CC BY
79
Повышение математической компетентности студентов гуманитарных специальностей средствами информационных технологий и квалиметрия математической культуры
Анис Фоатович Галимянов доцент, к.ф.-м.н., заведующий кафедрой информационных систем, Казанский (Приволжский) федеральный университет, ул. Кремлевская, 34, г. Казань, 420006, +7 (843) 292-42-87 anis 59@mail.ru
Наиль Кашапович Нуриев профессор, д.п.н., заведующий кафедрой информатики и прикладной математики, Казанский государственный технологический университет, ул. К.Маркса, 68, г. Казань, 420015, (843)2314119 nurievnk@mail. ru
Кадрия Кытдусовна Исмагилова к.п.н., ст. преподаватель кафедры гуманитарных и социально-экономических
дисциплин КазФ ВЮИ ФСИН России Россия, 420108, г. Казань, ул. Магистральная 35а (843) 570-02-81
kadrija@bk.ru
АННОТАЦИЯ
В статье определено содержание математической культуры студента-гуманитария через АВС-способности и предложены способы мониторинга достижения определенного уровня математической культуры.
In article the maintenance of mathematical culture of the student-humanist through ABC-abilities is defined and ways of monitoring of achievement of certain level of mathematical culture are offered.
Ключевые слова
математическая культура, компетенции, АВС-способности mathematical culture, the competence, ABC-ability
В условиях стремительного роста информации компетентность специалиста, в том числе и специалиста-гуманитария и его конкурентоспособность на рынке труда зависят от многих факторов, в том числе и от того, насколько специалист владеет практическими умениями и навыками математического моделирования, может использовать в своей профессиональной деятельности информационные и коммуникационные технологии. Так как курсу «Математика и информатика» в гуманитарных факультетах отводится малое количество времени, а программа курса является достаточно большой, целесообразно обучить математике, используя информационные технологии.
Математика - это часть общечеловеческой культуры. Это позволяет говорить о человеческих аспектах математической культуры. Математическую культуру мы полагаем как субъективное явление. Поэтому она отличается, с одной стороны,
динамичностью, изменчивостью за счет тех преобразований, которые происходят в опыте инженера, в его психике и личности. С другой стороны, как объективное явление, математическая культура также постоянно обогащается, совершенствуется в ходе развития математики и тех областей, где она применяется.
Основные компетенции непрерывного образования - европейская рекомендованная структура (компетенции) включают 8 основных компетенций (умений):
• общение на родном языке;
• общение на иностранных языках;
• математические способности и основные компетенции (умения) в науке и технологии;
• информационная компетентность;
• умение учиться;
• межличностные, межкультурные и социальные компетенции и гражданская компетентность;
• предпринимательство;
• культурное самовыражение.
Компетенции определяются здесь как комбинация знаний, умений и отношений, присущих определенной ситуации. Основными компетенциями являются те, которые необходимы всем людям для личного совершенствования и развития,
активного гражданства, социального включения и применения. К окончанию
начального образования и обучения (воспитания) у молодых людей основные
компетенции должны быть развиты до уровня, достаточного для взрослой жизни и развиваться далее, сохраняться и модернизироваться, являясь частью непрерывного образования.
В этом же документе приводится определение математической компетенции. Математическая компетенция - это способность использовать сложение, вычитание, умножение, деление и пропорции (коэффициенты) в умственных и письменных расчетах для решения ряда проблем в каждодневных ситуациях. Акцент делается как на процесс и деятельность, так и на знание. Математическая компетенция включает -в различной степени - возможность и готовность использовать математические формы мысли (логическое и пространственное мышление), и представления (формулы, модели, построения, графики, схемы).
В этом же документе говорится, что необходимые знания в математике включают глубокое знание чисел, мер и структур, основных операций и основных математических представлений, понимание математических терминов и понятий, и тех вопросов, на которые может дать ответ математика.
У человека должно быть умение применить основные математические принципы и процессы в повседневных ситуациях дома и на работе, определить и оценить цепочку аргументов. Люди должны быть готовы рассуждать математически, понимать математическое доказательство и общаться математическим языком, используя для этого подходящие средства.
Положительное отношение в математике основывается на уважении правды и готовности искать причины и признавать их обоснованность.
Таким образом, как следует из этого документа, любой человек должен обладать определенной математической культурой.
При определении математической культуры студента - будущего специалиста-гуманитария, нами были проанализированы существующие определения и системный подход. При этом аксиологические основания математической культуры для гуманитариев имеют меньший вес, так как аксиологические основания культуры отражают ценностные ориентиры и мотивационные установки деятельности человека и составляют основу ценностно-параметрированного восприятия действительности.
А у гуманитариев эти ориентиры и установки по определению гуманитарные и не могут играть определяющую роль. Формирование и развитие математической культуры, достаточную для профессиональной деятельности специалиста-гуманитария можно через гносеологические составляющие, которые являются ориентирующими установками в процессе развития. Поэтому наше определение опирается именно на гносеологические основания математической культуры. Обладая когнитивно-компетентностными данными, рефлексивно-оценочными и креативными умениями и навыками в познавательной, а именно, в математической области, личность обретает возможность усвоения норм научной рациональности, представленной в содержании дисциплин математического профиля, возможность развития математической интуиции, творческого воображения и рефлексивных способностей.
Анализируя и уточняя далее гносеологический срез приходим к выводу, что рефлексивно-оценочный и креативные компоненты (именно в приложении к математической культуре) играют не столь важную роль для специалиста-гуманитария. Конечно, креативность и интуиция в предметной области необходима каждому специалисту, но они могут быть «вне математики» или специалист-гуманитарий не обязан искать в них следы «математичности».
Поэтому, опираясь на рамочные установки Совета Европы, мы пришли к следующему определению математической культуры:
Математическая культура студентов, обучающихся на гуманитарных факультетах вузов - это система интеграций математических знаний, умений, навыков включающая в себя способность их применять для решения ряда задач в повседневных ситуациях и личностные качества.
Данное определение опирается в основном на когнитивно -компетентностный компонент. Опираясь на это определение, можно параметризовать математическую культуру студента, обучающегося на гуманитарном факультете вуза, посредством оценки знаний, умений, навыков на основе базовых значимых для математической подготовки качеств личности и получить количественную оценку математической культуры студента, обучающегося на гуманитарном факультете вуза.
Развитие математической культуры нуждается в сравнительной оценке. Факторы влияют на развитие личности при определенных условиях. Влияние факторов на развитие математической культуры мы можем оценить на основе показателей и критериев.
