Потоки на графах и инвариантные меры динамических систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И

ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ N. 3, 2021 Электронный журнал, рег. Эл. N ФС77-39410 от 15.04.2010 ISSN 1817-2172

http://diffjournal, spbu. ruf e-mail: [email protected]

Моделирование динамических систем

Потоки на графах и инвариантные меры динамических

систем

Г. С. Осипенко

Филиал МГУ в Севастополе.

[email protected]

Аннотация. Рассматривается дискретная динамическая система, порожденная гомеоморфизмом / компактного многообразия. Если {М(г)} есть конечное покрытие многообразия замкнутыми ячейками, то символический образ есть ориентированный граф О с вершинами соответствующими ячейкам, а вершины г и ] связаны дугой г ^ ^ если образ /(М(г)) пересекает М^). Периодический путь ш па О порождает псевдотраекторию п и меру ^ сосредоточенную на ней. Пусть имеется последовательность подразбиений с диаметрами сходящимися к нулю и последовательность символических образов О^. Если последовательность периодических путей {ш С О^} согласована, то соответствующая последовательность периодических псевдотраекторий сходится к рекуррентной траектории Т, последовательность мер ^ сходится к эргодической мере и замыкание рекуррентной траектории Т является минимальным строго эргодическим множеством.

Ключевые слова: символический образ, поток на графе, псевдотраектория, слабая сходимость мер, эргодичность.

1 Введение

Пусть f : M ^ M гомеоморфизм компактного риманова многообразия M, который порождает дискретную динамическую систему

Хп+1 = f (Xn) (1)

и p(x, y) — расстояние па M. Напомним, что бесконечная в обе стороны последовательность точек T = {x(n), n Е Z} называется траекторией системы, если f (x(n)) = x(n + 1). Бесконечная в обе стороны последовательность точек {x(n), n Е Z} называется ^-траекторией или псевдотраекторией, если расстояние p(f (x(n)),x(n + 1)) < £ для любого n. Если при этом последова-{X(n)}

£-траекторией, а точки x(n) называются ^-периодическими. Точная траектория системы редко известна на практике, в действительности, мы работаем с ^-траекториями для достаточно малых положительных £. Все компьютерные вычисления производятся с точностью £ > 10-19 и, учитывая большое число вычислений, £ может принимать существенное значение, что оказывает влияние на качественный результат.

Точка x называется цепно-рекуррентной, если x является апериодической £>0

рекуррентных точек и обозначается через CR. Цепно-рекуррентное множество CR является инвариантным, замкнутым и содержит все типы возвратных траекторий: периодические, почти-периодические, неблуждающие, го-моклинические и т.д. Если цепно-рекуррентная точка не является периодической и dim M > 1, то существует сколь угодно малое возмущение f в С°-топологии, для которого данная точка является периодической (см. [1]). Можно сказать, что цепно-рекуррентные точки порождают периодические траектории при С°-возмущениях. Следовательно, при компьютерных вычислениях цепно-рекуррентные точки будут выглядеть как периодические.

Две цепно-рекуррентные точки назовем эквивалентными, если их можно соединить периодической £-траекторией для любого £ > 0. Цепно-рекуррентное множество разбивается на классы эквивалентности которые мы будем

называть компонентами цепно-рекуррентного множества.

Траектория K называется рекуррентной (по Биркгофу), если для каждого £ > 0 найдется такое целое p > 0, что £ - окрестность любого отрезка этой траектории длины p содержит всю траекторию K (см. [2]).

В основе дальнейшего изложения лежит понятие символического образа

динамической системы [3, 4], которое соединило в себе символическую динамику [5, 6, 7] и численные методы [8].

Пусть С = {М(1),...,М(п)} есть конечное покрытие многообразия М за-

М(г)

г С М(г)

многогранпиками, которые пересекаются по граничным дискам. Такие покрытия всегда существуют, что следует из теоремы о триангуляции компактного многообразия [9]. Пусть ( = (гат(С) есть наибольший из диаметров ячеек покрытия С. Число ( назовем диаметром покрытия С.

Определение 1 [3] Символический образ динамической системы (1) для

С О {г}

ющими ячейкам {М (г)}. Верши ни г и з связаны ориентированным ребром (дугой) г — з тогда и только тогда, когда

/(М(г)) П М(з ) = 0.

О

ние О : V — V между вершинами, где образ О (г) есть набор вершин з, которые являются концами дуг г — з:

О (г) = {з : г - з}.

