Научная статья на тему 'ПОВЫШЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ И УПРАВЛЕНИЯ ЭКОНОМИЧЕСКИМИ ПРОЦЕССАМИ ЗА СЧЕТ ОПТИМИЗАЦИИ ИНЖЕНЕРНЫХ РАСЧЕТОВ'

ПОВЫШЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ И УПРАВЛЕНИЯ ЭКОНОМИЧЕСКИМИ ПРОЦЕССАМИ ЗА СЧЕТ ОПТИМИЗАЦИИ ИНЖЕНЕРНЫХ РАСЧЕТОВ Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
29
4
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ / ИНЖЕНЕРНЫЕ РАСЧЕТЫ / ДИНАМИЧЕСКИЕ РЯДЫ / ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Мутушев Дмитрий Михайлович

В данной работе предлагаются методы оптимизации механизма инженерных расчетов, выполняемых для прогнозирования и, соответственно, принятия последующих управленческих решений при планировании экономических процессов. Для этого исследуются возможности повышения эффективности операций, проводимых в реальных процессах, порождающих ряды данных, меняющихся во времени. Исследуется понятие мощности ряда и доказывается возможность нахождения оптимальной частоты изменений направления движения. Описывается математическая модель ряда, сглаживаемого при помощи фильтруемого ряда Фурье. На примере решения инженерной задачи демонстрируется возможность управления экономическими процессами. Предлагается методика расчета частоты фильтрации ряда, оптимизируемой в зависимости от текущих характеристик ряда.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

IMPROVING THE EFFICIENCY OF FORECASTING AND MANAGEMENT OF ECONOMIC PROCESSES BY OPTIMIZING OF ENGINEERING CALCULATIONS

This paper substantiates methods for optimizing the mechanism of engineering calculations performed for forecasting and, accordingly, making subsequent management decisions when planning economic processes. To do this, the possibilities of increasing the efficiency of operations carried out in real processes that generate data series that change over time are being investigated. The concept of the power of a series is investigated and the possibility of finding the optimal frequency of changes in the direction of movement is proved. A mathematical model of a series smoothed using a filtered Fourier series is described. The possibility of managing economic processes is demonstrated by the example of solving an engineering problem. A method is proposed for calculating the filtering frequency of a series, optimized depending on the current characteristics of the series.

Текст научной работы на тему «ПОВЫШЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ И УПРАВЛЕНИЯ ЭКОНОМИЧЕСКИМИ ПРОЦЕССАМИ ЗА СЧЕТ ОПТИМИЗАЦИИ ИНЖЕНЕРНЫХ РАСЧЕТОВ»

http://vestnik-

;-nauki.ru

Вестник науки и образования Северо-Запада России, 2022, Т. 8, №1

ISSN 2413-9858

УДК 519.6

ПОВЫШЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ И УПРАВЛЕНИЯ ЭКОНОМИЧЕСКИМИ ПРОЦЕССАМИ ЗА СЧЕТ ОПТИМИЗАЦИИ ИНЖЕНЕРНЫХ

РАСЧЕТОВ

Д.М. Мутушев

IMPROVING THE EFFICIENCY OF FORECASTING AND MANAGEMENT OF ECONOMIC PROCESSES BY OPTIMIZING OF ENGINEERING CALCULATIONS

D M. Mutushev

Аннотация. В данной работе предлагаются методы оптимизации механизма инженерных расчетов, выполняемых для прогнозирования и, соответственно, принятия последующих управленческих решений при планировании экономических процессов. Для этого исследуются возможности повышения эффективности операций, проводимых в реальных процессах, порождающих ряды данных, меняющихся во времени. Исследуется понятие мощности ряда и доказывается возможность нахождения оптимальной частоты изменений направления движения. Описывается математическая модель ряда, сглаживаемого при помощи фильтруемого ряда Фурье. На примере решения инженерной задачи демонстрируется возможность управления экономическими процессами. Предлагается методика расчета частоты фильтрации ряда, оптимизируемой в зависимости от текущих характеристик ряда.

Ключевые слова: экономические процессы; инженерные расчеты; динамические ряды; преобразование Фурье.

Abstract. This paper substantiates methods for optimizing the mechanism of engineering calculations performed for forecasting and, accordingly, making subsequent management decisions when planning economic processes. To do this, the possibilities of increasing the efficiency of operations carried out in real processes that generate data series that change over time are being investigated. The concept of the power of a series is investigated and the possibility of finding the optimal frequency of changes in the direction of movement is proved. A mathematical model of a series smoothed using a filtered Fourier series is described. The possibility of managing economic processes is demonstrated by the example of solving an engineering problem. A method is proposed for calculating the filtering frequency of a series, optimized depending on the current characteristics of the series.

