CC BY
15
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Емеличев, В.А. Лекции по теории графов [Текст]/В.А. Емеличев, О.И. Мельников, В.И. Сарва-нов [и др.]. - М.: Наука, 1990.
2. Strogatz, S. Exploring complex networks [Текст]/?. Strogatz//Nature.-2001.-№ 410.-P. 268-276.
3. Krön, B. Growth of self-similar graphs [Текст]/В. Krön//J. Graph Theory. -2004.-№ 45 (3).-P. 224-239.
4. Кочкаров, А.М. Распознавание фрактальных графов. Алгоритмический подход [Текст]/А.М. Кочкаров. -Нижний Архыз: РАН САО, 1998.
5. Малинецкий, Г.Г. Математические основы синергетики. Хаос, структуры, вычислительный эксперимент [Текст]/Г.Г. Малинецкий. -М.: КомКнига, 2005.
6. Малинецкий, Г.Г. Нелинейная динамика и про-
блемы прогноза [Текст]/Г.Г. Малинецкий, С.П. Курдю-мов//Вестник РАН.-2001.-Т. 71.-№3. -С. 210-224.
7. Фракталы в физике [Текст]/Под ред. Л. Пьетро-неро, Э. Тозатти. -М.: Мир, 1988.
8. Малашенко, Ю.Е. Модели неопределенности в многопользовательских сетях [Текст]/Ю.Е. Малашенко, Н.М. Новикова. -М.: Эдиториал УРСС, 1999.
9. Кульба, В.В. Управление и контроль реализации социально-экономических целевых программ [Текст]/ В.В. Кульба, С.С. Ковалевский, В.А. Уткин [и др.]. -М.: Книж. дом «Либриком», 2009.
10. Новиков, Д.А. Сетевые структуры и организационные системы [Текст]/Д.А. Новиков. -М.: ИПУ РАН, 2003.-102 с.
УДК 519.632.4
А.В. Пашковский
ПОВЫШЕНИЕ ТОЧНОСТИ РАСЧЕТОВ МАГНИТНОГО ПОЛЯ И СИЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ УСТРОЙСТВ КОМБИНИРОВАННЫМ МЕТОДОМ СТАНДАРТНЫХ И КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Развитие практически любой отрасли современного производства в значительной мере зависит от степени автоматизации инженерных разработок, гибкости технологий производства и присутствия в них обратной связи по контролю качества продукции. Именно поэтому в одном ряду по важности создания стоят системы диагностики, контроля качества, автоматизированные системы управления технологическими процессами и другие подобные системы. Значительная роль, определяющая качество функционирования систем, принадлежит математическим методам, применяющимся в мониторинге, диагностике и управлении технологическими процессами.
Современные численные методы, такие, как метод конечных элементов (МКЭ), комбинированный метод граничных и конечных элементов (КМГиКЭ) и т. д. позволяют осуществлять разнообразные типы прикладных расчетов. Тем не менее, использование новых технологий и научных разработок в производстве электромехани-
ческих, электромагнитных и тепловых устройств определило целый ряд задач, в которых существующие методы не обеспечивают достаточной точности. В частности, это относится к расчету полей, особенно трехмерных, в устройствах, которые рассматриваются как неоднородные или кусочно-однородные среды (КОС) с нелинейными включениями, узкими порами, тонкими пленками или мелкозернистой структурой. Ситуация усугубится при использовании в проектировании и производстве устройств мили-, микро- и нано-технологий. Следует отметить, что даже в инженерных и научных задачах средней сложности при наличии нелинейности характеристик материалов, особенностей решения в окрестностях угловых точек сред, тонких включений, осцилляции и неудовлетворительных свойств решений в расчетных средах у вышеперечисленных методов возникают значительные потери точности.
Рассмотрим проблему такого рода на примере расчета магнитного поля и силовых характе-
ристик асинхронного тягово-подъемного модуля (рис. 1) комбинированным методом граничных и конечных элементов. Для последующей оценки точности расчетных значений КМГиКЭ воспользуемся экспериментальными данными и результатами расчета на основе комбинированного метода стандартных и конечных элементов (КМСФиКЭ), разрабатываемого автором.