Бесконечная в обе стороны последовательность а = {г(к), к € Ъ} вершин графа О называется путем (или допустимым путем), если для каждого k граф О содержит дугу г (к) — г (к + 1) Обозпачим Р множество путей па О. Существует естественное многозначное отображение К : М — V из множества М на множество вершин V символического образа, которое точке х сопоставляет набор вершин г таких, что х € М(г):

К(х) = {г : х € М(г)}. Из определения символического образа следует коммутативность диаграммы

М — М

| К | К (2)

V — V

в том слысле, что

К(/(х)) С О(К(х)). (3)

Мы не можем гарантировать равенство h(f (x)) = G(h(x)). Однако, включение (3) достаточно для того, чтобы отображение h трансформировало траектории системы в допустимые пути символического образа:

h(T) = {i(n) : fn(x) G M(i(n))} = a.

В этом случае будем говорить, что путь a есть след траектории T па символическом образе G. След a можно рассматривать как кодировку траектории T.

Теорема 1 /4/

1. Пусть последовательность {zk} есть допустимый путь на симво-

G

{xk}, xk G M(zk)7 которая является е-траекторией f для любого е > d. В частности, если последовательность {zi, z2,..., zp = z0} является р-периодической, то е-траектория {xi, x2,..., xp = x0} является p-периодической.

2. Пусть последовательность {zk} есть допустимый путь на символическом образе G и xk G M(zk), тогда {xk} является е-траекторией f для

любого е > d + n(d), гс^е п(0 есть модуль непрерывности отображения f

3. Существует r > 07 такое, что, если последовательность точек {xk} является е-траекторией f, е < r w xk G M(zk)7 тогда последовательность {zk} является допустимым путем на символическом образе G. В частности, если е-траектория {xi, x2,..., xp = x0} являетсяр-перио-дической, то {zi, z2,..., zp = z0} являетсяр-периодическим путем HaG.

Согласно утверждениям 1 and 2, путь w = {z&} па G порождает псевдотраекторию Z(w) = {xk G M(zk)}, которую мы назовем следом пути w. Согласно утверждению 3, е-траектория Z = {xk} порождает путь w(Z) = {zk : xk G M(zk)}, который мы назовем следом псевдотраектории Z-

Процесс подразбиения. Мы будем применять процесс подразбиения покрытий и строить последовательность символических образов. Рассмотрим главный шаг процесса подразбиения. Пусть C = {M(i)} - покрытие и G - символический образ для C. Предположим, что новое покрытие NC является подразбиением покрытия C. Это означает, что каждая ячейка M(i)

подразбивается на ячейки т(г, к), к = 1, 2,..., т.е.

У т(г, к) = М(г). к

Обозначим ЖО новый символический образ для покрытия Ж С = {т(г,к)}. Вершины ЖО обозначаются как (г, к). Такое построение задает однозначное отображение в из Ж О на О, которое переводит вершины (г, к) па верши ну г, т.е. в(г, к) = г. Не пустое пересечения образа ](т(г, к)) и т(з, /):

/(т(г, к)) П т(з,1) = 0

для малых ячеек гарантирует аналогичное пересечение для больших ячеек f (М(г)) и М(з):

/(М(г)) П М(з) = 0,

поэтому дуга (г, к) — (з, /) преобразуется отображением в в дугу г — з'. Следовательно, в отображает ориентированный граф Ж О на ориентированный граф О, ПРИ этом й переводит допустимый путь в допустимый путь и периодический путь в периодический путь.

Рассмотрим последовательность покрытий {Сг,£ € Ж} многообразия М ячейками, которые получены последовательными подразбиениями, т.е., ячейки покрытия Сг+1 получены подразбиением ячеек покрытия Сг. Пусть диаметр покрытия Сг, сходится к пулю при £ — го. Рассмотрим {Ог} последовательность символических образов отображения / : М — М относительно покрытий Сг. Мы получили последовательность отображений вида

О1 ^ О2 ^ Оз I3 ... (4)

В дальнейшем мы будем опускать индекс £ отображения если это не приводит к недоразумениям. Каждое в является отображением ориентированных графов и оно отображает допустимый путь на допустимый путь. В соответствии с определением подразбиения, если в(г) = з, то ячейка М(г) входит в подразбиение ячейки М(з): М(г) С М(з). Если фиксировать путь па каждом символическом образе Ог тогда мы получаем последовательность путей {ш € Рг}, элементы которой никак не связаны между собой. Однако, согласно теореме 1, любая траекторияТ = {хк = /к(х0), к € Ъ} задает допустимый путь = {4 : хк € М(4)} на каждом Ог и эти пути можно выбрать так, что они будут связаны между собой посредством отображений в:

ш* = в(шт). (5)

Последовательность допустимых путей {шг € Рг} называется согласованной, если для каждого £ выполнено равенство (5).