Key words: economic processes; engineering calculations; time-series; Fourier transformation.

В настоящее время прогнозирование экономических процессов и многих технических осуществляется на основании статистических методов, с применением инженерных расчетов, в основе которых лежат хорошо известные математические методы, одним из которых является сглаживание [1, сс. 20-25]. Но при этом все эти методы используют параметры, которые задаются «в ручную». Здесь будет предложена методика, позволяющая производить похожие действия, используя имманентные характеристики исследуемых процессов.

В данной работе предлагаются методы анализа рядов, значения в которых возникают в результате сложения результатов решений множества независимых субъектов. Нас интересуют динамические ряды со случайным блужданием [2], когда:

Xt = + е^ где ^ - нормально распределённая случайная величина с нулевым математическим ожиданием и конечной дисперсией.

Введение

http://vestnik-

;-nauki.ru

Вестник науки и образования Северо-Запада России, 2022, Т. 8, №1

ISSN 2413-9858

Отдельные локальные участки рядов могут быть определённым образом классифицированы и выявлены для использования их численных характеристик [3]. Кроме того, в [4] показано, что весь динамический ряд может быть разделён на сменяющие друг друга движения. Поэтому в качестве одной из задач настоящего исследования можно принять поиск связи между горизонтальным и вертикальным размером искомых движений.

Большую роль в исследовании динамических рядов играет возможность предсказать ожидаемое развитие изменения значений ряда в некоторой перспективе. В некоторых задачах важно количественно оценить диапазон этих изменений. Но бывает и так, что гораздо важнее предполагаемое направление изменений, а не величина.

Так, допустим, некая транспортная компания ожидает увеличение пассажиропотока на 10%. Принимается решение повысить плотность графика движения и для этого приобрести дополнительные единицы подвижного состава. Если в результате прогноз окажется неточным в большую сторону, и пассажиропоток вырастет не на 10%, а на 30%, это только улучшит срок окупаемости вложений. Но если вдруг ошибка сделана в другую сторону, и вместо +10% будет -10%, разница в доходах будет совсем не симметричная.

Еще проще и наглядней можно продемонстрировать этот эффект на примере финансовых инструментов. Продавец опционов "call" получит одинаковую прибыль и в случае, если цена базы понизится на 2%, и если понизится на 20%. Если же цена базы станет расти, то очень быстро прибыль может превратиться в убыток. Таким образом, если управляющий хочет продать опционы, то для открытия этой позиции ему достаточно получить сигнал типа «ожидается смена направления цены базового актива в сторону понижения». Для сравнения, если управляющий хочет продать фьючерсы на ту же базу, ему нужно гораздо больше уверенности: оценить силу ожидаемого потенциального движения цены вниз, а также ориентировочный срок.

Каждую пару движений вверх-вниз можно интерпретировать, как волну. По графику в целом можно построить разложение Фурье. Чтобы осуществить вычисление, суммирование нужно ограничить некоторым количеством членов ряда. Для суммы ряда Фурье можно выделять небольшое количество гармоник, проводя низкочастотную фильтрацию.

Тогда главной задачей, для которой проводится анализ динамического ряда, станет метод определения оптимальной ширины полосы фильтра. Поскольку поиск интересующих движений является также и анализом локальных экстремумов, размер движений между ними, в т.ч. трендов, можно определить через эти понятия. Если выбранная частота слишком велика, то будет невозможно выделять продолжительные по времени движения, т.к. на них будут обнаруживаться «ложные» экстремумы, порождаемые высокочастотным шумом. При слишком низкой частоте, наоборот, движения, которые заслуживали бы внимания, будут теряться. Поэтому предлагается подбирать в каждый момент времени такую частоту, чтобы длина волны сглаженного ряда была близка к реальной. Это и даст оптимальное разбиение ряда на движения, которые нужно распознавать.

Мощность динамических рядов

В [5, с. 240-247] описывается понятие мощности ряда, как суммы мощностей составляющих его волн. Там же предложен алгоритм последовательных сокращений частоты фильтрации ряда с потерей мощности. Однако, целью выделения движения является проведение каких-то операций в зависимости от предметной сущности исследуемого процесса, поэтому представляется более полезным проводить повышение частоты с приобретением мощности до некоторого предела, дающего оптимальную мощность итогового ряда с учетом накладных расходов, сопутствующих этим операциям. Докажем, что такая частота существует.

