Поведение ледового покрова канала под действием поверхностных волн Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 534.13+532.582+532.581

А.А. Коробкин, А.А. Папин, К.А. Шишмарев

Поведение ледового покрова канала под действием поверхностных волн*

A.A. Korobkin, A.A. Papin, K.A. Shishmarev

Behavior of Ice Sheet Channel Under the Influence of Surface Waves

Для уравнений совместного движения воды и ледового покрова канала формулируется начально-краевая задача в случае, когда ледовый покров закреплен на стенках канала. Проводится аналитическое исследование задачи и предлагается алгоритм численного решения.

Ключевые слова: ледовой покров канала, поверхностные волны, дисперсионное соотношение.

Initial-boundary value problem, when ice cover is fixed to the channel walls, for the equations of combined motion of water and ice sheet channel is considered. Analytical study of the problem and numerical algorithm was proposed.

Key words: ice sheet channel, surface waves,

dispersion relation.

1. Постановка задачи. В рамках линейного приближения рассматривается безвихревое движение жидкости в канале шириной Ь и высотой Н, покрытом льдом. Потенциал <^>(х,у, г,Ь) скоростей течения жидкости удовлетворяет задаче

д2ср д2ср д2ср_

дх2 ду2 дг2 ’

(—Н < г < 0, 0 < у < Ь, —то < х < то),

и условиям

7Г=°’

dy

(y = О, b),

!=»■ <*--*>.

%="■•• (*=о)-

здесь т(х, у, Ь) - прогиб ледовой поверхности. Интеграл Бернулли берется в виде

-р + ^ + ди) = 0,

Р

где р - давление; р - плотность воды; д - ускорение свободного падения [1].

Функция т(х, у,Ь) удовлетворяет уравнению вида [2,3]

mwtt + DV4w = p(x, y, О, t), (О < y < b, —то < x < то)

* Работа выполнена при финансовой поддержке аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2009—2011 гг.)»(проект №2.2.2.4/4278), а также федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009—2013 гг. (государственные контракты №14.740.11.0355, №14.740.11.0878).

О, (y = О,Ь),

где m - масса покрова на единицу площади (m = pihi; hi - толщина покрова); V - оператор градиента.

Изгибная жесткость D вычисляется по формуле D = Eh3/[12(1 — v2)], где E - модуль Юнга и v - коэффициент Пуассона для льда. Толщина льда hi и его плотность pi считаются постоянными. Краевые условия для w означают, что ледовое покрытие приморожено к стенкам канала.

Решение сформулированной задачи для w ищется в виде w(x,y,t) = AF(y/b)sin(kx + wt), где A = const - амплитуда волны; k = const -волновое число; w = const - частота волны; искомая функция F(y), у = удовлетворяет условиям F = F =0 при у = 0, у = 1.

В безразмерных переменных (знак тильда опускается) исходная задача для w сводится к следующей задаче относительно F и Л

0-^0+ №- + *№) =

= А(а + Л(К))F, (О < y < 1),

F

kb;

Fy

О, (y = О, 1),

m/(pb); А =

(1)

2pb5/D;

где К = ж = рдЬ4/Б.

Учитывая условие и вид функции

т, потенциал скоростей ^ будем искать в виде = Аф(у, г) еов(кх+^), где ф(у, г) удовлетворяет задаче

д2ф | д2ф _ т^2х ду2 dz2

(—h < z < О, О < y < 1),

w

w

У

дф

ду

-/=0, (у = 0,1),

дФ р, ч а; = F(A

(z = О),

где Л(К) < ^ >= ф(у, 0) и Н = Н/Ь.

Требуется построить дисперсионную зависимость ш(к) и соответствующие функции ^(у). Полученный результат будет использован для изучения возможности разрушения ледового покрова в канале движущимся судном на воздушной подушке. Ранее подобные задачи о ледовом покрове в канале не рассматривались. Задачи с одной вертикальной стенкой исследовались в [4, 5] для плоского и трехмерного случаев соответственно.

2. Поверхностные прогрессивные волны в канале. В дальнейшем для краткости используется обозначение ^ = ц>х. Рассмотрим задачу о безвихревом движении идеальной жидкости в канале со свободной границей г = п(ж, у,і):

^жж + ^уу + = 0

(2)

(О < y < b, —H < z < О, —то < x < +то), Vtt + g^z = 0, (z = 0),

Vy =0, (y = 0,b),

= 0 (г = — Н ^

Г]{х,у,г) = --ірі(х,у, 0, і).

