CC BY
7
Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2021. Т. 8 (66). Вып. 2 УДК 539.3:517.927.25 МБС 74010
Потеря устойчивости жестко заделанной подкрепленной цилиндрической оболочки*
Г. А. Нестерчук
Санкт-Петербургский государственный университет,
Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7—9
Для цитирования: Нестерчук Г. А. Потеря устойчивости жестко заделанной подкрепленной цилиндрической оболочки // Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия. 2021. Т. 8(66). Вып. 2. С. 247-254. https://doi.org/10.21638/spbu01.2021.205
В работе рассматривается задача о потере устойчивости тонкостенной упругой цилиндрической оболочки, подкрепленной шпангоутами с разной жесткостью. Методом Релея — Ритца получено аналитическое решение задачи для случая жесткой заделки краев оболочки. Найдены параметры оптимального распределения массы конструкции между оболочкой и ребрами жесткости с целью максимального увеличения критического давления. Рассматриваются шпангоуты с нулевым эксцентриситетом. Проведено сравнение полученных аналитических решений с численным решением методом конечных элементов.
Ключевые слова: подкрепленная цилиндрическая оболочка, асимптотические методы, устойчивость.
1. Введение. Подкрепленные цилиндрические оболочки имеют широкое применение в современном машиностроении. Задача о потере устойчивости является одной из базовых задач, решения которых учитываются в авиа- и судоконструиро-вании, в ракетомоделировании. При построении конструкции зачастую основным требованием является минимизация массы при сохранении прочностных характеристик. Этим обусловлена востребованность расчетов ребристых оболочек.
В статье [1] рассматривается одна из постановок задач об оптимизации параметров цилиндричекой оболочки, подкрепленной одинаковыми шпангоутами. В работе [2] исследовано поведение шпангоута с тавровым сечением. В книге [3] описаны способы изучения подкрепленных и сопряженных цилиндрических оболочек.
2. Постановка задачи. Рассмотрим задачу о потере устойчивости под действием равномерного внешнего давления р тонкостенной упругой цилиндрической оболочки, на которую для увеличения критического давления установлены н8 поперечных ребер жесткости с нулевым эксцентриситетом. Будем рассматривать шпангоуты, жесткость которых изменяется вдоль образующей оболочки с целью максимального увеличения критического давления.
Для описания потери устойчивости воспользуемся безразмерными уравнениями технической теории оболочек [4]:
^Д2^ - АкФ^ - Лт2^ = 0, Д2Ф^ + Д^ = 0, (1)
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №19-01-00208). (¡5 Санкт-Петербургский государственный университет, 2021
где
Ай = Дг, Д = Ад; — т2, сг = 1-г/2, А = —, е8 = —. ¿в2' ' ' Ек 12а
Здесь £ — малый параметр, и>(г) — проекция перемещения на направление нормали к срединной поверхности для в € [в®—, в®], г = 1, 2,..., п, п = п8 + 1, во = 0, вп = I, в — координата, направленная вдоль образующей цилиндра, — функция усилий, т — число волн по параллели, V — коэффициент Пуассона, Н — безразмерная толщина оболочки, I — безразмерная длина оболочки, а Е — модуль Юнга. За единицу длины выбран радиус Д основания цилиндра.
Представим решение системы уравнений (1) в виде суммы решений для основного полубезмоментного состояния, простого краевого эффекта вблизи краев оболочки и параллелей. В первом приближении получим
(4°) ™ - а4=0, а4 = т% - £8т8, (2)
где и>0г) — приближенное решение системы (1), Ао — приближенное значение А (см. [5]). В дальнейшем рассматривается то. Ао используются обозначения и>(г) и А.
Граничные условия для уравнения (2) в случае жесткой заделки краев оболочки имеют вид
4(1)(0) = 4(1)' (0) = 4(П) (I) = 4(П)' (I) = 0. (3)
Предположим, что характерный размер поперечного сечения шпангоута а ^ £. Тогда на параллелях, подкрепленных шпангоутами, выполняются условия сопряжения [6]
'„ '„ (4)
-= , в = в®,(г = 1,2,...,пв),
[5]). В дальнейшем рассматривается только приближенное решение, и вместо и
где
т8е81г]г \2anEcJi
С4 = п ' Щ = 1г3Е1 ' ' =
Здесь Ес — модуль Юнга материала шпангоута, п® — эффективная жесткость шпангоута, установленного в координате в® [7], 3® — момент инерции поперечного сечения шпангоута относительно образующей цилиндра. Индекс г указывает на то, что шпангоуты могут отличаться друг от друга по высоте, а следовательно, и по жесткости. Для удобства записи в дальнейшем введены следующие обозначения: с = с(п, т) = с1, п = П1.
Приближенное значение параметра критического давления А = р/(ЕН) для подкрепленной оболочки с заделанными краями определяется по формуле
А(п) = шт
т
а4(с) 8 2 —+ е т
где а(с) — собственное значение краевой задачи (2), (4) с граничными условиями (3).
