Повышение эффективности прогнозирования надежности двигателей на основе планированного эксперимента Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 629.76

ПОВЫШЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ НАДЕЖНОСТИ ДВИГАТЕЛЕЙ НА ОСНОВЕ ПЛАНИРОВАННОГО ЭКСПЕРИМЕНТА

М.Н. Давыдов, Г.К. Агеев, А.Р. Фатыхова

Рассматривается задача по повышению эффективности прогнозирования параметров, характеризующих на-дежнось и ресурс двигателей (жидкостно-реактивных, газотурбинных и др.). Прогнозирование проводится как по длительности, так и режимам нагружения двигателя. Моменты измерения параметров двигателя и режимы функционирования определяются на основе теории планирования эксперимента с применением О-критерия оптимальности

Ключевые слова: двигатель, прогнозирование, эффективность

На практике цель планирования эксперимента при решении задачи по прогнозированию надежности двигателя состоит в выборе количества и условий проведения экспериментов (замеров), обеспечивающих получение наилучшего (оптимального) в смысле точности прогнозирования состояния двигателя. При этом практическую ценность имеют не непрерывные, а точные планы эксперимента, которые являются оптимальными для дискретно заданного числа наблюдений N. При этом задача выбора точного оптимального плана сводится к нахождению такого расположения N точек = 1, N) в

пространстве планирования вх (включает как интервал длительности вт, так и вектор параметров режима нагружения ^х (^ ~ ^т П ^х), при котором выполняются требования соответствующего критерия оптимальности [1].

В теории планирования эксперимента все критерии требуют минимизации отклонения оценки регрессионной функции от истинной и предъявляют определенные требования к виду информационной матрицы М, не зависящей от вектора наблюдений, поэтому свойства матрицы могут быть исследованы до проведения эксперимента (т. е. возможен выбор плана, удовлетворяющего определенным требованиям, до начала эксперимента):

/о(х1) ■■■

М = Е т Е , где Е = ■■■ ........

_/о(XN) ■■■/(^)_ Критерий в-оптимальности Ко при прогнозировании по длительности требует такого расположения точек в области планирования ^х, при котором достигается наименьшая величина максимальной дисперсии прогнозируемого параметра состояния двигателя:

Ка = тттах d (т0,е) = тттах /т (т)М ~1/(г),

Давыдов Марсель Николаевич - УГАТУ, канд. техн. наук, доцент, e-mail: [email protected] Агеев Георгий Константинович - УГАТУ, аспирант, ассистент, e-mail: [email protected]

Фатыхова Анвария Раисовна - УГАТУ, аспирант, e-mail: [email protected]

где d (т0,г)- дисперсия прогнозируемого параметра

двигателя на момент времени т для плана эксперимента е.

Применение в-оптимального плана даёт экспериментатору гарантию, что в области прогнозирования не окажется точек, в которых точность оценки прогнозируемого параметра (поверхности отклика) слишком низкая.

Критерий р-оптимальности Кр требует от плана минимизации не максимальной дисперсии, а средней по всевозможным функциям дисперсии прогнозируемого параметра двигателя:

Кя = т1пX/Т (т)М~1/(Т) = ттXd(т А) .

Таким образом, в качестве показателя эффективности плана эксперимента е(т), характеризующего точность прогнозной оценки выходного параметра регрессионной модели, можно рассматривать дисперсию оценки прогнозируемого параметра двигателя: в точке (т); интервале (Ат); пространстве (вх) включающего независимые аргументы - длительность наработки т и вектор режимов нагружения Я :

Пт = d(т,є) ; Пт = d(А т,є) Пт = d(Gs,є).

(1)

Критерием эффективности плана эксперимента, т. е. условием, которому должны удовлетворять значения показателя эффективности, является минимизация дисперсии оценки параметров:

KT = min ПТ = min d (т,є);

KT = min ПТ = min d (А т,є); KT = min ПТ = min d (GE ,є).

(2)

Оценка дисперсии выходного параметра исследуемого двигателя проводится следующим образом. Будем рассматривать задачу оценки вида и параметров одной из функций:

у = р (T, R) или у = f (т, R) + е,

(3)

где у - выходная величина; т - входные управляемые переменные Т = (т1, ..., т т); Ъ = ...,78) - кон-

тролируемые, но не управляемые параметры; е -аддитивный шум.

Для процесса, характеризуемого одним вход-

ным параметром и постоянном режиме функционирования R = idem, уравнение связи имеет вид:

У = П(т) + е.