Пусть развитие некого процесса зафиксировано в виде динамического ряда, и на некотором участке наблюдается изменение значений от y1 до yf. Пусть, для определённости,

Вестник науки и образования Северо-Запада России, 2022, Т. 8, №1

- http://vestnik-nauki.ru -^21-9858

> уь т.е. значение выросло, и применяется такое «сглаживание», что выброшены все промежуточные точки. Тогда минимальная возможная мощность для этого ряда М = у£ - ух

Это соответствует результату экономической операции, когда в момент времени 1 была открыта условная позиция в расчете на рост, а в момент была закрыта.

Можно выделить 2К локальных экстремумов, считая у1 за 1-й, а у г за последний — 2К-й. Задача тогда состоит в том, чтобы не просто один раз открыть и закрыть, а открывать на каждом минимуме, и закрывать на следующем максимуме, и так N раз. При этом весь ряд будет разбит на 2^1 участков - полуволн, соответствующих движениям между соседними локальными экстремумами. Тогда мощность ряда может быть представлена, как сумма мощностей движений вверх (Ми) плюс сумма мощностей движений вниз (Мй).

М" _ Е У2п - У2п-1, (1)

п_1

где у2п - значение ряда в точке 2п, а у2п-1 - в предыдущей;

N-1

= Е У2п - У2п + 1 , (2)

п = 1

где у2п , у2п-1 - значения ряда в соответствующих точках. И всегда будет М = Ми — Мй

Обозначим средние значения М~и = Ми / N = Мй / ^ - 1), X = / М~и Тогда М = N М~и - ^ - 1) = N М~и - (N - 1) X М~и = М~и (N - X (N - 1)) = М~и (N (1 - X) + X),

Мп _ Ш

N (1 — X)+ X (3)

и есть максимально достижимый результат: при возрастании N Ми (3) стремится к М / (1 — X).

Для оценки возможных значений коэффициента X воспользуемся геометрическими свойствами графика динамического ряда (рис. 1).

http://vestnik-nauki.ru

Вестник науки и образования Северо-Запада России, 2022, Т. 8, №1

!Б<ШШ::98858

Рисунок 1 — Условные движения на графике динамического ряда

Считая известными силу тренда а, силу отскока ф и силу возврата в, а также значения ряда в точках А1 (х1з у1) и А2 (х2, у2) на рис. 1, легко вычислим из уравнений соответствующих прямых значения у3, у2 - у3, и, наконец,

X =

__'Я/А'ЯФ - №*)

У2 - У1 + )

У2 - Уз

(4)

Полученная для X зависимость (4) не содержит данных о конкретных точках ряда, а только о его общих параметрах.

Оптимизация операций с учетом расходов

Предположим теперь, что в точках начала/конца движений планируется проводить соответствующие экономические операции и уточним предыдущий расчёт с учетом расходов. Допустим, каждой операции сопутствуют фиксированные затраты, равные Со, и адвалорные по ставке С1. Общие расходы за N операций составят

2 N

С = Е со + С1 • Уп

п=1

(5)

где уп - значение ряда в точке проведения операции.

Поскольку общая сумма промежуточных движений зафиксирована, можно предположить для простоты, что все движения вверх равны М~и, а вниз М~й = X М~и Тогда значения ряда в точках локальных максимумов

у2п = у1 + п М~и - (п - 1) М~й, а минимумов у2п-1 = у1 + (п - 1) (М~и — М~д).

2 N ( N N \

С = 2N • Со + С;-ЕУп = 2N • Со + С; • ЕУ2п-1 + ЕУ2п п = 1 V п = 1 п=1 У

http://vestnik-nauki.ru

Вестник науки и образования Северо-Запада России, 2022, Т. 8, №1

ISSN 2413-9858

Суммирование сводится к формуле суммы арифметической прогрессии, поэтому С = 2 N Со + 2 N С1 ух + N С1 X М~и + К2 С1 (1 - X) М~и

Это подтверждает, что максимальный возможный за вычетом расходов результат находится в зависимости от числа N выявленных волн:

МЛ = Ми - С = С1 (1 - X) М~и + N (М~и - 2 Со - 2 С1 у1 - С1 X М~и) Квадратичная зависимость от N означает, что существует Nmax, при котором проведение операций оптимально:

^ах = (М~и - 2 Со - 2 С1 у1 - С1 X М~и) / 2 С1 (1 - X) М~и (7)

Фильтрация ряда

Заменим теперь прямые отрезки на рис. 1 синусоидальными полуволнами (рис. 2).

