Повышение эффективности сбора энергии приборами на основе метаматериалов Текст научной статьи по специальности «Нанотехнологии»

УДК 539.5

Повышение эффективности сбора энергии приборами на основе метаматериалов

A.R. Sangsefidi1, J. Kadkhodapour1, A.P. Anaraki1,

2 3

S.H. Dibajian , S. Schmauder

1 Педагогический университет им. Шахида Раджаи, Тегеран, 16785-163, Иран 2 Университет Шахида Бехешти, Тегеран, 16589-53571, Иран 3 Институт испытаний материалов (IMWF), Штутгартский университет, Штутгарт, 70569, Германия

В настоящее время оптимальное использование существующих источников энергии также важно, как и разработка новых альтернативных источников энергии. Одним из доступных возобновляемых источников энергии являются вибрации. К простейшим устройствам, позволяющим использовать этот источник энергии, относятся пьезоэлектрические устройства для сбора энергии, которые состоят из пьезоэлектрического элемента, соединенного с подложкой. Геометрическая структура подложки может оказывать значительное влияние на эффективность устройства. В данной работе исследуется влияние подложек-ауксетиков на выходное напряжение устройства. Для этого экспериментально и численно были исследованы две подложки-ауксетика и одна простая подложка. Результаты показали, что при использовании подложек-ауксетиков 1 и 2 выходное напряжение увеличивается в 3.45 и 2.18 раз соответственно, по сравнению с простой подложкой. Для лучшего понимания механизмов влияния геометрических параметров элементарной ячейки-ауксетика на собираемую энергию проведено параметрическое исследование. Использование подложек-ауксетиков, характеризующихся концентрацией напряжений, пористостью и испытывающих периодические нагрузки, обуславливает необходимость исследования распространения трещин и усталостной долговечности этих структур. Обнаружено, что подложки-ауксетики 1 и 2 имеют усталостную долговечность на 50 и 72 % ниже соответственно, чем простая подложка.

Ключевые слова: сбор энергии, подложка-ауксетик, ауксетические вогнутые соты, пьезоэлектрический, метод поверхности отклика, усталость

DOI 10.55652/1683-805X_2022_25_4_106

Enhanced energy harvesting by devices with the metamaterial substrate

A.R. Sangsefidi1, J. Kadkhodapour1, A.P. Anaraki1, S.H. Dibajian2, and S. Schmauder3

1 Department of Mechanical Engineering, Shahid Rajaee Teacher Training University, Tehran, 16785-163, Iran

2 Department of Mechanical and Energy Engineering, Shahid Beheshti University, Tehran, 16589-53571, Iran

3 Institute of Materials Testing, Materials Science and Strength of Materials (IMWF), University of Stuttgart,

Stuttgart, 70569, Germany

Nowadays, the optimal use of existing energy sources is just as important as the development of new and alternative energy sources. One of the available and renewable energy sources is vibrations. The simplest way to use this energy source is piezoelectric energy harvesters. These harvesters consist of two parts, the piezoelectric element and the substrate to which the piezoelectric element is connected. The geometric structure of the substrate can greatly influence the efficiency of a harvester. In this study, the effect of auxetic substrates on the output voltage of energy harvesters is investigated. For this purpose, two auxetic substrates and one plain substrate are investigated experimentally and numerically. The results show that the use of auxetic substrates 1 and 2 increases the output voltage by 3.45 and 2.18 times, respectively, compared to the plain substrate. A parametric study is conducted to better understand the effect of the geometric parameters of the auxetic unit cell on the energy harvested. Because of the stress concentration and porosity in auxetic substrates and the application of periodic loading, it is necessary to study the growth of cracks and the fatigue life of these structures. The results show that auxetic substrates 1 and 2 have 50 and 72% shorter fatigue lives than the plain substrate, respectively.

Keywords: energy harvesting, auxetic substrate, re-entrant, piezoelectric, response surface method, fatigue

© Sangsefidi A.R., Kadkhodapour J., Anaraki A.P., Dibajian S.H., Schmauder S., 2022

1. Введение

Сбор энергии (energy harvesting) — это совокупность методов преобразования энергии побочных механических, электромагнитных, тепловых воздействий окружающей среды в электрический ток, необходимый для питания различных устройств (имплантируемые медицинские аппараты, устройства мониторинга состояния пациента, мобильные телефоны, датчики, средства охраны и слежения). Сбор энергии позволяет увеличить срок службы электрических устройств и обеспечить работу оборудования, не имеющего доступ к источнику энергии [1, 2].

Одним из наиболее широко используемых источников внешних воздействий являются вибрации [3-5]. Простейшим устройством для преобразования энергии вибрации в электрическую считается пьезоэлектрическое устройство сбора, которое состоит из пьезоэлектрического материала, наклеенного на подложку [6-8]. Вибрации вызывают механическую деформацию пьезоэлектрического материала, которая преобразуется в электрическое напряжение.

Существуют два способа крепления устройства сбора к источнику питания: в виде консольной балки или непосредственно к деформируемой структуре [9]. Консольные пьезоэлектрические балки занимают наибольшую долю среди устройств сбора энергии вибрации. В подобных приборах пьезоэлектрический слой может быть нанесен с одной стороны подложки (unimorph) или симметрично с двух сторон подложки (bimorph) [10, 11]. Пьезоэлектрические консольные балки имеют высокую эффективность работы на резонансной частоте. Одной из проблем данного вида устройств является их низкая энергоэффективность на частотах, отличных от собственной частоты. Хотя частоту балки можно регулировать увеличением массы, слишком большая масса может привести к увеличению веса и габаритов преобразователя и механическому разрушению. В случае прямого крепления к деформируемой структуре собираемая энергия не зависит от резонансной частоты. Простота установки, удобство измерения и отсутствие подвижных частей делают этот тип крепления устройства сбора энергии деформации привлекательным выбором для повышения эффективности использования энергии вибрации [12].

Одной из причин низкого коэффициента преобразования энергии в пьезоэлектрических устройствах сбора энергии является несовершенная

передача вибраций компонентам устройства. В последние годы внимание исследователей, разрабатывающих новые более эффективные устройства сбора энергии, привлекают метаструктуры и метаматериалы, обладающие необычным поведением и характеристиками: высокая твердость, отрицательные коэффициент Пуассона и проницаемость [13, 14]. Ауксетики являются материалом, наиболее часто предлагаемым для создания пьезоэлектрических устройств сбора энергии.