(4)

Для сложных технических объектов типа двигателей информация об уравнениях связи и характере возмущающих воздействий, как правило, является неполной. Если вид закона распределения ошибки известен, то его характеристики могут быть получены на основании экспериментальных данных. Однако сведения относительно закона распределения ошибки не предопределяют успешного решения задачи поиска математической модели процесса, поскольку остается открытым вопрос о виде функции п(т), которая зависит от неизвестных параметра в1,в2,...,вк.

Степень информированности исследователя относительно функции п(т) = г/(т, ©) характеризуется тремя основными уровнями:

1) вид функции п(т, ©) известен;

2) известно, что функция ц(т, ©) совпадает с

одной из функций: п(т,©1),...,П(т,©V) • Требуется

определить, какая из функций является истинной, и найти неизвестные параметры;

3) вид функции п(т, ©) неизвестен.

Наиболее благоприятным для исследователя является случай, когда имеется априорная информация о процессе, соответствующая первому уровню.

Менее развиты методы планирования эксперимента по выявлению истинной модели из совокупности функций, а планирование эксперимента при полном отсутствии априорной информации (уровень 3) вообще невозможно. В этом случае планирование сводится к некоторой последовательной процедуре, заключающейся в выдвижении нескольких гипотез о виде функции п(т) и проведении дискриминации между ними.

В дальнейшем будем считать, что задача определения вида функции связи п(т) решена, и она линейна относительно неизвестных коэффициентов:

П(т) = Yßjfj (т),

j=0

(4)

где 0j - искомые коэффициенты регрессии; (к+1) -

число членов уравнения регрессии; т = (т1,т2,...тт)

- вектор входных переменных; /\ (т) - известные

функции входных переменных.

В результате действия случайных возмущений в эксперименте наблюдается величина:

у, - п(т)+е = fj (т)+е; i=1N >

(6)

j=о

где N - число проведенных наблюдений.

Задачу оценки неизвестных коэффициентов О можно рассматривать как задачу оценки регрессионной функции. Мерой отклонения оценки регрессионной функции от истинной зависимости является

дисперсия предсказанных по уравнению регрессии значений выходного параметра модели исследуемого процесса и характеристики объекта [1]:

d(x) = EfZfjOr)0j Tfj(T)0j]2= EfZfj (T)(6j 0j)]'

j=0 j=0 j=0

k k

=YLf (T)fj (t)e[(9, e, )(6j 0j )]=

(7)

= o2fT(t)(FtF) f(т) = o2fT(T)Cf (т) = o2fT(t)M f(T), где а2- дисперсия погрешности контроля функции выходного параметра двигателя в эксперименте.

Тогда оптимальным является тот план е , который минимизирует на множестве всех возможных планов величину дисперсии предсказания в заданный момент времени т0:

KT = d (t0,s") = min ПТ = min d (r0,e). (8)

Матрица ^ = —fTf представляет собой

N

нормированную информационную матрицу (Фишера), не зависящую от числа точек плана N , но зависящую от их расположения. Нормированная дисперсия функции регрессии d(т) не зависит от числа точек измерений, но зависит от их расположения. Рис. 1 показывает, что свойства максимальной дисперсии плана d(т)макс сложнее.

^(т)макс

4

2

И*-1 »-•■О

Y Г*

0-1 Г J r-°-S

6 8

10 12 14 N

Рис. 1. Зависимость максимальной нормированной дисперсии функции регрессии от числа измерений при q = 3:

• - равномерное расположение точек;

О - расположение точек по в-оптимальному плану;

* - план с числом точек, равным числу коэффициентов модели;

Доверительный интервал функции регрессии вычисляется по известной формуле [2]:

а2у = Д(т)т(ТтЩДт)у 2 = 1дт)тМ т)у 2. (9)

В случае если дисперсия и2 неизвестна, то используется оценка, вычисленная по экспериментальным данным.

На рис. 2 показано распределение нормированной дисперсии:

Пт = й (т) = Д(т) М-1Д(т) = N (^ /^2) (10)

6

0

в предположении с2=1 при q=3 для равномерного размещения точек на интервале [0, 1]. Из рис. 1 видно, что особенностью равномерного размещения точек являются наибольшие значения дисперсии на краях диапазона измерений.