Уточнение содержания математической культуры позволило определить нам его структуру. Мы опирались на определение мониторинга качества по формализационным, конструктивно-творческим и исполнительским способностям -АВС-способностям, которые определены в [1-3]. По ним компетенция (как способность решать любые проблемы) в любой области инвариантно поддерживается триадой способностей <А, В, С> определенного уровня развития, т.е. АВС - способностями и интериоризованными знаниями, как вспомогательными средствами. Здесь А - формализационные способности, В - конструктивные (конструктивно-творческие в нашем понимании) способности, С - исполнительские способности. Под ними мы будем понимать соответствующие качества, значимые для математической подготовки личности (значимые для математической подготовки личности качества - ЗМПКЛ). Тогда А-способности изоморфны формализационному ЗМПКЛ, В-способности - конструктивно-творческому ЗМПКЛ, С-способности -исполнительскому ЗМПКЛ. Тогда содержимое математической культуры для студентов, обучающихся на гуманитарных факультетах вузов можно представить в виде вектора ^1(А), F2(B), F3(C), F4(A, В). F5(A, С), F6(B, С), F7(A, В, С)). В первом приближении можно взять следующие значения функций: F1(A)=А, F2(B)=В, F3(C)=С, F4(A,B)=А+В, F5(A,C)=А+С, F6(B,C)=В+С, F7(A,B,C)=А+В+С. Таким образом, мы имеем первые три блока математической культуры как базисные
ЗМПКЛ, следующие три блока - бинарные композиции базисных ЗМПКЛ, и последняя - полная композиция всех трех ЗМПКЛ. Модели развития математической культуры на основе соответствующих ЗМПКЛ (для краткости мы будем также употреблять термин «А, В, С способностей») представлены в рис. 1 и рис.2.
Рис.1. Процесс достижения формализационных, конструктивно-творческих и исполнительских способностей
Рис. 2. Разрез для конкретного модуля программы обучения
По данной модели развитие идет по спиралеобразной кривой и по каждой из способностей отдельно. «Разрывы» спирали, которые получаются на границах секторов, обозначающих достижения конкретной способности, можно соединить «скачком» кусками прямых. На рисунке 2 изображено проекция кривой на разрез конуса развития на границе модулей. По данному моделю, каждая из составляющих математической культуры является суммой соответствующих площадей. То есть, достижение каждого из критериев следующие:
- Достижение критерия познавательно-информационного соответствует площади 8С
- Достижение эмоционально-ценностного критерия соответствует площади 8а
- Достижение конструктивно-творческого критерия соответствует площади 8в
- Достижение потребностно-мотивационного критерия соответствует сумме площадей 8а + 8С
- Достижение деятельностьного критерия соответствует сумме площадей 8в + 8с
- Достижение критерия самореализации соответствует сумме площадей 8а + 8в
- Достижение моделирующего критерия соответствует сумме площадей 8а +
8в + 8С.
Рис. 3. Пространственная модель достижения математической культуры
По этой модели:
- Достижение критерия познавательно-информационного = | С |
- Достижение эмоционально-ценностного критерия = | А |
- Достижение конструктивного-конструктивно-творческого критерия = | В |
- Достижение потребностно-мотивационного критерия = л/а2 + С2
- Достижение деятельностьного критерия = л/в 2 + С2
- Достижение критерия самореализации = 4 а+в 2
- Достижение моделирующего критерия = 4А2 + В2 + С2.
Для представления семи функций, которые были определены выше, получается следующие семь блоков математической культуры.
Познавательно-информационный (эрудиция и информационная емкость): специалист, прежде чем изучить какое-либо явление, получает множество информации, которое он должен отобрать, оценить, взять на учет самое ценное. От объема, качества, содержания, направленности отобранной им информации во многом зависит результат решения исследуемой проблемы. Бедная информационная
емкость творческого опыта, узость его знаний, неразвитость аппарата отбора информации определят ограниченность решения поставленной задачи. В формализационный блок мы включаем знание специальной терминологии, знание математических методов и информационных технологий, их возможностей в совершенствовании профессиональной деятельности специалиста и самосовершенствовании. Так как для гуманитариев математика не является основным предметом, не определяет профиль подготовки, то достичь вышесказанное можно лишь изучением, исполняя все задания, изучая все темы, которые были на лекциях. Таким образом, данный блок изоморфен исполнительским качествам студента.
Эмоционально-ценностный: осознание ценности математической культуры как одной из личных и ведущих ценностей в современном мире; умение адекватно оценивать собственные достижения в профессиональной деятельности и свой уровень математической культуры. Этот блок изоморфен формализационному качеству, то есть способностями к математической формализации. Блок является важным для математической культуры бакалавра и магистра, но у магистра данное качество должно быть развито больше.
Конструктивно-творческий: во все более усложняющемся мире каждое действие нужно рассматривать как комбинацию элементарных действий, каждое из которых выполняется тем или иным образом и тем или иным исполнителем. Данный блок изоморфен конструктивно-творческому качеству. Блок является важным для математической культуры бакалавра и магистра, но у магистра данное качество должно быть развито больше. Следует отметить, что в данном блоке присутствует творческая составляющая, ибо без творчества конструктивная деятельность невозможна.
Потребностно-мотивационный: постепенно возрастающая потребность
студентов, будущих гуманитариев в развитии и саморазвитии математической культуры; устойчивое виденье возможности математических методов в будущей профессиональной деятельности; нацеленность на достижение высокого уровня математической культуры; мотивы достижения успеха в профессиональной деятельности на основе математических методов и информационных технологий; интерес к математике, ее истории. Данный блок сложный и является бинарной композицией базовых качеств личности, поддерживается формализационными качествами и глубокими исполнительскими качествами. Должно присутствовать у бакалавра, но у магистра должно быть развито больше.
Моделирующий блок связан с преобразовательной деятельностью, предполагает: исследовательское мышление (умение анализировать
информационные ресурсы и выявлять их возможности в решении профессиональных задач, проявлять креативность, гибкость, критичность, системность, мобильность, оперативность мышления в ситуациях поиска, преобразования, трансформации необходимой информации; предвидение и прогнозирование, выражающиеся в умении соотносить цель деятельности с реальными возможностями используемых математических методов и моделей; саногенное мышление (способность не боясь ошибок и просчетов осуществлять свои рассуждения по поводу используемых математических методов, моделей, информационных технологий в решении поставленных задач) Весь данный блок является полной композицией значимых для математической подготовки качеств личности, то есть формализационными, конструктивно-творческими и исполнительскими качествам. Обязательное развитие у магистра, у бакалавра должно присутствовать.