д

Здесь п(ж,у,і) - возвышение свободной границы.

Как и для гидроупругих волн, ищем решение в виде п(ж,у,і) = (у)вт(кж +

^і). Поэтому для используем представление у>(ж, у, г, і) = Аф(у, г) еов(кж + ^і). Тогда задача (2) принимает вид

—к2ф + Фуу + =0, (0 < у < Ь, —Н < г < 0),

—ш2ф + g^ = 0, (z = 0)

фу =0, (y = 0, b)

(3)

фz

О,

(z = —H),

^(у) = шф(у, 0).

Нетривиальные решения задачи (3) ищем в виде ф(у, г) = /(у)и(г). Тогда /"и + /и" = к2/и, т.е. /"// = —р2 и /’ = 0 при у = 0, Ь. Следовательно, /(у) = сов(ру), а из условия /(Ь) = 0 вытекает равенство вт(рЬ) = 0. Поэтому собственные значения р = рп удовлетворяют равенству рпЬ = пи, (п > 0).

После этого вернемся к задаче (3) и, заменив р на рп, приходим к следующей задаче для м(г) = и„(г)

Решение последней имеет вид

un(z) = Ci cosh[v/P~T~/4K (4)

где Ci - произвольная постоянная.

Дисперсионное соотношение (зависимость ш от k) получим из краевого условия y>tt + g^z = 0 на свободной границе:

—ш2/(y)u(0) + gf (y)u'(0) = 0.

Откуда следует, что — w°u + gu; = 0. Подставляя (4) в последнее уравнение, выводим

ь? = g\Jk2 + р2 tanhfv^2 + р2 Д]- (5)

Таким образом, для каждого номера n имеется свое дисперсионное соотношение, определяющее волновое число kn для заданной частоты ш.

Заметим, что для плоских волн в канале (п не зависит от y и, следовательно, F(y) = шCl cos(pny) = const) имеем pn = 0, т.е. n = 0 и дисперсионное соотношение (5) представляется в виде

ш2 = gko tanh(ko H).

(6)

Сравнивая (5) и (6), выводим, что при n > 1

2 2 2 kn + Mn = ko.

(Т)

Отсюда

kn = (k0 — [nn/b] )

2) 1/2

Волны с номерами п > 1 существуют только для таких п, что кп в (7) вещественное, т.е. при выполнении неравенства ^ < ко, т.е. п <

Замечание 1. Профиль волны в поперечном сечении канала с точностью до постоянного множителя можно представить в виде

Fn(y) = cos(nny/b).

(8)

Для волны с к„,п > 1, свободная граница г = п(х, у, £) в сечении х = х* имеет вид

п(х, у,£) = Асов(пп(у/Ь)) вт(кх* + огё).

Если центр системы координат движется вместе с такой волной, перемещаясь вдоль канала со скоростью ^/кп, то в такой подвижной системе форма волны не изменяется.

Вычислим групповую скорость С„, (п > 0) и сравним ее с групповой скоростью С® двумерных волн (п = 0). По определению С® = й^/йко, где ш(ко) определяется формулой (6). Представим формулу (6) следующим образом: ^2 = П(к0), где П(ко) = дко tanh(kоH). Тогда дисперсионное соотношение (7) запишется в виде

= (k° + м1)г

((—H ) = 0, (—H<z< 0).

w2 = + p„).

u

n

Справедливы равенства

вого и второго слагаемых левой части имеем

ІІШ

2ш — = П'іу'кі +/4)

1

1

1

^к,

л/к1 + М2

2ш—— = П'(ко) = 2шСп. ако

Поскольку к„ + р„ = к2 для волны с номером п (при фиксированной частоте), то получаем следующую связь

2иСВ=П>(к0)-^ = 2иС°-^,

ко ко

т.е.С%=СдоУП4 — р„/ко. Следовательно, групповая скорость С® меньше групповой скорости С® при той же частоте ш.

