Научная статья на тему 'Правомерность использования интегральных функций распределения случайных величин в расчетах надежности функциональных систем'

Правомерность использования интегральных функций распределения случайных величин в расчетах надежности функциональных систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
148
43
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ / ПЛОТНОСТЬ ВЕРОЯТНОСТИ / СЛОЖНАЯ СИСТЕМА / ВЕРОЯТНОСТЬ ОТКАЗА / ТЕОРЕМА УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ / INTEGRAL FUNCTION / DENSITY OF POSSIBILITY / COMPLICATED SYSTEM / POSSIBILITY OF REJECTION / POSSIBILITY MULTIPLICATION THEOREM

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Бойко Оксана Геннадьевна

Рассмотрена возможность использования интегральных функций распределения вероятностей отказа агрегатов в расчетах надежности сложных систем. Показана неправомерность замены вероятностей событий на интегральные функции распределения вероятностей при использовании теоремы умножения вероятностей в расчетах надежности сложных систем

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Бойко Оксана Геннадьевна

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

About ability of using the integral functions of accidental values distribution in calculations of the functional systems reliability

The possibility of using the integral theory of probability distribution functions of units breakdown in calculations of complicated systems reliability is viewed. The impossibility of exchange the events probability to the integral probability distribution functions using the multiplying the probabilities theorem in complicated systems reliability calculation is shown.

Текст научной работы на тему «Правомерность использования интегральных функций распределения случайных величин в расчетах надежности функциональных систем»

Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика М. Ф. Решетнева

'УДК629.735.017

О. Г. Бойко

ПРАВОМЕРНОСТЬ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН В РАСЧЕТАХ НАДЕЖНОСТИ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ СИСТЕМ

Рассмотрена возможность использования интегральных функций распределения вероятностей отказа агрегатов в расчетах надежности сложных систем. Показана неправомерность замены вероятностей событий на интегральные функции распределения вероятностей при использовании теоремы умножения вероятностей в расчетах надежности сложных систем

Ключевые слова: интегральная функция, плотность вероятности, сложная система, вероятность отказа, теорема умножения вероятностей.

В работах [ 1; 2] показано, что расчеты надежности как функциональных систем самолетов, так и тестовых задач, выполненные по традиционной методике [3; 4] с использованием интегральных функций вероятностей отказа агрегатов, неизбежно приводят к реализации интегральной функции распределения вероятности отказа системы от времени, близкой по форме к кривой нормального закона распределения. Эта форма кривой сохраняется при использовании в тестовых примерах сложных систем различных законов распределения вероятности отказа агрегатов. При этом полученные плотности вероятности отказов и вероятности отказов на 1 час полета в функции времени близки по форме к плотности вероятности нормального распределения.

Рост вероятности отказа на 1 час полета до максимального значения и уменьшение до нуля, при неограниченном увеличении времени, представляется неоправданным. Особенно настораживает этот факт при использовании для вероятностей отказов агрегатов распределения равномерной плотности вероятности. При этом распределении, рекомендованном отраслевым стандартом [5], плотность распределения вероятности и вероятность отказа на 1 час строго равны друг другу, численно равны параметру потока отказов и не зависят от времени. Статус параметра потока отказов как среднего числа отказов, может быть серьезно повышен, если иметь в виду, что это стратегически среднее число отказов, которое приближается к математическому ожиданию числа отказов в 1 час, при увеличении объема статистики.

Представление о том, что вероятность отказа системы на 1 час, составленной из агрегатов, вероятности отказа которых на 1 час не зависят от времени, является возрастающей, а затем убывающей до нуля функцией времени и не выдерживает критики. Нам представляется, что причиной несоответствия результатов расчета надежности систем исходным данным и здравому смыслу скрыта в некорректном использовании теоремы умножения вероятностей.

При расчете сложных систем, в соответствии с теоремой умножения вероятностей, умножаются вероятности безотказной работы последовательно соединенных агрегатов и вероятности отказов при их параллельном соединении. В теории вероятностей [6] речь идет о умножении вероятностей событий. Событие - это понятие, относящееся к дискретным случайным величинам. Ве-

роятность события - это конкретное числовое значение вероятности его реализации.

В известной учебной [3; 4], научной литературе и отраслевом стандарте [5], при построении методики расчета надежности сложных систем, в соответствии с теоремой умножения вероятностей, умножаются не вероятности событий, а интегральные функции вероятности отказа агрегатов, что далеко не одно и тоже. Рассмотрим к каким последствиям это приводит.

Во-первых, математическая модель расчета вероятности отказа сложной резервированной системы оказывается суммой произведений и степеней от интегральных функций вероятностей отказа агрегатов. Поскольку последние не существенно отличаются друг от друга, в соответствии с центральной предельной теоремой теории вероятностей, распределение суммы таких членов стремится к нормальному распределению при увеличении числа членов суммы. Нормальное распределение моделирует распределение вероятности случайных ограниченных в определенной области переменной. За пределами трех среднеквадратических отклонений случайных реализаций практически нет. Поэтому плотность вероятности и вероятность отказа на 1 час стремятся к нулю при неограниченном увеличении времени. Совокупность случайных событий отказов в авиационных системах непрерывна и может рассматриваться как неограниченная по времени. Последнее положение вполне достоверно, если параметр потока отказов принимается независящим от времени. Таковым он принимается во всех указанных выше источниках.