1 Р

Рисунок 2 — Локальный участок ряда с двумя движениями

Искомая длина волны на рис. 2 находится, исходя из средних по тренду длин отрезков вида А1В. Но теперь у нас нет данных о точке А2 — она определится только после выбора частоты, как и сила тренда а. Для каждой точки на волне из А1 в А2 выполняется равенство

Pi=yo+Ri • sin

•(ti-О"

2 • ((2 -tl)

(8)

где R1 — амплитуда волны.

Важнейшей мерой динамических рядов после темпа роста является волатильность [6]. Имеет смысл соотнести общую волатильность ряда с волатильностью одной синусоидальной полуволны. Если движение от минимума к максимуму развивается в течение N интервалов, где N = t2 - t1 из вышеприведённой формулы (8), то значение ряда в точке "n" yn = yo (1+ sin nn/2N).

Для расчета волатильности за временной промежуток, равный длине полуволны, нужно вычислить:

Вестник науки и образования Северо-Запада России, 2022, Т. 8, №1

http://vestnik-nauki.ru -^2413-9858

1) среднюю «доходность» интервала

N

Y(N)= 1 /N 1 /уп -[y0 -sin(пп/2N)-yo • sin(п(п - 1)/2N)]. (9)

п = 1

2) дисперсию «доходности интервала», используя (9) D (N ) = 1 /N • £ уп2 • { • sin (пп/ 2N )- y0 • sin (п(п - 1)/ 2N )] }- Y 2 . (10)

n = 1

Если под знаками суммирования в (10) заменить yn на yo, это не внесёт большую погрешность, но сильно упростит преобразования.

D(N) = 1 - cos(n / 2N) - 1/N2.

Если имеется посчитанная для всего изучаемого динамического ряда или для некоторого его отрезка волатильность в годовом выражении (annualized) "V", то нужно просто перевести волатильность полуволны в годовую. Так, если используемый период — дни, то Da(N) = D(N) 252 / N.

Искомое N, а вслед за ним и ю, вычисляются из уравнения

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

V = ^Da (N ) . (11)

Если в течение всего времени развития тренда выделяется W волн (а чем больше волн, тем выше должна быть частота), средняя сила в направлении тренда которых равна р (соответствует процентной ставке), то результат всех этих движений в %% годовых (при интервале - день) будет равен (1 + р т / 365^

Можно считать, что это пропорционально волатильности, и если продолжительность тренда в выбранных интервалах Б, то

V = К1 (1 + р * т / 365^ '(252 / Б) , (12)

а если предположить, что сила волн тоже пропорциональна волатильности, р = К2 V, то искомое т, а вслед за ним и ю, вычисляются по формуле

т = (е / (К1 '252)) / W — 1) 365 / К2 V. (13)

Если снова рассмотреть вариант с всего одной полуволной, когда W = 1, т = N а выше уже было выведено равенство для связи волатильности полуволны и общей, то приравняв оба выражения для волатильности, (11) и (12), полностью исключим К1. Однако, далеко не факт, что реальные значения позволят при этом получить столько экстремумов, сколько хочется. Поэтому в 1-й раз нужно вычислять не «т» в зависимости (13) от «К», а наоборот, «К» по тем «Б» и <^», которые определились при фильтрации по начальной частоте.

Для практического использования представленной методики в экономических процессах следует применять следующий план действий:

1. собрать исторические данные значений процесса за период, который кажется важным для развития данного этапа;

2. определить характерный промежуток времени, для которого будет проводиться анализ;

3. установить «наугад» длину волны, по которой будет проводиться низкочастотная фильтрация в 1-й раз. Разумеется, это нужно делать не наугад, а исходя из конкретных

Вестник науки и образования Северо-Запада России, 2022, Т. 8, №1

- http://vestnik-nauki.ru -^21-9858

соображений о развитии исследуемого процесса и интересующих исследователя периодах: сезонные колебания пассажиропотоков, расписание биржевых торгов и т. п.

4. провести дискретное преобразование Фурье значений исследуемого процесса;

5. провести фильтрацию ряда Фурье по частоте, соответствующей длине волны, выбранной в п.3;

6. определить точки экстремумов;

7. по определённым в п. 6 точкам выявить тренды (при наличии), зафиксировать точки начала и конца волн, формирующих эти тренды;

8. рассчитать необходимые параметры, используя формулы 12, 13;

9. обновлять динамический ряд по мере поступления новых данных, проводить преобразование Фурье, проводить фильтрацию, определяя полосу фильтра по п.8;

10. находить новые точки экстремумов;

11. прогнозировать развороты движений «вверх-вниз»;

12. совершать экономически-целесообразные операции.

