CC BY
303
УДК 519.1+510.6
ПРАКТИЧЕСКАЯ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА (практические занятия 4-6)
Сергей Феофентович Тюрин, проф., проф. кафедры автоматики и телемеханики, e-mail: tyurinsergfeo@yandex. ru, Пермский национальный исследовательский политехнический университет,
http://pstu.ru,
Юрий Александрович Аляев, доц., доц. кафедры программного обеспечения вычислительной техники и автоматизированных систем,
e-mail: alyr1@yandex.ru, Пермский военный институт внутренних войск МВД России,
http://pvivv.ru
Предлагается методика решения задач на практических занятиях по дисциплине «Дискретная математика и математическая логика», разработанная и применяющаяся на практике в вузах Пермского края.
Ключевые слова: дискретная математика, математическая логика, графы, переключательные функции
Введение
Издавая в 2006 г. учебник «Дискретная математика и математическая логика» [1], авторы планировали вслед за ним издать и задачник. Переосмыслив имеющийся материал в последующие годы, они пришли к выводу о необходимости подготовки не совсем учебника, а советчика и подсказчика. Кроме того, был накоплен новый, интересный материал. Акцент сделан на практику, поскольку известно, что именно умение решать задачи является мерилом математического знания.
В предлагаемой серии статей нашёл отражение опыт многолетнего преподавания авторами дисциплин «Дискретная математика» и «Математическая логика и теория алгоритмов»
в вузах Пермского края.
Информационные технологии ушли далеко вперёд, но задача распознавания компьютером правильного ответа решается до сих пор тривиально - определением выбора одного заданного номера из n ответов. Причём, n-1 - неправильных ответов. На самом деле, в дискретной математике, в логике, часто правильными могут быть разные ответы, например, разные дизъюнктивные нормальные формы с одинаковым количеством букв - при минимизации переключательных функций.
Кроме того, приведение неправильных ответов, по мнению авторов, приводит к «рекламному» эффекту - запоминаются именно они, причём, самые несуразные.
Поэтому принято решение не разрабатывать так называемые тесты, а большую часть сил бросить на разъяснение методики решения типовых задач, выносимых на практические занятия по указанной тематике.
В статье рассматриваются методики решения задач на практических занятиях 4-6 по дискретной математике:
1) решение задач на графах;
2) задание переключательных функций;
3) определение свойств бинарных переключательных функций.
Методики решения задач на практических занятиях 1-3 по дискретной математике были рассмотрены в [2].
При изложении материала в серии статей принята сквозная нумерация рисунков и таблиц.
Ч а с т ь 1 ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 4 Решение задач на графах
Цель занятия: научиться задавать графы, определять их свойства и решать задачи по определению кратчайшего пути между двумя вершинами.
Методика решения задач
З а д а ч а 1. По графу (рисунок 3) получить матрицу смежности и проверить справедливость теоремы о сумме степеней вершин.
Матрица смежности - квадратная матрица 4x4 (по числу вершин графа). На пересечении строки и столбца ставится единица, если имеется ребро из вершины, указанной в строке, в вершину, указанную Рисунок 3 - Некоторый граф в столбце.
с четырьмя вершинами Для графа, изображенного на рисунке 3, полу-
чаем матрицу смежности (таблица 8).
Таблица 8
Матрица смежности
1 2 3 4
1 0 1 1 1
2 1 0 1 1
3 1 1 0 1
4 1 1 1 0
В матрице смежности диагональные строки равно нулю, т.е. граф полный, без петель.
По матрице смежности можно получить степени (deg (от англ. degree = степень)) вершин - все они одинаковы и равны 3 (три единицы в строке, т.е. каждая вершина связана с тремя другими вершинами):
deg(1)=3, deg(2)=3, deg(3)=3, deg(4)=3.
Проверим справедливость теоремы о сумме степеней вершин.
В графе (рисунок 3) шесть рёбер, m=6 => 2m=12, т.е. удвоенное число вершин равно сумме степеней вершин графа:
m
2m = Х deg(i).
i=1
З а д а ч а 2. Получить теоретико-множественное задание графа, показанного на рисунке 3.