Рис. 2. Распределение нормированной дисперсии функции регрессии:

О - дисперсия при равномерном расположении точек измерений;

• - расположение точек в соответствии с в-оптимальным планом; q - порядок уравнения регрессии; к - число коэффициентов регрессионной модели

Иное размещение точек следует из в-оптимального плана. В в-оптимальных планах точки подобраны так, чтобы получить:

кт = толпах = тттахст2(т). (11)

Вместо (11) можно записать: штшахст2 = тттах Д(т)тМ-1/(т)(а2 /N). (12)

Т т у т т

Зависимость максимального значения нормированной дисперсии й (т) от количества опытов в

плане эксперимента приведена на рис. 3.

Полином степени q имеет вид:

у = Ьо + Ът + V2 +... + ът .

в-оптимальные планы имеют одну важную особенность: расположение точек измерения не зависит от значений коэффициентов модели (зависит от вида модели, т. е. для полинома - от его степени), ввиду чего план может быть определен заранее и будет являться универсальным для данной модели.

Пример распределения дисперсии погрешности оценки, приведенный на рис. 2 для q=3, показывает, что по сравнению с традиционным равномерным размещением точек при в-оптимальном плане дисперсия на краях диапазона измерений уменьшается, а в центральной части диапазона увеличивается. Максимального значения дисперсия достигает в нескольких точках.

Эффект от применения в-оптимальных планов показан рис. 1: дисперсия й(т)макс почти не зави-

сит от числа точек, зато для равномерного расположения точек дисперсия возрастает. Для одного и того же числа точек графики на рис. 1 позволяют непосредственно сравнить дисперсии погрешности оценки при различных расположениях точек плана эксперимента.

Зависимость дисперсии погрешности оценки от числа измерений проявляется в обоих сомножителях формулы (9), т. е. в й(т) = /(т)т М~‘ /(т) и в с2/Ж Свойства первого сомножителя видны из

рис. 2. Второй сомножитель скрывает зависимость более сложную, чем та, что выражена непосредственно формулой. В в-оптимальных планах некоторые точки повторяются п1 раз, так что

N

N Е=Х пі > N. (13)

і=1

Равенство N^ = N имеет место, когда каждая

точка в эксперименте реализуется однократно.

По мере увеличения числа точек в плане эксперимента дисперсия погрешности оценки уменьшается пропорционально числу этих точек. Зависи-_2

мости С у от числа точек плана эксперимента приведена на рис. 3 для равномерного расположения точек и для в-оптимального плана.

Рис. 3. Зависимость максимальной дисперсии погрешности оценки у от расположения точек плана эксперимента при моделировании динамики изменения параметров двигателя моделью регрессии 3-го порядка: О - по в-оптимальному плану; О - при равномерном расположении точек

Таким образом, применение в-оптимальных планов значительно уменьшает количество опытов, обеспечивая такое же значение максимальной дисперсии погрешности прогнозной оценки выходного параметра исследуемого процесса.

Возможные варианты прогнозирования параметров двигателя приведены на рис. 4.

Сокращение длительности наработки при прогнозировании возможно за счет оптимального размещения опытов на временной оси (рис. 4. б).

б

в

г

Рис. 4. Варианты применения прогнозирования параметров двигателя по наработке: а - динамика изменения параметра у в интервале [0...тн]; б - прогнозирование с проведением эксперимента по оптимальному плану е1( Nr) = е( Nн) в интервале [0...тГ1]

( Ny = NH); в - прогнозирование с увеличением числа повторных опытов в интервале [0...TY 2 ] ( Ny > NH, s2( Nr) = s1( Ny )); г - прогнозирование с проведением эксперимента по оптимальному плану £3 (Nr ) Ф£2 (Nr ) в интервале [0.. .тг.3 ].

Проведение эксперимента по плану е2 позволяет обеспечить такое же значение дисперсии прогнозируемого значения “у” при неизменном объеме эксперимента (NY = NH), но за более короткое время тн :

а2 (е1 ,тн) = а2 (е2 ,тг); Nr = NH, (14)

где Атх - эффект ПЭ по длительности; а2 (s,t) -

дисперсия прогнозируемого параметра при реализации эксперимента по плану е, для которого верхняя граница по длительности равна т. Областью определения т является интервал 0^гн. Для случая, когда

все измерения значений yi проводятся на одном изделии, критерий эффективности плана имеет вид: K = min П = min[max т. ];

j __________ (15)

а2(^1,тн) = a2(^2,Tr); j = 1,Nr; Nr = Nh.