Блок самореализации включает: овладение математическими методами и моделями; умение соотносить свою деятельность, свой стиль, уровень математической культуры с профессиональным опытом; умение определять собственные достоинства и недостатки в сфере математической культуры, ее
преломление в профессиональной деятельности и поведении; умение определять резервы дальнейшего развития своей математической культуры; умение целенаправленно регулировать развитие математической культуры. Это означает, что достигнуто в определенной мере владение формализационными и конструктивно -творческими качествами. Блок является бинарной композицией значимых для математической подготовки качеств личности, обязательное развитие у магистра, у бакалавра должно присутствовать.
Деятельностный блок: умения и навыки применения теоретических знаний математики на практике (точность, логичность, грамотность в постановке и решении профессиональных задач средствами математики), самостоятельность, целенаправленность и систематическое саморазвитие в области математики и информатики. Для студентов - гуманитариев это поддерживается конструктивно -творческими и исполнительскими качествами личности. Блок также является бинарной композицией значимых для математической подготовки базовых качеств личности, является важным и для бакалавра, и для магистра.
Критерий развития математической культуры личности - это признак, на основании которых производится оценка уровней развития математических качеств личности.
Исходя из структуры математической культуры, можно наметить следующие показатели оценки уровня развития математической культуры студентов: познавательно-информационный, эмоционально-ценностный, потребностно-мотивационный, конструктивно-творческий, моделирующий, деятельностный, самореализации [5].
Выделим уровни развития математической культуры. Студенты вуза, изучавшие математику и сдавшие выпускной экзамен по математике в школе в виде ЕГЭ, прошедшие жесткий отбор при поступлении, не могут иметь низкий уровень математической культуры. Поэтому мы выделяем четыре уровня развития математической культуры: высокий, средний, удовлетворительный, посредственный.
Высокий уровень характеризуется высокой степенью аналитичности мышления, четкой, устойчивой ориентацией на развитие математической культуры, способностями к творческому самовыражению. Средний уровень - матричное мышление, при котором восприятие, формирование и воспроизведение знаний укладывается в заранее заданный стандарт, трафарет, доминирует механическое повторение инноваций, цель развития прослеживается средне, ограничены способности к творческому самовыражению. Удовлетворительный уровень - цель развития просматривается нечетко, знания поверхностны, отсутствует потребность в творческом самовыражении. Посредственный уровень - цель развития не просматривается, знания на уровне исполнителя, отсутствует потребность в творческом самовыражении. Необходимость введения данного уровня в настоящее время в данной работе выражается в том, что для гуманитариев математика не является профилирующим предметом, но данный уровень для них допустим, и соответствует низшему баллу по ЕГЭ, необходимом для получения аттестата.
Таблица 1. Критерии и уровни МК студента-гуманитария
Критерии Уровни
Высокий Средний Удовлетворитель ный Посредственн ый
Познавательно
информационн ый (эрудиция и информационн ая емкость)
Глубокие
знания
математическо й теории,
аксиоматики математическо й теории, ее символики, истории математики
Хорошие знания в
области математическо й теории, ее символики, аксиоматики; истории математики
Знание большей части
математической теории, ее
аксиоматики, истории;
Посредственно е знание математическо й теории, аксиоматики, истории
Эмоционально-
ценностный
Умение
оценить
красоту
математически
х теорий и
идей, роль
математическо
й символики
для описания
свойств
объектов
окружающего
мира,
значимость и
возможность
формализации
математическог
о аппарата для
решения
прикладных
задач, роль и
место
математики в
общечеловечес
кой культуре;
осознание
ценности
математики и
математическо
й культуры;
увлеченность
математикой,
полная
самостоятельно
сть,
своевременное выполнение заданий; умение__________
Умение некоторых случаях оценить красоту математически х теорий и идей, роль математическо й символики, значимость и возможность формализации математическог о аппарата для решения прикладных задач, роль и место математики в общечеловечес кой культуре; достаточная самостоятельно сть;
своевременное выполнение заданий; адекватная оценка собственных достижений в области математики
Периодическая
самостоятельность
и своевременность
выполнения
заданий;
понимание
значимости и
возможности
формализации
математического
аппарата для
решения
прикладных задач, роли и места математики в
общечеловеческой культуре
Выполнение
заданий под
руководством
преподавателя,
понимание
значимости и
возможности
формализации
математическог
о аппарата для
решения
прикладных
задач, роли и
места
математики в общечеловечес кой культуре.
адекватно оценить собственные достижения в области математики
Конструктивно -творческий (алгоритмичес кий) Умение строить алгоритм решения задачи в сложных случаях, подбирая соответствующ ий математически й аппарат Умение алгоритмизиро вать большинство математически х задач Удовлетворительн ое умение алгоритмизироват ь Посредственно е умение алгоритмизиро вать
Потребностно- мотивационны й Осознание личной и профессиональ ной значимости математическо й культуры, устойчивая потребность в саморазвитии, устойчивая потребность применять математические методы и модели при решении прикладных задач; нацеленность на достижение высокого уровня математическо й культуры; широкий и результативный интерес к математике, ее истории; устойчивый мотив достижения успеха в профессиональ ной деятельности Интерес при изучении курса, потребность в саморазвитии; потребность применять математические методы и модели для решения прикладных задач; осознание профессиональ ной значимости математическо й культуры Периодическое осознание значимости математической культуры, периодический интерес к математике, периодическая потребность изучать математику
на основе математическог о моделирования
Деятельностны Совершенные Хорошие Умение перевода Умение
й умения умения на язык перевода на
применить применить математики язык
теоретические теоретические определенного математики
знания знания класса определенного
математики на математики на прикладных задач, класса
практике: практике: овладение прикладных
перевести умение отдельными задач под
прикладную перевести приемами руководством
задачу на прикладную правильной преподавателя,
математически задачу на постановки и умение
й язык, точно, математически выбора применять
самостоятельно й язык математического математически
и грамотно большинство метода е методы и
поставить прикладных исследования, построение
задачу, выбрать задач, умение построения математическо
математические самостоятельно математической й модели под
методы и правильно, модели; руководством
исследования поставить периодическое преподавателя
процессов и задачу и саморазвитие
явлений; выбрать
умение математически
построить и й метод
исследовать исследования,
математические умение
модели при построить
решении задач математическу
прикладного, ю модель и
математическог исследовать ее;
о характера; целенаправленн
целенаправленн ое
ое саморазвитие
систематическо
е саморазвитие
Самореализаци Совершенно Хорошо Частично Посредственно
и развитые развитые развитые умения е умение
умения умения определять определять
определять определять личные личные
личные личные достоинства и достижения в
достоинства и достоинства и недостатки в области
недостатки в недостатки в сфере математическо
сфере сфере математической й культуры,
математическо математическо культуры, понимание
й культуры, й культуры, определять необходимости
определять определять резервы дальнейшего
резервы резервы дальнейшего развития
дальнейшего дальнейшего развития математическо
развития развития математической й культуры
математическо математическо культуры
й культуры, целенаправленн о регулировать развитием математическо й культуры й культуры, целенаправленн о регулировать развитием математическо й культуры
Моделирующи й Высокоразвиты е умения: анализировать исходные данные при решении проблемных задач; мыслить оперативно, гибко, мобильно; прогнозировать результат, умение рассуждать не боясь осуждений Достаточно развитые умения анализа, прогнозирован ия Умения анализа, прогнозирования при моделировании стандартных задач Посредственны е умения анализа и прогнозирован ия
Компьютерные технологии для решения математических задач в процессе развития математической культуры студентов, обучающихся на гуманитарных факультетах вузов
Умение решать задачи является одним из основных показателей развития математической культуры студента гуманитарного профиля, глубины освоения им учебного материала. Поэтому любой экзамен, любая проверка знаний содержит в качестве основной и, пожалуй, наиболее трудной части решение задач.
