Предел устойчивости двухмассовой системы с обобщённым ПИД-регулятором Текст научной статьи по специальности «Математика»

Научный вестник НГТУ. - 2012. - № 3(48)

УДК 621.321

Предел устойчивости двухмассовой системы с обобщенным ПИД-регулятором*

А.Н. КОРЮКИН

Исследуется гурвицева устойчивость малых колебаний двухмассовой системы, управляемой одноканальным обобщенным ПИД-регулятором. Рассмотрены два случая выбора контролируемой величины и приложения управляющего воздействия. Продемонстрирована принципиальная возможность исследования устойчивости линейных систем в символьном виде с помощью Maple.

Ключевые слова: модальный синтез, регулятор пониженного порядка, устойчивость по Гурвицу.

ВВЕДЕНИЕ

Одним из актуальных направлений теории автоматического управления является поиск наилучшей гурвицевой устойчивости линейной системы автоматического управления (САУ, [1, 2]). Другое актуальное направление теории автоматического управления связано с использованием регуляторов пониженного порядка [3]. Близкие задачи решают и алгебраическими методами [4]. В работах [5-7] ищется наилучшая устойчивость некоторых регуляторов пониженного порядка для объектов с конкретными числовыми параметрами. Данная работа продолжает исследования [4-6], но уже не для конкретного объекта, а для всевозможных двухмассовых систем с упругими связями.

В данной работе с помощью Maple решаются четыре задачи: для произвольной двухмассовой системы в каждом из двух случаев (контролируемой величиной считается координата одной массы, а управление приложено к другой) найти наилучшее по гурвицевой устойчивости управление, и для него - явные формулы регулятора, числитель передаточной функции которого квадратичен, а знаменатель линеен; частным случаем последнего оказывается ПИД-регулятор. Иными словами, требуется указать такие выражения параметров регулятора через параметры объекта, при которых корни характеристического полинома САУ расположены как можно левее.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

В инерциальной системе отчета на неподвижной прямой выбрана точка (основание) и положительное направление; к основанию в положительном направлении пружинами жесткости ki , k2 последовательно прикреплены две материальных точки, массы которых mi, m2 . Они могут двигаться только вдоль этой прямой. Управляющие силы Ui , U2 также действуют параллельно этой прямой. Рассматриваем только малые отклонения Xi , Х2 масс от положения равновесия. Положительным направлением сил и отклонений масс считаем положительное направление прямой. Отклонения масс измеряем относительно неподвижного основания. Трением пренебрегаем и считаем, что изначально двухмассовая система не возмущена.

* Получена 20 апреля 2012 г.

Рассматриваем эту систему АУ как одноканальную, причем сила приложена параллельно движению и только к первой массе, а контролируется отклонение от положения равновесия второй массы - или наоборот. Объект управляется регулятором, числитель передаточной функции которого - квадратный трехчлен, а знаменатель - приведенный линейный двучлен.

2. ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИМ ПОЛИНОМ

Так как трения нет, то малые отклонения масс удовлетворяют системе дифференциальных уравнений

т

1Х1 + ^Х1 + ^ (Х1 x2 ) = и1,

т2 Х2 + k2 ( Х2 Х1) и2 •

В случае, когда изначально двухмассовая система не возмущена (т. е. в начальный момент отклонения масс и их скорости нулевые), система дифференциальных уравнений после перехода к изображениям [8, гл. 5] выглядит так:

(т152 + k2 ) х1 - k2 х2 =и1, х1 + (т^ 2 +k2 ) х2 = и2.

(1)

Это система двух линейных уравнений относительно переменных , . Матрица этой

„2

системы симметрична: М

2

^2 Ш2 s +k2

. Запишем систему (1) в матричной

ГуЛ

форме: М

V Х2 У

(и.\

Vи2 У

. Решение этой системы в матричной форме

ГуЛ

V х2 У

М

ГиЛ

Vи2 у

(2)

Заметим, что и матрица М, и обратная матрица симметричны.

Из равенства (2) видим, что при одноканальном управлении передаточная функция от / -

го входа к г-му выходу - это (г, /)-й элемент матрицы М 1 . Так как матрица М 1 симметрична, то передаточные функции от входа 1 к выходу 2 и от входа 2 к выходу 1

совпадают. Выпишем эти недиагональные элементы матрицы М

1

т^4т2 + (k2m2 + т^2 +^т2 ) s2 + ^2

Теперь можно изучать устойчивость одновременно в двух этих случаях: 1-й вход и 2-й выход, либо 2-й вход 2 и 1-й выход.