Теоретико-множественное задание графа - это задание несущего множества и бинарного отношения в аналитическом виде:
Несущее множество - множество вершин: М={1,2,3,4}.
Бинарное отношение - множество пар:
Т ={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3)}.
Всего двенадцать пар.
З а д а ч а 3. Определить цикломатическое число графа, показанного на рисунке
3.
Цикломатическое число графа - это величина, равная разности числа рёбер (т) и вершин (п) плюс 1:
н^) = т - п +1.
В нашем случае: н(О) = 6 — 4 +1 = 3 - эта величина равна числу независимых циклов в графе (рисунок 4).
Задача 4. Определить вершинное хроматическое число графа, показанного на рисунке 3.
Хроматическое число графа - это минимальное число «цветов», в которые можно раскрасить вершины так, что соседние вершины (соединённые ребром) не будут раскрашены одинаково.
В данном случае номера присвоен-
л тт , ных «цветов» соответствуют номерам
Рисунок 4- Независимые циклы в графе .
вершин, то есть, если вершина 1 окрашена цветом 1, то вершины 2, 3, 4 окрашиваются в цвета 1, 2, 3, т.е. хроматическое число равно количеству вершин. Иначе и быть не может - все вершины связаны друг с другом!
З а д а ч а 5. Получить матрицу смежности графа в цифровом виде в шестнадцате-ричном коде.
Такое представление предполагает запись строк матрицы в виде одного числа. В двоичном виде это будет выглядеть так:
0111.1011.1101.11102.
В шестнадцатеричном коде получим:
Т.Б.ЭДб.
Можно указать только разряды полуматрицы, поскольку граф ориентированный и его матрица смежности симметрична относительно главой диагонали:
111.11.12.
Или в шестнадцатеричном коде получим последовательность цифр:
7 3 1
По задающей полуматрицу последовательности цифр можно получить рисунок графа.
З а д а ч а 6. По задающей полуматрицу графа из четырёх вершин последовательности цифр 4.2.116 получить матрицу смежности и рисунок графа.
Переводим в двоичный код последовательность 4.2.116. Получаем: 100.10.12.
Строим полуматрицу смежности (таблица 9).
Таблица 9
Полуматрица смежности графа 4.2.116
1 2 3 4
1 0 1 0 0
2 0 1 0
3 0 1
4 0
Теперь получаем вторую половину матрицы смежности: если вершина 1 смежна с вершиной 2, то и вершина 2 смежна с вершиной 1. Таким образом, получаем матрицу смежности (таблица 10).
Таблица 10
Матрица смежности графа 4.2.116
1 2 3 4
1 0 1 0 0
2 1 0 1 0
3 0 1 0 1
4 0 0 1 0
Граф будет выглядеть так, как показано на рисунке 5.
Заданные выше графы были неориентированными. Ориентированные графы задаются числовым эквивалентом всей матрицы смежности, полуматрицей здесь не обойдёшься!
З а д а ч а 7. По последовательности цифр 4.3.1.81б, задающей матрицу ориентированного графа (орграфа) из четырёх вершин получить матрицу
Рисунок 5 - Граф 4.2.11б смежности и рисунок графа.
Переводим в двоичный код последовательность
4.3.1.816.
Получаем: 0100.0011.0001.10002.
Матрица смежности орграфа показана в таблице 11.
Таблица 11
Матрица смежности орграфа 4.3.1.816
1 2 3 4
1 0 1 0 0
2 0 0 1 1
3 0 0 0 1
4 1 0 0 0
Соответственно граф будет выглядеть так, как показано на рисунке 6.
Рисунок 6 - Орграф 4.3.1.8x6 Рисунок 7 - Орграф 4.3.1.8x6 с
обозначенными дугами 1х, 12,13,14,15
З а д а ч а 8. Получить матрицу инцидентности для орграфа 4.3.1.816 (рисунок 7).
Обозначим дуги графа: 1;2, 1;3, 1;4, 1;5.
Матрица инцидентности (таблица 12) содержит строки по числу вершин графа и столбцы по числу дуг. Если дуга исходит из вершины графа, то в соответствующей клетке матрицы ставится -1, а если входит в вершину - то ставится 1. В каждой строке сумма единиц с минусом - это полустепень исхода (расхода), а сумма единиц без минуса - полустепень захода (прихода).
