Повышение точности определения исчисленных данных на основе комплексного учета условий измерений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 623:681.3

ПОВЫШЕНИЕ ТОЧНОСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ИСЧИСЛЕННЫХ ДАННЫХ НА ОСНОВЕ КОМПЛЕКСНОГО УЧЕТА УСЛОВИЙ ИЗМЕРЕНИЙ

Э.З. Асадуллин

Предлагается решить задачу повышения точности определения данных на основе комплексного учета условий стрельбы.

Для проведения опытов (статистических экспериментов) разработана математическая модель условий измерения.

При использовании математической модели проведена серия статистических экспериментов, по результатам которых рассчитана срединная ошибка предлагаемого способа определения данных. Методами регрессионного анализа проведена проверка адекватности и точности математической модели. Составлена аппроксимирующая формула для экспериментального диапазона данных. Проведено прогнозирование срединной ошибки предлагаемого способа определения данных за пределами экспериментального диапазона

Ключевые слова:, математическая модель, методы регрессионного анализа

На основе ряда фактов было сделано предположение о возможности повышения точности определения данных для стрельбы на основе комплексного учета условий стрельбы, были намечены основные пути решения этой задачи.

Гипотеза проводимого исследования, как и все гипотезы, в силу своего вероятностного характера требует проверки, доказательства. В настоящей статье рассматривается порядок проверки общей гипотезы исследования - о повышении точности определения исчисленных данных для стрельбы на основе комплексного учета условий стрельбы.

I. Основные составляющие понятия «комплексный учет условий измерений». Методы обработки поступающей информации.

Должностные лица получают большой объем информации об условиях стрельбы. Руководящие документы по определению исчисленных данных говорят о том, что точность выполнения мероприятий подготовки стрельбы должна постоянно наращиваться, должны производиться более точные измерения различных факторов, влияющих на стрельбу и т.д. Но при этом, результаты менее точных измерений отбрасываются, то есть сознательно используется не вся имеющаяся информация. Расчеты показывают, что комплексный учет и обработка информации, полученной при выполнении отдельных мероприятий подготовки измерений, позволяет повысить точность выполнения измерений в среднем на 0,5-4%.

Выдвинуто предложение об определении данных для стрельбы с использованием всей имеющейся информации об условиях стрельбы с применением, как равноточных измерений (РИ), так и неравноточных измерений (НРИ).

Асадуллин Энвер Закиевич - КВАКУ (ВИ), старший преподаватель, E-mail - env60@yandex.ru

1. Случай равноточных измерений

Имеется п независимых измерений случайной величин (СВ) с одинаковой точностью. Измерения производятся в одинаковых условиях одним и тем же прибором. От опыта к опыту математическое ожидание и дисперсия СВ не изменяются, т. е. mx = mx =... = mx = mx = const I

x1 x2 xn x L (1)

D = D = ••• = Dxn = Dx = COnSt J

В качестве оценки для математического ожидания СВ Х принимается среднее арифметическое значений, т.е.

m„ = =

Z X.

i =1

n

(2)

Оценка эта удовлетворяет предъявляемым к ней требованиям. Состоятельность ее

подтверждается теоремой Чебышева.

Нш Р(|тх- т\ <е) = 1 (3)

П^Ю I I

Несмещенность оценки также очевидна из выражения для математического ожидания.

м [ тХ]=Ет =—=т(4)

i=1

n

Рассеивание оценки nix характеризуется ее дисперсией

Dmx = Л ±D4 = Л nDx = ^(5)

n i=1

Таким образом

n

n

Dm, = D [m ] = D "I

x n

amx i-

sjn

(6)

С увеличением числа измерений рассеивание оценки математического ожидания СВ уменьшается.

2. Случай неравноточных измерений

Производится п измерений случайной величин (СВ) с различной точностью (различные приборы

или условия). От опыта к опыту математическое ожидание остается постоянным, а дисперсия СВ изменяются, т. е.