Психологические исследования проблемы обучения решению задач показывают, что основные причины несформированности у студентов-гуманитариев общих умений и способностей в решении задач состоят в том, что они не имеют необходимые знания о сущности задач и их решений, а поэтому они решают задачи, не осознавая данным образом свою собственную деятельность.
У студентов не вырабатываются отдельные умения и навыки в действиях, входящих в общую деятельность по решению задач, и поэтому им приходится осваивать эти действия в самом процессе решения задач.
При традиционных подходах к обучению не стимулируется постоянный анализ студентами своей деятельности по решению задач и выделению в них общих подходов и методов, их теоретического осмысления и обоснования. При этом одной из причин является то, что одни студенты вникают в процесс решения задач, стараются понять, в чём состоят приёмы и методы решения задач, изучают задачу. Другие же, к сожалению, не задумываются над этим, стараются как можно быстрее решить заданные задачи, задачи решаются лишь ради получения ответа.
Очевидно, что на таких отношениях не могут возникнуть сознательные и прочные умения решения задач.
Как отмечает Л.М.Фридман в статье «Методика обучения решению математических задач» при традиционной методике используются следующие методы обучения решению задач.
Первый метод состоит в том, что все задачи разбиваются на многочисленные виды. Отмечается свыше 100 таких видов. Для каждого вида разрабатывается так называемый типовой способ решения, которые подробно разъясняются. Подобный прием сейчас широко используется при обучении решении задач ЕГЭ. Для студентов-гуманитариев данный метод является основным методом при обучении математике.
При втором методе решается кроме типовых большое число разнообразных, так называемых развивающих задач. Используется совет Д.Пойа «Если хотите научиться решать задачи, то решайте их!». Естественно, здесь происходит опора на природные способности студентов, ибо «наибольшая польза от этих задач получается тогда, когда они решаются без предварительной подготовки, когда они достаточно разнообразны по содержанию и способам решения». Этот метод для студентов-гуманитариев не может быть основным, ибо они уже выбрали нематематическую специальность, и, видимо не зря. К тому же количество часов, отводимых на изучение предмета не позволяет применить данный метод.
Третий метод состоит в предложении студентам общих эвристических схем процесса решения задач или поиска решения. Но они настолько общие и абстрактные, что их использование приносит пользу лишь наиболее развитым студентам. Данный способ для студентов-гуманитариев также является мало приемлемым.
Однако, традиционные методы обучения, как показано в данной статье, не позволяют обучить решению задач в должной степени. Так же можно сказать про обучение решению задач студентов-гуманитариев, где ситуация еще хуже. Следуя Л.Фридману, можно привести две причины такого положения. Первая - сугубо психологическая, которая заключается в том, что отсутствует или недостаточно мотивация и развитие интереса к решению задач. Следует только отметить, что процесс обучения решению математических задач становится более интересным для гуманитариев, если при этом применяются информационные технологии. Вторая причина - в том, что студенты не овладевают основными компонентами умений и знаний для решения математических задач. Как указывает Л.Фридман, для сознательного владения сложной умственной деятельностью по решению задач нужны следующие три фактора. Во-первых, студенты должны иметь ясное представление об объектах и сущности. Это означает, что они должны обладать в нужной мере формализационными качествами. Во-вторых, предварительно овладеть теми элементарными действиями и операциями, из которых состоит эта деятельность. Таким образом, студенты должны уметь разложить решение задачи на элементарные составляющие, то есть овладеть в нужной мере конструктивнотворческими качествами. И, наконец, в-третьих, знать основные методы их выполнения и уметь ими пользоваться, что означает владение исполнительскими качествами.
Для развития умения обучения решению задач, то есть значимых для математической подготовки качеств личности, Л. Фридманом предлагается дать учащимся следующие основы, которые применимы также к студентам-гуманитариям с некоторой адаптацией.
1. Умение абстрагироваться от субъекта в задачах. Развитие формализационных качеств.
2. Умение составить высказывательную модель задачи. Это означает развитие формализационных и конструктивно-творческих качеств. В качестве примера можно привести решение задачи по математической логике.
Задача. Три друга, Андрей (А), Василий (В) и Степан (С), получили три путевки на три смены в спортивный лагерь. Андрей имеет возможность поехать в лагерь в первую или вторую смену, Василий - в первую или третью, а Степан - во вторую или третью. Можно ли удовлетворить желания всех троих и сколькими способами?
Решение
Рассмотрим простые высказывания:
С2=( желание Степана поехать во вторую смену),
А^( желание Андрея поехать в первую смену) и т.д.
Желания друзей выразятся следующим образом:
А] V А2=1 (желание Андрея),
В! V В3=1 (желание Василия),
С2 V С3=1 (желание Степана).
