CC BY
710. Валеев Н.Ф., Мякинова О.В, Султанаев Я. Т. Об асимптотике решений сингулярного дифференциального уравнения п-го порядка с нерегулярными коэффициентами // Матем. заметки. 2018. 104, № 4. 626-631.
11. Валеева Л.Н., Назирова Э.А., Султанаев Я. Т. Об одном методе исследования асимптотики решений дифференциальных уравнений Штурма-Лиувилля с быстро осциллирующими коэффициентами // Матем. заметки. 2022. 112, № 6. 935-940.
Поступила в редакцию 12.03.2023
УДК 531.396
ПРЕДЕЛЬНАЯ ОБЛАСТЬ ДОСТИЖИМОСТИ
ЛИНЕЙНОЙ КОЛЕБАТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА
Д. И. Бугров1
Рассмотрена задача нахождения периодических траекторий, лежащих на границе предельной области достижимости линейной стационарной системы третьего порядка с одним управляющим воздействием, ограниченным по абсолютной величине. Предполагается, что характеристическое уравнение однородной системы имеет один отрицательный вещественный корень и два комплексно-сопряженных, вещественные части всех трех корней совпадают. Полученные результаты позволяют построить границу предельной области достижимости (для бесконечно большого времени управления) в виде аналитических выражений от параметров системы.
Ключевые слова: предельная область достижимости, линейная стационарная колебательная система, скалярное управление.
The problem under consideration is to find periodic trajectories lying on the boundary of the limit region of reachability of a linear time-invariant third order system with one controlling action bounded in absolute value. It is assumed that the characteristic equation of a homogeneous system has one negative real root and two complex conjugates roots, the real parts of all three roots are the same. The results obtained make it possible to construct the boundary of the limit reachability region (for an infinitely long control time) in the form of analytical expressions on the system parameters.
Key words: limiting reachable region, linear time-invariant oscillatory system, scalar control.
DOI: 10.55959/MSU0579-9368-1-64-5-10
Введение. Известно большое число работ, в которых изучаются области достижимости, их свойства, способы аппроксимации границ этих областей и методы численного построения [1-5]. Этот интерес обусловлен тем, что построение множества достижимости динамической системы позволяет оценить возможность перевода системы в заранее заданное состояние, учесть влияние действующих на систему возмущений, решать задачи гарантированного оценивания и теории дифференциальных игр.
Задача о построении области достижимости линейной стационарной системы третьего порядка с одним управляющим (возмущающим) воздействием, ограниченным по абсолютной величине, рассматривалась в [6]. Предполагалось, что характеристическое уравнение однородной системы имеет один отрицательный вещественный корень и два комплексно-сопряженных. Система полагалась вполне управляемой, записанной в безразмерном времени в жордановых координатах:
x 1 = Ax1 + b1u(t),
x2 = ex2 - хз + b2u(t), (1)
x 3 = X2 + ехз + Ьз u(t),
1 Бугров Дмитрий Игоревич — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. прикладной механики и управления мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: d.bugrov@mech.math.msu.su.
Bugrov Dmitriy Igorevich — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Applied Mechanics and Control.
где управление u(t) — кусочно-непрерывная функция, о которой известно лишь, что она ограничена по модулю значением 5 > 0: u(t) € U = (u(-) € PC, |u(t)| ^ 5}. Условия полной управляемости системы (1) имеют вид bi = 0, + = 0 и считаются выполненными. Матрица системы (1)имеет одно действительное собственное число Л и два комплексно-сопряженных собственных числа е ± i.
Под множеством достижимости Q(T) системы (1) в момент времени T > 0 будем понимать множество состояний системы (1), в которые она может перейти из начала координат ж(0) = (0, 0, 0)т под действием какого-либо допустимого управления u(t) € U, т.е. Q(T) = {x(T) = (x1(T), x2(T), хз(Т))т : u(t) € U}. Путем решения экстремальных задач
cTx(T) ^ max , (2)
Ч)еи
где c = (ci, C2, Сз)т представляет собой множество векторов единичной сферы, могут быть получены граничные точки множества достижимости Q(T):
т
Х1(Т) = / bie*T-TЧт)dr,
0
т
X2(T) = J e£(T-T) (b2 cos(T - T) - Ьз sin(T - т)) u(r) dr, (3)
0
T
хз(Т) = ^ e£(T-T) (b2 sin(T - т) + Ьз cos(T - r)) u(r) dr.