Теорема 2 [10] Пусть {Сг} есть последовательность замкнутых покрытии, каждое из которых получено подразбиением предыдущего покрытия, их диаметры ( сходятся к нулю, на каждом Ог задан путь = {гк, к € Ъ} и последовательность пут,ей {шг} согласована, тогда верны, следующие утверждения.

1. Существует единственная траекторияТ = {хк : хк+1 = /(хк), к € Ъ}, для которой хк € М (гк) для любо го

2. Псевдотраектория Т(£) = {хк € М(гк), к € Ъ} сходится к траектории Т равномерно при, £ — го м вирк р(хк, хк) <

5. Если каждый путь является периодическим, то отслеженная траТ

2 Потоки на графе

О

ностное распределение {т., т. > 0} на, дугах {г — з} называется потоком на О, если для каждой вершины г € О

^ткг = ^ т.. к

Последнее равенство можно трактовать как закон Кнрхгоффа: входящий по-

тг

т, = т. = 5^ тк». .к

О

символический образ отображения / относительно покрытия С и - инвариантная мера для ]. Предположим, что ячейки являются многогранниками, которые пересекаются по граничным дискам. Рассмотрим измеримое разбиение С * = {М *(г)} многообразия М, которое получается из С приписыванием каждого граничного диска только к одному из соседних ячеек. Определим поток {т.} на О такой, что

т. = ^(/(М*(г)) П М*(з)) = ^(М*(г) П /-1(М*(з)), (6)

(детали см. в [11]). Множество всех /-инвариантных мер М(/) образует выпуклый компакт в слабой топологии [12]. Сходимость ,п ^ , в этой тополо-

гии означает, что

j ф ^ j ф

для любой непрерывной функции ф. Крайними точками выпуклого множества М(/) являются эргодические меры [12].

Рассмотрим пространство М(С)} всех потоков на С. Пусть т1 = {т1} и т2 = {т2-} два потока, ч исла айв > 0 а + в = 1- Тогда, как нетрудно проверить, что распределение т = ат1 + вт2 = {ат1 + вт2-} также является потоком. Таким образом, пространство потоков М(С)} является выпуклым множеством. Периодический путь ш = (г0 ^ ¿1 ^ г2 ^ • • • ^ ¿к = ¿о) является простым или циклом, если все вершины , £ = 1, 2,..., к} различны. Простой путь ш порождает поток т(ш), сосредоточенный на ш такой, что т- = 1/к для всех дуг периодического пути ш и т - = 0 для всех остальных дуг. Построенный поток будем называть простым потоком. Так как число вершин конечно, то число циклов и простых потоков тоже конечно.

Теорема 3 [11] Любой поток т Е М(С) раскладывается в сумму простых потоков:

т = ^ акт(шк),

к

где ак > 07 ^к ак = 1 и {шк} есть полный набор циклов на С.

Множество потоков М(С) является выпуклым многогранником, у которого простые потоки являются крайними точками.

Пусть {т-} - поток на снмволическом образе С. Определим меру ,кЗии М на многообра следующим образом: мера измеримого множества А задается формулой

,, = ^ ткП М(г))

№(А)-^ т. ^(М(г)) • (7)

где М(г) являются ячейками покрытия С, V есть лебегова мера па М. Предполагается, что -и(М(г)) = 0 для каждой ячейки. Так как мера Лебега граничных дисков равна нулю, то мера ячейки

,к (М (г)) = ,к (М *(г)) = тг.

/

к мере инвариантной для /, если диаметр покрытия сходится к пулю, см. [11]. Более того, верна следующая теорема.

Теорема 4 [11] Для любой окрестности (в слабой топологии) и множества инвариантных мер М(/) существует положительное число такое, что для любого покрытия С с диаметром (1 < (10 и любого пот ока т на символическом образе О, построенном по С, мера, (построенная по (7))

и

т

разе О как аппроксимацию для некоторой инвариантной меры а множество всех потоков М(О) как аппроксимацию множества всех инвариантных мер М(/).