Очевидно, что больший эффект может быть достигнут за счет увеличения количества повторных измерений в плане эксперимента на интервале 0---т (рис. 4 в):

У

Кт = min Пт = min[max т. ];

j __________ (16)

a2(sHт) = a2(srт); j =1 Nr; Nr > nh•

Из (15) и (16) следует, что минимизация показателя Пт может проводиться за счет варьирования

как спектром плана (координатами размещения точек эксперимента на временной оси (наработки

0 l тн), так и количеством опытов

Nr (Nr е1^®) (рис. 4 г):

Nr

Кт = min Пт = min V т.; т т Р J (17)

a2(sH,тн) = a2(sr,тY); Nr е1---<х>.

Определение планов оптимального прогнозирования по критерию KT = min d(x,s) проводится численным (итерационным) методом.

Пример 1. Математическое ожидание коэффициента полезного действия (КПД) центробежного гидравлического насоса при наработке т = 0 равно

0,25.

По статистическим данным эксплуатации насосов известно, что изменение КПД по наработке описывается регрессионной моделью вида

* 2 Пк = а0 + й\т + а2т . Погрешность оценки КПД (дисперсия а2) равна 2,5 -10-5.

*

Требуется определить значение Пк для гаран-

тийной наработки насоса, относительное значение — * которой равно т = 1,5 с точностью 5% < ±0,02;

При этом длительность наработки насоса не должна превышать т = 1,0, а объем измерений -N < 21.

Для решения задачи используем в -

оптимальное планирование. Нормируя длительность испытаний (от 0 до 1,0) от «-1» до «+1», определяем относительные координаты прогнозируемой точки (тпр = 2). Оптимизация плана по критерию в -оптимальности показывает, что необходимо провести (рис. 5):

• три измерения в начале наработки (т = 0 ч);

• девять измерений в середине наработки

(т = 0,5 • т);

• девять измерений в конце наработки

(т = 1,0 •т).

Рис. 5. Изменение КПД насоса в процессе наработки: I - интервал наработки; II - интервал прогноза; о - точки плана эксперимента; //У/ - об*

ласть рассеивания значений Пк при доверительной вероятности 0,95; тотк - время наступления параметрического отказа

При этом дисперсия плана

¿(тпр , е* ) = т1^(тпр , еN ) = 2,33 • 10-5.

Для сравнения, дисперсия равномерного плана эксперимента, в соответствии с которым оценка

КПД проводится через каждые т = 0,1, равна 6,45-10-5.

Пример 2. Материал детали двигателя - жаростойкий сплав ЖС6-К, длительная прочность которого описывается уравнением:

ст = А - В-Т(20 + ^т), (18)

где ст - предел длительной прочности, кг/мм2; Т -температура, К; т - длительность работы, час; А и В - коэффициенты.

Требуется оценить долговечность материала в прогнозной области при напряжении 3,5 МПа и температуре 2000 К, если известно, что модель прочности в данной области остается неизменной, а используемое оборудование позволяет проводить испытания образцов материала только в интервале нагрузок от 2,0 до 3,0 МПа и от 970 до 1120 К.

На испытания выделено 12 образцов.

Время до разрушения материала определяется согласно (18):

т* = ехр[( А -стр)/ В • Т-20], (19)

где стр - напряжение лопатки, кг/мм2.

Для выбора плана эксперимента задаемся начальными значениями коэффициентов в уравнении (19) - А = 231,5 и В = = 7,709-10-3.

Выбор плана оптимизацией по критерию в -оптимальности показывает, что необходимо провести:

• 3 опыта при стр = 2 МПа и Т = 973 К;

• 9 опытов при стр = 3,0 МПа и Т = 1120 К.

При этом прогнозная оценка имеет дисперсию

в 17 раз меньшую, чем при прогнозировании прочности по модели, полученной по результатам равномерно спланированного эксперимента.

Работа проводилась при финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации.

Литература

1. Гишваров А.С. Повышение эффективности планирования многофакторного эксперимента. - Уфа: Гилем, 2010. 250 с.

2. Хартман К. и др. Планирование эксперимента в исследовании технологических процессов. - М.: Мир, 1977. - 553 с.

Уф имский государственный авиационный технический университет

IMPROVING THE EFFICIENCY OF ENGINE RELIABILITY PREDICTION BASED

ON THE PLAN OF EXPERIMENT

M.N. Davydov, G.K. Ageev, A.R. Fatyhova

The article discusses the problem to improve the efficiency of forecasting parameters that characterize the reliability and resource engines (liquid-jet, gas turbine, etc.). Forecasting is carried out both on the duration and conditions of loading the engine. Moments measurement of motor parameters and modes of functioning of determined based on the theory of experimental planing using G-optimality criterion

Key words: engine, forecasting, efficiency