CC BY
33
и 3 - и 2
А = -
м
+ и1е Т
(
Мі
(17)
1 - е
Подставляя (14) в выражение (17), после преобразований получим
А = и 2 и з - и 32 - и 2 + и 2 и 4 + и и 3 - и 1 и 4
1 А?(зи2 - зи3 - и 1 + и4 ) '
Используя (14) и (18), из второго выражения (16) определим А2:
(и! + из - 2и2 )3
Л =-
(18)
(19)
(зи2 - зи3 + и4 - и1 )2
При этом е т вычисляется по полученному из (15) значению т и известному значению ?1, что приводит к дополнительным вычислительным операциям.
Подставив (18) и (19) в первое соотношение (12), используя значения е т и определим постоянную составляющую А0 .
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК
А. С. №1797079 СССР, (МКИ) 001Я 27/26. Способ измерения электрических величин активного сопротивления, индуктивности и емкости / В.С. Мелентьев, В.С. Баскаков и др., опубл. в Б.И. 1993, №7.
Мелентьев В.С. Определение параметров электрических цепей по переходным характеристикам в измерительной цепи // Математическое моделирование и краевые задачи: Тр. Всерос. науч. конф. Ч.2. Самара: СамГТУ, 2004. С. 158-160.
Пат. №2187822 РФ, (МКИ) 001Я 23/16. Способ определения параметров переходного процесса / М.Р. Сафаров, Л.В. Сарваров, опубл. В БИПМ. 2002, №23.
Поступила 8.09.2004 г.
Т
е
УДК 519.246
В.Е. Зотеев
ПОВЫШЕНИЕ ТОЧНОСТИ СРЕДНЕКВАДРАТИЧНЫХ ОЦЕНОК КОЭФФИЦИЕНТОВ ЛИНЕЙНО-ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ДИСКРЕТНЫХ МОДЕЛЕЙ КОЛЕБАНИЙ СИСТЕМ С ТУРБУЛЕНТНЫМ ТРЕНИЕМ
Рассматривается численный метод определения динамических характеристик систем с турбулентным трением, позволяющий существенно, в несколько десятков раз, уменьшить погрешность вычисления среднеквадратичных оценок коэффициентов линейно-параметрических дискретных моделей.
Свободные колебания систем с турбулентным трением описываются функцией вида
У(і ) = — —^— со$(юі + у0), где 50 и о - декремент и частота колебаний (Т =-период ко-
1+^, о
Т
лебаний), — 0 и у0 - начальные амплитуда и фаза колебаний. Динамические характеристики (ДХ) 50 и о являются информативными признаками технического состояния системы и опре-
деляются по результатам наблюдений ук , к = 1, N, полученными в ходе научно-технического или промышленного эксперимента. Обычно при этом предполагается, что в результатах эксперимента содержится случайная аддитивная помеха £к, имеющая нормальное распределение,
нулевое математическое ожидание М [£к ] = ^ значения которой не коррелированы и имеют 194
одинаковые дисперсии о£, т.е. соу\ек,£ ] = 0 при к ФI; к,I = 1,N, соу\ек,£к] = Ё\£к] = о£ при к = 1, N.
Известен метод определения динамических характеристик систем с турбулентным трением, в основе которого лежат линейно параметрические дискретные модели (ЛПДМ) [1]. Центральное место в алгоритме этого метода занимает процедура вычисления коэффициентов ЛПДМ. В первом приближении эта задача может быть решена методом наименьших квадратов, хотя доказано, что МНК - оценки в этом случае будут асимптотически смещенными [2]. Поэтому актуальны разработка и исследование численных методов вычисления коэффициентов ЛПДМ, позволяющих повысить точность среднеквадратичного оценивания за счет устранения корреляции между результатами наблюдений и случайной помехи.