Ауксетические структуры представляют собой инженерные конструкции с отрицательным коэффициентом Пуассона, которые сжимаются при сжатии и расширяются при растяжении [15-17]. Ауксетические структуры делятся на различные типы, включая структуры типа вогнутые пчелиные соты [18-22] и хиральные структуры [23-25].

Наиболее часто для изготовления энергопре-образующих устройств используются ауксетичес-кие структуры типа вогнутые соты. Они состоят из тонких ребер и соединительных узлов. При сжатии (растяжении) вогнутые ребра начинают сближаться (расходиться) и соответствующие вершины движутся внутрь (наружу) структуры, что вызывает поперечную деформацию [26-29].

Известны несколько исследований влияния подложки-ауксетика на сбор энергии. Fey и др. исследовали механическое и электрическое поведение ауксетической пьезокерамической структуры [30]. Исследуемая структура типа вогнутых сот была вырезана лазером из пьезокерамическо-го листа и подвергнута плоской деформации. Полученные численные и экспериментальные результаты показывают, что эффективный гидростатический коэффициент ауксетической пьезоэлектрической структуры примерно в 66 раз больше, чем простой пьезоэлектрической структуры [30]. Iyer и др. исследовали электромеханические коэффициенты пьезоэлектрического керамического материала с подложкой-ауксетиком [31]. Для этой цели была разработана и проанализирована пьезоэлектрическая структура-ауксетик с гексагональной топологией типа вогнутые соты. Рассматривалась только одна ячейка из ауксети-ческой структуры, на которую накладывались периодические граничные условия для исследования методом конечных элементов. Согласно полученным результатам пьезоэлектрическая решетчатая структура характеризуется уникальной комбинацией свойств (низкое полное сопротивление и высокая производительность), которыми сплошные пьезоэлектрические материалы не об-

ладают. Данная структура позволяет получить широкий диапазон пьезоэлектрических, упругих и диэлектрических свойств путем изменения вогнутого угла соты. Пьезоэлектрические свойства могут быть хорошо адаптированы к деформации подложки-ауксетика. Путем оптимизации геометрии ауксетической структуры можно добиться оптимального сочетания электромеханических свойств [31]. Li и др. [32] предложили биморфную пьезоэлектрическую модель, обладающую ауксе-тическим поведением, для увеличения выходной энергии. Подложка-ауксетик может создавать поперечные напряжения в пьезоэлектрических слоях при продольном нагружении. Результаты показали увеличение выходной энергии в 2.76 раза по сравнению с простой структурой [32]. Ferguson и др. [33] обсуждали влияние подложки-ауксетика на сбор энергии от волнообразных (синусоидальных) деформаций. Для этого была разработана и проанализирована ячейка сотовой структуры с вогнутым углом, обладающая оптимальными параметрами. По результатам моделирования и экспериментов установлено, что энергия, собранная прибором с подложкой-ауксетиком, в 14.4 раза больше по сравнению с простым устройством сбора энергии. Кроме того, было исследовано влияние толщины соединительного слоя между пьезоэлементом и подложкой на выходную мощность [33]. Younesian и др. [34] использовали промежуточный усилитель для увеличения собираемой энергии. Усилитель имел ауксетическую структуру и помещался между подложкой и пьезоэлектрическим элементом. Установлено, что использование промежуточного усилителя-ауксе-тика значительно увеличивает выходную мощность [34]. Численное и экспериментальное исследование сбора энергии выполнено в работе [35]. Для повышения энергоэффективности использовался решетчатый резонатор-ауксетик, представляющий акустическую прямоугольную трубу. Получены численные оценки производительности предлагаемого устройства сбора энергии с учетом различной акустической мощности, электрических свойств и геометрических характеристик, которые оказались значительно выше значений, полученных для простого устройства сбора энергии [35]. Younesian и др. в работе [36] предложили использовать кольцевые ауксетичес-кие структуры для улучшения сбора пьезоэлектрической энергии. Для исследования влияния различных параметров на производительность ауксе-тиков для сбора энергии было выполнено модели-

рование методом конечных элементов. Было показано, что при оптимизированном значении сопротивления и определенных геометрических параметрах ауксетика для сбора энергии можно получить максимальную электрическую мощность. Так, энергия, собранная устройством с кольцевой структурой, может быть увеличена в 13 раз по сравнению с простым устройством [36]. Chen и др. [37] разработали и протестировали нелинейное пьезоэлектрическое устройство сбора энергии. Оно представляет собой балку с защемленными концами и имеет ауксетическую структуру, что может повысить эффективность и пропускную способность прибора. С помощью конечно-элементного анализа исследовано влияние ауксе-тических структур на эффективность выходной мощности, а также нелинейное поведение устройства сбора энергии. Показано, что устройства с ауксетической структурой генерируют в 173 и 94 раза больше энергии, чем простой прибор [37]. В работе [38] предложено устройство сбора энергии, состоящее из двух балок, соединенных блоком. На концах каждой балки помещались пьезоэлектрические элементы. Предложены ауксетиче-ские структуры с тремя разными конфигурациями, и их производительность сравнивалась с простым прибором. С помощью конечно-элементного моделирования получены оценки производительности разработанного прибора и оптимальные геометрические параметры для достижения максимальной производительности. Для верификации конечно-элементных моделей создано уст-ройство-ауксетик для сбора энергии и проведены его испытания с использованием электродинамического вибростенда. Результаты показали эффективность данных ауксетических структур.

