CC BY
7
ISSN 1992-6502 (Print)_
2018. Т. 22, № 3 (81). С. 17-23
Вестник УГАТУ
ISSN 2225-2789 (Online) http://journal.ugatu.ac.ru
УДК 621.9.047
Предельно-квазистационарное решение задачи электрохимического
копирования зубчатой поверхности с различным углом раствора клина электрод-инструмента
1 2 3 4
в. п. Житников , н. м. Шерыхалина , а. а. Зарипов , а.а. Соколова
1 zhitnik@mail.ru, 2 п_БИег @таИ.ги, 3 jacud@yandex.ru, 4alexandrakrasich@gmail.com ФГБОУ ВО «Уфимский государственный авиационный технический университет» (УГАТУ)
Поступила в редакцию 29.07.2018
Аннотация. Решается задача моделирования нестационарной электрохимической обработки электрод-инструментом с впадиной клинообразной формы с произвольным углом раствора клина. Для моделирования процесса анодного растворения используется ступенчатая функция выхода по току. Для исследования режима с наибольшей локализацией процесса растворения рассматривается случай совпадения критической напряженности с максимальным ее значением на обрабатываемой поверхности. Для решения используются конформные отображения. Найдено точное (в квадратурах) решение задачи и получены численные результаты, позволяющие определить форму обрабатываемой поверхности в различные моменты времени.
Ключевые слова: комплексный потенциал; конформное отображение; выход по току; квазистационарная модель; предельное решение.
ВВЕДЕНИЕ
Моделирование электрохимической обработки (ЭХО) основано на законе Фарадея, согласно которому скорость растворения Уест равна [1]
Vecm = ^ П , k = —
k P
(1)
где в - электрохимический эквивалент; р -плотность растворяемого материала; к -электропроводность электролита; 7 - плотность тока на анодной границе; п = п(7) -выход по току (доля тока, участвующего в реакции растворения металла).
В данной работе зависимость выхода по току от плотности тока моделируется ступенчатой функцией [2-7]
По, 7 > 71, пО) = 1° - П - ^ 7 = (2)
0, 7 < 71.
Рассматривается режим обработки, называемый предельно квазистационарным, при котором в каждой точке анода, где происходит растворение, 7 = 71, а п может изменяться от п° до нуля или какой-то минимальной величины. При этом достигается наивысшая степень локализации процесса растворения [8].
Нагревом электролита и газонаполнением пренебрегается, и рассматривается идеальный процесс в однородном электролите. При допущении об идеальности среды для решения задачи можно применить методы теории функций комплексного переменного и использовать конформные отображения.
Работа поддержана грантом РФФИ 17-07-00356.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим нестационарную задачу электрохимической обработки с помощью электрода-инструмента (ЭИ) РСО с зубчатой периодической поверхностью. Форма межэлектродного пространства (МЭП) в некоторый момент времени показана на рис. 1, а. Рассматривая один период, ограничим межэлектродное пространство (МЭП) вертикальными пластинами РА и ОБ из изоляционного материала. Изначально плоская заготовка АПБ движется в направлении ЭИ со скоростью Уа . Начальный межэлектродный
зазор (расстояние АР) равен £0, ширина ячейки Ь, разность потенциалов между электродами равна и.
Y \ @
_у / / d
fY "XV
/ /ьл
у а х Ч в
G
С
F
В
А
V (W
//к D
-и
Ф
б
Рис. 1. Образы МЭП:
а - на физической плоскости; б - на плоскости комплексного потенциала;
РСО — ЭИ (катод); ADB - обрабатываемая поверхность (анод)
Пусть комплексные координаты Z = X + ¡У . В связи с эквипотенциально-стью электродов форма области МЭП на плоскости комплексного потенциала Ж = ф + /у (ф - потенциал электрического поля, у - функция тока) представляет собой прямоугольник (рис. 1, б). Линиям тока РА
и ОБ соответствуют горизонтальные отрезки. При этом величина напряженности электрического поля определяется произ-
водной E =
а плотность тока в соот-
ветствии с законом Ома j = к| E|.