При изучении устойчивости удобно, чтобы старший коэффициент знаменателя пере был единицей. Введем параметры «1 = 1 / ,

объекта выглядит так:

k2 П1П2

4 2 7 7

s + ps + п1п2

«2 = 1 / т2 . После этого передаточная функция где р = k2nl + k2n2 + ^п1 - параметр объекта. В

этих обозначениях числитель передаточной функции объекта ЫоЬ = k2nln2 Dob=S4 ^ .

а знаменатель

Будем управлять с помощью регулятора с передаточной функцией а0 s + а1 + -

s - Ь

числитель которой квадратичен

Nc = а0s2 + (—а0Ь + а1) s + а2 - а1Ь,

а знаменатель Dc = s — Ь линеен со старшим коэффициентом 1.

Этот регулятор при Ь = 0 переходит в ПИД-регулятор и может рассматриваться как его обощение.

Запишем характеристический полином замкнутой системы

f (s ) = s5 — s4b + р5Ъ + (k2n1n2a0 — рЬ ) s 2 +(— k2n1n2a0Ь + ^2ЩП2 +k2n1n2a1) s +

+k2n1n2a2 — ^ппф — k2п1п2а1Ь . (3)

3. СВЯЗЬ КОЭФФИЦИЕНТОВ. ПОЛИНОМ F(S) Введем обозначения для коэффициентов характеристического полинома

f (s ) = s5 + с^4 + с2 s3 + c3s2 + с4 s + с5 (4)

Выразим параметры управления через коэффициенты полинома /(5). Получим четыре формулы для вычисления параметров управления через коэффициенты:

Ь = —с . а = РС1 — С3 . а =РС1 — С1С3 +с4 — k1k2n1n2 . а = — Рс13 — с12с3 — с5 + с4с1 (5)

1 ' 0 » ' 1 » > 2 7

k2 П^2 k2nln2 k2nln2

и соотношение С2 = р . Для любой конкретной двухмассовой системы параметр объекта р -это фиксированное число. Таким образом, соотношение С2 = р - единственная связь коэффициентов характеристического полинома.

Теперь задача управления конкретной двухмассовой системой выглядит так: сначала нужно вычислить параметр объекта р (для поиска наилучшей устойчивости никакие другие параметры объекта не нужны). в классе полиномов (4) с единственной связью на коэффициенты С2 = р найти полином с наилучшей гурвицевой устойчивостью; затем по формулам (5) вычислить параметры регулятора.

В только что сформулированной задаче управления класс полиномов зависит от параметра р. При поиске наилучшей устойчивости от этой зависимости можно избавиться.

Параметр объекта р больше нуля и его размерность обратна квадрату времени. 2

Обозначим его через а (а > 0). Размерность параметра объекта а обратна времени, то есть совпадает с размерностью переменной 5. Введем обозначение 5 = 5 / а . Тогда - величина безразмерная. Теперь

/(5) = /(5а) = (5а)5 + с1 (5а)4 + с2 (5а)3 + с3 (5а)2 + с4 (5а) + с5 =

-~51 55 + * 54 53 52 +45 + ^51 = а5F(5), а а а а а )

где F (5) = 55 + К154 +К253 + К352 +К4 5+ К5, К2 = 1, (6)

К' = с' / а' (' = 1, 2, 3, 4). Будем рассматривать параметр а = ^/р как единицу измерения

переменной s, связанную с объектом управления. Безразмерная величина - это та же размерная величина s, только отмеренная в единицах измерения а.

Теперь задача поиска наилучшей устойчивости сводится к следующему: для конкретной двух массовой системы вычислить единицу измерения корней (параметр объекта а); в классе

полиномов (3) найти полином F(S) с наилучшей устойчивостью; по формулам С' = К'а1 вычислить коэффициенты характеристического полинома /(я); затем вычислить величины П' = 1 / т' , обратные к массам, и параметр объекта р = а2 , наконец, по формулам (5) найти параметры регулятора.

Теперь поиск наилучшей устойчивости не связан с параметрами объекта и регулятора. И только после нахождения наилучшей устойчивости можно вернуться к исходным параметрам объекта и регулятора.

4. ПЯТИКРАТНЫЕ КОРНИ ПОЛИНОМА F(S)

Предположим, что полином F(S) имеем пятикратный корень. Понятно, что этот корень вещественный. Обозначим его через х. Тогда F (5) = (5 — х)5 =55 —554х + 1053 х2 -

2 3 4 5 3 2

— х . Коэффициент при 5 равен 10х . Выпишем единственную связь

коэффициентов полинома F(S): 10х2 = 1. Так как нас интересуют только область устойчивости, т. е. х<0, то х = — -\/10 /10 « —0.316 .

