CC BY
16
МАТЕРИАЛОВЕДЕНИЕ И ТЕХНОЛОГИИ МАТЕРИАЛОВ
УДК 624.047.2 А.И. Мамонтов
МАМОНТОВ АНДРЕЙ ИГОРЕВИЧ - доцент кафедры кораблестроения и океанотехники Инженерной школы (Дальневосточный федеральный университет, Владивосток).
E-mail: mamontov.ai@e.dvfu.ru
ПРЕДЕЛЬНАЯ НАГРУЗКА КАК КРИТЕРИЙ ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ТЕЛА
На примере возникновения пластического течения под штампом исследована связь аналитического решения для предельной нагрузки и расчета деформаций в программе ANSYS. Изложены результаты решения задачи Л. Прандтля и Г. Рейснера аналитически и численно в программе ANSYS.
Ключевые слова: предельная нагрузка, ANSYS, штамп, деформации, решение Прандтля.
Ultimate load as criterion of the deformed condition of the body. Andrey I. Mamontov, School of Engineering (Far Eastern Federal University, Vladivostok).
Basing on the example of a plastic flow originating under a rigid die the article deals with the relation between the analytical solution to the ultimate load and the calculation of deformations in the ANSYS programme. It presents the results of the solution of L.Prandtl and G. Reysner problem made analytically and numerically in the ANSYS programme.
Key words: ultimate load, ANSYS, rigid die, deformations, plastic flow, analytical solution.
Первые работы по математической теории пластичности относятся к периоду 1870-1920-х годов и связаны с именами А. Сен-Венана, М. Леви, Т. Кармана, Р. Мизеса. В Германии теорию развивали Г. Генки, Л. Прандтль [2], Г. Рейснер [4], Р. Мизес. В СССР в середине ХХ в. получили известность работы А.А. Гвоздева, А.А. Ильюшина, Л.М. Качанова, В.В Соколовского и других авторов. Известны замечательные работы И.Л. Диковича в области статики и динамики упругопластического изгиба балок.
©Мамонтов А.И., 2013
Одним из первых теорию пластичности, в том числе с учетом больших деформаций (эффект распора), к расчету судовых конструкций применил Л.М. Беленький.
Разработка методик проектирования судовых конструкций с учетом пластического деформирования велась научными школами Владивостока (Дальневосточный политехнический институт им. В.В. Куйбышева, ныне Инженерная школа ДВФУ - здесь нормированием прочности с учетом больших деформаций занимались С.С. Малахов, Ю.Ф. Литвинов, В.А. Кулеш и др.) и Санкт-Петербурга (научная школа Е.М. Апполонова).
Сегодня с участием научных школ разработаны нормы прочности (Правила классификации и постройки морских судов Российского морского регистра судоходства [1] в части ледовых усилений), основанные на одном из критериев пластического состояния тела -предельной нагрузке. Изучению влияния этого критерия на деформированное состояние тела, с точки зрения плоского предельного равновесия в современном программном комплексе, реализующем метод конечных элементов (МКЭ), посвящена настоящая статья.
Для того чтобы рассмотреть упругое полупространство, в которое вдавливается жесткий штамп, нам необходимо сделать следующее.
1. Сравнить результаты численного и аналитического решений по определению предельной нагрузки в рамках задачи плоского предельного равновесия.
2. Рассмотреть предельную нагрузку в качестве одного из критериев прочности.
3. Изучить влияние этого критерия на деформации.
4. Проверить адекватность численного решения, полученного в АКБУБ, с точки зрения правильности задания исходных данных: диапазона нагружения, размеров конечных элементов, модели материала (упругопластическая - для численного расчета).
В аналитических расчетах материал полупространства жесткопластический, идеально-связный, а в ANSYS [3] упругопластическая модель материала с тем же пределом текучести. Предельная нагрузка определяется для углов наклона свободной поверхности рядом со штампом у=0 и у=45 (рис. 1). Для каждого угла впрограмме АКБУБ [3] рассчитаны перемещения при вдавливании штампа в области возникновения пластического течения.
Решения сопровождаются небольшими аналитическими выкладками и картинами напряженно-деформированного состояния.
Рис. 1. Давление штампа на полупространство и поля скольжения
(1)
Аналитическое решение
Основная система уравнений плоского предельного равновесия выглядит следующим образом.
^-2xfex [s in( 2 Хф) х ^ — с os( 2 х<р) х = 0>
^ + 2xfex [ с о s( 2 Хф ) х ^ + s in( 2 Хф) х = 0
где к - полуразность главных напряжений, к = 0, 5х( о^ — <г3); с - полусумма главных напряжений, о = 0, 5 х ( о^ + <г3); р - угол между направлением с и осью х.
Исходя из этих дифференциальных уравнений, аналитическое решение для рассматриваемой задачи строится следующим образом.