Поскольку в ауксетических структурах происходит концентрация напряжений, важно изучить их механическое поведение, в том числе рост трещин, разрушение и усталость. В работе [39] проведены численное моделирование и экспериментальный анализ распространения трещин в условиях квазистатического нагружения в ауксетичес-ких ячеистых структурах. В этом исследовании рассматривались сотовые структуры с вогнутым углом и повернутые соты с вогнутым углом. Образцы изготавливались из алюминиевого листа методом гидроабразивной резки. Сначала использовался численный метод для оценки поведения при разрушении и роста трещин в исследуемых структурах. Затем проводились экспериментальные испытания, целью которых было получить

представление о растрескивании ауксетических структур. Результаты численного моделирования и экспериментальных испытаний показали, что форма и распределение элементарных ячеек играют важную роль в распространении трещин в ауксетических структурах [39]. Ргапсе8с0ш и др. [40] экспериментально и численно исследовали усталостную долговечность и рост трещин в двумерных ячеистых алюминиевых структурах. Проводилось сравнение ячеистой структуры с положительным коэффициентом Пуассона и ауксети-ческой ячеистой структуры. Испытания на механическую усталость показывают, что усталостная долговечность ауксетических структур на 20 % больше, чем у структур с положительным коэффициентом Пуассона при тех же значениях пористости и максимального эффективного напряжения. С помощью метода корреляции цифровых изображений была проведена оценка зарождения и роста трещин. Анализ методом конечных элементов показывает, что в ауксетических структурах первые трещины появляются с небольшим опозданием по сравнению со структурами с положительным коэффициентом Пуассона. Кроме того, ауксетические структуры сохраняют отрицательный коэффициент Пуассона при наличии трещин [40]. Работа [41] посвящена созданию численной схемы для прогнозирования механического и усталостного поведения решетчатых структур с относительной плотностью и различной геометрией (исследованы 4 различные конфигурации). Результаты подтверждают, что механическое поведение решетчатых структур зависит от относительной плотности и топологии элементарной ячейки. Для всех исследованных структур предел текучести и модуль упругости увеличиваются с увеличением относительной плотности. Количество ячеек в структуре решетки оказывает лишь незначительное влияние на упругое поведение, в то время как влияние на пластическое поведение является заметным. Кроме того, проводились исследования усталости этих структур, по результатам которых обнаружено, что усталостная прочность улучшается с увеличением относительной плотности для всех структур [41].

В этой статье повышение электрических характеристик устройства сбора энергии достигается за счет использования ауксетической подложки. Для этого проводится параметрическое исследование и исследуется влияние геометрических параметров ауксетической структуры на характеристики устройства сбора энергии. Распределе-

ние напряжений исследуется с помощью гистограммы напряжения. Поскольку одним из факторов увеличения выходной энергии при использовании ауксетических структур в устройствах сбора энергии является создание концентрации напряжений, механическое поведение такого устройства изучается как конструктивное ограничение.

2. Ауксетические устройства сбора энергии

Пьезоэлектрические устройства сбора энергии состоят из пьезоэлектрического материала, приклеенного к подложке. Двумя наиболее распространенными типами пьезоэлектрических устройств сбора являются однослойные (пьезоэлектрический слой с одной стороны подложки) и двухслойные устройства (пьезоэлектрические слои с двух сторон подложки). При проектировании пьезоэлектрического устройства очень важно учитывать режим работы пьезоэлемента, т.к. он может влиять на выходную мощность и динамические характеристики. Двумя распространенными режимами работы пьезоэлектрических устройств сбора являются режимы 31 и 33. В режиме 31 сила прикладывается вертикально к направлению тока. В режиме 33 сила и ток действуют в одном направлении [42]. Например, в пьезоэлектрическом устройстве, работающем в режиме 31, нагрузка прикладывается вдоль оси 1 и генерирует электрическое поле вдоль оси 3 при пьезоэлектрической постоянной ё3\. В этом случае напряжения вдоль оси 2 обычно пренебрежимо малы и не способствуют увеличению выходного напряжения (хотя пьезоэлектрическая постоянная а?32 равна а?31). Выходное напряжение рассчитывается по уравнению [32]

(.

V

output

Л

"33

"33

tp

(1)

где ап и а22 — среднее напряжение при продольном изгибе вдоль оси 1 и среднее напряжение при поперечном изгибе вдоль оси 2 в пьезоэлектрическом материале; е33 и ц — электрическая проницаемость и толщина пьезоэлектрического слоя.

Выходная пьезоэлектрическая мощность рассчитывается по уравнению [33]

Ap d:

31

output

k0k33

(a

11

22

(2)

где f, Ap, tp — частота возбуждения, площадь и

2

Рис. 1. Модель устройства сбора энергии (а), элементарная ячейка с вогнутым углом (б) (цветной в онлайн-версии)

толщина пьезоэлектрического элемента соответственно; ап и а22 — напряжения в пьезоэлектрической плоскости.

Ауксетическое устройство сбора энергии содержит пьезоэлектрический элемент, соединенный с поверхностью подложки-ауксетика (рис. 1, а). Использование ауксетической структуры имеет два преимущества. Во-первых, активируется режим 32, т.е. из-за отрицательного коэффициента Пуассона ауксетических структур (расширяются в поперечном направлении при растяжении и сжимаются при сжатии) пьезоэлектрический элемент деформируется в обоих направлениях одновременно, что увеличивает производительность устройства сбора. Во-вторых, создается концентрация напряжений, т. е. из-за пористости ауксети-ческая область имеет меньшую жесткость, чем остальная часть подложки, что приводит к концентрации напряжений в пьезоэлектрическом элементе. Эта концентрация напряжения увеличивает выходную мощность устройства для сбора энергии. Чтобы исследовать влияние поведения ауксетической структуры на производительность устройства сбора энергии, была использована структура с вогнутым углом, показанная на рис. 1, б.

3. Материалы и методы

3.1. Конечно-элементное моделирование

Производительность ауксетического устройства сбора энергии оценивается в рамках конечно-элементного моделирования с использованием программы COMSOL Multiphysics. Ауксетичес-кое устройство состоит из двух частей: подлож-ки-ауксетика и пьезоэлектрического элемента. Рассматриваются два типа подложек-ауксетиков (рис. 2, а, б). Для оценки влияния подложки-ауксетика на выходную мощность моделируется простое устройство сбора энергии (с теми же размерами и характеристиками) (рис. 2, в). Размеры и характеристики составляющих элементов и материалов устройств показаны в табл. 1 и 2. Подложка имеет два зажима, между которыми находится ауксетический элемент. Один конец подложки жестко закреплен, а другой подвергается осевому гармоническому колебанию амплитудой 0.00025 и частотой от 1 до 50 Гц (рис. 2, г). Для соединения подложки и пьезоэлектрического элемента используется слой эпоксидной смолы. В программе COMSOL Multiphysics соединительный слой моделируется как тонкий эластичный слой (ТЭС) с граничными условиями пружинного

Рис. 2. Подложки-ауксетики 1 (а) и 2 (б), простая подложка (в), граничные условия (г) (цветной в онлайн-версии)