Чтобы определить, как одновременно удовлетворить желания всех троих, образуем конъюнкцию (умножение) написанных выше сумм:
(А] V А2) & (В] V Вз) & (С2 V Сз)=
(А! & В! V А! & В3 V А2 & В! V А2 & В3)*(С2 V С3)=
А! & В! & С2 V А! & В! & С3 V А! & В3 & С2 V А! & В3 & С3 V
0 1 0 А2 & В! & С2 V А2 & В! & С3 V А2 & В3 & С2 V А2 & В3 & С3 =
0 ! 0 0 А!В3С2 + А2В!С3.
Нули в равенстве означают, что получились несовместимые условия: в одну смену не может отдыхать больше, чем один из трех. Результат, выраженный словами, звучит так: существуют две возможности удовлетворить желания трех друзей:
- Андрей - первая смена, Степан - вторая смена, Василий - третья смена;
- Василий - первая смена, Андрей - вторая смена, Степан - третья смена.
При решении данной задачи текст задачи был развернут в систему
взаимосвязанных высказываний и требований - высказывательную модель.
3. Разъяснение структуры элементарных условий. Соответствует развитию формализационных качеств.
4. Определение структуры задачи и взаимосвязей между объектами в задачах.
5. Уяснение сущности решения задачи. Это значит, найти такую последовательность общих положений математики, применяя которые к условиям задачи или к промежуточным результатам процесса решения можно удовлетворить решение задачи. Эта последовательность общих положений образует решение задачи. Здесь необходимо применение всех значимых для математической подготовки качеств личности.
6. Таким образом, процесс решения задачи состоит из следующих основных этапов: 1) анализ задачи (содержательный и логический); 2) схематическая запись условия (построение высказывательной модели задачи с использованием математической символики); 3) поиск способа решения; нахождение теоретической базы решения; 4) осуществление плана (способа) решения; 5) проверка найденного решения 6) исследование задачи и найденного решения (при каких условиях задача
имеет решение, сколько решений, имеется ли другой способ решения и.т.д.); 7) формулирование ответа задачи; 8) учебно-познавательный анализ задачи и ее решения.
Как отмечает Л.Фридман, все математические задачи следует разделить на алгоритмические или стандартные, и на эвристические, или нестандартные. Алгоритмические, или стандартные задачи - это те, для решения которых в курсе математики имеется определенный алгоритм, и способ решения задач состоит в применении алгоритма к условиям решаемой задачи. Курс «Математика и информатика» для гуманитариев в основном требует обучению такого вида математических задач.
Одним из таких достижений экспериментальной педагогики прошлого века было выявление принципа саморазвития личности. Педагоги осознали, что жесткое регламентирование интеллектуальной деятельности, абсолютная заданность развития, грозят стать тормозящим фактором, ограничивающим инициативу и творческие возможности обучающегося. Поэтому потребовалось разработать новые методы обучения, основанные на активности личности, так и зародились идеи "свободного воспитания". При всем их разнообразии объединяющей для всех подходов была убежденность в необходимости развивать творческие задатки учащегося, предоставляя ему возможность на собственном опыте активно познавать мир.
В последнее время все больше внимания уделяется применению метода проектов в процессе преподавания различных предметов [2]. Можно высказать предположение, что данный метод просто незаменим на занятиях информатики и информационных технологий. Проблема применения метода проектов в таком аспекте еще не до конца изучена и постоянно возникает множество вопросов и споров. Этим и продиктован выбор данной темы. На предмете информатика проектный метод помогает реализовать проблемное обучение как активизирующее и углубляющее познание, позволяет обучать самостоятельному мышлению и деятельности, системному подходу в самоорганизации, дает возможность обучать групповому взаимодействию. Данный метод привлекателен еще тем, что позволяет применять информационные технологии при обучении математике.
Современное обучение должно ориентироваться на интересы и потребности студентов и основываться на личном опыте. Основной задачей образования становится актуальное исследование окружающей действительности. Преподаватель и студент идут этим путем вместе, от проекта к проекту.
В основе этого метода проектов лежит развитие познавательных, творческих навыков студентов, умений самостоятельно конструировать свои знания, умений ориентироваться в информационном пространстве, развитие критического мышления. Учебная программа, которая последовательно применяет этот метод, строится как серия взаимосвязанных проектов, вытекающих из учебной программы. Для выполнения каждого нового проекта необходимо решить несколько задач. От студента требуется умение координировать свои усилия с усилиями других. Чтобы добиться успеха, ему приходится добывать необходимые знания и с их помощью проделывать конкретную работу. Идеальный проект тот, для исполнения которого необходимы знания из различных областей, позволяющие разрешить целый комплекс проблем.
Метод проектов может применяться в изучении всех предметов. Примеры использования метода проектов в работе различных учебных заведений позволили выделить значимые для педагогики положительные стороны метод проектов:
• направленность на индивидуализацию обучения;
• активизацию учения;
• стимулирование инициативы и роста творческих возможностей.
Конечно же, современный аналитический взгляд на педагогику метода проектов выявляет и слабые стороны этого метода:
• недостаточность формирования теоретического мышления студентов;
• сведение роли преподавателя только к консультационной;
• невозможность выработать общие подходы к решению задач.
Однако, эти недостатки можно рассматривать как и достоинства, которые воспитывает у студентов способность учиться самостоятельно и использовать необходимый учебный материал. Проектное обучение продиктовано временем. Научно-технический прогресс требует развития эффективных средств самостоятельной учебной деятельности, доступных любому человеку. Проектное мышление включает в себя и фундаментальные методы познания, необходимые во всякой созидательной деятельности, развитие его видится специалистам необходимой составной частью системы общего образования. Но при этом для формирования проектного мышления необходимы:
• непрерывность в формировании проектной культуры;
• достаточность "критической" массы носителей проектной культуры, обучение и образование которых подготавливает и обеспечивает определенное понимание интеграции различных знаний;
• наличие налаженной системы коммуникаций для свободного распространения проектной культуры.
Принципиальными положениями, существенными для использования метода проектов в учебно-воспитательном процессе являются:
• самостоятельная индивидуальная или совместная деятельность студентов в группах, работающих над проектом;
• умение пользоваться исследовательскими, проблемными, поисковыми методами, методами совместной творческой деятельности;
• владение культурой общения в разных малых коллективах (умение спокойно выслушивать партнера, аргументировано высказывать свою точку зрения, помогать партнерам в возникающих по ходу работы трудностях, ориентируясь на общий, совместный результат);
• умение распределить роли (обязанности) для выполнения общего задания, полностью осознавая ответственность за совместный результат и за успехи каждого партнера.