Характеристические линии уравнений (1) образуют два вида областей: треугольные и сегмент. Для первого вида ф = с о ns t, для второго ф меняется. Диапазон изменения зависит от у, т.е. от угла свободной поверхности (см. рис. 1). Для у = я/4, ф £ (0 ; 3 х я/4), для 7 = 0, ф £ ( 0; я/ 2 ).
Поскольку применяется идеально-связная модель среды (сталь, например), для интегрирования (1) выбран следующий вид функции напряжений:
о = 2 х к х ф + С. (2)
Исходя из граничных условий, для треугольной области под штампом:
о = к — р , ф = 0. (3)
Так как свободная поверхность устанавливается под различными углами (у = 0 и / ), то дальнейшие рассуждения разделяются.
у = 0
Исходя из граничных условий, для треугольной области под свободной поверхностью о = — к, ф = я/2. На основании ( 2 ) С = — к х (я + 1), на основании ( 2) и ( 3) — к х ( ) , откуда
р = к х (2+я). (4)
у = "п/4
Исходя из граничных условий, для треугольной области под свободной поверхностью , / . На основании ( ) ( / ), на основании ( ) и ( )
( / ) , откуда
р = к х (2 + 3 х я/2). (5)
Описание численной модели
В численной модели применяется упругопластическая модель материала с пределом текучести стп = 2 3 5 М Па, модуль Юнга и коэффициент Пуассона Е = 2 X 1 0 5 М Па, V = 0, 3 соответственно.
Размеры
Численная модель с разбивкой на конечные элементы и точкой замера перемещений (в направлении оси z) показана на рис. 2. Здесь же указаны размеры модели с углом установки
свободной кромки у = п/4. Были построены 2 численные модели: для 7 = 0 и у = п/4, но для сокращения объема иллюстрации приводятся только для модели с у = п/4. Эта модель отличается дополнительными элементами, образующими угол у, отличный от 0.
Рис. 2. Численная модель с разбивкой на элементы, размерами и точкой замеров. Показаны закрепленные между собой узлы на длине 0,75 м
Для моделирования ровной поверхности вдавливания под штампом узлы закреплены между собой на участке длиной 0,75 м. При ширине модели 0,20 м образуется площадь вдавливания 0,20 X 0,75 м = 0,15 м2.
Размеры всей модели на порядок больше размеров штампа.
Размеры конечного элемента в длину 0,75/4 ~ 0,2 м и в ширину 0,2 м (видно на рис. 2). Выбор таких размеров объясняется необходимостью по возможности сократить расчетное время.
Нагрузки
В численном расчете деформаций условное время меняется от 0 до 1, а нагрузка меняется линейно пропорционально от 0 до максимального значения. Максимальное значение нагрузки, соответствующей условному времени 1, для этой численной модели определяется произведением 32 X 0,3 Е + 08 = 96 Е + 7, т.е. 960 МН, 32 - количество узлов,
к каждому из которых приложена сосредоточенная сила 30 МН. Часть листинга программы, где задается зависимость нагрузки от условного времени, приводится на рис. 3.
Рис. 3. Часть листинга программы, где задается зависимость нагрузки от условного времени. Указываются узлы, к которым прикладывается нагрузка. Суммарное максимальное значение 32 X 30 МН = 960 МН, соответствует условному времени 1
Результаты расчета, сопоставление численного и аналитического решений
Для того чтобы сопоставить численное и аналитическое решения, необходимо перейти к одинаковым размерностям и условному времени. Условное время - величина, характеризующая степень завершенности процесса. В данном случае - процесса нагружения.
Зная площадь под штампом, по формулам (4) и (5) определяются:
1. Предельные силы Ру=0 и Ру=^/4 для перехода к размерности сил (от размерности давлений).
2. Предельные силы (в обозначении добавлен штрих) рУ=0 = Ру=0/960 и Ру=пу4 = Ру=я/4/960 - по шкале условного времени.
Исходя из того, что площадь вдавливания 0,15 м2 предел текучести 235 МПа = 117,5 МПа) для различных углов установки свободной поверхности получим:
у = 0
На основании (4) предельная и условная (по шкале времени) силы соответственно равны:
Ру=0 = 0,15 X 117,5 X 106 X (2 + я) = 90,62 МН.
р/=о = 90,62/960=0,094. (6)
у = 71/4
На основании (5) предельная и условная (по шкале времени) силы соответственно равны:
Ру=я/4 = 0,15 X 117,5 X 106 X (2 + 3 X я/2) = 118,3 МН.
РУ=я/4 = 118,3/960=0,123. (7)
Результаты расчета зависимостей перемещений в направлении оси ъ от условного времени представлены для численных моделей с 7 = 0 и у = п/ 4 в виде графиков на рис. 4. На ось времени также нанесены значения условных предельных сил по формулам (6) и (7).