Таблица 1. Геометрические свойства

Таблица 2. Свойства материалов

Компоненты структуры Параметры Значения

Пьезоэлектрический элемент Радиус, мм 10

Толщина, мм 0.2

Эпоксидный слой Толщина, мм 0.008

ТЭС, ГН/м3 100

Подложка Общая длина, мм 80

Ширина, мм 20

Толщина, мм 3

Длина зажима, мм 20

Ауксетическая область, мм 20

Подложка-ауксетик 1 Отношение высоты к длине Я/Ь 1

Угол е 57°

Толщина ребра, мм 2

Число ячеек 1

Подложка-ауксетик 2 Отношение высоты к длине Я/Ь 0.75

Угол е 70°

Толщина ребра, мм 1.25

Число ячеек 2

типа. Тонкий эластичный слой соединяет поверхности посредством вязкоупругих сил. Прочность сцепления слоев определяется жесткостью на единицу площади тонкого эластичного слоя. Чем выше жесткость (постоянная пружины), тем прочнее соединение между двумя поверхностями. К верхней и нижней части пьезоэлемента подключен нагрузочный резистор, значение которого определяется из уравнения [33]

R = -

tp

S0S33 A

(3)

3.2. Экспериментальная методика

Образцы устройств сбора энергии изготавливались с использованием трехмерной печати. Для изготовления подложки из АБС-пластика использовался метод послойного наплавления при температуре слоя и сопла 85 и 240 °С соответственно. Скорость и диаметр сопла 40 мм/с и 0.4 мм. Всего было приготовлено два ауксетических образца и один простой образец (рис. 3). На изготовленную подложку наносили эпоксидную смолу, на кото-

Материал

Цирконат-титанат свинца (PZT-5H) [35]

Эпоксидная смола

Акрилонитрил-бутадиен-стирол (АБС)

Характеристика

Плотность, кг/м3

Матрица податливости

Матрица связи, C/N

Относительная

диэлектрическая

проницаемость

Плотность,

кг/м3

Коэффициент Пуассона

Модуль Юнга, ГПа

Плотность,

кг/м3

Коэффициент Пуассона

Модуль Юнга, ГПа

Значение

7500

S E S12 -4.7 • 10-12

S E S13 -8.45 • 10-12

S E S23 -8.45 • 10-12

S E S22 1.65 • 10-11

S E S33 2.07 • 10-11

S E S44 4.35 • 10-11

S E S55 4.35 • 10-11

S E S66 4.26 • 10-11

d31 -2.74 • 10-10

d32 -2.74 • 10-10

d33 5.93 • 10-10

d24 7.41 • 10-10

dn 7.41 • 10-10

S11 3130

822 3130

S33 3400

1250

0.3

1000

0.3

1.19

рую приклеивали пьезоэлемент (PZT-5H). Затем к поверхности пьезоэлектрика припаивали провода. Использовалась плата Arduino Uno для преобразования пьезоэлектрического сигнала в напряжение в читаемом цифровом формате (рис. 4, а).

Для проведения лабораторных испытаний образцы устанавливали в испытательную машину (SAF-50), как показано на рис. 4, б. В испытательной машине образец подвергался деформации по синусоидальному закону амплитудой 0.00025 и частотой от 1 до 50 Гц. Прикладываемая нагрузка была подобрана так, чтобы устройство сбора на протяжении всего процесса оставалось в растянутом состоянии для предотвращения коробления.

1

Рис. 3. Экспериментальные образцы: подложка-ауксетик 1 (а) и 2 (б), простая подложка (б) (цветной в онлайн-версии)

3.3. Параметрическое исследование

Чтобы исследовать влияние геометрических параметров ауксетической структуры на производительность устройства сбора энергии, было проведено параметрическое исследование. На эффективность сбора энергии влияют многочисленные геометрические параметры, поэтому изучение каждого параметра является сложной и трудоемкой задачей. В данной работе мы использовали метод проектирования на основе экспертных оценок, который позволяет путем проведения серии экспериментов и анализа полученных результатов определить влияние каждого параметра на решение задачи. Одним из наиболее распространенных экспериментальных методов является ме-

тод поверхности отклика. Метод поверхности отклика представляет собой набор математических и статистических методов, которые приводят к оптимизации процессов, на отклик которых влияет большое количество входных переменных. Количество экспериментов, предлагаемых в методе поверхности отклика, определяется уравнением [43]

N = 2К (К - С) +1, (4)

где N — количество экспериментов; К — количество переменных; С — количество центральных точек.

Первым шагом в методе поверхности отклика является установление взаимосвязи между откликом и независимыми переменными. Если связь

Рис. 4. Схема сбора энергии (а), испытательная машина (б) (цветной в онлайн-версии)

Таблица 3. Параметры экспериментов

Параметры Отношение высоты к длине Я/Ь Угол е Толщина ребер Г Число ячеек

Уровень 1 0.5 65 0.5 1

Уровень 2 0.75 70 0.75 2

Уровень 3 1 75 1 3

Уровень 4 1.25 80 1.25 4

Уровень 5 1.5 85 1.5 5

между откликом и переменными линейная, то можно использовать модель первого порядка, представленную в уравнении

У = Ро + Р1Л +Р2 *2 + ... + Ркхк + е. (5)

В случае нелинейной связи следует использовать полином более высокой степени в соответствии с уравнением [43]

к К

У = Ро + X Рл + X РХ + X X Р&Ху + в, (6)

г=1 ;=1 ^} у

где р0, рг-, рй, РУ- — постоянный, линейный, квадратичный и регрессионный коэффициенты соответственно; х, Ху — независимые кодированные переменные; к — количество переменных.

После нахождения коэффициентов регрессии необходимо проверить соответствие модели экспериментальным данным. Для этого используются несколько методов, таких как остаточный анализ, отклонение прогноза и тест на несоответствие. Общая прогностическая значимость модели определяется коэффициентом детерминации Я2. Значимость отдельных коэффициентов регрессии (моделей) определяется по критерию Стьюдента. Однако следует отметить, что коэффициент Я2 не может дать оценку точности модели, поскольку он указывает на изменение среднего отклика. Поэтому используется другой коэффициент — скорректированный объясненный коэффициент Я^Л). Рассчитывается этот коэффициент из средней суммы квадратов, а не из суммы квадратов, как Я2. Фактически, этот объясненный коэффициент представляет собой отношение суммы полных квадратов, числовое значение которого колеблется от 0 до 1. Коэффициент Я2 = 1 означает, что оценки модели соответствуют экспериментальным данным, а Я2 = 0 означает, что модельная оценка полностью неверна. Следовательно, для качественной модели Я2 должен быть больше 0.8 [43].