В мировой практике ведутся поиски способов организации самостоятельной деятельности студентов, предусматривающие вовлечение каждого студента в активную познавательную деятельность. Одним из способов организации такой самостоятельной работы студентов является обучение в сотрудничестве.
Обучение в сотрудничестве - это модель использования малых групп студентов в аудитории. Достаточно большие учебные задания (а задания по базам данных именно такие) структурируются таким образом, что все члены команды оказываются взаимосвязанными и взаимозависимыми и при этом достаточно самостоятельными в овладении материалом и решении задач. Преподаватель оказывается свободным и способным к маневру на занятии. Он может больше внимания уделить отдельным студентам или группе студентов. Вместе с тем в нужный момент он может объединить всех студентов в аудитории, дать необходимые пояснения, прочитать лекцию, если это необходимо и т.д.
При разработке проектов, их структуры, при координации деятельности студентов в группах необходимо знание типологии проектов. Таковыми могут быть:
!. Доминирующий в проекте метод: исследовательский, творческий,
практико-ориентированный.
2. Доминирующий в проекте содержательный аспект - изучение конкретной темы на основе проекта;
3. Характер координации проекта: непосредственный (жесткий, гибкий), скрытый (неявный, имитирующий участника проекта).
4. Характер контактов - в малой и большой группах.
5. Количество участников проектов (индивидуальные, парные, групповые) -все они могут применяться (особенно при нехватке компьютеров);
6. По продолжительности проведения: краткосрочные или на 3 -4 занятия.
Реализация метода проектов и исследовательского метода на практике ведет к
изменению позиции преподавателя. Из носителя готовых знаний он превращается в организатора познавательной деятельности своих студентов. Изменяется и психологический климат в аудитории, так как преподавателю приходится переориентировать свою учебно-воспитательную работу и работу студентов на разнообразные виды самостоятельной деятельности, на приоритет деятельности исследовательского, поискового, творческого характера.
В связи с появлением возможности использования телекоммуникаций, появляется и возможность разработки телекоммуникационных проектов.
Работа над проектом включает определенные этапы выполнения проекта, которые стоит четко спланировать для достижения максимальной эффективности проектной работы.
I этап. Организационный. Включает в себя представление и создание группы студентов для работы над проектом.
II этап. Выбор и обсуждение главной идеи будущего проекта - базы данных. Он включает определение целей и задач (зачем этот проект, что студенты узнают и чему научатся по завершении работы над этим проектом); обсуждение стратегии достижения поставленных целей и уточнение проектов (т.е. какие темы будущих проектов помогут студентам узнать то-то и научиться тому-то, и каков общий план работы над конкретным проектом, обеспечивающий достижение поставленной задачи).
III этап. Обсуждение методических аспектов и организация работы студентов на занятиях.
IV этап. Структурирование проекта с выделением подзадач для определенных групп учащихся, подбор необходимых материалов. Общий простой план на этом этапе становится развернутым, выделяются этапы и их задачи (подзадачи) и распределяются между группами учащихся с учетом их интересов, определяются планируемые результаты и способы их решения, оформления.
V этап. Собственно работа над проектом. Тщательно разработанные задания для каждой группы учащихся и подобранный (если это необходимо) материал позволяют учителю не вмешиваться в работу группы, выполняя роль консультанта. Предполагается интенсивный обмен информацией, мнениями, полученными результатами.
VI этап. Подведение итогов. На этом этапе группы рассказывают о проделанной работе, результаты обобщаются и оформляются в виде отчета, Web-сайта.
Можно добавить, что проектное обучение - это область научного знания, позволяющего перейти от всеобщей грамотности к всеобщей образованности, отражающей в себе процессы интеллектуализации, информатизации и гуманизации образования, как взаимообусловленные процессы становления нового стереотипа жизни.
В качестве примера приведем решение одной задачи и применение для нее метода проектов.
Пример. Сколько корней имеет уравнение?
(К&Ь&ЫМ^&-М&№) = 1
Здесь К, L, М, N - логические переменные. В ответе указать только число наборов, для которых выполняется равенство (т.е. все наборы указать не нужно).
Решение. Этот пример удобно решать на EXCEL, для ручного решения потребуется много времени. Составим проект. 1) написать выражение, применяя функции EXCEL; 2) Ввести в компьютер; 3) Произвести вычисления; 4) Подсчитать количество решений, удовлетворяющих условию. Реализация:
1 )=HnH(H(K;L;M);И(НЕ(Ь);НЕ(М);№). 2)В заголовки столбцов А,В,С,Б введем символы K,L,M,N, в заголовок столбца E введем =ИЛИ(И(A2;Б2;С2);И(НЕ(Б2);НЕ(С2);D2)). Ячейки A2-A17,B2-B17,C2-C17,D2-D17 заполняем всевозможными значениями переменных. 3)Вычисления дают следующий результат изображенный на рис. 4.
Рис. З. Решение задачи на EXCEL
4) Как видно из рис. 3 выражение принимает значение ИСТИНА только в 4-х местах. Ответ: 4.
Как видно из этого короткого примера, данный метод при решении задач данного тип универсален, стоит только менять формулу. Любую задачу с элементами программирования можно рассматривать как задачу, достойную для решения методом проекта. Здесь не важно, сколько человек в группе, занимающийся этим проектом, в конце-концов это может быть один или два студента.
Проверка эффективности применения компьютерных технологий в процессе обучения математике и информатике для развития математической культуры студентов, обучающихся на гуманитарных факультетах вузов
Изучение математики студентов гуманитарных специальностей осуществляется обычно в рамках курса «Основы математики и информатики», «Математика и информатика», «Информатика и математика» и др. Программы у всех этих курсов приблизительно одинаковы, а вот количество времени, отводимого под
эти курсы разное и имеет тенденцию к сокращению. Однако, Интернет-экзамены почти у всех студентов-гуманитариев принимаются по данному курсу, который мы будем называть условно «Основы математики и информатики». В связи с тем, что в рамках школьного курса «Информатика» студенты уже знакомы с основами работы на компьютере и с основными офисными программами, но не имеют достаточных навыков и знаний, обучение основам высшей математики в рамках программы целесообразно вести с помощью компьютера. Естественно, постановка и реализация целей обучения тандема "студент + компьютер" применительно к отдельным предметным областям и разным уровням подготовки предполагает переосмысление и развитие общедидактических принципов и разработку соответствующих методик, в которых обучение тандема означает, что на каждом этапе целесообразно определить желательность и возможность использования компьютера, те не достающие функции, которым следует его обучить, и сформулировать задачи, которые ставятся перед студентом и компьютером в их двуедином взаимодействии. В конечном счете и обходимо ответить на вопрос: каков итог обучения тандем "студент + компьютер" конкретной учебной дисциплине, в нашем случае, математике?