Замечание 2. Для глубокой воды можно получить явные формулы для кп(ш). Полагая Н = то в (5), находим

4 / 2 7 2 | 2

ш /д = кп + рп,

2

- й)‘/2 = -<1 - [^]2)‘/2.

д ш2

Здесь ш2/д = ко. Окончательно,

кп = ко (1 — [ппд/ш2Ь]2)1/2.

2 ь

Следовательно, при < 1 имеем только

2 ь

0-волну. При 1 < < 2 волны с номерами О

и 1 и т.д.

Дисперсионное соотношение (5) показывает, что при п > 0 имеем счетное число зависимостей ш = шп(к). Отметим также, что формы (8) ортогональны друг другу.

3. Ортогональность решений (1), полученных при различных Л. Предположим, что имеется счетное число собственных чисел Лп, п > 1, Лп+1 > Лп и соответствующих собственных функций К (у). Покажем ортогональность системы ^п. Умножим уравнение (1) на ^т(у) и проинтегрируем результат по у от нуля до единицы:

11 1 I ^у—2К2 І ^т^у+(К^„йу =

J ^у = у я^п" = — у сад =

о о о

1 1 =—у = у *дау,

оо 1 1 1

J ^п'ау = у ^п =—у ^т^пау.

о о о

Чтобы вычислить последний интеграл в (9), рассмотрим следующую задачу для фп(у, г)

У2ф„ = К2ф„, (0 < у < 1, —Н < г < 0), (10)

<9у

дф.

дг = 0’

= 0, у = 0,1,

= —Н,

= КЫ, (> = о, 0 < у < 1).

Умножим уравнение (10) на фт(у, г) и проинтегрируем результат по

П = {0 < у < 1, — Н < г < 0}. Получим

J фтУ2ф„^у^ = К2 У фтф„^у^г.

П п

Используя теорему Грина, выводим

/ фтУ2ф„^у^г =

1

= У Фтп{у,0)^{у,0) - J УфтУфп(1у(1г =

оП

1

= ! фт(у, 0)^„(у)йу — J УфтУф„^у^г.

оП

Следовательно,

1

У фт (у, 0)К(у)^у = К^ фтфю^у^г +

о п

+ 1 ^ фт Уф„^у^г. (11)

1 1 = Лп[^у* ^т^пйу + J фп (у, 0)^т(у)ау]. (9)

оо

Вычислим каждый интеграл в (9) с учетом краевых условий в (1) и определения фп(у, 0). Для пер-

Чтобы получить последний интеграл в (9), в формуле (11) поменяем п и т местами:

1

У фп(у, 0)^т(у)йу = / ( V фп V фт + К2фпфт)йуйг.

о п

к

11

г

П

о

о

о

П

Тогда равенство (9) можно записать в следующем виде

1 1 1

I ^,дау+2К2 I ССу+(К4+ж)| ^^у =

оо

1

— Лп [а У ^т^пау + У (VфmVфn + К фтфп)].

оп

(12)

Заметим, что равенство (12) не изменяется при замене п на т. Заменим п на т в (12) и вычтем полученное равенство из (12). Получим

1

0 = (Лп Лт)[« ^ +

0

+ ^^фт Vфn + К2фтфп

Откуда следует, что при п = т функции ^п(у) и ^т(у) ортогональны в следующем смысле

«У ^т (у)^„(у)^у +

о

+ У(VфтVфn + К2фтф„)^у^г = 0 (п = т), (13)

где фп и фт - решения задачи (10) для ^п(у) и -Рт(у) соответственно.

Замечание 3. Если правая часть в (1) равна 0, то условие ортогональности (13) принимает вид

1

У ^т(у)К(у)йу = 0.

4. Алгоритм численного решения задачи (1). Определим ортонормированную систему функций {^п(у)}ТО=1 на интервале (0, 1) как решения следующей спектральной задачи

С = ею^п, (0 < у < 1),

^п = Ф'п = 0, (у = 0, 1),

1 (14)

п т = 0 (п = т)

о

1 1 У ^П(уМу = 1, У ^п^т^у = 0 (п = т).

Функции ^п(у) называются балочными функциями. Они дают формы колебаний балки постоянного поперечного сечения, защемленной на обеих концах; соответствующие собственные значения вп связаны с собственными частотами колебаний балки.