Конформно отобразим область МЭП на прямоугольник параметрической плоскости С (рис. 2, а). Для выполнения условия Rez(c) = const на участках границы FA и GB функцию z(c, т), согласно принципу симметрии, следует аналитически продолжить симметрично отрезку GB (рис. 2, а). Если форма ЭИ является симметричной, то продолжение не проводится. Связь плоскостей c и W осуществляется функцией
W = iUс . в
(3)
/р
F С G
F'
A D В
Л
О
71 О
-Е,
- ©
А
н м /
D
у-
0 Ех 1
б
Рис. 2. Форма образов МЭП для а = 1:
а - на параметрической плоскости; б - на плоскости годографа напряженности Е = ; М- точка перегиба анодной поверхности
При этом закон Фарадея (1) в векторном виде можно выразить формулой:
а
а
= к( С I С2
Перейдем к безразмерным величинам х, У, т, ь:
х =
X У
у =
г 7
т = ^ г = ^ I I2
ь =
Ж
и
Здесь I - величина стационарного зазора в задаче об обработке плоским горизонтальным ЭИ. Из условия Уест = Уа в (1)
определяем Уа = кц° и/1. Тогда
I = кп°и/Уа , Е° = и/Уа . При этом безразмерная скорость
=
йуь
= 1.
Ст Уа& В безразмерном виде закон Фарадея
Ст
С1
кци [ СЬ
У7 [
3 [ СЬ По V Сг
На рис. 2, б показана плоскость годографа безразмерной напряженности
Е = Сь / Сг , где ввиду симметрии изображена только правая половина формы области, соответствующая левой половине области плоскости Z.
Поскольку при |ш| < 1 растворения не
происходит, а значение |Е| = Е1 = 71 / к = Е°
является максимальным в данном процессе, на всех участках, где растворение происходит, модуль |ш| = 1. При этом области анода соответствует разрез по дуге окружности |ш| = 1 АМН и части вертикальной прямой
НБ, соответствующей нерастворенной части обрабатываемой поверхности. Это позволяет получать решения, соответствующие различным моментам времени т не решая
нестационарной задачи, т.е. квазистацио-нарно, аналогично [3]. В данной постановке задачи квазистационарное решение является точным, а не приближенным к нестационарному.
Границе катода С¥ соответствует луч, расположенный под углом у к оси абсцисс.
Таким образом, для решения задачи необходимо найти конформное отображение области МЭП плоскости годографа на плоскость ь (рис. 1, б).
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ
Применив преобразование
Е Е
ш = г 1п— = 9 + гт, т = 1п—1 Ех Ех
(4)
получим на плоскости ш многоугольник с углами А, С, ¥, М, Н, равными п/2; 0; 0, 2п; п/2 соответственно (рис. 3, а).
Используя преобразование Швар-ца-Кристоффеля, получим конформное отображение верхней полуплоскости t1 (рис. 4, б) на этот многоугольник
п
ш(t1 ) = гС11
(С + дС
п
+ —.
(С-у)(С- 1)С12 2
Поскольку
С + д =_____
(t1 - v)(t1 -1) V -1 'х - V V -1 'х -1
д + у 1 д +1 1
I
Сt1 ('1 "У),;^
ёи
2
и - V
1 , и-л/У 1п
V и
11п-^
t1 + л/v
то ш
(t1 )=
= С^гС Д+1ьД-1 + п .
(V-1)
V-1 л/'1 +1 2
О
н' М А ¥ С Р Н -ц 0 1 v 5
б
Рис. 3. Формы образа МЭП на плоскостях: а - на плоскости с; б - на параметрической плоскости t]; в - на параметрической плоскости £
Поскольку в соответствии с рис. 3, а
Яе с
'1+
= у, Яе с(о) =
п
V ^ У
то
Яе с
/1 + ул
V ^ У
„ Ц+У 1 п
пСх^-V —г + — = у
1 (V- 1)л/у 2 1
+ пС1
^ ЛЛ + V 1 ^ Ц + 1 п п
Яе ю(о) = -пС1 + + 0 = 0
(V-1) л/ V V-1 2 2
С1
1 У^-
2 п
V
Ц +V
Тогда получим окончательно
СсМ 1 -1
V 2 пу
М1
Внешность полукруга радиуса р отображается на верхнюю полуплоскость с помо-
X X 2
с-р р
лукольцо отображается на полуплоскость с вырезом овальной формы (рис. 4, а), где
щью функции и1 =
. При этом по-
ал
1 - Р 1 + р
. Чтобы превратить эту область
в полуплоскость, используем ряд Лорана с действительными коэффициентами
и
г г \2
С-р
чС + р У
+1 с
т=1
£ V р У
+
£ V р У
На полуокружности £ = е'
и.