При разработке частных методик важно учитывать функциональную структуру обучаемого тандема. Ведущим в нашем случае является, как правило, студент, хотя и компьютер может иногда выполнять функции ведущего партнера, например, при тестировании в обучающем режиме. Нами предложен учебно -методический комплекс, составленный таким образом, что студент должен составить алгоритм решения задачи в человеко-машинном комплексе. Получается, что воздействие преподавателя на компьютер осуществляется через студента, при обучении компьютера студент выполняет функцию обучающего (тьютора). При выполнении заданий с помощью компьютерной поддержки студент является ведущим партнером в совместной работе, а компьютер выполняет функцию помощника. И только в конце каждого учебного модуля, при использовании обучающих и тестирующих компьютерных пакетов компьютер становится ведущим партнером в тандеме и выполняет обучающую и (или) контролирующую функции. (Функции партнеров в тандеме могут изменяться на разных этапах выполнения одного и того же задания).
При выполнении студентами каждой функции открываются дополнительные возможности для развития как репродуктивной, так и продуктивной (творческой) составляющих обучения. Кроме того, собственный "ученик", а чтобы обучать его, надо самому все понять и продумать. О роли обучения компьютера в развитии интеллекта обучаемого пишет С. Пейперт: «При обучении компьютера, как тому "думать", дети приобщаются к исследованию того, как думают они сами. Опыт подобного исследования превращает ребенка в эпистемолога, в исследователя способов познания, таким опытом обладает далеко не всякий взрослый» [4].
Немаловажно и то, что реализация методики обучения тандема способствует созданию атмосферы интеллектуального комфорта, поскольку у студента появляются привычная и сформированная при его участии информационная среда и эффективный и понятливый помощник. В этой связи вспомним слова Я.А. Коменского, сказанные им в речи "Об искусном пользовании книгами -инструментом развития природных дарований": "Ты будешь богат своим
собственным, законно полученным достоянием; ...что сам для себя обдуманно собрал, всегда к твоим услугам". Эти слова в не меньшей, если не в большей степени применимы к программному обеспечению компьютера. Соответственно у преподавателя появляются новые функции: обучение студентов фундаментальным аспектам дисциплины, обучение их компьютеров, состоящее в развитии и совершенствовании программного обеспечения, обучение студентов использованию их компьютеров для решения технических (рутинных) задач. Однако, не стоит забывать и то, что одной из задач курса «Основы математики и информатики»
является задача научить студентов элементарным приемам вычислений, внимание к которым при применении компьютера может уменьшаться.
Для определения уровней сформированное™ математической культуры математические задачи по материалам модулей были построены в разных составах. При этом мы опирались на следующую классификацию математических проблем (учебных задач):
1. Кластер проблем (элемент учебного материала) на развитие
формализационных качеств
2. Кластер проблем (элемент учебного материала) на развитие
конструктивно-творческих качеств
3. Кластер проблем (элемент учебного материала) на развитие
исполнительских качеств
Формализационно-исполнительские (ФИ) задачи требуют применения формализационных и исполнительских качеств. Эти задачи, с содержанием для решения студент должен выбрать формулу и подставить в нее данные.
Формализационно-конструктивные (ФК) задачи требуют применения формализационных и конструктивно-творческих качеств. Это задачи, с содержанием для решения которых студент должен построить математическую модель, выбрать алгоритм решения, совершить преобразования, но решение не доводится до числа.
Конструктивно-исполнительские (КИ) задачи - требуют применения конструктивных и исполнительских качеств. Это задачи, для решения которых требуется выбрать и составить алгоритм, совершать вычисления.
Формализационно-конструктивные-исполнительские (ФКИ) задачи требуют применения формализационных, конструктивно-творческих, исполнительских качеств. Это задачи с содержанием, для решения которых требуется построить математическую модель, выбрать и построить алгоритм, совершать вычисления.
В соответствии с таблицей критериев развития математической культуры способностям решить определенных (Ф, К, И) задач соответствует достижение (удовлетворение) следующих, вполне определенных критериев формирования математической культуры:
Таблица 2. Соответствие значимых для математической подготовки личности качеств и критериев (блоков) математической культуры
1 Познавательно-информационный И (С)
2 Эмоционально -ценностный Ф (А)
3 Конструктивно-творчекий(алгоритмичнеский) К(В)
4 Потребностно -мотивационный ФИ (А+С)
5 Деятельностный КИ (В+С)
6 Самореализации ФК (А+В)
7 Моделирующий ФКИ (А+В+С)
Наиболее трудными являются ФК, ФКИ задачи. Но с учетом специфики работы специалистов гуманитарного профиля, мы считаем, что контрольные и самостоятельные работы должны содержать примерно 40% задач, требующих применения формализационных качеств, 20% задач, требующих конструктивно-творческих качеств и 40% задач, требующих применения исполнительских качеств.
Примеры контрольных работ, позволяющих определять формализационно-конструктивно-творческий-исполнительский качества, и как следствие, достижение тех или иных критериев математической культуры приведены в методических пособиях автора.
Для диагностики уровней сформированности математической культуры студента - будущего филолога, предлагались контрольные и самостоятельные работы. Мы использовали такие методы как тестирование, анкетирование,
выполнение контрольных и самостоятельных работ. Эти работы проводились в течение изучения учебного модуля и в конце курса «Основы математики и информатики».
Каждый критерий формирования математической культуры оценивался текущей оценкой: посредственно, удовлетворительно, хорошо, очень хорошо, отлично (причем посредственно не считается за неудовлетворительную оценку) определяемой из таблицы. При этом для студентов, обучающихся на гуманитарных факультетах вузов, оценки «очень хорошо» и «отлично» принимались за отличные оценки.
Анализируя результаты итоговой математической культуры студентов на каждом этапе ее формирования, можно сделать вывод о достижениях каждого из студентов, определить среднее значение коэффициента достижения по каждому из критериев достижения математической культуры. Последнее позволит педагогу судить об уровне освоения материала того или иного раздела, определить разделы программы, вызывающие наибольшие затруднения, что позволит предпринять адекватное решение по корректировке образовательного процесса в целом.
