CC BY
66
ПОВЫШЕНИЕ ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТИ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ С УЗКОПОЛОСНЫМ СПЕКТРОМ ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ МЕТОДА СУБДИСКРЕТИЗАЦИИ
В.Н. Васильев, И.П. Гуров, А.С. Захаров, М.А. Таратин
Рассмотрены возможности повышения производительности дискретной обработки сигналов с уз ко полосным спектром при использовании метода субдискретизации с пониженной частотой взятия отсчетов сигнала. Приведены формулы для расчета частоты субдискретизации и выигрыша в производительности обработки в зависимости от параметров сигнала, определены границы применимости метода субдискретизации и требования к характеристикам систем формирования и обработки сигналов.
Введение
Повышение быстродействия и снижение объема обрабатываемых и передаваемых данных являются важными задачами при обработке сигналов в реальном времени. В случае фильтрации параметров узкополосных сигналов для решения этих задач возможно применение метода субдискретизации, который позволяет снизить частоту взятия отсчетов ниже граничной частоты, определяемой известным критерием Найквиста.
В работе [1] рассматривается возможность применения метода субдискретизации [2] в сочетании с линейным фильтром Калмана [3,4] второго порядка, однако представленный метод требует заполнения всех прореженных отсчетов нулями, что позволяет снизить объем передаваемых данных, но не повышает производительности вычислений.
Задачами настоящей работы является исследование метода субдискретизации для узкополосных сигналов с пропуском всех прореженных отсчетов. В работе рассматривается задача выбора частоты взятия отсчетов в зависимости от параметров сигнала, а также возможность корректного восстановления параметров сигнала после субдискретизации.
Выбор частоты дискретизации
Выбор частоты дискретизации имеет большое значение для задач высокопроизводительной цифровой обработки сигналов. При понижении частоты дискретизации снижается объем хранимой, передаваемой и обрабатываемой информации, а также требования к пропускной способности и вычислительной мощности аппаратуры. Однако излишне большой шаг дискретизации может стать причиной некорректного восстановления параметров исходного сигнала.
Классическим подходом к выбору частоты дискретизации является использование известной теоремы отсчетов: частота дискретизациидолжна быть не меньше, чем удвоенная наибольшая частота /м в спектре сигнала, т.е. /, > 2/м (критерий Найквиста). При этом исходный сигнал может быть восстановлен без искажений по дискретной выборке отсчетов. Однако, как показано далее, для сигналов с узкополосным спектром возможно применение метода су б дискретизации, который позволяет значительно уменьшить частоту дискретизации по отношению к значению, определяемому критерием Найквиста.
Рассмотрим спектр узкополосного сигнала, который сосредоточен в узком интервале в области положительных частот ~ (/о-В,/о+В), где /а - центральная частота, 2В - ширина полосы, 2В //о « 1, и в симметрично расположенном интервале в области отрицательных частот. При использовании метода субдискретизации частота взятия отсчетов выбирается таким образом, чтобы спектр сигнала после дискретизации соот-
ветствовал исходному спектру, смещенному по направлению к нулевой частоте (см. рис. 1).
зга
А
/'-в /о' /„' + в /0 - в Л/0 + в /
Рис. 1. Спектр узкополосного сигнала до (справа) и после субдискретизации
Для корректного восстановления сигнала после субдискретизации необходимо исключить перекрытие составляющих спектра на положительных и отрицательных частотах в окрестности нулевой частоты. Поэтому требуется, чтобы значение несущей частоты сигнала после субдискретизации f¿ было больше, чем половина ширины спектра,
Г'>в. (1)
Рассмотрим, как влияет выбор частоты дискретизации на получаемое значение несущей частоты сигнала после субдискретизации /0' на примере последовательности отсчетов гармонического сигнала с амплитудной модуляцией
*(£) = А(к)соз(2п/0кАх), (2)
где А(к) - последовательность отсчетов огибающей, оценку которой требуется получить при обработке значений сигнала , к =!,..., К, Ах - шаг дискретизации.