Независимыми переменными в этом исследовании являются отношение высоты к длине, угол, толщина ребер и количество ячеек в ауксетичес-кой структуре, значения которых даны в табл. 3 для пяти уровней. Функцией отклика является собранная энергия. При данном количестве независимых входных параметров (4) и центральных точек (1) предполагается провести 25 экспериментов.

3.4. Моделирование усталостной трещины

В структурах, испытывающих циклические нагрузки, формируются трещины, даже при нагрузках меньше предела текучести материала. Когда возникает небольшая трещина, напряжение в ее вершине значительно возрастает и сильно снижает срок службы конструкции. Учитывая значительное влияние трещин на характеристики конструкции, важно предсказать место зарождения трещины, скорость распространения трещины и срок службы конструкции.

Двумя популярными методами моделирования трещин являются расширенный метод конечных элементов и модель когезионной зоны. В расширенном методе конечных элементов нет необходимости определять начальную трещину. Трещина возникает в зависимости от условий нагруже-ния и начинает расти без учета границ элемента, тогда как в модели когезионной зоны место зарождения начальной трещины и ее путь должны быть известны заранее. Следует отметить, что результаты этой модели более точны, чем расширенного метода конечных элементов [44, 45].

В этом исследовании для моделирования роста трещины используется комбинация расширенного метода конечных элементов и метода виртуального закрытия трещины в рамках метода прямого анализа цикла в программе АЬадш. Основным допущением метода виртуального закрытия трещины является равенство количества энергии, выделяющейся при увеличении трещины на некоторую длину, количеству энергии, необходимой для закрытия трещины на ту же длину.

Моделирование выполняется в два этапа. На первом этапе выполняется общий статический анализ для образования трещин в структуре путем приложения растягивающей нагрузки. На втором этапе выполняется прямой анализ цикла, чтобы закрыть трещину с помощью метода виртуального закрытия трещины и повторно открыть трещину с помощью циклической нагрузки. На рис. 5 показаны граничные условия и конечно-

Рис. 5. Граничные условия и конечно-элементная модель (цветной в онлайн-версии)

элементная модель подложки. Реперные точки РТ-1 и РТ-2 задаются сверху и снизу конструкции и являются точками приложения нагрузок. В нижней плоскости конструкции все степени свободы ограничены (РТ-2). В верхней плоскости все степени свободы также ограничены (РТ-1) и только одно периодическое смещение вдоль оси У. Смещение, введенное на первом и втором шаге, равно 0.7 и 0.2 мм соответственно. Зелеными крестиками на рис. 5 отмечена выбранная область распространения. В расширенном методе конечных элементов вся модель была выбрана в качестве области распространения, чтобы трещины могли распространяться в любом направлении.

Рис. 6. Экспериментальные и расчетные зависимости выходного напряжения от частоты: образец 1, моделирование (1); образец 1, эксперимент (2); образец 2, моделирование (3); образец 2, эксперимент (4); простой образец, моделирование (5); простой образец, эксперимент (6) (цветной в онлайн-версии)

4. Обсуждение результатов

4.1. Экспериментальные результаты и обоснование адекватности модели

Как видно из рис. 6, результаты моделирования и эксперимента хорошо согласуются друг с другом. Значения энергии, полученные при моделировании, во всех случаях несколько выше экспериментальных. Причинами такой разницы могут быть дефекты клеевого соединения экспериментального образца, неточность смещения при испытании образца и потери в схеме сопряжения для устройства энергосбора.

Собранная энергия увеличивается для всех приборов до частоты 15 Гц, а затем остается почти постоянной (изменения незначительные).

Максимальное напряжение, полученное с помощью ауксетических устройств 1 и 2, составляет около 1.9 и 1.2 В соответственно. Учитывая, что выходное напряжение простого устройства сбора составляет около 0.55 В, выходное напряжение увеличилось в 3.45 и 2.18 раза при использовании подложек-ауксетиков 1 и 2 соответственно.

4.2. Повышение выходной мощности

Из разд. 2 понятно, что поперечное напряжение в простых устройствах сбора энергии пренебрежимо мало по сравнению с продольным напряжением и имеет противоположный знак. Следовательно, в таких устройствах режим d31 является доминирующим и влияет на выходную мощность. При использовании подложки-ауксетика ее поведение передается пьезоэлектрическому слою и увеличивает поперечное напряжение, которое имеет тот же знак, что и продольное напряжение. При этом оба режима d31 и d32 активны и влияют на выходную мощность. На рис. 7 показано распределение смещения в пьезоэлектрическом слое во всех трех устройствах сбора энергии. Поскольку смещение приложено в направлении оси X, во всех моделях смещение по этой оси положительно, тогда как в направлении оси Y наблюдается сжатие пьезоэлектрического слоя в простом устройстве (положительный коэффициент Пуассона) и расширение в ауксетических устройствах (отрицательный коэффициент Пуассона).

На рис. 8 показано распределение напряжений Мизеса для каждого из трех устройств сбора энергии. Как видно, напряжения в пьезоэлектрике на плоской подложке распределяются равномерно. В пьезоэлектрике на подложке-ауксетике наблюдается концентрация напряжений (в обоих

Рис. 7. Распределение смещений в пьезоэлектрическом слое на подложках-ауксетиках 1 (а, б) и 2 (в, г) и на простой подложке (д, е) по осям X (а, в, д) и У (б, г, е) (цветной в онлайн-версии)

устройствах). Эта концентрация напряжений увеличивает максимальное напряжение в ауксетиче-ских устройствах сбора энергии по сравнению с простыми. Максимальное напряжение Мизеса в

пьезоэлектрическом слое на подложках-ауксети-ках 1 и 2 составляет 22.8 и 5.7 МПа соответственно, что говорит об использовании 65 и 16 % пьезоэлектрической емкости (при пределе прочности

Рис. 8. Распределение напряжений Мизеса в пьезоэлектрическом слое на подложках-ауксетиках 1 (а) и 2 (б) и на простой подложке (б) (цветной в онлайн-версии)

35 МПа) для получения выходной энергии. Напротив, при использовании простой подложки с максимальным напряжением 6.8 МПа на пьезо-

Таблица 4. Напряжение, создаваемое в пьезоэлектическом

элементе на разных подложках

Тип подложки МПа МПа °11 + G22, МПа

Ауксетик 1 3.8 0.95 4.75

Ауксетик 2 1.85 0.75 2.6

Простая 2.4 -0.4 2

электрическом элементе для генерации энергии используется только 19 % пьезоэлектрической емкости. Средние значения напряжений, создаваемых в пьезоэлектрике подложками, приведены в табл. 4.