= const 'I

(7)

mx = m =... = mx

X1 x2 xn

Dx Ф D„ Ф ... Ф D„

Так как измерения неравноточные, то в качестве оценки математического ожидания целесообразно взять среднее взвешенное с учетом точности каждого измерения. Оценка будет несмещенной, состоятельной и эффективной, если «вес» каждого измерения будет обратно пропорционален дисперсии. Тогда

n

Z x, —

mx =■

i=1

(8)

i=1

Дисперсия оценки математического ожидания определяется по формуле

Dmx = n \ Dx■ (9)

n і Z—-

/.1

Таким образом, дисперсию и

среднеквадратическое отклонение оценки математического ожидания определяются по формулам

Бт = —1—

х п 1

2 ^

атх =■

i=1 ~i 1

У (10)

(«Веса» ошибок

рассчитываются по формуле: 1

~D~

gi =

I i=1 — каждого

измерения

n 1 Z~

tf Dxi

(11)

Необходимо найти наилучшее приближенное значение X* величины. Для расчета применяется следующее соотношение

x*= Z giX

ш=1

(12)

Оценка X* является несмещенной и обладает минимальной дисперсией:

Dx* = _ \ (13)

n 1 Z~

1=1 Dxt

После преобразования дисперсии в срединные отклонения получается выражение

Ex* = -

Z.

i=1

(14)

E

С увеличением числа неравноточных измерений рассеивание оценки математического ожидания СВ, также, как и при равноточных измерениях, уменьшается [1, 2, 3, 4].

Использование данного метода при выполнении мероприятий подготовки стрельбы в соответствии с выражениями (12, 13) позволяет более точно учитывать условия стрельбы и добиться повышения точности определения данных.

II. Применение методов математического моделирования для воспроизведения условий определения установок для стрельбы

Основы метода статистических испытаний.

Характеристики условий стрельбы

воспроизводились на специально созданной для их изучения математической модели. Потребность в моделировании возникла в связи с тем, что исследование непосредственно самого процесса невозможно, так как, дорого и требует слишком длительного времени. Подобие между моделью и объектом исследования заключается в тождестве математического описания «поведения» объекта и модели. Модель описывает некоторые, существенные в данном исследовании, свойства и функции объекта исследования. Исследуемые стороны модели описывались теми же математическими формулами, что и моделируемые свойства объекта. Таким образом, математическая модель объекта исследования подобна, иначе говоря, в достаточной степени соответствует самому объекту исследования.

Для исследования процесса определения установок при различных условиях стрельбы и выработки рекомендаций применен опытнотеоретический метод. Расчеты, полученные при теоретическом методе оценки эффективности, проверялись в ходе реальных полевых измерений.

При теоретическом методе применялись точный способ - статистических испытаний и приближенный - графический. Моделирование случайных величин осуществлялось путем преобразования независимых значений случайного числа, распределенного равномерно в интервале (0...1). Последовательность частных значений случайного числа получена на ЭВМ с помощью датчика-генератора случайных чисел.

Теоретической основой способа

статистических испытаний являются основные теоремы закона больших чисел. Физическое содержание этого закона может быть

сформулировано так: при очень большом числе

случайных явлений средний их результат

практически перестает быть случайным, и может быть предсказан с большой степенью определенности. Под «законом больших чисел», в узком смысле слова, понимают ряд теорем, в

каждой их которых для тех или иных условий

1

2

устанавливается факт приближения средних характеристик большого числа опытов к определенным постоянным, неслучайным

величинам.

Задача сводится к многократному моделированию случайных условий стрельбы на ЭВМ и определению частоты появления события. Для нахождения числовых характеристик функций случайных величин, зачастую не требуется знание законов распределения аргументов, а достаточно знать их числовые характеристики - математическое ожидание, дисперсию, матрицу ковариаций. Каждая из этих характеристик есть не что иное, как математическое ожидание какой-то случайной величины, а на основании закона больших чисел можно каждое из этих математических ожиданий приближенно заменить средним арифметическим наблюдаемых значений случайной величины при достаточно большом числе опытов, можно также оценить ошибку, вытекающую из такой замены.