Для несущих частот сигнала до и после субдискретизации во всех точках дискретизации должно выполняться следующее соотношение:
А(к)сов(2п/0кАх + ф0) = А(к)С0$(2пДк'Ах' + <рд), (3)
где /0', фд и Ах' - новые значения несущей частоты, начальной фазы и шага дискретизации, соответственно. Решив уравнение (3), получим две последовательности значений (корней)
1 . 1
с2
Ах, ~
2(/о + /о)
; =
2(/0 " /о)
(4)
которые определяют возможные значения шага субдискретизации Ах' = тАх, или Ах' = тАхг, где т ~ целое положительное число. Очевидно, что Ах2 > Ах{, поэтому предпочтительные значения частоты субдискретизации выражаются как 2(/о"/о)
т
(5)
Увеличению значения т в (5) соответствует снижение частоты дискретизации, значение которой должно соответствовать критерию Найквиста
л >2(^4-5). (6)
Ограничения значений несущей частоты после субдискретизации
Условия (5) и (6) определяют допустимые значения частоты субдискретизации. Поскольку значения т в (5) являются дискретными, каждому выбранному значению соответствует некоторый диапазон новых значений несущей частоты /„', получаемой при субдискретизации.
Из (5) и (6) с учетом (1) можно получить условия для возможных значений /„' в
виде
(7)
т + 1
где ц = /0/Я.
Соотношение (7) определяет ограничения на возможные значения несущей частоты после субдискретизации при известных значениях ц и В и выборе т. Из (7) следует, что допустимые значения т ограничиваются условием
т < (ц — 1) / 2. (8)
Отметим, что существенное снижение частоты дискретизации возможно, согласно (8). для узкополосных сигналов при ц » 1.
Требования к стабильности частоты субдискретизации
Из (5) получим выражение для частоты сигнала после субдискретизации
значения которой зависят от частоты дискретизации и исходной несущей частоты. Покажем, что требования к допустимым отклонениям частоты субдискретизации определяются значениями абсолютной и относительной ширины полосы сигнала и не зависят от исходной несущей частоты. Для этого подставим (9) в (7) и получим следующий диапазон допустимых значений частоты субдискретизации:
2дМ1</<2£^(10)
т +1 т
Выбор частоты дискретизации из диапазона (10) обеспечивает возможность корректного восстановления огибающей сигнала после субдискретизации.
Из (10) найдем относительную ширину этих интервалов (как отношение ширины интервала к среднему значению частоты внутри него) в форме 2<ц-2т-1) ц(2т + 1)-1
На рис. 2 представлен график зависимости р от р для различных значений т от 1 до 9 (верхняя кривая соответствует т = 1, нижняя т — 9).
Из рисунка видно, что при повышении выигрыша в быстродействии за счет снижения частоты дискретизации (увеличения значения т) возрастают требования к точности выбора значения частоты дискретизации. Очевидно, что уменьшение относительной ширины частотного интервала р повышает требования к стабильности значений параметров системы.
Ограничим относительную ширину доступных частотных интервалов снизу значением рт(п, тогда получим следующие условия для т
т = int
2(Рт,пИ + 2)
где int [.] обозначает взятие целой части числа.
(12)
о
10
20
30 40 50
Рис. 2. Зависимости допустимых значений относительной нестабильности частоты дискретизации от обратной относительной ширины спектра сигнала
На рис.3 приведены зависимости (12) для различных значений относительной ширины полосы спектра сигнала, которые показывают возможность получения выигрыша в быстродействии примерно до 10 раз при относительной нестабильности частоты дискретизации не более нескольких процентов.
16
О 0,2 0,4 0,6 0,8 1
Рис. 3. Зависимость максимального значения т от рт)п (толстая линия соответствует значению р =10, средняя - р = 20, тонкая - р - 30)
При заданных значениях параметров р, В, ртт можно выбрать частоту дискретизации в соответствии с конкретными требованиями к быстродействию системы. Увеличение т позволяет снизить частоту дискретизации, однако может заметно сузить диапазон допускаемых значений частоты дискретизации. Уменьшение ртп1 повышает требования к стабильности и точности значений всех параметров системы. Таким образом, повышение производительности обработки сигналов достигается с учетом рассмотренных выше требований к характеристикам системы формировании и обработки сигналов.
Экспериментальные результаты
Проведенный теоретический анализ метода субдискретизации был использован при обработке сигналов в оптической когерентной томографии (ОКТ) [5] на основе метода фильтрации Калмана [6] применительно к получению динамических оценок огибающей узко полосных сигналов вида (2). Результаты расширенного анализа метода субдискретизации с использованием метода фильтрации Калмана и оценки погрешностей метода представлены в работе [7].