В [1] рассматривается линейно параметрическая дискретная модель, описывающая временную последовательность отсчетов ординат свободных колебаний систем с турбулентным трением
Я0Ук-1 - Я1 [кУк +(к - 2К-2 ] + Я2 (к - 1)Ук-1 = Ук + Ук-2 , (1)
в которой ук = у(тк), где т - период дискретизации, а коэффициенты Я, связаны с ДХ систе-
мы соотношениями:
8 т
Я0 = 2соб®т , Я1 =~^> Я2 = Я0Я1. (2)
В практике эксперимента результаты наблюдений ук = ук + £к, к = 1, N, содержат аддитивную случайную помеху ек . Будем считать, что она имеет нормальное распределение, нулевое математическое ожидание м £] = 0 и ковариационную матрицу вида
■Е^, о -\^1,^2,£N ,
V £] = М \еет ] = о£Е, где £ =(е1з £2,..., £ )т - вектор случайной помехи, Е - единичная
матрица, т.е. значения £к не коррелированны и имеют одинаковые дисперсии о£ . При использовании в детерминированной дискретной модели (1) вместо Ук случайных величин Ук получаем обобщенную регрессионную модель, которую можно представить в виде
/0к = Я0 /1к + Я1/2к + Я2/3к + Л к , (3)
где /0к = ук + ук-2 , /1к = ук-1 , /2к = -[кук + (к - 2)Ук-2 ] , /зк = (к - 1)ук-1 ,
Лк = £к + £к-2 - Я0£к-1 + Я1 \к£к + (к - 2}£к-2 ] - Я2 (к - 1£к-1 .
Очевидно, что для случайной помехи лк математическое ожидание М\л] = 0, однако требование некоррелированности уже не выполняется и соответствующая матрица ковариаций может быть представлена в виде V[h] = м[?7?7т ] = , где О - некоторая, отличная от диа-
гональной, матрица.
Вычисление ДХ на основе модели (1) состоит из двух этапов. На первом этапе находятся среднеквадратичные оценки коэффициентов Я,. При использовании классической процедуры метода наименьших квадратов минимизируется функционал
N
Е{Я0~к-1 - Я1 [кУк +(к - 2 )ук - 2 ]+ Я2 (к - 1).ук-1 - ук - Ук - 2 }2 =
к=1
N N
= Е(/0к - Я0/1к + Я1/2к + Я2/3к )2 =Е^к2 ^ т1П-
к=1 к=1
На втором этапе по найденным оценкам коэффициентов Я и формулам
1 Я0 ,
а = — ягссоб—, 80 =--------- (4)
т 2 ат
вычисляются динамические характеристики системы.
Так как случайная помеха Г]к не удовлетворяет основным предпосылкам классического
регрессионного анализа, то оценки коэффициентов Я, будут асимптотически смещенными из-
за корреляции между элементами /к и Г]к [2,3]. Это может существенно увеличить погрешность вычисления коэффициентов модели, а, следовательно, и ДХ системы.
Для повышения точности оценивания коэффициентов линейно параметрической дискретной модели предлагается следующий метод. Возмущение Г]к можно представить в виде
Лк =(1 - Я02 - 2 ~2 )((1 + кЯ1 )ек }, (5)
где 2 г - оператор сдвига на і шагов назад: г " {У к }= Ук-г . Пусть существует обратный оператор (і —Я0 г—1 + г~2) . Тогда его можно представить в виде бесконечного ряда:
. , і ¥
(і — Я0 2 4 + г ~2) = 1 + а -г 1 . Ограничиваясь в этом разложении семью первыми членами,
-і -2
0
1=і
6
ь ' + ' —2 ' '
0
1=і
деляются формулами:
1 6 _____________________________________________________
получаем (і — Я0г—1 + г—2) » 1 + I а ^—1 , где коэффициенты разложения аг, і — 1,6, опре-
(X і — 1о, о* 2 — Я0 1, о? 3 — 1о 2Яо,
а4 — Я44 — 3Я22 +1, а5 — Я50 — 4Я0 + 3Я9, а6 — Я0 — 5Я44 + 6Я22 — 1. (6)
С учетом этого из (5) можно получить
т+я(1—Яо-'ч+г—2)—'к}» т^ят и*+1 а>п
г 6 л
а
-—і
(7)
Тогда, применяя к обобщенной регрессионной модели (3) оператор
-------(1 - Я0 г- + г_2) , с учетом (7) получаем трансформированную линейно параметриче-
1 + кЯ1
скую дискретную модель
/4к — Яо /ік + К/;к +12 /* + в, (8)
'0Jlk ' 7Ч^2к 1 '^2J3k ' °к
Ґ 6 Л
і — 0,3 .