В отраслевом стандарте [5], при постоянном параметре потоков отказов г-агрегатов и параллельной схеме их соединения, получено выражение для вероятности отказа являющееся г-ой степенью времени. При этом вероятность отказа на 1 час полета системы, содержащей агрегаты, вероятности отказа которых на 1 час приняты независящими от времени, оказалась функцией г-1 степени времени.

Наконец интегральная функция распределения вероятности отказа определяет вероятность отказа в интервале времени от 0 до некоторого I . При этом не конкретизируется момент реализации отказа. Рассмотрим на примере привода руля высоты, к каким выводам это приводит. Пусть руль активизируется тремя одинаковыми рулевыми приводами, имеющими одинаковую наработку,

Авиационная и ракетно-космическая техника

а параметр потока отказов примем постоянным. Тогда вероятность отказа такой системы рассчитываемая по традиционной методике определится следующим образом:

бД0 = (®03-

Эта вероятность трактуется как вероятность отказа системы, т. е. трех рулевых приводов одновременно и, естественно, как вероятность катастрофической ситуации. Но в действительности это выражение, содержащее интегральные функции со/ вероятности отказа агрегатов, определяет лишь тот факт, что в интервале времени от

0 до некоторого Л с вероятностью Qc(ti) откажут все три рулевых агрегата. Но далеко не факт, что они откажут одновременно, а не с интервалами в сотни и тысячи часов. Одиночные же отказы рулевых агрегатов не опасны и о катастрофической ситуации речи быть не может.

Отметим еще один недостаток традиционного метода расчета надежности сложных систем. Как уже отмечалось, математическая модель расчета надежности сложной системы содержит степенные функции от интегральных функций вероятностей отказов агрегатов. Такой вид математической модели принимается как окончательный и по нему осуществляется расчет. Здесь упущен тот факт, что расчетное выражение содержит функции от случайных величин, т. е. от интегральных функций вероятностей отказов. В этом случае вероятность отказа системы следует отыскивать как функцию случайных величин через плотности вероятности отказов агрегатов. Решение относительно сложно для числа агрегатов в системе более двух. Но процедуры расчета математического ожидания и среднеквадратического отклонения вероятности отказа системы содержащей п агрегатов затруднений не вызывают.

Указанных недостатков использования интегральных функций вероятностей отказа агрегатов можно избежать, изменив методологический подход к расчету надежности систем. При традиционном подходе задача расчета надежности решается относительно интегральной функции вероятности отказа системы, а вероятность отказа на

1 час полета предлагается определять вторым шагом как производную. В соответствии с предлагаемым нами подходом, при решении задачи надежности систем, в каче-

стве первичной следует рассматривать задачу расчета вероятности отказа системы на единицу времени (1 час). Она решается, естественно, с использованием вероятностей отказа агрегатов на 1 час полета. В отличие от интегральной функции, вероятности отказа за единицу времени являются событиями, которые могут зависеть от текущего значения времени. При этом вполне правомерным становится использование теоремы умножения вероятностей. При необходимости построения интегральной функции вероятности отказа системы, она может быть определена интегрированием последней. Естественно, необходимо не забывать, что и вероятность отказа агрегата на единицу времени является случайной величиной и рассматривать вероятность отказа системы как функцию от случайных величин.

Библиографический список

1. Шаймарданов, Л. Г. Особенности анализа надежности функциональных систем самолетов / Л. Г. Шаймарданов, О. Г. Бойко //Вестн. Сиб. гос. аэрокосмич. ун-та. 2007. Вып. 2(15). С. 63-68.

2. Зосимов, А. Г. Метод расчета надежности функциональных систем самолетов по статистическим материалам эксплуатантов / А. Г. Зосимов, О. Г. Бойко, Л. Г. Шаймар-данов//Вестн. Сиб. гос. аэрокосмич. ун-та. 2007. Вып. 4(17). С. 118-119.

3. Воробьев, В. Г. Надежность и эффективность авиационного оборудования / В. Г. Воробьев, В. Д. Константинов. М.: Транспорт, 1995.236 с.

4. Сугак, Е. В. Надежность технических систем / Е. В. Сугак, Н. В. Василенко, Г. Г. Назаров, А. Б. Патынин. Красноярск: МПГ «Раею», 2001 г. 608 с.

5. ОСТ 100132-84. Надежность изделий авиационной техники. Методы количественного анализа безотказности функциональных систем при проектировании самолетов и вертолетов. М.: Изд-во стандартов, 1984.

6. Венцель, Е. С. Теория Вероятностей и ее инженерные приложения /Е. С. Венцель, Л. А. Овчаров. М.: Наука, 1988.476 с.

O. G. Boyko

ABOUT ABILITY OF USING THE INTEGRAL FUNCTIONS OF ACCIDENTAL VALUES DISTRIBUTION IN CALCULATIONS OF THE FUNCTIONAL SYSTEMS RELIABILITY

The possibility of using the integral theory ofprobability distribution functions of units breakdown in calculations of complicated systems reliability is viewed. The impossibility of exchange the events probability to the integral probability distribution functions using the multiplying the probabilities theorem in complicated systems reliability calculation is shown.

Keywords: integral function, density of possibility, complicated system, possibility of rejection, possibility multiplication theorem.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.