Исследуемый асинхронный тягово-подъемный модуль совмещает в себе функции электромагнитного подвеса и одностороннего линейного асинхронного двигателя. Особенностью его конструкции является наличие пазов в полюсах П-образного магнитопровода индуктора и электромагнитного путевого элемента. Обмотка намагничивания в данной системе располагается на ярме индуктора. Длина электромагнитной системы вдоль полюсов равна 940 мм. Задача расчета магнитного поля сведена к плоскопараллельной. Механический зазор принят г = 0,015м. Намагничивающая сила iW варьируется в пределах [6440; 12880] А. Экспериментальные значения нормального усилия определены для одного из шести асинхронных тягово-подъемных модулей тележки массой 6 т. Подъемная сила измерена с помощью четырех упругих элементов с тензорезисторами, установленных на шпильках крепления путевого элемента к продольной балке стенда. Механический зазор фиксировался диэлектрическими прокладками, расположенными между исследуемым индуктором и путевыми элементами.
Результаты экспериментальных исследований подъемной силы ¥как функции намагничивающей силы обмотки намагничивания iW при раз-
сталь 2212
сталь 3
Рис. 1. Сечение асинхронного тягово-подъемного модуля
Fy, H 10000
5000
1000
iW. A
6000
10000
13000
Рис. 2. Экспериментальные значения подъемной силы Fy при механическом зазоре z = 0,015 м
ных величинах механического зазора подробно рассмотрены в [1].
На рис. 2 приведены результаты, полученные при величине механического зазора z = 0,015 м.
КМГиКЭ в расчете силовых характеристик модуля
Результаты расчета значений подъемной силы Fy, полученные КМГиКЭ при варьировании механического зазора подробно рассмотрены в [2]. Зависимости В(Н) материалов магнитопровода нелинейные. В расчетах использованы кривые намагничивания сталей № 3 и № 2212 (рис. 3). Остановимся отдельно на методике расчета магнитного поля и силовых взаимодействий в рассматриваемой электромагнитной системе при комбинировании метода граничных элементов и метода конечных элементов. Так как векторный потенциал A = A(x,y)ez предполагается в каждом конечном элементе линейно зависящим от координат x и у, а магнитная индукция B = rot A является результатом дифференциальной операции от потенциала, то индукцию считают постоянным вектором на каждом конечном элементе:
B(Г}(х, y) = Bx С ) ёх + Bv С ) ¡y
где г - номер элемента.
Составляющие индукции в г-м конечном элементе выражаются через векторный потенциал следующим образом:
в (г) =дАС1 в (г) дАЛ
^ ' ^ дх ■
ду
о 1000
10000 н
Рис. 3. Кривые намагничивания стали
в ферромагнетиках (—— — ) сталь 3; ( ) сталь 2212
Учитывая финитное представление потенциала в каждом конечном элементе, составляющие индукции можно переписать в виде:
В}г)=—1 (г) [А^хк + -хк) + Ак{х] -х,)];
2ДЯ
В}г)=
у 2А5(Г)
где ДО(г) - площадь г-го треугольника; г, j, к -узлы г-го элемента; А, А , А - значения потенциа-
г j к
ла в соответствующих узлах элемента.
По такому алгоритму после нахождения распределения потенциала А вычисляются составляющие индукции В в каждом конечном элементе. По известным значениям магнитной индукции в можно в дальнейшем найти электромагнитную силу (в плоском случае), действующую на ферромагнитное тело:
Р = -$В(В,п)- -В2п\(11, Ц0ь 2
где Ь - контур, охватывающий ферромагнетик и не содержащий внутри себя других намагничивающихся тел; п - единичный вектор нормали, направленный из ферромагнетика.
Силу ищем в виде ¥ = ¥хех + ¥уву, где составляющие определяются по формулам:
— {(^[(я/)2" (ВуУК + Вх+Ву+пу}сИ, М-о £ V2-
Р,= — - (Вх+)2]пу + Вх+Ву+пх}<11.