Итак, пятикратный корень полинома F(S) существует, в области устойчивости единственен, и совпадает с

5 = — 710/10 « —0.316. Отсюда, в частности, следует, что любая двухмассовая система стабилизируема обобщенным ПИД-регулятором.

5. СДВИГ ВЕРТИКАЛИ

Покажем, что лучшая устойчивость, чем для пятикратного корня, недостижима. Мы ищем полином F(S), у которого корни расположены левее вертикали 5 = 0, причем как можно левее.

Рассмотрим вещественное число х и полином F(S), у которого корни располагаются левее вертикали 5 = х. Как и в [1-2], вместо переменной 5 рассмотрим переменную г = 5 - х. Тогда вертикаль 5 = х превратится в вертикаль г = 0. Итак, 5 = г + х. Рассмотрим полином Н(г)= F(г + х):

Н (г) = г5 + (5х + К1) г4 + (1 + 10х2 + 4К1х) г3 + (6К1х2 + 3х + К3 + 10х3 ) г2 + + (3х2 + 2К3 х + 4К1х3 + К4 + 5х4 ) г + К3 х2 + х3 + К4 х + К5 + х5 + К1х4.

Полином Н(г) устойчив, в частности, выполнено необходимое условие устойчивости: все

его коэффициенты положительны. В предельном случае при уменьшении х все

2

коэффициенты полинома Н(г) неотрицательны. В частности, 0 < 5х + К^0 < 1 + 10х + 4К^, или

—5х < К1, —4К1х < 1 + 10х2. (7)

2 9 9 9

Считая, что х < 0, из неравенств (7) получим 20х < —4К1х < 1 + 10х , 20х < 1 + 10х , 10х2 <1.

Из последнего неравенства следует, что устойчивости лучше, чем для пятикратного корня, нет.

Вывод. Для любой двухмассовой системы: 1) устойчивое управление существует; 2) наилучшая гурвицева устойчивость достигается в точке, где корни полинома F(S) сливаются в пятикратный корень.

6. ПИД-РЕГУЛЯТОР

В найденной точке наилучшего управления (т. е. для х = —>/10/10) выпишем характеристический полином F (S) = (S — х)5 :

F ( S ) = ^ S4 +S3 S2 + - S + (8)

у ' 2 10 20 1000

Согласно (5) Ь = —с , где С1 - коэффициент полинома /5) при степени 4. При этом С = Ка, где К1 - коэффициент полинома F(S) при степени 4. Из (8), К1 = . Поэтому

у „ лЯ0 _

Ь = —с, = — К,а =--а Ф 0 .

1 1 2

Можно ли добиться устойчивости для ПИД-регулятора (при Ь = 0), т. е. если регулятор

а2

задается так: а0 s + а1 + — ?

Согласно формуле (3) коэффициент при четвертой степени характеристического полинома /5) равен - Ь. Значит, при Ь = 0 коэффициент при четвертой степени полинома /(5) равен нулю. Но коэффициенты устойчивого полинома строго положительны. Поэтому с помощью ПИД-регулятора для вообще нельзя добиться стабилизации двухмассовой системы.

7. ВОЗВРАТ К ИСХОДНЫМ ПАРАМЕТРАМ ОБЪЕКТА И УПРАВЛЕНИЯ

1 11 к + "2 к 2 I

Вспомним, что р = К2П1 + К2П2К1П1 =-+-, а = р . Значит,

т1 т2

V

" + "о "о

—1-2 + (9)

т Шп

При 5 = Sa нас интересует наилучшая устойчивость, то наличие пятикратного корня S = — « —0.316 полинома F(S). Поэтому в области устойчивости пятикратный корень характеристического полинома выглядит так:

„ л/10

5 = ^ъа =--

к1 + к2 + к2

т Шп,

^ 0316 где--« —0.316 .

а

Выше для пятикратного корня выписан полином F(S) (8). Коэффициенты этого полинома

К =— да1.581, К2 = 1, К3 = — да 0.316, К4 = — = 0.05, К5 = да 0.003. Теперь 1 2 2 3 10 4 20 5 1000

по формулам с1 = К1а' вычислим коэффициенты исходного характеристического полинома:

с, =— а да 1.581а, с2 =а2 = р, с3 =— а3 да 0.316а3, с4 = — а4 = — р2 = 0.05р2, 1 2 2 10 4 20 20

С5 = а5 да 0.003а5. По формулам (5) вычислим параметры регулятора:

, >/!о лЯё , 2>/!о тт 3 2>/!о ,

Ь =-с =--а, где--да-1.581; а0 =---1—-а , где--да-1.265;

1 2 2 0 5 ^ 5

, 41 тт 2 128 г— тт2 5 128 г— „ „„„

а1 = +--^^р2 ; а2 =-->/10 1 2 а5 , где-->/10 да -3.238 . Теперь переда-

20 ^ 125 ^ 125

точная функция регулятора имеет вид

_ а2 2>/10 3 , 41 4 128 /— qaь

°сапгг = а05 + а1 =--—qa - К - 7^10-т=-

s-b 5 20 125 ^/10

5 +-а

2

где параметр а вычисляется по формуле (9); q = т1т2 / ^ .

