear parts and Lyapunov's constant g3 ^ 0. The existence of a family of limiting periodic solutions is proved for the case when the frequency of external small perturbations coincides with the fundamental frequency of the linearized unperturbed system.

Keywords: nonlinear oscillations, integrodifferential equations of the Volterra type, critical case of pair of pure imaginary roots, resonance.