ь I2
[А-(Ук -у^ + А](У1~Ук) + Ак(У] - у,-)].
В качестве контура Ь взята граница ферромагнетика Г .(г = 1, п).
В рассматриваемой задаче расчета магнитного поля и силовых характеристик модуля заранее известно, что границы ферромагнетиков состоят из прямых, образующих между собой прямые углы. Поэтому составляющие силы можно определить отдельно для каждого участка контура, представляющего прямую, а затем просуммировать по принципу суперпозиции. Экспериментальные и расчетные значения КМГиКЭ подъемной силы ¥ для механического зазора г = 0,015 м приведены на рис. 4 и в табл. 1.
Ру, н' юооо
5000
1000_
6000
10000
13000 /ИЛ А
Рис. 4. Экспериментальные и расчетные значения подъемной силы ¥ ^ по КМГиКЭ
) КМГиКЭ; ( ) эксперимент
Таблица 1 Экспериментальные и расчетные значения ¥
5 КМГиКЭ, %
Эксперимент КМГиКЭ
6440 1774 2258 27,28
9660 4838 5323 10,03
12880 8226 9387 14,11
КМСФиКЭ в расчете силовых характеристик модуля
Следует отметить, что ранее выдвинутое предположение о линейности векторного потенциала А = А(х,у)ег в каждом конечном элементе от координат х и является одним из недостатков методики МКЭ. Оно приводит к высоким погрешностям в вычислении производных потенциала, что в дальнейшем определяет и повышенную погрешность расчетов силовых взаимодействий в ЭМС.
Разрабатываемый КМСФиКЭ позволяет использовать коэффициенты разложения потенциала и его нормальной производной в ряд Фурье, вычисленные на границах стандартных элементов, ничего не предполагая о характере поведения потенциала. Можно заключить, что в такой возможности просматривается еще одно преимущество КМСФиКЭ, полезное при вычислении силовых взаимодействий в ЭМС.
Остановимся кратко на методике КМСФиКЭ по расчету силовых взаимодействий в ЭМС. Очевидно, что в расчетной области В = Вхех + Вуеу,
- - дА- дА- „ „ дА „ дА В = го\.А = —ех+—еу. То есть Вх =—, В -—.
оу дх ду дх
„ дА дА
Очевидно, —, — - производные векторного поду дх
тенциала вдоль и по нормали к вертикальному участку границы и, соответственно, наоборот, для горизонтального.
Таким образом, решая полевую задачу КМСФиКЭ и имея как результат - представление векторного потенциала на сторонах СЭ в виде разложения в ряд Фурье, можем определить Вх и В Следовательно, знаем все значения, входящие в формулы проекций силы.
Задача расчета магнитного поля подъемно-тягового модуля при использовании КМГиКЭ в [2] была сведена к плоскопараллельной. Решим КМСФиКЭ эквивалентную ей краевую задачу Дирихле для уравнения Пуассона, в постановке:
сИу(-§гас[А) = /,4 =0. (1)
Внешняя граница расчетной области установлена на удалении 0,06 м от границ рассчитываемой системы. Обратим внимание, что один из возможных вариантов заполнения сечения асинхронного тягово-подъемного модуля стандартными элементами при линейных характеристиках материалов и использовании разработанного ранее МСЭФ, приведен на рис. 5.
Дискретизация характерна полным отсутствием конечных элементов, а для заполнения сечения использовано лишь 54 прямоугольных СЭ типа SERECD1234. Проведенная дискретизация подобна введенной ранее для П-образного электромагнита [3] и линейного двигателя [4]. С целью оценки точности КМСФиКЭ в задаче (1) прямоугольные СЭ, введенные в сталях с нелинейными магнитными свойствами, заменены конечно-элементной сеткой. При этом узлы, расположенные на их границе, использованы для склейки конечно-элементной сетки с оставшимися СЭ.