Вспомним определение передаточной функции регулятора: и = Ссоп1г(v-x], где V-

изображение задания; и - изображение входа (воздействия), а х - изображение выхода. В последнем равенстве перейдем от изображений к оригиналам и получим явную формулу для прилагаемой силы:

, V 2^10 3 й ( , 41 4 ^ , ч 128 /— 5' ( >/10 . Л , ч ^

и=--qa —е+1 +—qa Iе--y|10qa I ехр--а(/-т] е(т]ат,

5 dt 20 у 125 0 2

где е(t] = v(tх(7]; V(t] - задание (оригинал); х(t] - действительное отклонение

(оригинал выхода); а - параметр объекта, задаваемый равенством (9); q = т1т2 / ^ . При переходе от изображений к оригиналам предполагалось, что в начальный момент времени задание нулевое.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Для одноканальной двухмассовой системы в двух случаях: 1-й вход и 2-й выход, либо наоборот - устойчивое управление ПИД-регулятором невозможно.

Наилучшая гурвицева устойчивость двухмассовой системы с обощенным ПИД-управлением достигается, когда характеристические корни САУ сливаются в единственный пятикратный. В тех же двух случаях найдено наилучшее управление и найдены явные формулы этого управления как для передаточной функции регулятора, так и для управляющего воздействия.

Оптимизация гурвицевой устойчивости означает минимизацию целевой функции в виде максимума действительных частей характеристических корней. По-видимому, для многих естественно заданных функций устойчивости полученный выше результат окажется верным.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Шубладзе А.М., Попадько В.Е., Кузнецов С.И., Якушева А.А. Исследование оптимальных по степени устойчивости решений при ПИД управлении. Часть 1 // Управление большими системами / Сборник трудов. Выпуск 22. - М.: ИПУ РАН, 2008. - С. 86-100.

[2] Шубладзе А. М. , Попадько В. Е. , Якушева А. А. Исследование оптимальных по степени устойчивости решений при ПИД управлении. Часть 2 // Управление большими системами / Сборник трудов. Выпуск 23. - М.: ИПУ РАН, 2008. С. 39-54.

[3] Воевода А.А., Чехонадских А.В. Оптимизация расположения полюсов системы автоматического управления с регулятором пониженного порядка // Автометрия. - 2009. - Т.45. - № 5. - С. 113-123.

[4] Грязина Е.Н., Поляк Б.Т. Многомерная область устойчивости полиномиальных семейств специального вида. // Автоматика и телемеханика. - 2007. - № 12. - С.38-52.

[5] Корюкин А. Н., Чехонадских А. В. Экстремальные расположения корней действительных многочленов и стабилизация трехмассовой системы. // Сборник трудов международной школы «Алгебра и теория моделей 8». -2011. - С.19-39.

[6] Корюкин А. Н., Чехонадских А. В. Предел устойчивости трехмассовой системы с регулятором 3-го порядка. Часть 1. // Сборник научных трудов НГТУ. - 2011. - № 4 (66). - С. 3-22.

[7] Корюкин А. Н., Чехонадских А. В. Предел устойчивости трехмассовой системы с регулятором 3-го порядка. Часть 2. // Сборник научных трудов НГТУ. - 2011. - № 4 (66). - С. 37-56.

[8] Романовский П.И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразования Лапласа. - М.: Наука, 1964.

Корюкин Анатолий Николаевич, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Института Математики имени Соболева СО РАН. Основное научное направление - свободные алгебры Ли, базисы Гробнера, теория автоматического управления. Имеет 22 публикации. E-mail: koryukin@sibmail.ru.

A.N. Koryukin

Stability limit of the two-mass system for the generalized PID-controller

Using Maple, we study the Hurwitz stability of small oscillations of a one-dimensional two-mass system which is controlled by a regulator whose numerator is a polynomial of degree at most 2 and denominator is a polynomial of degree 1 with leading coefficient 1. The two cases are examined: 1) the force is applied to the mass closer to the base and the deviation of the second mass is under observation (input 1, output 2); 2) input 2, output 1. The paper demonstrates the principle possibility of studying the stability of simple linear control systems in a symbolic form (without employing specific parameters of an object).

Key words: modal synthesis, low-order regulator, Hurwitz stability.