Для нахождения закона распределения СВ необходимо располагать достаточно обширным статистическим материалом, порядка несколько сотен опытов. Однако на практике приходится иметь дело со статистическим материалом ограниченного объема - два-три десятка наблюдений, часто даже меньше. Это связано с дороговизной и сложностью каждого опыта. В исследуемой задаче вид закона распределения случайной величины - ошибки измерения, известен заранее - нормальный закон распределения [1, 2, 5], (в нашем случае это даже несущественно), требуется найти ее числовые характеристики. Для этого нет необходимости проводить неограниченное количество опытов.

Если число опытов п невелико, то замена математического ожидания средним

арифметическим приводит к какой-то ошибке. Значение искомого параметра, вычисленное на основе ограниченного числа опытов, всегда будет содержать элемент случайности. Такое приближенное значение называется оценкой параметра а. Любая оценка, вычисляемая на основе наблюдаемых СВ представляет собой функцию величинХ], Х2,..., Хп

а = а (Х1, Х 2,..., Хп) (15)

и сама является величиной случайной.

Нахождение статистических оценок а параметров законов распределения в данном исследовании проводилось с помощью моментов эмпирического распределения, которые являются состоятельными оценками соответствующих моментов теоретического распределения.

Эмпирический начальный момент к-го порядка для дискретной СВ определяется равенством:

п

ак [Х] = Е Хк ■ Рг , (16)

г=1

где х, - значения СВ Х,

р, - соответствующие вероятности.

Начальный момент первого порядка есть ни что иное, как математическое ожидание СВ:

тх = М [ X ] = а [ X ] (17)

Оценкой математического ожидания тх СВ Х

является среднее арифметическое ее наблюдаемых значений:

тх = 1 £Хг (18)

п г =1

Оценка а должна отвечать следующим требованиям: быть состоятельной, несмещенной, эффективной и обладать минимальной дисперсией.

Требование состоятельности оценки а сводится к тому, чтобы при увеличении числа опытов п она приближалась (сходилась по вероятности) к искомому параметру а

, ~ п^ю Ч /-Ч

(а----у—> а). Оценка математического ожидания

тх СВ Х при увеличении числа опытов п, согласно закона больших чисел, сходится по вероятности к математическому ожиданию т СВ Х

( тх ——— тх; ).

Оценка для дисперсии Б при небольшом числе опытов (п<40...50, в проведенном исследовании п=30) не может быть приравнена к

1 п

статистической дисперсии Б = — (X — т) . В

п г=1

этом случае возникает систематическая ошибка, чтобы ее исправить достаточно, ввести п

коэффициент--------и тогда:

п — 1

б=^ У (X,—т)2 (19)

п — 1 г =1

Выбранная несмещенная оценка а , должна быть как можно менее случайной, т. е. обладать минимальной дисперсией по сравнению с другими оценками:

Б [ а ] = шт (20)

Степень близости статистической оценки а к ее характеристике а теоретического распределения может быть определена с помощью равенства:

Р {а — а2 < а < а — а1} = у, (а2 > а1), (21)

которое означает: вероятность того что

случайный интервал (а — а2, а — а1) содержит в

себе достоверную, но неизвестную характеристику а, равную у. Вероятность у называется доверительной вероятностью, а интервал (а — а2, а — а1) - доверительным интервалом. Вероятность у характеризует надежность статистической оценки а . В том случае, если а] и а2 равны по абсолютной величине и противоположны по знаку, то можно говорить о точности статистической оценки

а = ^(а2 — а1) = а2 = Ц | (22)

В настоящем исследовании для оценки доверительного интервала задана доверительная вероятность или надежность 95% (0,95) [1, 2]. Для исключения анормальных результатов применялся уровень значимости 0,05.