0
Решение задачи (2) для фиксированного значения c имеет вид [6]
u(r) = 5sign [cibieA(T-T) + e£(T"T) (cos(T - r)(c2b2 + сзЬз) + sin(T - т)(сзЬ2 - С2Ьз))1 , 0 < т < T. (4)
Подставляя управление (4) в соотношения (3), можно получить соответствующую выбранному вектору c точку границы области достижимости Q(T), эта точка принадлежит опорной для множества Q(T) гиперплоскости, перпендикулярной направлению c. Для отыскания точной границы области достижимости Q(T) следует перебрать все векторы c единичной сферы, т.е. решить бесконечное число экстремальных задач (2). Ограничиваясь конечным набором из k направлений c^, i = 1,..., k, можно получить лишь аппроксимацию границы области достижимости Q(T).
Предельная область достижимости. В случае Л < 0, е < 0 существует предельная область достижимости Q(rc>), соответствующая бесконечному времени T. Оценку области достижимости Q(rc>) можно построить в виде инвариантного [7] или аппроксимирующего [2] эллипсоида. Целью данного исследования является построение точной границы предельной области достижимости Q(rc>).
Известно, что для линейных стационарных систем второго порядка с гурвицевой матрицей и аналогичным рассматриваемой задаче множеством допустимых управлений границы их предельных областей достижимости являются траекториями этих систем и могут быть описаны аналитическими выражениями [1, 8]. Чтобы получить аналогичный результат для системы третьего порядка, выделим случаи, когда управление (4) представляет собой периодическую функцию времени. Такому управлению соответствует вынужденное периодическое решение системы (1). Выясним, когда это решение принадлежит границе предельной области достижимости Q(rc>).
Рассмотрим случай Л = е < 0, тогда предельная область достижимости Q(rc>) существует и управление (4) для любого конечного значения T можно записать в виде
u(r) = 5 sign [cibi + cos(T - r)(c2b2 + cзbз) + sin(T - т)^зb2 - C2bз)] , 0 < r < T. (5)
означения ci = представим (5) в форме
Введя обозначения с\ = sin/?, сг = cos /3 sin ср, сз = cos/? cost/?, —= = cosa, , 23 = sin a
Vb2+b3 Vb2 +b3
u(t) = S sign
cibi + sj 1 - с[ф1 + Ъ\ sin(T - r + ¡p + a)
0 < t < T. (6)
Зафиксируем С1 = ±1, тогда при любом фиксированном Т все точки (3) границы области достижимости ^(Т), соответствующие этому значению С1 и изменяющимся значениям С2, Сз из интервала 0 ^ р < 2п, могут быть получены изменением фазы 7 = р + а на интервале 0 ^ 7 < 2п в управлении
и(т) = 5 sign
С161 + - + Щ вт(Т - г + 7)
Управление (7) при выполнении условия
0 ^ т ^ Т.
