Потоки вязкоупругих жидкостей моделей Oldroyd-B и FENE-P Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 536.2

Ф. Х. Тазюков, Э. Р. Кутузова, Б. А. Снегирев

ПОТОКИ ВЯЗКОУПРУГИХ ЖИДКОСТЕЙ МОДЕЛЕЙ OLDROYD-B И FENE-P

Ключевые слова: угловое течение, канал с резким сужением, модель FENE-P, модель Oldroyd-B.

В настоящей работе рассматривается нестационарное течение вязкоупругой жидкостив плоском канале с коэффициентом сужения 4:1. В качестве реологических конститутивных соотношений выбраны реологические модели Oldroyd-B и FENE-P. Так же были получены численные решения для сужений 8:1 и 16:1.

Keywords: corner vortex, channel with abrupt contraction, FENE-P model, Oldroyd-B model.

At the present paper a steady viscoelastic liquid flow through a planar channel with a 4:1 ration contractionis considered. The FENE-Pand Oldroyd-B modelswere chosen as a rheological constitutive relations. There are also obtained numerical solutions for 8:1 and 16:1 contractions.

Введение

Интерес к исследованиям сходящихся течений жидкости, обладающих неньютоновскими свойствами, огромен. Это объясняется не только широкими возможностями приложения в современной химической технологии, но и многими нерешенными проблемами математического и физического характера.

Несмотря на повсеместное использование вязкоупругих жидкостей, предсказать их поведения довольно сложно.

В настоящей статье рассматривается течение вязкоупругой жидкости для моделей FENE-P и Oldroyd-B в канале с различными коэффициентами сужения: 4:1, 8:1, 16:1.

Реологические модели FENE-P и Oldroyd-B

Течение жидкостей было рассмотрено для моделей FENE-P и Oldroyd-B. Их сходство заключается в том, что обе модели полимерную молекулу рассматривают как гибкую гантель, представляющую собой бусинки, соединенные между собой пружинкой.

Модель Oldroyd-Впредсказывает упругие свойства жидкости (конечное время релаксации),а модель FENE-P—помимо упругих свойств, предсказывает наличие аномальной вязкости (зависимость вязкости от сдвиговой скорости) и продольной вязкости (в продольных течениях зависимость продольной вязкости от скорости продольного деформирования).

Модель Oldroyd-B предсказывает упругие свойства жидкости (конечное время релаксации), а модель FENE-P - помимо упругих свойств предсказывает наличие аномальной вязкости (зависимость вязкости от сдвиговой скорости) и продольной вязкости (в продольных течениях зависимость продольной вязкости от скорости продольного деформирования).

Математическая постановка задачи

Изотермические течения неньютоновских жидкостей в сужающихся каналах описываются уравнениями движения и неразрывности[1]:

\7\/=0,

где р - плотность жидкости, V - вектор скорости, р -давление, т - девиатор напряжения.

В соответствии с принципом расщепления напряжений девиатор напряжения представляется как совокупность неньютоновской ?! и ньютоновской Т2 составляющих. Для моделей БЕКЕ-Р и Oldroyd-Bкомпоненты неньютоновской составляющей будут различны:

Т=Т1+?2,

Т2=2п2й

БЕКЕ-Р:

Г - П1

и—г-

I

Ll-(tr A)/(3L2) 1-1/L2 -+AÄ--

1-(tr A)/(3L2)

1-1/L2

Oldroyd-B:

V

т1 + А т1 = 2п1В

Здесь П1 - вязкость полимерной составляющей жидкости, П2 - вязкость растворителя, А - характерное время релаксации, — - безразмерный параметр, характеризующий степень растяжения данной

макромолекулы, А = - тензор конфигурации,, ,

Qêq

конвективная

производная,

- верхняя ~ 1 ->-» ->-»Т

й = 2 \7у )- тензор скоростей деформации.

В результате приведения исходных уравнений к безразмерному виду можно получить, что в уравнения движения входят числа Рейнольдса, Вайссенберга и коэффициент ретардации [2]

ре=£НЪ, ^е= Аи,

П I- п1+п2

Расчеты проводились для Яв<<1, Шв= 0.01 ^ 450,р=1/9с помощью метода контрольных объемов на неравномерной сетке 30x90 со сгущением вблизи острой кромки канала 300:1 в программном комплексе ОрепБоат с использованием метода контрольных объемов. Канал имеет ступенчатую конфигурацию. На входе в канал задаются постоян-

ные скорость и давление, на выходе из канала - условие установившегося течения, для обеспечения которого длина узкой части канала принимается равной 15И1(И1- высота широкой части канала ). Давление на выходе из канала принимается равным нулю. На твердых стенках канала принимается условие прилипания, а на оси - условие симметрии.