Коэффициенты корреляции гх , г2 между

ошибками измерения дальности и направления по реперной точке и предмету близки к 1, т.е. рассеяние экспериментальных точек малое, а протяженность поля точек достаточно большое. Поэтому для усреднения несовместных решений системы уравнений применялся один из методов регрессионного анализа - метод наименьших квадратов (МНК). Этот метод реализован в математическом аппарате ЭВМ. Решение задачи, получаемое МНК по экспериментальным точкам, содержащим случайные ошибки, само также случайно, но благодаря усреднению многократных расчетов оно становится более определенным, более устойчивым.

При анализе области разброса исходных экспериментальных данных во внимание принимались ошибки способов определения исчисленных данных, неадекватность принятых вариантов решения задачи, а также учитывалась невоспроизводимость от опыта к опыту, или диффузность исследуемого процесса.

Разброс исходных данных складывается из трех составляющих: АДиф. - диффузности условий измерений, АВар. - ошибки адекватности принятых вариантов, АСп. - ошибки способов измерений. Эти составляющие можно считать

некоррелерированными, тогда

АИД =у]А2Диф. + А2Вар. + А2Сп. (23)

Для упрощения, принято условие, что варианты решения задачи адекватны (АВар. АДиф. и АВар. ■' АСп) и тогда размером АВар можно пренебречь. В этом случае, при уменьшении ошибок способов измерений (величиной АСп можно пренебречь) результирующий разброс исходных данных будет определяться только диффузностью условий стрельбы. Для усреднения разброса необходимо провести большое количество опытов, что требует увеличение затрат времени. Если же в этих условиях принять менее точные способы измерений, до тех пор, пока АСп <АДиф./3, погрешность обработки останется неизменной, а эффективность эксперимента повысится, за счет уменьшения затрат времени.

Таким образом, при АСп.'- ..АДиф. точность определения данных не может быть значительно повышена, за счет более точных способов измерений. Единственный путь повышения точности - статистическая обработка многократных отсчетов.

В качестве условия принято следующее утверждение - для обеспечения наибольшей

эффективности эксперимента нет смысла уменьшать ошибку способа определения установок больше чем до АСп. <АДиф./3, и увеличивать объем выборки (количество опытов) до тех пор, пока величина

^(АС п + А Диф) / п не будет сопоставима с

погрешностью адекватности принятых вариантов или систематической составляющей ошибки способа определения установок.

При рассмотрении вопроса о повышении точности путем статистического усреднения полагают, что точность с увеличением числа п

усредняемых значений возрастает, как у/п , потому что ах = а, / у[п . Это справедливо лишь при

полном отсутствии систематических погрешностей и абсолютной независимости значений между собой, т. е. при полном отсутствии их взаимной корреляционной связи. Очевидно, что у каждого из способов измерений есть свои систематические ошибки и многие способы зависят друг от друга. Следовательно, повышение точности, в

соответствии с соотношением Ех = / у[п , будет

происходить лишь в ограниченном диапазоне значений числа п усредняемых значений [4].

Для того чтобы компенсировать влияние существующих корреляционных связей, при

планировании и проведении эксперимента

необходимо учесть возможно более полно

различные условия измерений, т.е. варианты

условий для проведения эксперимента должны быть адекватны (тождественны) реальным условиям полевых измерений.

III. Проверка адекватности регрессионной модели.

Для обобщения полученных результатов проведен регрессионный анализ. В ходе регрессионного анализа получены регрессионная зависимость функции отклика (срединной ошибки) от факторов (времени и количества реперных точек). Рассчитаны доверительные интервалы прогноза, проведена проверка адекватности и точности модели.

Основные расчетные формулы и результаты регрессионного анализа приведены ниже.

Составлена аппроксимирующая формула для экспериментального диапазона данных:

Е = К3Т3 + К2Т2 + К1Т + К0, (24)

где К3 = А3 N3 + В3 N2 + С3 N + Б3,

К 2 = А2 N3 + В2 N2 + С2 N + Б2,

К1 = а N + в N + с1 N + д К0 = А0 N3 + В0 N2 + С0 N + Б0

Таблица 1

Значения коэффициентов в аппроксимирующей формуле

1 Л, в, с, в,

0 0,725 5,66 -12,60 7,82

1 0,428 -3,32 7,14 -4,01

2 0,08 0,67 -1,29 0,71

3 0,01 -0,038 0,08 0,04

N - количество реперных точек, принятых для обработки

Т - промежуток времени, ч.