Заключение

Подводя итоги данной работы, можно отметить, что полученные результаты могут использоваться не только в области экономики, но в ряде технических направлений. В работе рассмотрен ряд Фурье, как один из вариантов сглаживания исходного ряда, с целью выявления локальных экстремумов. При этом:

• исследованы такие параметры одиночной синусоидальной полуволны, как мощность и локальная волатильность;

• предложена методика, позволяющая рассчитывать частоту фильтрации в зависимости от меняющихся внешних условий;

• показано, что для повышения эффективности при работе с данными, позволяющими строить динамические ряды, возможно использование промежуточных локальных экстремумов между текущим значением и некоторой точки, принятой за начало;

• выведена зависимость повышения эффективности от числа промежуточных точек;

• доказано, что при известных операционных расходах, максимальная эффективность существует, и до бесконечности повышать её невозможно.

Предложенная методика может применяться во всех случаях, когда есть возможность составить динамический ряд, развитие которого требует принятия решений, соответствующих сущности предметной области.

ЛИТЕРАТУРА

1. Дуброва Т.А., Архипова М.Ю. Статистические методы прогнозирования в экономике: Учебное пособие, практикум, тесты, программа курса; руководство по изучению дисциплины. Московский государственный университет экономики, статистики и информатики. М., 2004. 136 с.

2. Pearson K. The problem of the random walk. Nature. 1905.

3. Rosenberg M. R., Barker W.A. Currency Exchange Rates: Understanding Equilibrium Value. 2017.

4. Мутушев Д.М. Математическое моделирование в задачах управления качеством технических и эксплуатационных характеристик транспортных объектов // Качество и жизнь. 2019. №2. C. 118-123.

5. Лукашин Ю.П. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования временных рядов: Учеб. пособие. Москва: Финансы и статистика, 2003. 416 с.

Вестник науки и образования Северо-Запада России, 2022, Т.8, №1 - т^Л/^^^.ш -155ц2413-9858

6. Саймон Вайн. Инвестиции и трейдинг: Формирование индивидуального подхода к принятию инвестиционных решений. 2-е изд., испр. и доп. Москва: Альпина Паблишерз, 2010. 643 с.

REFERENCES

1. Dubrova T.A., Arkhipova M.Yu. Statisticheskie metody prognozirovaniya v ekonomike: Uchebnoe posobie, praktikum, testy, programma kursa; rukovodstvo po izucheniyu distsipliny [Statistical Methods of Forecasting in Economics: Textbook, Workshop, Tests, Course Program]. Moskovskiy gosudarstvennyy universitet ekonomiki, statistiki i informatiki. Moscow, 2004. 136 p.

2. Pearson K. The problem of the random walk. Nature. 1905.

3. Rosenberg M. R., Barker W.A. Currency Exchange Rates: Understanding Equilibrium Value. 2017.

4. Mutushev D.M. Matematicheskoe modelirovanie v zadachakh upravleniya kachestvom tekhnicheskikh i ekspluatatsionnykh kharakteristik transportnykh ob 'ektov [Mathematical modeling in the problems of technical and operational characteristics quality control of transport facilities]. Kachestvo i zhizn'. MOO "Akadimija problem kachestva", 2019, No. 2, pp. 118-123.

5. Lukashin Yu.P. Adaptivnye metody kratkosrochnogo prognozirovaniya vremennykh ryadov: Ucheb. Posobie. [Adaptive methods of short-term forecasting of time series: Proc. allowance]. -M.: Finansy i statistika, 2003. 416 p.

6. Saymon Vayn. Investitsii i treyding: Formirovanie individual'nogopodkhoda kprinyatiyu investitsionnykh resheniy. 2-e izd., ispr. i dop. [Investments and trading: Formation of an individual approach to making investment decisions - 2nd ed., Rev. and additional]. M.: Al'pina Pablisherz, 2010. 643 p.

ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРЕ

Мутушев Дмитрий Михайлович Российский университет транспорта (МИИТ), г. Москва, Россия, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры "Высшая математика". E-mail: dmmm9@yandex.ru

Mutushev Dmitrii Mikhailovich Russian University of Transport (MIIT), Moscow, Russia. Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor of the Department of Higher Mathematics. E-mail: dmmm9@yandex.ru

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.