у Л
39,5
16,5 15,5
49 50 51 52 53 54
48 47 44 43
37 38 39 40 41 42
36 35 32 31
25 и ■ 27 28 1 29 1 30
24 13 23 14 22 15 21 16 20 17 18
12 11 10 9 8 7
1 2 3 4 5 6
Рис. 5. Заполнение сечения асинхронного тягово-подъемного модуля СЭ
Один из возможных вариантов заполнения сечения асинхронного тягово-подъемного модуля стандартными и конечными элементами, при нелинейных характеристиках материалов, приведен на рис. 6. Разбиение содержит 25 СЭ и 864 конечных элемента. Для расчета силовых взаимодействий применен оригинальный программный пакет SEMF-CF.
Рис. 6. Комбинированная дискретизация сечения ЭМС по методике КМСФиКЭ
Таблица 2
Расчетные и экспериментальные значения Fy
iW, А Fy, Н 5,%
Эксперимент КМГиКЭ КМСФиКЭ КМГиКЭ КМСФиКЭ
6440 1774 2258 1856 27,28 4,62
9660 4838 5323 5032 10,03 4,01
12880 8226 9387 8620 14,11 4,79
Рис. 7. Сопоставление расчетных значений подъемной силы Г с экспериментальными
(^—) эксперимент; (--♦--)КМГиКЭ; (-♦-) КМСФиКЭ
После нахождения распределения потенциала А, если итерационный процесс не закончен, пакетом вычисляются соответствующие составляющие и модуль индукции в каждом конечном элементе. По кривой намагничивания, аппроксимируемой кубическими сплайн-функциями, находится значение магнитной напряженности Н(г), также предполагаемой постоянной на каждом конечном элементе, и магнитной проницаемости
^(г) = В(Г)/ Н(г). Осуществляется пересчет магнитной проницаемости стальных элементов магнитопро-вода. Если итерационный процесс закончен, то составляющие индукции вычисляются на сторонах СЭ и используются для дальнейшего анализа и вычисления силы. Сопоставление результатов расчета значений подъемной силы Г на основе КМСФиКЭ с результатами по КМГиКЭ и экспериментальными значениями, проведено в табл. 2 и на рис. 7.
Таким образом, КМСФиКЭ позволяет:
1. Значительно сократить степень дискретизации расчетной области.
2. В качестве неизвестных системы линейных алгебраических уравнений рассмотреть совместно коэффициенты Фурье решения на сторонах СЭ и значения в узлах конечно-элементной сетки.
3. Для повышения точности расчетов использовать коэффициенты разложения потенциала и его нормальной производной в ряд Фурье, вычисленные на границе СЭ, ничего не предполагая о поведении потенциала в СЭ.
4. Сократить размерность расширенной матрицы решаемой системы уравнений, не прибегая к специальным алгоритмам ее формирования (ленточной матрице).
5. Значительно повысить точность расчетов по сравнению с используемыми численными методами и обеспечить приемлемое совпадение результатов расчета с экспериментальными данными.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Исследовательские испытания характеристик магнитного поля, силовых взаимодействий и тепловых процессов макета электромагнитного подвеса опытного вагона транспортной линии Ереван-Абавян [Текст]/ Протокол № ВС-ТМ2-49-87/ВЭлНИИ.-Новочеркасск, 1987.-100 с.
2. Косиченко, М.Ю. Численное моделирование электромагнитных полей и силовых характеристик в электромагнитных и магнитоэлектрических системах комбинированным методом конечных и граничных
элементов дис. ... канд. техн. наук [Текст]/М.Ю. Косиченко. -Новочеркасск. 2003.-181с.
3. Пашковский, А.В. МСЭФ в моделировании стационарного поля в области с П-образным сердечником [Текст]/А.В. Пашковский, И.В. Пашковская//Изв. вузов. Сер. Электромеханика.-2009.-№ 2.-C. 10-12.
4. Пашковский, А.В. Метод стандартных элементов в расчете магнитного поля линейного двигателя с постоянными магнитами [Текст]/А.В. Пашков-ский//Научно-технические ведомости СПбГПУ-2010. -№ 2.-C. 130-136.