Утверждение 1 [11] Пусть (( и О ^ ориентированные графы, в : Q — О

т

на ( Тогда, индуцируется поток т* = в*т на О такой, что мера дуги г — з € О

т*. = тм,

где сумма берется по всем дугам р — q, которые отображаются наг — з'. Если дуга г — з не имеет прообразов, то т. = 0.

3 Сходимость к инвариантной мере

Рассмотрим последовательность покрытий {Ск,к € М} многообразия М ячейками, которые получены последовательными подразбиениями. Ячейками С

С С

дисков к одному из соседних ячеек. Таким образом, мы получаем последовательность измеримых разбиений Ск = {Мк(г)}, где каждое Ск+1 есть подразбиение Ск- Это означавт, что ячейка Мк(г) разбиения Ск есть объединение ячеек Мк*+1(з) для з : в(з) = г ми з € J = в-1 (г). Ячейки Мк*+1(з) не пересекаются, поэтому можно говорить, чтоМ^г) есть сумма непересекающих множеств Мк*+1(з), где з € X

О

крытия Ск сходится к нулю при к — го. Из утверждения 1 следует, что последовательность (4) порождает последовательность отображений в пространствах потоков

М(О1) М(О2) М(Оз) ... (8)

Если некоторая инвариантная мера задает поток mk на каждом Gk согласно формуле (6), то эти потоки согласованы: mk = s*(mk+1), детали см. в работе

[и].

Рассмотрим согласованную последовательность mk потоков на символических образах Gk. Используя меру Лебега, построим меру для каждого k согласно формуле (7). В результате получена последовательность мер{^&} на многообразии M. В работе [11] показано, что последовательность мер {^k} сходится к инвариантной мере в слабой топологии. Покажем, что инвариантную меру можно вычислить непосредственно через потоки {mk}, не используя слабую топологию.

Рассмотрим множество A С M измеримое по Борелю и построим множество вершин символического образа Gk вида

Ik(A) = {i : A n Mk (i) = 0}

Определим меру ^k? полагая

^k (A) = ^ mk

«G/fc (A)

A

lim ^k (A) = ^«nv (A). (9)

Доказательство. По построению, значение меры та ячейке M£(i) совпадает с мерой вершины i потока mk. Описанное наблюдение и утверждение 1 порождают следующие равенства

Mk(i) = U MkVi(j), mk = £mf1, (10)

jGJ jGJ

где J = s-1(i). Равенства (10) задают связь между k-м разбиением и k + 1-м разбиением. Последовательно получаем равенство для любого t > k:

mk = ^k(Mk(i)) = ^{mj : j G st-1(i)} = (i)).

Переходя к пределу при t ^ то получаем, что значение меры ^k и значение предельной (инвариантной) меры на ячейке M^(i) совпадают. Таким образом, для инвариантной меры выполнено равенство

^ (Mk (i))= mk (И)

для любых гик. Это равенство позволяет определить инвариантную меру любой ячейки всех разбиений C*.

Согласно работе [11], меры построенные по формуле (7) сходятся в слабой топологии к инвариантной мере Рассмотрим множество A измеримое по Борелю и построим покрытие множества A ячейками покрытия Ck вида

Pk = (UMk(г), г Е Ik(A)}.

Покажем, что

Pk (A) d Pk+i(A),

т. е. последовательность Pk (A) является убывающей. Об означим Ik = (г : Mk(г) П A = 0} Равенство s(j) = г означает, что ячейка Mk+1(j) входит в разбиение ячейки М£(г). Если Mk+1(j) П A = 0 и s(j) = г, то М^(г) П A D M*+1(j) П A = 0. Следовательно, s(Ik+1) С Ik и

Pk+i = (U Mk+1(j), j Е Ik+1} С (U Mi (г), г Е Ik} = Pk.

Из убывания последовательности Pk (A) следует, что существует предел множеств

lim Pk (A) = П Pk (A)

k

k

и предел мер

lim ^(Pk(A))= lim

. ^ - mk. k—те k—

гЕ/fc (A)

Покажем, что равенство (9) выполнено для любого замкнутого мнoжecтвaA. Ясно, что имеет место включение A С Р|k Pk (A). Покажем обратное включение от противного. Действительно, пусть найдется точках Е Р| k Pk (A),

AA

р(ж, A) = r > 0. Это означает, что ячейка M*^), содержащая точку ж, диаметром dk < r те может пересекать A. Следовательно, точка ж не лежит в k Pk(A)

П Pk (A) = A.

k

Так как ячейки M*(г) не пересекаются при фиксированном к, получаем равенства

^mv(A) = lim (Pk(A)) = lim V (Mk(г)) = lim Y^mk = ^ *(A),

гЕ/fc гЕ/fc

где /к = {г : М^(г) П А = 0}. Пределы, описанные выше, существуют по свойству монотонности и аддитивности меры.