и
1 - ре
V1 + ре
да
X Ст I
-т /та , „т „ -/та
+ Х е + ^е
) =
1 = 1
(1 - ре-/а)2Х(- 1)т(1 + т)рте~'та +
т=0
+
00
X с. (р --е*"+ рте"*"
)=
т=1
л о - /а , 2 -' 2 а о - 'а ,
= 1 - 2 ре + ре - 2 ре +
+ 3 р2 е "'2 а +Х(- 1)т (1 + т ) рте +
т=3
, /I 2 -'2а о / -|\т-1 т -'та ,
+ 4ре -2Х(-1) тр е +
т=3
+ Х(- 1)т (т -1)рте ~'пт +
т=3
+
да
X ст (р
-те'та + рте -¡та
)=
т=1
1 - 4 ре - 'а+ 8 р 2е "'2 а +
-'
'1
2 п
и
л ХГ1 1 п
ЬЛ1— + +1 2
(5)
Для удобства численного интегрирования в качестве основной параметрической плоскости выберем полукольцо плоскости ^ (рис. 3, в).
+ X (- 1)т [(1 + т) + 2т + (т - 1)]рте~та +
т=3
+
X ст (р"
т ¡та , т -/та
е + ре
т =1
1 - 4 ре -/а+ 8 р 2е 2 а +
а
т
2
)
+
да да /
/ 1 \т т -¡то , ^^ I -т ¡то , т -гто \
Х(-1) тр е + Хст\р ~ " -
е + ре
т=3
т=0
да
1 , л / 1 \т т — ¡то ,
= 1 + 4Х1_1) тр е +
т=1
■ч , -т ¡то , т -¡то 1 + X Ст\р е + Р е )-
да /
X Ст \р '
т=1
да
= 1 + 4 Х(- 1)ттрт (соб то-г Бт то) +
т=1
да I \
Е! - т т 1
ст\р собто + р собто)+
т=1
- т т • \
ст\р Б1п то- р Б1п то).
+ г
т=1
Условием отображения на полуплоскость является равенство 1т и2 (е'о) = 0
X [- 4(- 1)т трт + ст (р~т - рт )]в1п то = 0.
т=1
Отсюда
(- 1)т 4тр 2т
2т
Тем самым
п.
:(0 =
1 - р
'С- рл2
+ 4 X ,
т=1 1 - р
+
у.
1С + р у
(- 1)ттр2^((^т , (О
2т
-т Л
+
V
р
р
(«0
н ^ ---
I с ^ л I) с
0 1/й^
Сь)
с' ^ А Н Б С
/2 0 а2 /?2
б
Рис. 4. Формы образа МЭП на плоскостях:
а - п\, б - п2
Верхняя полуплоскость с обозначением точек показана на рис. 4, б. При этом
а2 = П2 (1) , d2 = П2 (- l), К = П2 (e"У),
/2 = П 2 (Р), П2 (- р)=да ,
*
где е"° - образ точки Н на плоскости С,.
Остается отобразить верхнюю полуплоскость п2 на полуплоскость Ч1
Ч = V
П2 а2
П2 - ^2
Конформное отображение определяется по формуле
w =--— 1п ^ .
1п р
(6)
Производная
1 1
ёС, 1п р С, Таким образом, согласно (4)-(6) имеем две функции: = /Е и w(z) . Для вычисления координат точек плоскости г отсюда найдем
Е = Е ^ = е"^) =
1 _х
/л К-Л^ Л К + 1 ^ 2 п = -1
Ч1 л Ч1 -1
ё2 = Ом = 1 ём „ =
2=/Ш" Щ) ъ
_1__1_ о;
1пр ТЖП
= / (сК. (7)
Численно интегрируя (7), найдем гП в системе координат, связанной с ЭИ
1 е™* -1
=\/(фс + \ / (Фс+ / / (ФС,
р 1 ео
где его - образ точки Н на плоскости
В этой системе координат анод движется вверх со скоростью уе1 = 1. Отсюда получается система двух нелинейных уравнений
Ст
а
Re zD =
L 2
Im zD = т -1,
которая решается методом Ньютона с регулированием шага относительно параметров а* и р. Для оценки погрешности и уточнения результатов численного интегрирования применяется фильтрация результатов вычислений [9-11].