Для более детального изучения пьезоэлектрических свойств построена гистограмма напряжений (рис. 9). Из рис. 9, а, б видно, что несмотря на увеличение среднего напряжения небольшое количество элементов имеет максимальное напряжение. В идеальном случае максимальное напряжение возникает в большинстве элементов, а не только в ограниченном числе элементов. На рис. 9, в ясно видно, что распределение напряжений более равномерно в пьезоэлектрическом устройстве на простой подложке.

4.3. Результат параметрического исследования

Методом поверхности отклика была установлена связь между переменной отклика и независимыми переменными. Были получены значения 2 2 Я = 0.95 и Д^ = 0.91, согласно которым выбранные диапазоны и предложенная модель подходят для данного эксперимента, а значения, полученные при моделировании с использованием СОМБОЬ МиШрИуБЮБ, соответствуют значениям, предсказанным методом поверхности отклика. Фактические значения и предсказанные значения приведены на рис. 10, а.

На рис. 10, б представлена диаграмма возмущения, которая показывает влияние каждой независимой переменной на переменную отклика, в то время как другие переменные считаются постоянными. На диаграмме возмущения наклон линии для каждого параметра указывает на чувствительность отклика к этому параметру. Чем круче наклон, тем более чувствительна переменная отклика к этому параметру. Кроме того, положительный наклон указывает на прямое влияние параметра на переменную отклика, а отрицательный наклон указывает на обратное влияние параметра на отклик. Следует отметить, что на

1.2

1.1

Рис. 9. Гистограмма напряжений Мизеса в пьезоэлектрическом слое на подложках-ауксетиках 1 (а) и 2 (б) и простой подложке (б) (цветной в онлайн-версии)

диаграмме возмущения не виден эффект взаимодействия параметров.

Как показано на рис. 10, отношение И/Ь и угол 0 оказывают большее влияние на выходное напряжение, чем другие параметры. С увеличением значения И/Ь и угла 0 выходное напряжение уменьшается (обратная зависимость при отрицательном наклоне), а с увеличением толщины ребер Х и числа ячеек выходное напряжение увеличивается (прямая зависимость при положительном наклоне).

На рис. 11 показаны корреляции между независимыми переменными. Каждая диаграмма по-

1.0

к

К <и

£ к

со

2 0.9л

I08'

и

§0.7-

л

С

0.60.5-

1.0-

т о.9-

к

к

К

<и «

Л С

Я 0.8-

0.7-

Цветовая шкала значений (Напряжение, В)196

0.5

0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 Фактические значения

1.2

А [б С

А: Н1Ь А4

В: угол С: 1

Б: число ячеек

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 Отклонение от реперной точки, заданные ед.

Рис. 10. Сравнение фактических и предсказанных значений, полученных методом поверхности отклика (а), диаграмма возмущений (б) (цветной в онлайн-версии)

казывает корреляцию между двумя переменными и напряжением. Например, на рис. 11, в напряжение уменьшается с увеличением И/Ь при всех значениях количества ячеек. Кроме того, напряжение увеличивается с увеличением числа ячеек при всех значениях И/Ь.

4.4. Результаты моделирования на основе расширенного метода конечных элементов и метода виртуального закрытия трещины

Механическое поведение устройств для сбора энергии с простой подложкой и подложками-ауксетиками различается. На рис. 12 показано место зарождения трещины и ее рост. В подлож-ках-ауксетиках трещины зарождаются на острых краях структуры, но не распространяются через всю конструкцию. Хотя целостность структур 1 и

Рис. 11. Взаимосвязь между независимыми переменными (цветной в онлайн-версии)

2 сохраняется за счет неповрежденных ребер, работоспособность конструкции полностью нарушается. В простом устройстве трещины появляются возле зажимов. В этом случае трещины растут одновременно с обеих сторон и соединяются в середине конструкции.

На рис. 13 показана зависимость длины трещины от срока службы структур, который был определен по закону Париса. Срок службы простой

подложки составляет 18.6 млн циклов. В этой конструкции трещина растет медленно, пока ее длина не достигнет 0.6 мм, после чего она резко увеличивается, что приводит к разрушению структуры. Срок службы подложки-ауксетика 1 составляет 9.3 млн циклов (50 % от простой подложки). В этой структуре трещина растет медленно до длины 0.6 мм, а затем быстро, что приводит к разрушению опорного ребра. Срок службы

Рис. 12. Область образования трещины в подложках-ауксетиках и простой подложке (цветной в онлайн-версии)

подложки-ауксетика 2 составляет 3.4 млн циклов (18 % от простой подложки). В этой конструкции трещины растут медленно до длины 0.4 мм, а затем резко до разрушения опорного ребра. Основными причинами сокращения срока службы под-ложек-ауксетиков являются образование мест концентрации напряжений, наличие в этих структурах тонких распорок и низкая относительная плотность. Это вызывает растрескивание при малоцикловом нагружении.

Рис. 13. Зависимость длины трещины от числа циклов (цветной в онлайн-версии)

5. Выводы

Геометрия ауксетических структур обуславливает их отрицательный коэффициент Пуассона. Использование этих структур в качестве подложек в устройствах сбора энергии увеличивает выходную энергию за счет активизации напряжений в направлении, перпендикулярном приложенной силе, и создания концентрации напряжений.

В этом исследовании экспериментально и численно исследованы две подложки-ауксетика и простая подложка. Результаты показывают, что выходное напряжение подложек-ауксетиков 1 и 2 в 3.45 и 2.18 раза больше соответственно, по сравнению с простой подложкой.

Чтобы лучше понять влияние геометрических параметров элементарной сотовой ячейки с вогнутым углом на выходное напряжение, было проведено параметрическое исследование методом поверхности отклика и определено влияние каждого параметра на выходное напряжение. Результаты параметрического исследования показывают, что отношение высоты к длине и угол являются наиболее значимыми параметрами для выходного напряжения.