Таблица 12
Матрица инцидентности орграфа 4.3.1.816
^2 tз ^4
1 -1 0 0 0 1
2 1 -1 -1 0 0
3 0 1 0 -1 0
4 0 0 1 1 -1
З а д а ч а 9. Для орграфа 4.3.1.816 получить матрицу всех путей длиной 2.
В этом случае матрица смежности графа умножается сама на себя. Умножение проводится по правилам теоретико-множественных операций с номерами множеств, о которых речь шла ранее на практическом занятии № 2.
Квадрат матрицы смежности представляет собой матрицу всех путей длиной 2, куб - длиной 3 и т.д.
Найдем все пути длиной 2.
Матрица смежности М для орграфа 4.3.1.816 показана в таблице 11.
Квадрат матрицы смежности М имеет вид:
М2 =
0100 0100 0011
0011 X 0011 1001
0001 0001 1000
1000 1000 0100
Процесс получения квадрата матрицы смежности М2 проиллюстрируем без потери общности на примере вычисления первой строки матрицы.
Первый элемент первой строки определяется как объединение поразрядных пересечений первой строки и первого столбца матрицы М:
0100п0001=(0п0)^(1 п0)^(0п0)^(0п 1)=0.
Второй элемент первой строки - как объединение поразрядных пересечений первой строки и второго столбца матрицы М:
0100п 1000=(0п 1)^(1 п0)^(0п0)^(0п0)=0.
Третий элемент первой строки - как объединение поразрядных пересечений первой строки и третьего столбца матрицы М: 0100п0100=(0п0)и(1п1)и(0п0)и(0п0)=1.
Четвертый элемент первой строки - как объединение поразрядных пересечений первой строки и четвертого столбца матрицы М:
0100п0110=(0п0)^(1 п 1)и(0п 1)и(0п0)= 1.
Таким образом, получили первую строку матрицы М2 - 0011. Видим, что эта строка содержит единицы в третьей и четвёртой позициях. Действительно, смотря на рисунок 7, видим, что есть пути длиной 2 из вершины 1 в вершины 3 и 4 (в них можно попасть за два шага через вершину 2).
З а д а ч а 10. Решить задачу коммивояжёра путём полного перебора маршрутов для нагруженного неориентированного графа (т.е. имеющего неединичные веса рёбер), показанного на рисунке 8.
Задача коммивояжёра - задача самого дешёвого обхода вершин графа с возвратом в исходную вершину 1. Граф нагружен условными единицами стоимости проезда из пункта в пункт.
Для полного перебора маршрутов будем строить дерево обхода вершин, обозначая каждую вершину дерева последовательностью из номеров уже пройденных вершин (рисунок 9). Рисунок 8-Задача коммивояжёра Таким образом, лучшие маршруты (1,2,3,4) и (1,4,3,2,1) «стоят» 31 условную единицу. Здесь в скобках указаны последовательности вершин графа (рисунок 8).
(1,2,3,4,1)=31 (1,2,4,3,1)=34 (1,3,2,4,1)=39 (1,3,4,2,1)=34
(1 ,4,2,,3,1)=39 (1,4,3,2,1)=31
Рисунок 9 - Дерево перебора маршрутов в задаче коммивояжёра
<17
@ @
З а д а ч а 11. Решить задачу о Ханойской башне для п=3.
Построим граф задачи о Ханойской башне для п=3, присвоив каждой вершине координаты в последовательности У,Х, например, (0,1-2-3) означает, что по оси У - 0, а по оси X - 1-2-3, то есть на диске 3 лежит диск 2, а на диске 2 - диск 1. Чем больше диаметр диска, тем больше его номер. Веса всех рёбер единичны.
Получим разметку вершин методом Беллмана. Укажем её в названиях вершин в фигурных скобках (рисунок 10). Разметка производится из конечной (целевой) вершины 1 в начальную вершину 16.