На рис. 4 приведен пример обработки сигнала ОКТ [7]. Исследования показали, что существенный выигрыш в быстродействии при обработке типичных сигналов ОКТ обеспечивается при допустимых малых искажениях восстановленных огибающих узкополосных сигналов при среднем квадратичном отклонении (СКО) получаемых оценок не более нескольких процентов.
А (к)
1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 73 77 81 85
к
Рис.4. Исходная огибающая сигнала (пунктирная линия) и восстановленная огибающая после субдискретизации (выигрыш в быстродействии в 4 раза, СКО - 2,6%) [7]
Разработанное программное обеспечение использовано при обработке оптических когерентных томограмм, полученных в форме параллельных сканов по глубине частично пропускающих оптическое излучение неоднородных сред.
"л
^ -г
а)
» «
б)
в)
Рисю 5. Томограмма слоистой среды, полученная традиционным методом обработки (а), методом субдискретизации и фильтрации Калмана (б) и распределение погрешностей (в) (значения погрешностей увеличены для наглядности отображения)
На рис. 5,« представлен пример сечения томограммы в виде инверсной картины полутонов, содержащей 200 параллельных сканов по глубине среды (в вертикальном направлении, расстояние между соседними сканами Юмкм), восстановленной обычным методом амплитудной демодуляции (рис. 5, а) и методом суб дискретизации
(рис. 5, б). Исходная томограмма получена при проведении совместных работ с Институтом прикладной оптики (Флоренция, Италия) [8].
Из сравнения рис. 5, а-б видно, что томограммы не содержат визуально различимых существенных отличий. Отметим, что при обработке сигналов ОКТ методом субдискретизации (рис. 5, б) получен четырехкратный выигрыш в быстродействии.
Заключение
В статье представлены результаты исследования возможностей применения метода субдискретизации для снижения частоты взятия отсчетов при восстановлении огибающей квазигармонических сигналов с узкополосным спектром. Получены формулы для расчета оптимальной частоты взятия отсчетов и определения значения несущей частоты сигнала после субдискретизации. Определены границы применимости метода субдискретизации и требования к характеристикам систем формирования и обработки сигналов. Полученные результаты использованы при высокопроизводительной обработке сигналов в оптической когерентной томографии,
Благодарности
Исследования одного из авторов (М.А. Таратина) выполнены при поддержке совместного гранта научного фонда DAAD, Германия (проект А/05/39012) и Министерства образования и науки Российской Федерации (проект №250031) по программе «Михаил Ломоносов».
Литература
1. Гуров И.П., Озерский A.M. Исследование метода субдискретизации и восстановления узкополосных сигналов на основе фильтрации Калмана //Известия ВУЗов, Приборостроение, 2005. №3. С. 48-53.
2. Макс Ж. Методы и техника обработки сигналов при физических измерениях. М.: Мир, 1983. С 86-89.
3. Kaiman R.E. A new approach to linear filtering and prediction problems //Trans, ASME, J. Basic Eng. 1960. V.82. P. 35-45.
4. Васильев B.H.. Гуров И.П. Компьютерная обработка сигналов в приложении к ин-терферометрическим системам. СПб: БХВ Санкт-Петербург, 1998.
5. Гуров И.П. Оптическая когерентная томография: принципы, проблемы и перспективы. В кн.: Проблемы когерентной и нелинейной оптики /Под ред. И.П. Гурова и С.А. Козлова. СПб: СПбГУ ИТМО, 2004. С. 6-30.
6. Гуров И.П., Захаров A.C., Таратин М.А. Анализ и оптимизация вычислительного процесса нелинейной дискретной фильтрации Калмана //Известия ВУЗов. Приборостроение. 2004. №8. С. 42-48.
7. Васильев В.П., Гуров И.П., Захаров A.C., Таратин М.А. Обработка сигналов с узкополосным спектром на основе метода субдискретизации и нелинейной фильтрации Калмана //Известия ВУЗов. Приборостроение. 2006 (в печати).
8. Bellini М., Fontana R., Gurov I., Karpets A., Materazzi M., Taratin M., Zakharov A. Dy-mamic signal processing and analysis in the OCT system for evaluating multilayer tissues //Proc. SPIE. 2005, V.5857. P. 270-277.