Концентрации напряжений и пористость аук-сетических структур могут оказывать разрушительное влияние на работу устройства сбора энергии, поэтому важен анализ поведения подложек-ауксетиков при периодическом нагружении. В этой работе были исследованы рост трещин и усталостная долговечность подложек-ауксетиков и простой подложки при периодическом нагруже-нии. Результаты показывают, что усталостная долговечность подложек-ауксетиков 1 и 2 на 50 и 72 % меньше соответственно, чем у простых подложек. Причина этого снижения заключается в наличии концентрации напряжений, малой толщине ребер и пористости подложек-ауксетиков. Согласно полученным результатам, изучение механического поведения можно рассматривать как конструктивное ограничение для устройств сбора энергии.

Литература

1. Alhawari M., Mohammad B., Sal eh H., Ismail M. Energy Harvesting for Self-Powered Wearable Devices. - New York: Springer, 2018.

2. Tian R., Wan C., Hayashi N., Aoai T., Koumoto K. Wearable and flexible thermoelectrics for energy harvesting // MRS Bullet. - 2018. - V. 43(3). - P. 193198. - https://doi.org/10.1557/mrs.2018.8

3. Diez P.L., Gabilondo I., Alarcon E., Moll F. A Comprehensive Method to Taxonomize Mechanical Energy Harvesting Technologies // IEEE Int. Symp. Circuits and Systems: ISCAS-2018. - IEEE, 2018. -https://doi.org/10.1109/ISCAS.2018.8350907

4. Narita F., FoxM. A review on piezoelectric, magnetostrictive, and magnetoelectric materials and device technologies for energy harvesting applications // Adv. Eng. Mater. - 2018. - V. 20(5). - P. 1700743. -https://doi.org/10.1002/adem.201700743

5. Wang H., Jasim A., Chen X. Energy harvesting technologies in roadway and bridge for different applications—A comprehensive review // Appl. Energy. -2018. - V. 212. - P. 1083-1094. - https://doi.org/10. 1016/j.apenergy.2017.12.125

6. Mescia L. Innovative Materials and Systems for Energy Harvesting Applications. - IGI Global, 2015.

7. Ilyas M.A. Piezoelectric Energy Harvesting: Methods, Progress, and Challenges. - Momentum Press, 2018.

8. Bhalla S., Moharana S., Talakokula V., Kaur N. Piezoelectric Materials: Applications in SHM, Energy Harvesting and Biomechanics. - John Wiley & Sons, 2016.

9. Izadgoshasb I. Performance Enhancement of Human Motion Based Piezoelectric Energy Harvesters. - Southern Cross University, 2019.

10. Erturk A., Inman D.J. On mechanical modeling of cantilevered piezoelectric vibration energy harvesters // J. Intelligent Mater. Syst. Struct. - 2008. -V. 19(11). - P. 1311-1325. - https://doi.org/10.1177/ 1045389X07085639

11. Erturk A., Inman D.J. A distributed parameter electromechanical model for cantilevered piezoelectric energy harvesters // J. Vibr. Acoust. - 2008. - V. 130(4). -https://doi.org/10.1115/1.2890402

12. Erturk A., Inman D.J. An experimentally validated bi-morph cantilever model for piezoelectric energy harvesting from base excitations // Smart Mater. Struct. -2009. - V. 18(2). - P. 025009.

13. Zadpoor A.A. Mechanical meta-materials // Mater. Horizons. - 2016. - V. 3(5). - P. 371-381. - https:// doi.org/10.1039/C6MH00065G

14. Barchiesi E., Spagnuolo M., Placidi L. Mechanical metamaterials: A state of the art // Math. Mech. Solids. - 2019. - V. 24(1). - P. 212-234. - https://doi. org/10.1177/1081286517735695

15. Prawoto Y. Seeing auxetic materials from the mechanics point of view: A structural review on the negative Poisson's ratio // Comput. Mater. Sci. - 2012. -V. 58. - P. 140-153. - https://doi.org/10.1016/jxom matsci.2012.02.012

16. Evans K.E., Alderson A. Auxetic materials: Functional materials and structures from lateral thinking // Adv. Mater. - 2000. - V. 12(9). - P. 617-628. - https://doi. org/10.1002/(SICI)1521-4095(200005)12:9<617::AID-ADMA617>3.0.C0;2-3

17. Evans K.E., Alderson K. Auxetic materials: The positive side of being negative // Eng. Sci. Educat. J. -2000. - V. 9(4). - P. 148-154. - https://doi.org/10. 1049/esej :20000402

18. Lvov V.A., Senatov F.S., Korsunsky A.M., Salimon A.I. Design and mechanical properties of 3D-printed auxe-tic honeycomb structure // Mater. Today Commun. -2020. - P. 101173. - https://doi.org/10.1016/j.mt comm.2020.101173

19. Alomarah A., Ruan D., Masood S. Tensile properties of an auxetic structure with re-entrant and chiral featu-res—A finite element study // Int. J. Adv. Manuf. Technol. - 2018. - V. 99(9-12). - P. 2425-2440. -https://doi.org/10.1007/s00170-018-2637-y

20. Wang Z.P., Poh L.H., Dirrenberger J., Zhu Y., Forest S. Isogeometric shape optimization of smoothed petal auxetic structures via computational periodic ho-mogenization // Comp. Meth. Appl. Mech. Eng. -2017. - V. 323. - P. 250-271. - https://doi.org/10. 1016/j.cma.2017.05.013

21. Wang X.T., Wang B., Li X.W., Ma L. Mechanical properties of 3D re-entrant auxetic cellular structures // Int. J. Mech. Sci. - 2017. - V. 131. - P. 396-407. -https://doi.org/10.1016/jijmecsci.2017.05.048

22. Yang L., Harrysson O., West H., Cormier D. Mechanical properties of 3D re-entrant honeycomb auxetic structures realized via additive manufacturing // Int. J. Solids Struct. - 2015. - V. 69. - P. 475-490. - https:// doi.org/10.1016/j.ijsolstr.2015.05.005

23. Novak N., Vesenjak M., Tanaka S., Hokamoto K., Ren Z. Compressive behaviour of chiral auxetic cellular structures at different strain rates // Int. J. Impact Eng. - 2020. - P. 103566. - https://doi.org/10.1016/j. ijimpeng.2020.103566

24. Necemer B., Glodez S., Novak N., Kramberger J. Numerical modelling of a chiral auxetic cellular structure under multiaxial loading conditions // Theor. Appl. Fract. Mech. - 2020. - V. 107. - P. 102514. - https:// doi.org/10.1016/j .tafmec.2020.102514

25. Grima J.N., Gatt R., Farrugia P.S. On the properties of auxetic meta-tetrachiral structures // Phys. Stat. Solid. B. - 2008. - V. 245(3). - P. 511-520. - https:// doi.org/10.1002/pssb.200777704

26. Cho H., Seo D., Kim D.-N. Mechanics of Auxetic Materials // Handbook of Mechanics of Materials. - Singapore: Springer, 2019. - P. 733-757.