Видно, что значения условных сил примерно соответствуют максимумам на графиках перемещений. Расчет расхождения положений максимумов на зависимостях перемещений от условного времени и соответствующих значений предельных сил для моделей с различными углами установки свободной поверхности 7 = 0 и у = п/4 представлен в таблице.
Расхождением считается несовпадение значений в 3-м и 4-м столбцах. Вертикальные линии на рис. 4 соответствуют значениям по формулам (6) и (7), максимум одной кривой близок к 0,110, а второй - примерно между 0,13 и 0,14. Несмотря на то что по точкам кривые можно вести по-разному, а максимум на зеленой кривой очень гладкий, условно принимается, что он ближе к 0,13.
времени и условных предельных сил по формулам (6) и (7)
Расхождение положений максимумов и соответствующих значений предельных сил
Угол установки свободной поверхности Предел ьная сила, МН Услов ная предельная сила Положение максимума перемещенийна оси условного времени Расхождение условной предельной силы и положения максимума, %
у = 0 90,62 0,094 0,110 16
у = п/4 118,3 0,123 0,130 5,4
Картины напряженно-деформированного состояния численной модели
в процессе проведения расчета
На рис. 5, 6 представлены напряжения по Мизесу для модели с у = 0 в моменты условного времени 0,09 и 0,13. На рис. 7, 8 представлены напряжения по Мизесу для модели с у = 45 в моменты условного времени 0,09 и 0,18.
Перемещения для модели с 7 = 0 в момент условного времени 0,23 показаны на рис. 9.
На рис. 6 и 8 видны менее нагруженные участки под штампом, которые образуются как следствие образования полей скольжения в соответствии с решением Прандтля, после наступления предельной нагрузки (рис. 1). Это является подтверждением правильности и адекватности численной модели. До наступления предельной нагрузки этого эффекта нет (см. рис. 5, 7).
Рис. 5. Напряжения по Мизесу для модели с у = 0 в момент условного времени 0,09
Процесс вдавливания штампа сопровождается упругим деформированием на начальной стадии (так как в численных моделях используется упругопластическая модель материала, см. описание численной модели). График перемещений на этой стадии почти линейный. Деформации возрастают линейно в направлении перемещения штампа (в направлении оси х), материал полупространства увлекается за штампом.
Рис. 6. Напряжения по Мизесу для модели с у = 0 в момент условного времени 0,13
Рис. 7. Напряжения по Мизесу для модели с у = 45 в момент условного времени 0,09
Рис. 8. Напряжения по Мизесу для модели с у = 45 в момент условного времени 0,18
О .С«а134 .052267 .138401 .184535
. 027067 .059201 115.44 .1514 68 .20760
Рис. 9. Перемещения для модели с у = 0 в момент условного времени 0,23.
Смещение штампа 21 см. Хорошо видно образование полей скольжения и выпучивание материала вдоль свободных кромок
Наступление предельной нагрузки качественно меняет картину. В соответствии с решением Л. Прандтля [2] и Г. Рейснера [4] предельная нагрузка сопровождается пластическим течением, поля скольжения которого, см. рис. 1, стремятся выпучить материал свободных кромок в противоположном направлении. Поэтому после прохождения точки предельной нагрузки на оси условного времени численное решение сопровождается сменой роста перемещений в направлении оси z на их убывание. В точке предельной нагрузки логично наблюдать уменьшение скорости роста перемещений, затем их максимум и убывание, что и происходит.
Пример проведенного численного расчета показывает, что предельная нагрузка является показателем качественного изменения деформированного состояния тела и подтверждает правильность ее выбора в качестве одного из критериев прочности [1]. В свою очередь, интерпретация численного решения с точки зрения одного из общепринятых критериев прочности является определенным подтверждением правильности работью программой ANSYS.
Итак, по результатам проведенного исследования можно сделать следующие выводы.
Корреляция между численным и аналитическим решением по определению предельной нагрузки, в рамках задачи плоского предельного равновесия, установлена (расхождения приведены в таблице). Показано, что достижение предельной нагрузки качественно меняет картину деформированного состояния плоского тела. При достижении предельной нагрузки перемещения резко возрастают. С точки зрения правильности задания исходных данных в ANSYS и критерия достижения предельной нагрузки показана адекватность разработанной численной модели.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Правила классификации и постройки морских судов НД № 2-020101-072. Т. 1. СПб.: РМРС, 2013. 503 с.
2. Прандтль Л. О твердости пластических материалов и сопротивлении резанию // Теория пластичности. М.: Изд-во ИЛ, 1948. С. 70-79.
3. ANSYS Help. [Электронный ресурс]: интерактив. учеб. - Электрон. дан. и прогр. Ansys. Inc. - 1 электрон. опт. диск (CD-Rom).
4. Reissner H. Zum Erddruck problem // Proceedings of the First Intern. Congress of Applied Mechanics. Delft, 1924. P. 295-311.