Решение задачи (1) будем искать в виде

ТО

^(у) = «п^п(у). (15)

п=1

Подставляя (15) в (1) и используя (14), получим систему линейных однородных уравнений относительно коэффициентов ап и параметра Л. Система имеет бесконечное число уравнений. При ее приближенном решении ограничиваемся конечным числом N уравнений и находим собственные числа полученной матрицы. Проводя расчеты при различных N получаем последовательности вида

Л^0 л^0 + 1 л^о + 2

Л N0 л N0 + 1

Л2 , Л2 , ...

Л^ лNo + 1

сходимость которых при фиксированном к и растущем N проверяется численно.

Функции ^п(у) вычисляются аналитически, а собственные значения вп - численно.

Подставляя (15) в (1) и умножая обе части полученного равенства на ^т(у), после интегрирования у с учетом (14) приходим к равенству:

ТО

атвт + 2К ^ ^ апСпт + (К + 36)ат п=1

= Л(«ат + Ьт), (16)

1

Ьт = У ^т (у)ф(у, 0)^у,

где

ит j тт

о

1 1 1 Спт = — У ^^'^тау = У ^п^тау = — У ^пСА.

о о о

Для вычисления Ьт рассмотрим вспомогательную задачу относительно ф(у, г):

V2ф = К2ф, (0 < у < 1, — Н < г < 0),

дф

7Г=°> у = 0,1, ду

<Эф „ ,

— = 0, г= -к, дг

(г = 0,0 < у < 1),

где ^(у) определен в (15).

Функцию ф(у, г) представим в виде

ф(у,г) = ^ а*фк(у, г),

к=1

о

П

1

П

о

ТО

где новые искомые функции ф^ (у, г) удовлетворяют следующей задаче:

V2ф^ = K2фй, (0 < у < 1, —h < z < 0),

дфй

-7^=0, У = 0,1, ду

(1Т)

дфк

dz

О, z = —h,

^ = ^(2/), (z = 0,0 < у < 1). Тогда для bm имеем

bm = I ^ ak / фк(y, 0)dy =

k=1

mV

o

ТО

«fc k=i ;

дфп

dz

-фк<іу.

дфп

dz

-фкЛу = J (УфкУфт + К2фкфт)(1у<1г.

0 n

Следовательно,

i i

f д^т A, A f A, d(f>k A - M

~Q^(t)k У = Фт-Q^dy = Mmk-00 Поэтому приходим к равенству

ТО

bm ^ ^ Mmk ak ? Mmk = Mkm • k=1

Используя введенные элементы Cnm и Mmk, равенство (16) представим в виде

(em + K4 + ж)«т + 2K2 Cmn«n =

n= 1

ТО

= А(аат + ^ ^ Mmn«n)i

n=1

Повторяя анализ, проведенный для задачи (10), с заменой ^п(у) в (10) на —^(у), находим:

или в матричной форме

(Д + 2К 2С )а = Л(а/ + М )а, (18)

где а = (а1, а2, аз, ...)Т - вектор; Д = й*ад{в4 + К4 + ж, в4 + К4 + ж,...} - диагональная матрица;

С = {Спт}~т=1 и М = {Мпт}~т=1 - симметричные матрицы.

Умножим обе части (18) на (а/ + М)-1 и обозначим

А = (а/ + М )-1 • (Д + 2К 2С).

Приходим к задаче вида

(А — Л/)а = 0.

Элементы матрицы А вычисляются численно по указанным выше формулам. После этого находятся собственные значения Лп и вычисляется зависимость ш(к). Наконец, по найденным значениям Лп,шп из задачи (17) находим ф^, по которым восстанавливается —^ и, следовательно, ^.

ТО

l

l

Библиографический список

1. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. Ч. I, II. — М., 1963.

2. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. — М., 1975.

3. Купрадзе В.Д. Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости.

— М., 1976.

4. Brocklehurst P., Korobkin A.A., Parau E.I. Interaction of hydro-elastic waves with a vertical wall. J. Engineering Mathematics. — 2010. — Vol. 68, №. 3-4.

5. Brocklehurst P., Korobkin A.A., Parau E.I. Hydroelastic wave difraction by a vertical cylinder. Philos Transact A Math Phys Eng Sci. — 2011. — Vol. 369, №. 19.