Рассчитаны значения срединных ошибок определения данных по дальности и направлению для интервала времени А( до 11 часов и составлен интервальный временной ряд (см. табл.2, 3)

Исходя из опыта полевых измерений и практической целесообразности, увеличивать промежуток времени свыше 11 часов не имеет смысла. Кроме того, нет необходимости увеличивать количество реперных точек принимаемых для обработки свыше 4-х, так как в этом случае точность будет повышаться очень незначительно. Для выявления аномальных уровней временных рядов использован метод Ирвина [5].При этом применены следующие формулы

I у — у—11 ,=т

(25)

Л =-

У

а

среднеквадратическое отклонение

временного ряда

ау =

Е(у-у) -=2^

П -1 ’ У п (26)

Таблица 2

Срединные ошибки определения данных по дальности (в %Д)

ЛІ, Количество реперныхточек

1 2 3 4 СП

РИ НРИ РИ НРИ РИ НРИ РИ НРИ

0-3 0,57 0,63 0,38 0,45 0,35 0,41 0,26 0,32 139

4 0,62 0,68 0,52 0,57 0,38 0,45 0,31 0,37 1,45

5 0,66 0,7 0,6 0,64 0,47 0,51 0,39 0,42 1,48

6 0,71 0,78 0,63 0,68 0,53 0,57 0,46 0,52 1,52

7 0,78 0,82 0,74 0,78 0,59 0,62 0,63 0,67 1,57

8 0,90 0,98 0,82 0,85 0,75 0,77 0,69 0,74 1,61

9 1,09 1,11 0,91 0,93 0,82 0,85 0,76 0,80 1,65

10 1,27 1,29 1,05 1,09 0,88 0,91 0,83 0,87 1,69

11 1,68 1,75 1,12 1,15 0,95 0,94 0,90 0,93 1,74

заданные значения временного ряда являются нормальными.

Таблица 4 Значения критерия Ирвина для уровня значимости а=0,05

п 2 3 10 20

1 2,8 2,3 1,5 1,3

Установлено, что значения остаточной компоненты, выделенное из исследуемого ряда тренда, удовлетворяют свойствам случайности, независимости и она подчиняется нормальному закону, следовательно, исследуемая модель адекватна. Средняя относительная ошибка прогноза

составляет |£А?| = 1,8% , оба исследуемых фактора

время А( и количество реперных точек N являются значимыми.

Результаты прогнозирования показывают, что в том случае, когда промежуток времени превышает экспериментальный диапазон, срединные ошибки способа комплексного учета условий стрельбы остаются значительно меньшими, чем ошибки единственно возможного в данных условиях способа определения данных - сокращенной подготовки (см. табл. 2, 3, рис. 1, 2).

Ех. °о Дт

1,8 1,6 1,4 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2

0-3

Срединные ошибки по дальности во времени

—7*

СП <к — * -

V- • г •

7”. - Л Т

\

. 2* * т X х> 4 Р

9 10 Д1>ч

Таблица 3

Срединные ошибки определения установок по направлению (в единицах измерения углов)

А1, Количество реперныхточек

1 2 3 4 СП

РИ НРИ РИ НРИ РИ НРИ РИ НРИ

0-3 2,26 2,47 1,91 1,70 1,81 1,61 138 1,32 6,68

4 3,15 2,92 2,53 220 2,25 1,95 1,72 1,75 7,06

5 4,37 3,82 2,85 2,25 2,52 2,05 2,10 2,25 7,40

6 4,70 3,95 3,20 230 2,90 2,12 2,52 2,35 7,74

7 5,76 3,96 3,67 2,58 3,26 2,34 2,88 2,82 8,10

8 6,61 4,42 4,09 2,76 3,61 2,50 3,26 3,12 8,45

9 7,46 4,87 4,51 2,95 3,96 2,67 3,64 3,40 8,81

10 83,2 5,33 4,93 3,13 4,32 2,83 4,02 3,78 9,16

11 8,97 5,79 5,14 3,98 4,60 3,80 4,45 4,57 9,51

Расчетные значения Х2, Х3... сравнивались с табличным критерием Ирвина Ха (см. табл. 4), все они оказались меньше табличных и следовательно,