Таким образом, мы даказали равенство (9) для замкнутых множеств. Мера открытого множества В вычисляется через меру замкнутого множества М\В: ,(В) = 1 — ,(М\В) и, тогда, равенство (9) выполнено для всех открытых множеств. Следовательно, данное равенство верно для всех борелевских множеств (см. [13], стр. 456-462.) Теорема доказана.

4 Аппроксимация 6-мерами

Пусть на символическом образе С есть поток т = {т-}. Используя поток т

формуле (7). Возникает вопрос: насколько важно использовать меру Лебега при построении аппроксимации инвариантной меры. Построим аппроксимацию, которая сосредоточена в конечном наборе точек. Пусть 6(ж) есть мера (функция) Дирака сосредоточенная в точке ж, т.е.

ф^6(ж) = ф(ж).

В каждой ячейке М(г) выберем точку жг и определим меру

, = ^ тг6 (жг), (12)

г

которую будем называть дискретной мерой сосредоточенной в точках {жг}. В этом случае, , * -меры ячеек М * (г) и М(г) совпадают с тг — мерой потока г

Теорема 6 Рассмотрим последовательность символических образов Ск для покрытий с диаметрами ¿к ^ 0 и последовательность потоков тк на С к- Пусть на многообразии М имеется две последовательности мер: мера ,к построена по формуле (1) и мера , к построена по формуле (12) для каждого к. Тогда, если меры ,к сходятся в слабой топологии к , то меры ,к также сходятся в слабой топологии к

Доказательство. Для любой непрерывной функции р : М ^ К и дискретной меры ,к выполнено

/ ф^к = У^ф(жг)тк, Жг е Мк(г). Зы ^

ы

Для меры р найдем

/ ^к = У / к = У] )тк,

,/Ы г ,/Ык(г) г

где каждая точка ж* определяется по теореме о среднем и лежит в ячейке Мк(г). Тогда,

\ ^к — ^ 1 < V *) — ф(жг)|тк < П(4),

где п(0 _ модуль непрерывности функции ^ и диаметр разбиения ¿к ^ 0. Если последовательность рк сходится в слабой топологии к р, то, из доказанного, следует, что последовательность рк также сходится в слабой топологии к р. Теорема доказана.

0

Это означает, что все предыдущие теоремы об аппроксимации инвариантных мер в слабой топологии остаются верными для мер построенных по формуле (12). Например, верна следующая теорема.

Теорема 7 Для любой окрестности (в слабой топологии) и множества инвариантных мер М(/) найдется положительное число й0 такое, что для всякого разбиения, С с максимальным диаметром й < й0 и любого потока т на символическом образе С, построенного для разбиения, С, дискретная мера р*, построенная согласно (12) по т, лежит в окрестности и.

5 Аппроксимация эргодических мер

В статье [14] изучается сходимость в среднем последовательности периодических псевдотраекторий. Напомнит, что последовательностьпп = {жп(к), к Е Ъ} перподнчес ких £п-траекторий сходится в сред нем при £п ^ 0, если для любой непрерывной функции ^: М ^ К средние значения на периоде

1 Рп = — ^ ^(жп(к)) Рп к=1

сходятся при п ^ то, где рп — период псевдотраектории Пп-

Теорема 8 Щ] Пусть последовательность пп периодических еп-траекто-рий сходится в среднем при, £п ^ 07 тогда существует инвариантная, мера

^ такая, что для любой непрерывной функции р имеет, место равенство

Рассмотрим последовательность {С = {Мг(г)}, £ Е М} подразбиений исходного покрытия Со, диаметр ^ которых сходится к пулю. Пусть — соответствующая последовательность символических образов, на которых действует отображение в : ^ С ориентированных графов.

Теорема 9 Пусть на каждом С задан периодический, путь щ = {г^ (1), ¿¿(2),... , ¿¿(рг) = ¿¿(0)} периода р и последовательность пут,ей, согласована, т.е. щ = в(^+1). Тогда, верны, следующие утверждения.