Двигаться необходимо в сторону уменьшения индексов: начальная вершина (0,12-3), далее (1,2-3), затем (1,3), (0,3), (3,0), (3,1), (2-3,1), (1-2-3,0).
З а д а ч а 12. Найти кратчайший путь в графе с рёбрами произвольной длины (рисунок 11) из вершины 1 в вершину 9.
Выполним разметку с учётом длины ребра, причём некоторые метки могут быть уменьшены за счёт более коротких путей. Разметка производится из конечной (целевой) вершины 9 в начальную вершину 1. Двигаемся из начальной вершины 1 в сторону уменьшения индекса на «длину» ребра. Таким образом, кратчайший путь: 1-3-2-8-9.
{10} нет -{6}!
2-3,0(1} 4 2-3,1(1}
1-з,о{з} к
£,1-2-3(7}
1—
Рисунок 10 - Граф задачи о Ханойской башне для п=3
; ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 5
Задание переключательных функций
Цель занятия: научиться задавать переключательные функции (ПФ) различными способами. Методика решения задач
З а д а ч а 1. Задать двухместную трёхзначную дизъюнкцию одномерной таблицей истинности.
Поскольку переменных две и таблица истинности одномерная, то в требуемой таблице будет три столбца - два для двух переменных и один -для значения функции. Строк будет 9, поскольку имеет место размещение с повторениями из трёхэлементного множества (функция - трёхзначная) по двум местам - две переменных.
Получаем: А2 = 32 = 3 • 3 = 9. Значение функции определяется так: оно равно значению максимального аргумента. То есть, например, 1 или 2 получаем 2 (таблица 13).
Таблица 13
Трехзначная дизъюнкция двух переменных
Рисунок 11- Нахождение кратчайшего пути в графе с рёбрами произвольной длины
а Ь ^зЬ)
0 0 0
0 1 1
0 2 2
1 0 1
1 1 1
1 2 2
2 0 2
2 1 2
2 2 2
Задача 2. Определить номер двухместной трёхзначной переключательной функции, заданной таблицей 14.
Таблица 14
Трехзначная переключательная функция двух переменных
а Ь ^зЬ)
0 0 0
0 1 1
0 2 0
1 0 0
1 1 2
1 2 1
2 0 0
2 1 0
2 2 0
Получим номер в троичной системе счисления: 0001200103.
Получим номер в десятичной системе счисления. Каждый разряд троичного номера имеет вес степени числа 3, поэтому:
0001200103=0-38+0-37+0-36+1-35+2-34+0-33+0-32+1-31+0-30=243+162+3=408. Таким образом, 0001200103=408ш.
З а д а ч а 3. Получить таблицу истинности двухместной трёхзначной переключательной функции, заданной десятичным номером 300.
Вначале получим соответствующий троичный вектор функции. Его можно определять путём подбора коэффициентов и степеней числа 3. Ближайшая большая степень числа 3 - это 5, коэффициент 1, получаем 243. Остаток 57. Ближайшая к 57 большая степень числа 3 - это 3, получаем 27, коэффициент 2, получаем 54. Остаток 3. Следующая степень - 1, коэффициент 1. Остаток 0.
Таким образом, получили:
0-38+0-37+0-36+1-35+0-34+2-33+0-32+1-31+0-3°=243+54+3=3001О.
Таблица истинности двухместной трёхзначной переключательной функции, заданной десятичным номером 300 показана в таблице 15.
Таблица 15
Трехзначная переключательная функция двух переменных № 300
а Ь ^зЬ)
0 0 0
0 1 1
0 2 0
1 0 2
1 1 0
1 2 1
2 0 0
2 1 0
2 2 0
З а д а ч а 4. Получить СДНФ трехзначной переключательной функции двух переменных № 300 (таблица 15).
Совершенная дизъюнктивная нормальная форма записывается по ненулевым наборам таблицы истинности в виде дизъюнкции этих наборов, причём значения переменных в наборе указывается над символом переменной. Получаем:
12 1 ° ° 1 Г(аЪ) = 1а bv 2 а bv 1аЬ.
З а д а ч а 5. Получить двухмерную таблицу истинности четырёхзначной двухместной функции сложения по модулю 4.