11

Срединные ошибки по направлению во времени при равноточных измерениях

( П

’

1 \ к \ И

ж. Л**Т .1 К т А Т _• Г

N

0-3 4 5 б 7 8 9 10 Д1.ч

Рис. 1. Срединные ошибки по дальности и по направлению при различных условиях определения

измерений были приняты одинаковые срединные ошибки как для коррелированных способов, так и

для некоррелированных. Исследования показали, что расчет уточненных коэффициентов корреляции, при своей сложности, приводит к увеличению точности на (0,01...0,04)%Д и на

(0,1_0,3) единиц измерения углов по сравнению со

способом равноточных измерений. С практической точки зрения такое несущественное увеличение точности не может компенсировать значительное усложнение расчетов, особенно если нет возможности использовать СЭВМ. Кроме того, как утверждалось ранее, «нет смысла уменьшать

ошибку способа определения установок больше чем до

ДСп <Лд1ф/3^» [4], в противном случае -

систематическая ошибка способа будет нивелировать повышение точности. С практической точки зрения это означает, что использование двухтрех менее точных результатов дает меньшую ошибку, чем учет одного-двух более точных.

Таким образом, при использовании способа комплексного учета условий стрельбы срединные ошибки определения данных значительно меньше, чем ошибки рекомендованных способов определения данных. Использование этого способа не требует дополнительных материальных затрат и новых приборов для проведения измерений.

Литература

1. Коваленко И.Н., Филиппова А.А. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая школа, 1982. - 256 с.

2. Пугачев В. С. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Наука, 1979. - 495 с.

3. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. - М.: Академия, 2003. - 464 с.

4. Новицкий П.В., Зограф И.А. Оценка

погрешностей результатов измерений. - Л,:

Энергоатомиздат, 1985. - 248 с.

5. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Математика в экономике. Математические методы и модели. - М.: Финансы и статистика, 2007. - 544 с.

с использованием равноточных измерении

11 -н

Ег.°

9 4

Срединные ошибки по направлению во времени

прп неравноточных измерениях

\

\ СП • •• * *

"'T ft -3f _ <>■

s. • ■ fc-* * \ R

0-3

8

At, ч 10 11

Рис. 2. Срединные ошибки по дальности и по направлению при различных условиях определения данных с использованием неравноточных измерений

Заслуживает интереса тот факт, что при определении ошибки рекомендуемого способа установлено: способ равноточных измерений дает меньшую ошибку по дальности и несколько меньшую ошибку по направлению, чем способ неравноточных измерений. Это связано с тем, что при неравноточной обработке результатов

Казанское высшее артиллерийское командное училище (Военный институт)

INCREASING OF ACCURACY OF THE DETERMINATION GIVEN ON BASE OF THE COMPLEX ACCOUNT OF THE CONDITIONS OF THE MEASUREMENTS

E.Z. Asadullin

Is offered solve the problem of increasing of accuracy of the determination given on base of the complex account of the conditions of the measurement. For undertaking experience (the statistical experiment) is designed mathematical model of the conditions of the measurement. When use the mathematical model, is organized series statistical experiment, on result, which is calculated middle mistake of the proposed way of the determination data. The methods of regrecia analysis is organized check of adequacy and accuracy of the mathematical model. It is formed

aproximating formula for experimental range data. The organized forecasting of the middle mistake of the proposed way of the determination given outside the experimental range

Key words: mathematical model, the methods of regrecia analysis