1. Существует рекуррентная траекторияТ = {хк : жк+1 = /(хк), к Е Щ, для которой Е М (г^ (к)) для любо го £.

Последовательность периодических псевдотраекторий

(которые являются следам,и, путей щ) сходится к траектории Т рае-номерно так, что вирк р(жДк),жк) <

5. Последовательность замкнутых множеств Р^щ) = ик МДгДк)) ле-ляется убывающей: Р+ С м = Р|г совпадает с замыка-

Т

4- Последовательность периодических псевдотраекторий Т сходится в среднем и существует инвариантная, мера ^ такая, что для любой непрерывной функции, р средние на периоде р(щ) сходятся к /м р^ при £ ^ го.

Т

стеши множеством меры ^ м носитель этой меры

6. Если {хг(п) Е Мг(гг(п)), 1 < п < рг} есть след периодического пут,и тогда дискретная мера

Т = {жДк) Е М(г*(к)), к Е Ж}

вмрр^ = Нш I I МДгДк)).

к

1

1<П<Р4

сходится к эргодичсской мере р при £ ^ то в слабой топологии, где 5(ж) является 5-функцией (мера) Дирака.

Доказательство. В условиях теоремы мы имеем последовательность подразбиений {С = {МДг)}}, последовательность символических образов {С^}, связанных отображением в : С*+1 ^ С*; последовательность пространств потоков {М(С^)}, связанных отображением в * : М(С^+1) ^ М(С^). Каждый периодический путь ^ = {г^(1), г^(2),... , = г*(0)} периода р лежит па символическом образе С*. Утверждения 1 и 2 (данной теоремы) являются следствием теоремы 2, поэтому мы кратко напомним доказательства этих утверждений.

к

тельность ячеек {М (г*(к)), £ = 1,2,... } из последовательности подразбиений {С*} Из согласованности периодических путей следует, что в^+1(к)) = г*(к). Это означат, что ячейка М(г^+1(к)) входит в подразбиение ячейки М(гДк)). В таком случае имеют место включения

М(гх(к)) Э М(г2(к)) э ... Э М(г*(к)) э М(гт(к)) э .... (13)

Так как ячейки замкнуты и их диаметры стремятся к нулю вместе с то существует единственная точка

Жк = Нш М(гк) = П М(гк).

7>00 1 1

Аналогично, последовательность замкнутых множеств {/(М(г^)) П М(гк+1)} имеет предельную точку

Нш /(М(гк)) П М(гк+1) = Жк+1,

при этом /(жк) = жк+1. Детали см. в [10].

Для доказательства рекуррентности построенной траектории, заметим, что для каждого £ вся траектория Т = {жк} лежит в объединении ячеек периодического пути ^ = {г*(1), г*(2),..., ) = г*(0)}:

т с = у М*(г*(к)).

к

Фиксируем £ > 0 и найдем £ такое, что < Для этого £ определим период р пути Тогда вся траектория Т = {жк} лежит в Д(^) = У к М^ (г* (к)). Так как точка жк траектор ии Т лежит в МДгДк)), то ш ар В (г, ж) радиуса

г = ^ с центром в точке х = хк содержит ячейку МДгДк)). Следовательно, объединение шаров

Н = У ВЦ,Хк) Э Р*(щ)

к

содержит траекторию Т. Возьмем любой от резок {хк, к = ко, ко + 1,..., ко + рг — 1} длин ы рг траектор ии Т. Так гак путь щ имеет пер под р*, то описанный отрезок лежит в Рг(щг). Таким образом, ^-окрестность любого отрезка траектории Т длины рг содержит всю траекторию Т, т.е. Т является рекуррентной траекторией.

Доказательство утверждение 2. Пусть щ = {гг(к), 1 < к < рг} ^согласованная последовательность периодических путей па {Сг}. Фиксируя определим псевдотраекторию Тг = {хг(к) Е М(гг(к)), 1 < к < рг}. Согласно построению, точка хг(к) псевдотраекторпп Тг и точка Хк траектории Т лежат в одной ячейке Мг(гг(к)) для каждых к и Тогда расстояние между этими точками не превосходит диаметра ячейки и, следовательно, диаметра покрытия Сг. Согласно теореме 1, Тг является периодической ^-траекторией для любого £ > + где п(•) _ модуль непрерывности отображения

/. Так как последовательность периодических путей согласована, то последовательность псевдотраекторий {Тг} сходится равномерно к рекуррентной траектории Т = {х(к), к Е Ж}, при этом расстояние р(х(к), хг(к)) <

Доказательство утверждения 3. Из согласованности путей щ = в(щг+1) следует, что гг(к) = в(гг+1(к)) для каждого к. Это означает, что ячейка Мг+1(гг+1 (к)) входит в подразбиение ячейки Мг(гг(к)) и

Мг+1(гг+1(к)) С МДгДк)). к

Рг+1 = У Мг+1(гг+1(к)) С У М*(г*(к)) = Р*.