(7)
1 Ь1 + Ъ1 Я + Ы + Ы
< С1 <
' Ь1 + Ъ1 Ъ\ + Ъ1 + Ъ1
(8)
является периодической функцией т с периодом 2п, ему соответствует вынужденное периодическое решение уравнений (1). В силу выполнения условия Л = е < 0 однородное решение уравнений (1) стремится к нулю, поэтому решение с нулевыми начальными условиями и управлением (6) стремится к вынужденному периодическому решению. Соответствующая этому решению траектория в пространстве состояний (х1,х2,хз) представляет замкнутую кривую. Из стационарности матрицы системы (1) следует, что эта кривая остается той же самой при изменении фазы 7 (которая может рассматриваться как смещение начала отсчета времени) в управлении (7), изменяется только положение изображающей точки на этой кривой. Получаем, что при Т ^ фиксированном значении С1, удовлетворяющем условиям (8), и изменяющихся значениях С2, Сз из интервала 0 ^ р ^ 2п множество точек (3), (6) образует в пространстве (ж1,ж2,жз) замкнутую кривую, соответствующую вынужденному периодическому решению системы (1) с управлением
«(£) = 5 sign
С1&1 - -с\ф1 + Ъ1 8Ш(*)
(9)
Не нарушая общности, будем считать 61 > 0. Тогда при С1 ^ 0 управление (9) примет вид
и(г) =
5,
0 < г < 2п - гр; 2п - гр < г < 2п,
(10)
где
гр = п + 2 аггат
С161
(11)
Используя замену переменных, позволяющую представить линейную колебательную управляемую систему второго порядка в форме уравнения второго порядка [9], замкнутую кривую, соответствующую вынужденному решению (1) при управлении (10), (11), можно записать следующим образом:
где
Ж1(£) =
Ьеег жю +
8ее(1-2ъ+1р) _ Ьх^ +
Х2 (г) = 5 [(-еб2 - Ьз)х4 (г) + 62x5 (г)] Хз(г) = 5 [(62 - еЬз)х4(г) + ЬзХ5(г)],
0 < г < 2п - гр; 2п - гр < г < 2п,
(12)
х4 (г) =
Х5 (г) =
еЬ
Хзо - ех2о + ) + ( Х20 - )
1
+ 1+£2 1 ее(Ь-2п+Ьр)
1
+
Х31 - £Х21 - -ф? ) + ¿р) + ( Ж21 + -р1^ ) сов^ + ¿р)
1+е2
е£Ь [(-(1 + е2)х20 + ехзо + 1) sin г + Хзо cos г] ,
еЕ(ь-2п+ьр) [(-(1 + е2)х21 + ехз1 - 1) sin(t + гр) + хз1 ^(г + гр)]
0 < г < 2п - г.
р
2п — г„ < г < 2п;
0 < г < 2п - ¿р; 2п — г„ < г < 2п,
5
£
e2n£ - 2e£Íp + 1 Xw = h e(l-e^) '
£ / £ 2e£tp (cos tp - £ sin tp) - 1 - e2n£
X20 -
(1 - e2n£)(1 + £2)
2eetp sin tp 1 - е2же '
хзо
1 - e-"1-
Хзо - £%20 + 1 J Sin(27T - íp) + f Ж20 - 1+£2 ) cos(27r ~ ¿p)
X21 = e
£(2n-tp)
X31 = e£(2n-tP)
1
+
1+ £2 '
(1 + £2)Ж20 + £Ж30 + 1) sin(2п - ¿р) + Жзо ^(2п - ¿р)] .
Кривые вида (12) существуют при всех сх, удовлетворяющих ограничениям (8), и стягиваются к точкам
, Ьх £^2 + Ьз , еЬз - Ь2 „,
Ж1 = ±—, ж2 = ±——5-, х3 = ±—-—5- (13)
Л 1 + £2 1 + £2
(коническим угловым точкам согласно [6]) при
, I bl + bl
с i ±1
, ь2 + ь2 + 63'
Угол раствора кругового конуса с вершиной в конической угловой точке предельной области достижимости, найденный в [6] в виде 2агс1ап , совпадает с вытекающим из (11) значением
0 . I Щ+Ы
2 arcsm,
62 + 62 + 63'
При сх = 0 соотношения (12) задают траекторию, проекция которой на плоскость (ж2, Жз) описывается известными соотношениями для границы области достижимости колебательной системы второго порядка [1, 10].
Соотношения (12), дополненные угловыми точками (13), полностью задают границу предельной области достижимости как функцию двух параметров сх и ¿, изменяющихся в диапазонах
% + % I 62 + 62
< Сх <
б2 + b2 + b2 1 Y b2 + b2 + b3'
0 < t < 2n.
Входящий в выражения (12) параметр tp, зависящий от ci, может быть рассмотрен как независимый, изменяющийся в интервале
0 < tp < 2п.