Сумма по модулю 4 - это остаток от деления арифметической суммы на модуль -число 4. Так 3+3=6, делим на 4, получаем остаток 2. В двухмерной таблице переменные указаны по строкам и по столбцам.
Таким образом, получаем таблицу 16.
Таблица 16
Четырехзначная ПФ «сумма a,b по модулю 4»
Ъ
а ° 1 2 3
° о 1 2 3
1 1 2 3 о
2 2 3 ° 1
3 3 ° 1 2
З а д а ч а 6. Получить символическую форму, СДНФ и СКНФ двоичной трёхместной переключательной функции № 175.
Получим соответствующий двоичный код, подбирая степени числа 2: 101011112
7 5 3 2 1 °
(2'+2+2+Г+2+Г). Таблица истинности ПФ № 17510 показана в таблице 17. В таблице обозначено: ВС - вес строки (десятичный код строки).
Таблица 17
Таблица истинности
Переменные ВС f(abc)
а b с
0 0 0 0 1 20
0 0 1 1 1 21
0 1 0 2 1 22
0 1 1 3 1 23
1 0 0 4 0 24
1 0 1 5 1 25
1 1 0 6 0 26
1 1 1 7 1 27
Символическая форма ПФ - СФ - это перечисление множеств единичных (рабочих) и нулевых (запрещённых) наборов функции. Получим символическую форму ПФ № 175io: f(abc)io=0,1,2,3,5,7 [4,6].
СДНФ - это дизъюнкция элементарных конъюнкций, полученных по единичным наборам ПФ. В нашем случае это 6 наборов:
111 101 011 010 001 000 f(abc) = 1abcv 1abcv 1abcv 1abcv 1abcv 1abc.
В бинарном случае единицы перед конъюнкциями не пишут, а переменные, над которыми указан «0» обозначают с чертой (это отрицание или инверсия):
f(abc) = abc v abc v abc v abc v abc v abc. СКНФ - это конъюнкция элементарных дизъюнкций, полученных по нулевым наборам ПФ. В нашем случае это 2 набора:
10 0 1 1 0 f(abc) = (av bv c)(av bv c).
Дизъюнкция в каждой скобке равна нулю: (не 1 или 0 или 0)=0, (не 1 или не 1 или
0)=0.
З а д а ч а 7. Даны бинарные трёхместные ПФ:
f1 (abc) = ab v ac v bc;
f2 (abc) = abc v abc v ab.
Решить соответствующую систему логических уравнений.
Для этого построим таблицу истинности для двух ПФ (таблица 18).
Таблица 18
Таблица истинности двух ПФ
ВС f1 f2
a b c
0 0 0 0 0 1
0 0 1 1 0 1
0 1 0 2 0 0
0 1 1 3 1 1
1 0 0 4 0 0
1 0 1 5 1 0
1 1 0 6 1 1
1 1 1 7 1 0
Получим символическую форму ПФ:
f (abc) = 3,5,6,7[0,1,2,4];
f2 (abc) = 0,1,3,6[2,4,5,7].
Таким образом, решением системы являются наборы 3,6.
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 6 Определение свойств бинарных переключательных функций
Цель занятия: научиться определять основные свойства бинарных переключательных функций.
Методика решения задач
З а д а ч а 1. Определить свойства двоичной переключательной функции № 174ю. Получим соответствующий 17410 двоичный код: 101011102 (2'+25+23+2/+21). Изобразим таблицу истинности ПФ № 17410 (таблица 20).
Таблица 20
Таблица истинности ПФ № 17410
переменные ВС f(abc)
а b с
0 0 0 0 0 20
0 0 1 1 1 21
0 1 0 2 1 22
0 1 1 3 1 23
1 0 0 4 0 24
1 0 1 5 1 25
1 1 0 6 0 26
1 1 1 7 1 27
Определим с использованием таблицы истинности свойства ПФ № 174ю.
1 Поскольку на наборе 000 ПФ равна 0, то функция обладает свойством сохранения константы «0».
2 Поскольку на наборе 111 ПФ равна 1, то функция обладает свойством сохранения константы «1».