кк

Каждое замкнутое множество Рг содержит траекторию Т и ее замыкание Т, следовательно, Т С Р|г Рг. Обратное включение покажем от противного. Пусть существует точка х Е Р|* Р^, которая не лежит в замыкании Т. Тогда расстояние р(х, Т) = г > 0. Из включения х Е Р|* Рг следует, что х Е Рг для любого Каждое Рг есть объединение конечного чиела ячеек Мг(гг(к)). Тогда найдется ячейка Мг(гг(к)) содержащая точку х. Однако, ячейка Мг(гг(к)) содержит точку хк Е Т и, следовательно, расстояние р(х,Т) < Если < г, то мы получалм противоречие с предположением р(х,Т) = г. Поэтому необходимо Т Э П* Рг. Таким образом, Т = Р|* Рг.

Доказательство утверждения 4. В работе [11] показано, что, если на символическом образе С имеется периодический путь ш периода N то па С имеется поток т такой, что тгз- = к^/Ж, где к^ есть число проходов пути ш через дугу г ^ Описанный поток называется потоком т(ш), порожденным периодическим путем ш. Таким образом, согласованная последовательность ш* = {г*(к), к Е Ъ} периодических путей порождает согласованную последовательность периодических потоков т(ш*). Каждый по ток т(ш*) порождает меру р* согласно формуле (7). В статье [11] показано, что для согласованной последовательности потоков т(ш*) последовательность мер р* сходится

р

если меру р^ строить согласно формуле (12), то последовательность мер р^

р

меры р*(ш) согласно формуле (12), точка ж* (г) лежит в ячейке МДг) и зависит только от номера г. В этом случае мера р* имеет вид

р = £т*(г)5(ж*(г)), т*(г) = £т*(г.?) = £ = ,

г з ^ - -

где р — период пути ш*, кДг^') — число проходов пути ш* через дугу г ^ к*(г) - число проходов пути ш* через вершипу г. Для любой непрерывной функции р

[ = £ тДгМжДг)) = £ ^^(жДг)). (14)

г г

Согласно теоремы 1, периодическая последовательность

Т = {ж*(к) Е М*(г*(к)), 0 < к < р*, ж*(0) = ж*(р*)}

является следом периодического пути ш*. В этом случае точка ж*(к) зависит от к. Иначе говоря, возможно, что вершины г*(к1) г*(к2) совпадают, но ж*(к1) = ж*(к2). В этом случае точки жДк^ и ж*(к2) лежат в одной ячейке, т.е. расстояние р(ж*(к1),ж*(к2)) < Наше цель показать, что для любой непрерывной функции среднее значение

= -1 £ ^(ж.(к))- (15)

сходится при £ ^ то Число проходов к*(г) пути ш* через вершипу г совпадает с числом проходив псевдотраектории Т через ячейку МДг). Отсюда следует,

что kt(i) = 0 в (14) только для вершин периодического пути wt = {it(k), 1 < k < —t}. При этом ^ kt(i) = —t. Подставляя в (14)

kt(iV(xt(i)) = ^(xt(it(k))) it(k)=i

получаем

^dßt = — ^ ^(xt(it(k))).

J — i<k<Pi

Покажем, что среднее знавшие ^(Tt) функцпи ^ на периодической псевдотраектории Tt и интеграл J ^dßt имеют общий преде л при t — го.

Согласно построению, точки xt(k) и xt(it(k)) лежат в одной ячейке Mt(it(k)), следовательно, расстояние p(xt(k), xt(it(k))) < dt. Тогда

| /* <^dßt - <p№)|< — ^ |^(xt(it(k))) - ^(xt(k))|< n(dt) — 0 J — i<k<pt

где n(0 _ модуль непрерывности функции ^ и диаметр разбиения dt — 0 при t — го Это означает, что среднее значение ^(Tt) и интеграл f ^dßt сходятся к общему пределу. Так как последовательность мер ßt сходится к инвариантной мере ß в слабой топологии, то

lim ^(Tt) = lim ^dßt = ^dß,

t—>-го t—>-го J I

т.е. последовательность периодических псевдотраекторий Tt сходится в среднем.