РЕЗУЛЬТАТЫ РЕШЕНИЯ
На рис. 5 приведены формы анодной поверхности в различные моменты времени в случае угла раствора у=п/4. На вершине выступа, образующегося на поверхности анода, имеет место прямолинейный участок, соответствующий нерастворенной поверхности. Поскольку вершина выступа не растворяется, то она движется вверх со скоростью уа = 1. При завершении обработки за конечное время т < 9 получается окончательная предельная форма, обозначенная на рис. 5 буквой «П», соответствующая выполнению условия |ш| = 1 на всей поверхности анода.
Рис. 5. Формы поверхности при обработке ЭИ при у=л/2, Дт=1
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Таким образом, в данной работе с помощью конформных отображений решена задача моделирования квазистационарного процесса электрохимического копирования.
Квазистационарная модель позволила получить точные (в квадратурах) решения задач ЭХО обработки ЭИ с клиновидной впадиной.
Результаты численного интегрирования полученного решения позволили определить форму заготовки в различные моменты времени.
В предельных случаях (E0 = E1) квазистационарная модель дает точное решение нестационарной задачи. При этом квазистационарное решение требует существенно меньших затрат вычислительных ресурсов по сравнению с нестационарным.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Клоков В. В. Электрохимическое формообразование. Казань: изд-во Казан. ун-та 1984. 80 с. [ V. V. Klokov, Electrochemical shaping, (in Russian). Kazan: KGU, 1984. ]
2. Житников В. П., Ошмарина Е. М., Федорова Г. И. Использование разрывных функций для моделирования растворения при стационарном электрохимическом формообразовании // Изв. Вузов. Математика. 2010, № 10. С. 77-81. [ V. P. Zhitnikov, E. M. Oshmarina, G. I. Feforova, "The use of discontinuous functions for modeling the dissolution process of steady-state electrochemical shaping", (in Russian^ in Izv. Vuzov. Matematika, no.10, pp. 67-70, 2010. ]
3. Житников В. П., Ошмарина Е. М., Федорова Г. И. Точные решения двух задач предельного квазистационарного электрохимического формообразования // Известия вузов. Математика, 2011. № 12. С. 21-29. [ V. P. Zhitnikov, E. M. Oshmarina, G. I. Feforova, "Exact solutions of two limiting quasistationary electrochemical shaping problems", (in Russian), in Izvestiya vyzov. Matematika, vol. 55, no.12, pp. 16-22, 2011. ]
4. Моделирование электрохимического формообразования при ограничениях на растворение / В. П. Житников и др. // Научно-технические ведомости СПбГПУ. СПб. 2009. №4 (82). С. 221-224. [ V. P. Zhitnikov, et. al., "Modeling of electrochemical shaping at the restriction of dissolution", (in Russian), in Nauchno-Tekhnicheskie vedomosti SPbBPU, no. 4 (82), pp. 221-224, 2009. ]
5. Житников В. П., Муксимова Р. Р., Ошмарина Е. М. Моделирование процессов нестационарного электрохимического формообразования применительно к прецизионным технологиям // Труды математического центра имени Н. И. Лобачевского. 2010. Т. 42. С. 99-122. [ V. P. Zhitnikov, R. R. Muksimova, E. M. Oshmarina, "Modeling of nonstationary electrochemical shaping processes applying to precision technologies", (in Russian), in Trudy mate matichesko go tsentra im. N. I. Lobachevskogo, vol. 42, pp. 99-122, 2010. ]
6. Предельная модель электрохимической размерной обработки металлов / В. П. Житников и др. // ПМТФ. 2014. Т. 55, № 4. С. 193-201. [ V. P. Zhitnikov, E. M. Oshmarina, S. S. Porechny, G. I. Feforova, "Limit model of electrochemical dimensional machining of metals", in PMTF, vol. 55, no. 4, pp. 718-725, 2014. ]
7. Житников В. П., Зарипов А. А., Шерыхалина Н. М. Исследование нестационарного электрохимического формообразования с помощью квазистационарной модели // Вестник УГАТУ. 2014. Т. 18, №3 (64). С. 80-86. [ V. P. Zhitnikov, A. A. Zaripov, N. M. Sherykhalina, "Investigation of nonstationary electrochemical shaping with the aid of quasistationary model" (in Russian), in Vestnik UGATU, vol. 16, no.3 (64), pp. 80-86, 2014. ]
8. Zhitnikov V. P., Sherykhalina N. M., Porechny S. S. Stationary electrochemical machining simulation applying to pre
cision technologies, in Bulletin of the South Ural State University. Ser. Mathematical Modelling, Programming & Computer Software (Bulletin SUSU MMCS, Chelyabinsk, Russia), 2017, vol. 10, no. 4, pp. 15-25.