Задача изначально решалась как нестационарная, стационарное решение получилось методом установления при

Описание результатов

Для обеих моделей при Ше=0.01 картина течения схожа с моделью ньютоновской жидко-сти(рис. 1): в угловой зоне канала возникает застойная зона с медленным циркуляционным движением.

н V-« 01

Рис. 1 - Контуры линий тока для модели ньютоновской жидкости

Число Ше- коэффициент, характеризующий упругое состояние жидкости (это отношение времени релаксации напряжений к времени процесса.), поэтому изменение значения числа Ше происходит за счет изменения конечного времени релаксации напряжений при постоянных значениях скорости, характерного размера и числа Яе.

При увеличении числа Шедля обеих моделей возникает ИруоАех (угловое течение вблизи острой кромки канала), для модели ОИгоу^Впри значении Ше=2, для модели БЕКЕ-Р при значении \¥е=Ъ (рис. 2 и 3 соответственно).

\Уе=2

Рис. 3 - Контуры линий тока для модели РЕКЕ-Р

Дальнейшее увеличение конечного времени релаксации приводит к развитию Ируог1ех. С ростом значений числа ШеИруоАех, увеличиваясь в своих размерах, поглощает угловое циркуляционное те-чение[3].

Для определенного диапазона значений времени релаксации напряжений как для модели БЕКЕ-Р, так и для модели ОЫгоу^В оба циркуляционных течения (угловое течение и Ируог1ех) существуют вместе. Свыше определенного значения ШеИруоАех начинает отделяться от углового течения и в дальнейшем полностью исчезает. Таким образом, для больших значений числа Ше (для ОИгоу^В - 300, для БЕКЕ-Р -400)картина течения схожа с моделью неньютоновской жидкости[2].

Область вблизи острой кромки канала представляет особый интерес, так как именно в этой области возникают пики напряжений и давления.

Интересная картина распределения давления возникает для модели ОЫгоу^В (рис. 4). Для сужения 4:1 возникает «двойной скачок», который объясняется распределением изолиний давления таким образом, что линия сечения (у=0.95И2, где И2 - ширина узкой части канала) пересекает их дважды. Интересно отметить, что для ступенчатых каналов с коэффициентами сужения 8:1, 16:1 такого эффекта не наблюдается.

Рис. 2 - Контуры линий тока для модели ОМгоу^В

Рис. 4 - Отклонение давления для модели ОИгоу^В: у=0.75Н2, 2 - у=0.95Н2

Выводы

В настоящей статье было изучен эффект возникновения и исчезновения циркуляционного течения ИруоАех вблизи острой кромки канала. Для исследованных реологических моделей возникает данный эффект, что позволяет сделать выводы о том, что в основе лежат реальные упругие свойства жидкости.

Для моделей Oldroyd-B и БЕКЕ-Р в плоских каналах со ступенчатой конфигурацией с коэффициентами сужения 8:1, 16:1 данный эффект так же проявляется, но при других значениях упругости. Установлена зависимость, что чем больше коэффициент сужения, тем при больших значениях числа We наблюдается эффект образования, развития, объединения с угловым течением, отделения и исчезновения циркуляционного течения ИруоАех.

При дальнейшем увеличении значений числа We повторное возникновение циркуляционного течения lipvortex не наблюдается.

Литература

1. Ф.Х. Тазюков, Ф.А. Гарифуллин, Э.Р. Кутузова, Вестник Казанского технологического университета,17, 16, 97-102(2014).

2. Э.Р. Кутузова, H.A. Halaf, С.А. Кутузов, IX Школа-семинар молодых ученых и специалистов академика РАН В.Е. Алемасова, Проблемы тепломассообмена и гидродинамики в энергомашиностроении (Казань, Россия, Сентябрь 10-12, 2014), Академэнерго, Казань, 2014, 117-119с.

3. Э.Р. Кутузова, Ф.Х. Тазюков, Х.А. Халаф, Вестник Казанского технологического университета,17, 16,83-86(2014).

© Ф. Х. Тазюков - д.т.н., профессор каф. ТМиСМ, КНИТУ, [email protected]; Э. Р. Кутузова - ассистент каф. АССОИ, КНИТУ, [email protected]; Б. А. Снегирев - д.т.н., с.н.с. ИММ, Казанский научный РАН, [email protected].

© FKh.Tazuykov - Ph.D, Professor of the Theoretical Mechanics and Strength Materials department, KNRTU, [email protected]; E. R. Kutuzova - assistant of the Automated Data Acquisition and Processing Systems department, KNRTU, [email protected]; B. A. Snigerev -Ph.D.,senior research fellow of the Mechanics and Machine Construction department, [email protected].