3 Определим, линейна ли ПФ № 17410. Для этого рассмотрим все возможные линейные ПФ от трех аргументов в зависимости от значений коэффициентов линейного полинома трёх переменных: к0Фк^Фк2ЬФк3а (таблица 21).
Таблица 21
Линейные ПФ трех аргументов
Значение коэффи-
циентов Линейная функция
к0 к1 к2 кз
0 0 0 0 =0
0 0 0 1 а
0 0 1 0 b
0 0 1 1 а Ф b
0 1 0 0 с
0 1 0 1 с Ф а
0 1 1 0 с Ф b
0 1 1 1 с Ф b Ф а
1 0 0 0 =1
1 0 0 1 а =а Ф 1
1 0 1 0 b Ф 1=b
1 0 1 1 а Ф b Ф 1=а Ф b
1 1 0 0 1 Ф с= с
1 1 0 1 с Ф а Ф 1=с Ф а
1 1 1 0 1 Ф ЬФ с=ЬФ с
1 1 1 1 с Ф Ь Ф а Ф1 = с Ф Ь Ф а
Получим значения линейных ПФ трёх аргументов - векторы линейных ПФ (таблица 22).
Таблица 22
Векторы линейных ПФ
к0 к1 к2 кз Вектор линейной ПФ Вид линейной ПФ
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 =0
0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 а
0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 Ь
0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 а Ф Ь
0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 с
0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 с Ф а
0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 с Ф Ь
0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 с Ф Ь Ф а
1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 =1
1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 а =а Ф 1
1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 Ь Ф 1=Ь
1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 а Ф Ь Ф 1=а Ф Ь
1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 Ф с= с
1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 с Ф а Ф 1=с Ф а
1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 Ф ЬФ с=ЬФ с
1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 с Ф Ь Ф а Ф1 = с Ф Ь Ф а
Видим, что ни один из шестнадцати векторов не совпал с вектором ПФ № 174ю:
ДаЬс)
0 1 1 1 0
1 0 1
Поэтому, ПФ № 17410 - нелинейна.
7 6 5 4 3 2 1 0
1 0 1 0 1 1 1 0
Рисунок 13- Вектор в двоичном коде
4 Определим, обладает ли ПФ № 17410 свойством самодвойственности.
Для этого проанализируем её вектор в двоичном коде (рисунок 13).
Видим, что симметричные разряды 5 и 2 неортогональны (противоположны). Следовательно, ПФ - несамодвойственна. У самодвойственной ПФ симметричные разряды ортогональны.
5 Определим, монотонна ли наша ПФ.
Посмотрим на куб соседних чисел (рисунок 14). Монотонная функция по всем возможным путям из вершины (000) в вершину (111) монотонна. Однако наша функция на наборе (010) принимает значение «1», а на большем сравнимом наборе (110) - «0». Следовательно, она не монотонна.
Представим вектор свойств ПФ № 174ю (таблица 23).
Таблица 23
Вектор свойств ПФ № 17410
1 2 3 4 5 № свойства
1 1 0 0 0 наличие свойства
В восьмеричном коде вектор свойств равен 308, а в шестнадцатеричном - 1816. Литература
1. Аляев Ю.А., Тюрин С.Ф. Дискретная математика и математическая логика. М.: Финансы и статистика, 2006. 368 с.
2. Тюрин С.Ф., Аляев Ю.А. Практическая дискретная математика и математическая логика (практические занятия 1-3) // Образовательные ресурсы и технологии. 2015'4(12). С. 43-52. URL: http://www.muiv.ru/vestnik/pdf/pp/ot_2015_4_043-052.pdf
Practical discrete mathematics and mathematics of logic (practical occupations 4-6)
Sergey Feofentovich Tyurin, professor, professor of the pulpit of the automation and tele mechanical engineers, Perm national research polytechnic university,
Yuri Alexandrovich Alyaev, assistant professor, assistant professor of the pulpit of software of the computing machinery and automated systems, Perm military institute of internal troops of the MIA of Russia,
The technique of solving problems on a practical training on discipline «Discrete mathematics and mathematical logic» developed and applied in practice in the universities of the Perm region.
Keywords: the discrete mathematics, mathematics of logic, graphs, the switching function