1 \ 1 I 6
где /к = 1----Я (1 - Я0 2 ^ + 2 ^ )-1 /гк » 1-Я /к + £“,2 - Угк }
1 + кЯ1 1 + кЯ1 ^ ,=1
Очевидно, что применение классического метода наименьших квадратов к модели (8):
N 1 \п N
Е/к -Я0/1к + / + Я2/зк)2 =^£к2 ^т1п,
к=1 к=1
позволяет получить наилучшие линейные оценки для коэффициентов Я, и тем самым повысить точность вычисления ДХ.
Отметим, что для трансформации линейно параметрической дискретной модели (1) необходимо иметь предварительные оценки коэффициентов Я0 и Я1 . Они могут быть получены за
счет применения классического МНК к модели (1). Уточненные по модели (8) оценки Я, вновь
можно использовать при трансформации исходной модели (1) и т.д. Таким образом, предлагаемый метод является итерационным.
Проведенные численно-аналитические исследования подтвердили эффективность предлагаемого метода повышения точности оценивания ДХ системы с турбулентным трением. На рис. 1 представлены кривые зависимости погрешности вычисления декремента колебаний от периода дискретизации (в относительных к периоду колебаний единицах), а на рис. 2 - кривые зависимости погрешности вычисления декремента колебаний от объема выборки. Кривые 1 соответствуют результатам применения классического МНК при вычислении коэффициентов ЛПДМ, а кривые 2 - результатам вычислений на основе разработанного алгоритма.
А5,%
А8,%
Р и с. 1. Зависимости погрешности вычис- Р и с. 2. Зависимости погрешности вы-
ления декремента колебаний от периода числения декремента колебаний от объема
дискретизации выборки
Очевидно, что применение предлагаемого метода позволяет существенно, в несколько десятков раз уменьшить погрешность вычисления динамических характеристик диссипативных систем с турбулентным трением.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Зотеев В.Е. Разработка и исследование линейных дискретных моделей колебаний диссипативных систем // Вестник СамГТУ. Серия: Физ.-мат. науки. Вып. 7. 1999. № 7. С. 170-177.
2. ВучковИ., БояджиеваЛ., СолаковЕ. Прикладной линейный регрессионный анализ. М.: Финансы и статистика, 1987. 362 с.
3. Себер Дж. Линейный регрессионный анализ. М.: Мир, 1980. 320 с.
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Ученого совета СамГТУ
Поступила 5.09.2004 г.
УДК 621.313 П.Ю. Грачев
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ И ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ДИСКРЕТНОГО АРГУМЕНТА ДЛЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ СИСТЕМ С НЕСКОЛЬКИМИ ВЕНТИЛЬНЫМИ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯМИ
Рассмотрены особенности математического моделирования асинхронных машин с вентильным возбуждением и выпрямителем в цепи ротора, а также многообмоточных электрических машин и трансформаторов при питании первичных обмоток от нескольких вентильных преобразователей.
В малой энергетике и на транспорте используются электромеханические преобразователи - электродвигатели и генераторы, обмотки которых подключены, с целью управления или преобразования электроэнергии, к вентильным преобразователям - выпрямителям и инверторам, включающим диоды, тиристорные или транзисторные ключи [1,2,3]. Кроме того, в таких электротехнических автономных системах применяют электромагнитные преобразователи - трансформаторы с пульсирующим или вращающимся магнитным полем [4,5], первичные обмотки которых подключены к нескольким вентильным преобразователям с несинусоидальной, в большинстве случаев ступенчатой, формой выходного напряжения.