27. Jiang Y., Rudra B., Shim J., Li Y. Limiting strain for auxeticity under large compressive deformation: Chi-ral vs. re-entrant cellular solids // Int. J. Solids Struct. - 2019. - V. 162. - P. 87-95. - https://doi.org/ 10.1016/j.ijsolstr.2018.11.035

28. Khan S.Z., Mustahsan F., Mahmoud E.R., Ma-sood S.H. A novel modified re-entrant honeycomb structure to enhance the auxetic behavior: Analytical and numerical study by FEA // Mater. Today Proc. -2020. - https://doi.org/10.1016Zj.matpr.2020.05.083

29. Sangsefidi A.R., Dibajian S.H., Kadkhodapour J., Anaraki A.P., Schmauder S., Schneider Y. An Abaqus plugin for evaluation of the auxetic structure performance // Eng. Computers. - 2021. - P. 1-24. - https:// doi.org/10.1007/s00366-021-01295-w

30. Fey T., Eichhorn F., Han G., Ebert K., Wegener M., Roosen A., Greil P. Mechanical and electrical strain response of a piezoelectric auxetic PZT lattice structure // Smart Mater. Struct. - 2015. - V. 25(1). -P. 015017. - https://doi.org/10.1088/0964-1726/25/!/ 015017

31. Iyer S., Alkhader M., Venkatesh T. Electromechanical behavior of auxetic piezoelectric cellular solids // Scripta Mater. - 2015. - V. 99. - P. 65-68. - https:// doi.org/10.1016/j.scriptamat.2014.11.030

32. Li Q., Kuang Y., Zhu M. Auxetic piezoelectric energy harvesters for increased electric power output // AIP Adv. - 2017. - V. 7(1). - P. 015104. - https://doi.org/ 10.1063/1.4974310

33. Ferguson W.J., Kuang Y., Evans K.E., Smith C.W., Zhu M. Auxetic structure for increased power output of strain vibration energy harvester // Sensor. Actuator. A. Phys. - 2018. - V. 282. - P. 90-96. - https:// doi.org/10.1016/j.sna.2018.09.019

34. Eghbali P., Younesian D., Farhangdoust S. Enhancement of piezoelectric vibration energy harvesting with auxetic boosters // Int. J. Energy Res. - 2020. - V. 44(2). -P. 1179-1190. - https://doi.org/10.1002/er.5010

35. Eghbali P., Younesian D., Farhangdoust S. Enhancement of the low-frequency acoustic energy harvesting with auxetic resonators // Appl. Energy. - 2020. -V. 270. - P. 115217. - https://doi.org/10.1016Zj.ap energy.2020.115217

36. Eghbali P., Younesian D., Moayedizadeh A., Ranj-bar M. Study in circular auxetic structures for efficiency enhancement in piezoelectric vibration energy harvesting // Sci. Rep. - 2020. - V. 10(1). - P. 1-11. -https://doi.org/10.1038/s41598-020-73425-1

37. Chen K., Gao Q., Fang S., Zou D., Yang Z., Liao W.H. An auxetic nonlinear piezoelectric energy harvester

for enhancing efficiency and bandwidth // Appl. Energy. - 2021. - V. 298. - P. 117274. - https://doi.org/10. 1016/j.apenergy.2021.117274

38. Ebrahimian F., Kabirian Z., Younesian D., Eghbali P. Auxetic clamped-clamped resonators for high-efficiency vibration energy harvesting at low-frequency excitation // Appl. Energy. - 2021. - V. 295. -P. 117010. - https://doi.org/ 10.1016/j.apenergy.2021. 117010

39. Kramberger J., Necemer B., Glodez S. Assessing the cracking behavior of auxetic cellular structures by using both a numerical and an experimental approach // Theor. Appl. Fract. Mech. - 2019. - V. 101. - P. 1724. - https://doi.org/10.1016/j.tafmec.2019.02.008

40. Francesconi L., Baldi A., Dominguez G., Taylor M. An investigation of the enhanced fatigue performance of low-porosity auxetic metamaterials // Exp. Mech. -2020. - V. 60(1). - P. 93-107. - https://doi.org/10. 1007/s11340-019-00539-7

41. Peng C., Tran P., Nguyen-Xuan H., Ferreira A.J.M. Mechanical performance and fatigue life prediction of lattice structures: Parametric computational approach // Compos. Struct. - 2020. - V. 235. - P. 111821. -https://doi.org/10.1016/j.compstruct.2019.111821

42. Rafique S., Rafique Q. Piezoelectric Vibration Energy Harvesting. - Springer, 2018.

43. Montgomery D.C. Design and Analysis of Experiments. - John Wiley & Sons, 2017.

44. Hu X., Xu J., Du X., Zhang Y., Zhou F. Research on fatigue crack propagation of 304 austenitic stainless steel based on XFEM and CZM // Metals. - 2020. -V. 10(6). - P. 727. - https://doi.org/10.3390/met1006 0727

45. Teimouri F., Heidari-Rarani M., Aboutalebi F.H. An XFEM-VCCT coupled approach for modeling mode I fatigue delamination in composite laminates under high cycle loading // Eng. Fract. Mech. - 2021. -V. 249. - P. 107760. - https://doi.org/10.1016/j.eng fracmech.2021.107760

Поступила в редакцию 28.04.2022 г., после доработки 27.05.2022 г., принята к публикации 31.05.2022 г.

Сведения об авторах

Alireza Sangsefidi, PhD Stud., Shahid Rajaee Teacher Training University, Iran, [email protected]

Javad Kadkhodapour, Assoc. Prof., Shahid Rajaee Teacher Training University, Iran, [email protected]

Ali Pourkamali Anaraki, Prof., Shahid Rajaee Teacher Training University, Iran, [email protected]

Saiedhosain Dibajian, Assist. Prof., Shahid Beheshti University, Iran, [email protected]

Siegfried Schmauder, Prof., University of Stuttgart, Germany, [email protected]