Доказательство утверждения 5. Следующая теорема доказана в статье 141.

Теорема 10 Если последовательность периодических е^траекториеи сходится в среднем при, £ — 0 и сходится равномерно к траектории Т, то за-

Т

жеством.

Согласно утверждению 4, последовательность Т* периодических псевдотраекторий сходится в среднем. Согласно утверждению 2, последовательностьТ*

Т

Т

но, инвариантная мера ^ является эргодической. Замыкание траектории Т

является носителем этой меры. Согласно утверждению 3, носитель

su——p = lim Pt = П(М Mt(it(k))).

t—т>00 1 1 ^^

t k

Доказательство утверждения 6. Пусть {xt(n) E Mt(it (n)), 1 < n < —t} есть след периодического пути wt и пусть дискретная мера р^ имеет вид

р = — S ^(xt(n)).

1<n<pt

Тогда

= — £ ^(xt(n)) = ^t). —t 1<n<pt

Согласно доказательству утверждения 4, средние значения ^(wt) сходится к интегралу J ^dp при t ^ то Отсюда следует, что дискретная мера р^ сходится к эргодической мере р в слабой топологии. Теорема доказана.

0

Следствие 1 Утверждение 6 доказанной теоремы позволяет построить

р

Благодарности Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (РФФИ, грант А № 19-01-00388).

Список литературы

[1] M.Shub. Stabilite globale de systems denamiques.// Asterisque v. 56, 1978, 1-21.

[2] G. D. Birkhoff. Proof of recurrence theorem for strongly transitive systems. Proof of the ergodic theorem.// Proc. Nat. Acad. Sci. v. 17, 1931.

[3] Г. С. Осипенко. О символическом образе динамической системы.// Краевые задачи, Пермь, 1983, 101-105.

[4] George Osipenko. Dynamical systems, Graphs, and Algorithms. Lectures Notes in Mathematics, v. 1889, Springer, Berlin, 2007.

[5] B.M. Алексеев. Символическая динамика. Одиннадцатая математическая школа, изд. института математики АН УССР, Киев, 1976.

[6] Lind Douglas, Marcus Brian. An introduction to symbolic dynamics and coding. Cambridge University Press, 1995.

[7] C.Robinson. Dynamical Systems: Stability, Symbolic Dynamics and Chaos, 1995.

[8] C. S. Hsu. Cell-to-Cell Mapping, Springer-Verlag, N.Y. 1987.

[9] В. В. Прасолов. Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии, МЦНМО Москва, 2004.

[10] Г. С. Осипенко. Кодировка траекторий и инвариантных мер.// Математический сборник, v. 211:7, 2020, 151-176.

[11] George Osipenko. Symbolic images and invariant measures of dynamical systems.// Ergodic Theory and Dynamical Systems, v. 30, 2010, 1217 - 1237.

[12] А. Б. Каток, Б. Хасселблат. Введение в современную теорию динамических систем. Факториал, Москва, 1999.

[13] В.В. Немы икни и В.В. Степанов. Качественная теория дифференциальных уравнений. Москва-Ленинград, 1949.

[14] Г. С. Осипенко. Сходимость в среднем периодических псевдотраекторий и инвариантные меры динамических систем.// Математические заметки, т. 108:6, 2020, 882-898.

Graph flows and invariant measures of dynamical systems

G. S. Osipenko Branch of Moscow State University in Sevastopol. [email protected]

Abstract. We consider a discrete dynamical system generated by a homeomorphism / of a compact manifold. If {M(i)} is a finite cover of the manifold by closed cells, then there is a symbolic image G directed graph with vertices corresponding to cells, and vertices ¿and j are connected by an arc i — j if the image f (M(¿)) intersects M(j). A periodic path u on G generates a pseudo-trajectory n and a measure ^ concentrated on it. Let a sequence of subdivisions with diameters converging to zero and a sequence of symbolic images Gt be given. If the sequence of periodic paths {ut C Gt} is consistent, then the corresponding sequence of periodic pseudotrajectories converges to a recurrent trajectory T, the sequence of measures ^ converges to an ergodic measure and the closure of T is a minimal strictly ergodic set.

Keywords: symbolic image, flow on a graph, pseudotrajectory, weak convergence of measures, ergodicity.

Acknowledments

The work was supported by RFBR (grant A № 19-01-00388).