Для обработки показателей педагогического эксперимента составлена программа на Turbo Delphi, которая позволяет получить диаграммы оценок для каждой из групп - контрольной и экспериментальной, подсчитать надежность отличия качества между группами. В одной из диаграмм, полученной с помощью этой программы, двойная штриховка - показатель экспериментальной, одинарная -контрольной группы. По диаграмме видно, что качество по алгоритмической составляющей у экспериментальной группы выше, чем у контрольной (рис. 5).
Посрвдств. Удовлив. Хпрошп Очень Хорошо Отлн-п.п
По средств. Удовлетв. Хорошо Очень. Хорошо Отлично
Рис. 4. Диаграммы распределения по баллам всех блоков контрольной и экспериментальной групп
Интерпретация диаграммы приведена в таблице 3, где по значению статистического критерия выявлено подтверждение или не подтверждение гипотезы о том, повышает ли математическую культуру применение компьютерных технологий при преподавании математики студентам-гуманитариям.
Таблица 3. Интерпретация диаграммы
Наименовали е блока Контр. группа Экспер. группа Значение статистич п еского критерия одтверждение гипотезы о том, что грименение КТ повышает среднюю оценку по блоку
Выб. среднее Выб. дисперсия Зыб. среднее Выб. дисперсия
Потребностн о- мотивационн ый 30,2926 140,4021 31,9423 81,5543 t = 0,6921 Гипотеза не подтверждае тся
Эмоциональ но- ценностный 12,0487 19,8512 13,0576 16,4005 t = 1,0758 Гипотеза не подтверждае тся
Познаватель но- информацио нный 18,2439 57,2088 18,8846 32,3713 t = 0,3985 Гипотеза не подтверждае тся
Конструктив но -алгоритмиче ский 9,9756 10,0237 13,8461 8,4378 t = 7,9770 Гипотеза подтверждае тся
Деятельност ный 28,2195 112,4152 32,7307 69,4275 t = 2,7515 Гипотеза подтверждае тся
Моделирую щий 40,2682 222,4402 45,7884 135,974 4 t = 2,3003 Гипотеза подтверждае тся
Самореализа ции 22,0243 56,7067 26,9038 42,2022 t = 4,0551 Гипотеза подтверждае тся
Исходя из результатов эксперимента, можно сделать выводы о том, что применение информационных и коммуникационных технологий на занятиях по курсу «Математика и информатика» именно в предложенной форме позволяет лучше развить математическую культуру у студентов-гуманитариев по блокам алгоритмическо-конструктивном, самореализации, деятельностном, моделирующем с вероятностью более 95%. Не прослеживается явного улучшения по эмоциональноценностном, познавательно-информационном, потребностно-мотивационном блоках.
Из этого следует, что формализационные способности студентов-гуманитариев и осознание ценности математической культуры как одной из личных и ведущих ценностей в современном мире; умение адекватно оценивать собственные достижения в профессиональной деятельности и свой уровень математической культуры происходят вне «оружия исполнения», чем в данный момент является компьютер и информационные технологии. В этой связи следует отметить, что преподавание математики не следует сводить к «голым вычислениям» и преобразованиям. Не улучшаются показатели познавательно-информационног блока, так как исполнительско-вычислительные способности благодаря применению вычислительной техники не могут быть улучшены. Потребностно-мотивационный блок, который поддерживается значимыми для математической подготовки формализационными качествами личности (А - способностями) и глубокими значимыми для математической подготовки исполнительскими качествами личности (С - способностями) также не получает особого развития вследствие применения информационных и коммуникационных технологий.
Можно сделать заключение о том, что для студентов-гуманитариев в блоках, которые регулируются исполнительскими и формализационными способностями, применение информационных и коммуникационных технологий для развития математической культуры не улучшает развитие математической культуры. В данных блоках работа преподавателя остается решающим.
В блоках, которые требуют конструктивно-алгоритмических способностей (блоки конструктивно-алгоритмический, деятельностный, самореализации и моделирующий), эксперимент показывает, что средние показатели у экспериментальной группы выше, чем у контрольной с уровнем значимости выше, чем 0,05. Это связано с тем, что при решении задач с помощью информационных технологий студент вынужден явно «прокручивать» алгоритм решения задачи и «обучить» этому алгоритму еще и компьютер. Таким образом, получаются более прочные знания и навыки решения задач, что и показывает эксперимент.
При изучении обязательной дисциплины «Математика и информатика», входящей в блок математических и естественнонаучных дисциплин, студенты закрепляют и углубляют знания по математике и информатике, полученные в школе, изучают стандартное программное обеспечение. Государственным образовательным стандартом по специальности «Филология» на изучение дидактических единиц по математике отводится слишком мало времени, поэтому будущие филологи не могут в полной мере приобрести те навыки, которые им необходимы для развития математической культуры. Поэтому составлена авторская программа курса «Математика и информатика», где не в ущерб части по информатике, увеличивается количество времени для изучения математических модулей. При этом учитывается исходная математическая и компьютерная подготовка студентов.
Литература
1. Нуриев Н.К. Дидактическое пространство подготовки компетентных специалистов в области программной инженерии. - Казань, изд-во Казанского университета, 2005. - 244 с.
2. Нуриев Н.К. Модель подготовки инженера на основе компетентностного подхода и принципа природосообразности (монография) // Международный электронный журнал "Образовательные технологии и общество (Educational Technology & Society)" - 2009. - V.12. - №1. - C.329-390. - ISSN 1436-4522. URL: http://ifets.ieee.org/russian/periodical/journal.html
3. Нуриев Н.К., Журбенко Л.Н., Старыгина С.Д. Мониторинг качества подготовки будущего инженера. - Казань, изд-во Казанского государственного технологического университета, 2007. -80 с.
4. Пейперт С. Переворот в сознании: Дети, компьютеры и плодотворные идеи. - М.: Педагогика, 1989. - 220 с.
5. Галимянов А.Ф., Исмагилова К.К. Развитие математической культуры студентов, обучающихся на гуманитарных факультетах в вузе // Международный электронный журнал "Образовательные технологии и общество (Educational Technology & Society)" - 2011. - V.14. - №1. - C.380-390. - ISSN 1436-4522. URL: http://ifets.ieee.org/russian/periodical/journal.html