9. Zhitnikov V. P., Sherykhalina N. M., Sokolova A. A. Problem of Reliability Justification of Computation Error Estimates, in Mediterranean Journ. of Soc. Sci., 2015, Vol. 6, No. 2, pp. 65-78.
10. Житников В. П., Шерыхалина Н. М. Методы верификации математических моделей в условиях неопределенности // Вестник УГАТУ. 2000. № 2. С. 53-60. [ V. P. Zhitnikov, N. M. Sherykhalina, "Methods of verification of mathematical models in conditions of inconfidence" (in Russian), in Vestnik UGATU, no. 2, pp. 53-60, 2000. ]
11. Шерыхалина Н.М. Методы обработки результатов численного эксперимента для увеличения их точности и надежности // Вестник УГАТУ, 2007. Т. 9, № 2 (20). С. 127137. [N. M. Sherykhalina, "Methods of processing of numerical experiment results for its accuracy and reliability increase" (in Russian), in Vestnik UGATU, vol. 9, no. 2 (20), pp. 127-137, 2007. ]
ОБ АВТОРАХ
ЖИТНИКОВ Владимир Павлович, проф. каф. выч. мат. и кибернетики. Дипл. инж.-физ. (МФТИ, 1973). Д-р физ.-мат. наук по мех. жидкости, газа и плазмы (Казанск. ун-т, 1993). Засл. деят. науки РБ. Иссл. в обл. волн. течений жидкости, э/хим. формообразования, числ.-аналит. методов.
ШЕРЫХАЛИНА Наталия Михайловна, проф. каф. ВМиК. Дипл. инж.-системотехн. (УГАТУ, 1993). Д-р техн. наук по мат. моделированию, числ. методам и комплексам программ (УГАТУ 2012). Иссл. в обл. волновых течений жидкости, разработки числ.-аналит. методов, методов оценки погрешности и достоверности числ. результатов.
ЗАРИПОВ Аскар Александрович, научный сотрудник каф. выч. мат. и кибернетики. Дипл. магистр по прикладн. математике и информатике (УГАТУ, 2013). Иссл. в обл. решения задач матем. моделирования физ. процессов.
СОКОЛОВА Александра Алексеевна, аспирант каф. выч. мат. и кибернетики. Дипл. магистр по прикладн. математике и информатике (УГАТУ, 2014). Иссл. в обл. решения задач матем. моделирования физ. процессов.
METADATA
Title: Limiting quasi-stationary solution of a problem of electrochemical copying of a cogged surface of different internal angle
Authors: V. P. Zhitnikov1, N. M. Sherykhalina2, A. A. Zaripov3, A. A. Sokolova4
Affiliation:
Ufa State Aviation Technical University (UGATU), Russia.
Email: 1zhitnik@mail.ru, 2n_sher @mail.ru, 3jacud@yandex.ru, 4alexandrakrasich@gmail.com
Language: Russian.
Source: Vestnik UGATU (scientific journal of Ufa State Aviation Technical University), vol. 22, no. 3 (81), pp. 17-23, 2018. ISSN 2225-2789 (Online), ISSN 1992-6502 (Print).
Abstract: We solve a problem of modeling of non-stationary electrochemical machining by an electrode-tool with cogged surface form of different angle. For modeling of process of anode dissolution we use the step function of a current efficiency. We find an exact (in quadratures) solution of a problem and obtain numerical results allowing to define a form of the processed surface in various moments of time.
Key words: complex potential conformal mapping; current efficiency; limiting model; quasi-stationary approximation.
About authors:
ZHITNIKOV, Vladimir Pavlovich, Prof., Dept. of computer science and robotics. Dipl. Engineer-physicist (Moscow Physical-Technical Inst., 1973). Cand. of Phys.-Math. Sci. (MIPT, 1984), Dr. of Phys.-Math. Sci. (KSU, 1993).
SHERYKHALINA, Nataliya Mikhailovna, Prof., Dept. of computer science and robotics. Dipl. Engineer-system master (UGATU, 1993). Cand. of Phys.-Math. Sci. (BashGU, 1996), Dr. of Tech. Sci. (UGATU, 2012).
ZARIPOV, Askar Alexandrovich, lower scientist, Dept. of computer science and robotics. Master's degree (UGATU, 2013).
SOKOLOVA, Alexandra Alekseevna, postgraduate student. master's degree (UGATU, 2014). Dept. of computer science and robotics.