Результаты численного моделирования. В качестве примера была рассмотрена система вида (1) со значениями параметров Л = £ = -0.1, b2 = 1, b2 = 0, b3 = 1, S = 1. На рис. 1 представлены граничные точки области достижимости Q(rc>), построенные по формулам (3), (4) для набора направлений ck = (c1k, c2k, c3k)T, k = 0,..., N, единичной сферы, заданного в виде
C10 = 0, C20 = 0, C30 = 1,
c1k = sin di cos fj, c2k = sin 0i sin fj, c3k = cos 0i, i = 1,...,N2, j = 1,...,N2, k = (i-1)N2 +j,
где вг = щ = Ni = 45, N2 = 180, N = NíN2.
На рис. 2 представлены граничные точки области достижимости Q(rc>), построенные по формулам (12). Параметр c1 выбирался из множества значений от 0 до 0.65 с шагом 0.05, от л/2/2 — 0.04 до V2/2 - 0.01 с шагом 0.01, также были добавлены значения C1, равные л/2/2 — 0.0075, л/2/2 — 0.005, л/2/2 — 0.002, л/2/2 — 0.0015, л/2/2 — 0.001; значения параметра t принимались равными ti = 2тт(i — 1)/50, i = 1, . . . , 50.
хз о
5
Рис. 1
Рис. 2
Можно отметить практическое совпадение границ области достижимости Q(<X)), построенных указанными двумя методами, при этом использование формул (12) не требует численного решения системы дифференциальных уравнений (1), результат получается быстрее.
Заключение. Для случая, когда параметры системы вида (1) удовлетворяют условию Л = £ < 0, предложено описание точной границы предельной области достижимости Q(rc>) в виде алгебраических выражений, заданных двумя параметрами. Эти соотношения определяют замкнутые кривые на границе Q(rc>), соответствующие периодическим решениям системы (1), порождаемым периодическими законами управления (5). Полученные результаты позволяют точнее и с меньшими вычислительными затратами строить предельную область достижимости Q(rc>).
Публикация подготовлена в рамках реализации Программы создания и развития научного центра мирового уровня "Сверхзвук" на 2020-2025 годы при финансовой поддержке Минобрнауки России (распоряжение Правительства РФ от 24 октября 2020 г. № 2744-р).
1. Формальский А.М. Управляемость и устойчивость систем с ограниченными ресурсами. М.: Наука, 1974.
2. Chernousko F.L., Ovseevich A.I. Ellipsoidal bounds of reachable sets: overview and new results //J. Optimiz. Theory and Appl. 2004. 38, N 2. 223-246.
3. Ушаков В.А. Построение и аппроксимация областей достижимости: обзор существующих решений и выбор программного обеспечения // Сб. тр. межрег. конф. и Санкт-Петербургской междунар. конф. "Информационная безопасность регионов России. Региональная информатика (РИ-2018)". Санкт-Петербург, 24-26 октября 2018 г. СПб.: Санкт-Петербургское общество информатики, вычислительной техники, систем связи и управления, 2018. 253-257.
4. Patsko V., Fedotov A. Three-dimensional reachable set for the Dubins car: Foundation of analytical description // Communs Optimiz. Theory. 2022. 23. 1-42.
5. Allen R.E., Clark A.A., Starek J.A., Pavone M. A machine learning approach for real-time reachability analysis // 2014 IEEE/RSJ Int. Conf. on Intelligent Robots and Systems. Chicago, IL, USA, 2014. 2202-2208.
6. Бугров Д.И., Формальский А.М. Зависимость от времени областей достижимости систем третьего порядка // Прикл. матем. и механ. 2017. 81, вып. 2. 154-164.
7. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. М.: Наука, 2002.
8. Зубов В.И. Колебания в нелинейных и управляемых системах. Л.: СУДПРОМГИЗ, 1962.
9. Жермоленко В.Н. Предельные циклы на фазовой плоскости // Задача Булгакова о максимальном отклонении и ее применение. М.: Изд-во МГУ, 1993. 35-47.
10. Александров В.В., Бугров Д.И., Жермоленко В.Н., Коноваленко И.С. Множество достижимости и робастная устойчивость возмущаемых колебательных систем // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2021.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
№ 1. 67-71.
Поступила в редакцию
19.04.2023