3. Оптимальное расположение шпангоутов. Краевая задача (2)-(4) эквивалентна задаче об определении частот колебаний жестко заделанной балки, подкрепленной пружинами жесткости c в точках s¿. Случай шарнирного опирания концов балки при условии равномерного расположения (s¿ = il/n) одинаковых (c = c) пружин исследован в монографии [6].
В работе [8] проанализированы случаи неравномерного расположения пружин. Путем перебора вариантов определены оптимальные расположения пружин, которым соответствует максимум величины первого собственного значения ai(c) краевых задач (2)-(4). Установлено, что при c ^ то координаты точек оптимального расположения пружин s¿(c) стремятся к некоторым предельным значениям s*. Оптимальное расположение пружин в точках s*, соответствующее c = то, названы предельным оптимальным расположением.
В работе [9] показано, что в случае жесткой заделки нули формы колебаний неподкрепленной балки совпадают с точками предельного оптимального расположения пружин. Решение уравнения (2) с граничными условиями (3) имеет вид
w„(s) = [U сад - к„V (e„s)j, (5)
где
S (x) = ch x + cos x, T (x) = sh x + sin x, U (x) = ch x — cos x, V (x) = sh x — sin x, S(x) = T1 (x) = U11 (x) = V111 (x) = SIV (x)
— система функций Крылова,
l
а величины
zn ch zn c0s
Pn = = ~¡ :
zn ~ n(2n +1)/2, n = 1, 2,...,
являются корнями уравнения ch z • cos z = 1. При этом точки оптимального расположения шпангоутов совпадают с корнями уравнения wn(s) = 0. В дальнейшем для упрощения записи вместо /?о = fj используется /3, вместо н\ = исполь-
зуется к, а первая форма колебаний неподкрепленной балки wi (s) заменяется на w(s).
4. Вычисление собственных значений для колебаний балки, подкрепленной пружинами. Рассмотрим краевую задачу о потере устойчивости балки, подкрепленной пружинами. Для ее решения применим метод Релея. Формулу Релея для подкрепленной пружинами балки можно записать в следующем безразмерном виде:
4 h +12 «1 = —г—> 10
1 n-i ' (6)
/1 = (w'')2ds, /2 ^^ CjW2(sj), /0 = w2ds.
0 i=1 0
На рисунке изображена оболочка со шпангоутами в разрезе вдоль образующей оболочки. Приравняем модуль Юнга шпангоутов модулю Юнга оболочки и в дальнейшем будем считать, что жесткость шпангоута зависит только от его физических
Половина осевого сечения оболочки, подкрепленной шпангоутами.
размеров. Предположим, что все шпангоуты имеют одинаковую ширину, равную а, а высота первого шпангоута Ь = ка. Также введем / (г) — функцию распределения высот шпангоутов вдоль образующей цилиндра: Ь® = Ь/(г) = ка/(г). Подставим в формулу Релея выражения для безразмерной жесткости шпангоута и первой формы колебаний неподкрепленной оболочки
I I
/о = У (и (вв) - к • V (вв))2 йв, /1 = у (£ (вв) - к • Т (вв))2 йв. о о
Для случая шпангоута с нулевым эксцентриситетом момент инерции г-го шпангоута рассчитывается по формуле
Следовательно,
П ^ П ^ £81 £81п П ^
/г = = X/--= -' • X /3(г)гу2(вг)-
®=1 ®=1 ®=1
После подстановки в формулу Релея выражений для безразмерной жесткости шпангоута и первой формы колебаний неподкрепленной оболочки получим следую-
4
щее соотношение для а|:
/1+гСТ(п), где Т(п) = ]Г/3«г/>2(*). (7)
/о
®=1
Подставим полученное а1 в формулу для параметра критического давления А и получим
А(п, т) = Хт-6 + Ут2,
где
/о /о п
Найдем наименьшее значения параметра частоты А1, минимизировав полученную функцию А(п, т) по т:
/256
ш) = —6Хт~7 + 2Ут = 0, А^г?) =
У 27 /о \ 1о п
Поскольку для малого параметра е выполнено соотношение е8 = Н2/(12ст), напишем Ах в следующем виде:
л/б /г3/2 4//1 / г/1Т(п)\3
хЛг])=-^По{1+Ь п) • (8)
5. Оптимизация параметров оболочки. Пусть масса подкрепленной оболочки фиксирована. Рассмотрим задачу об определении оптимального распределения массы между шпангоутами и оболочкой (обшивкой), которому соответствует наибольшее значение критического давления.
Критическое давление ро для гладкой оболочки длиной / и толщиной Но можно найти по приближенной формуле Саутуэлла — Папковича, взятой из работы [6]:
4п (Н0 \3/2 4пЕЛ0/2
Л = ^Ьг) ' Ро = = бУЧо^' (9)
Предположим, что за счет уменьшения толщины оболочки до величины Н на ней установлен п — 1 шпангоут прямоугольного поперечного сечения шириной а и высотой 6(г), причем масса подкрепленной оболочки
Мя = М (Н) + мг,
где М (Н) = 2пДр • ДН • Д/ — масса обшивки, а масса шпангоутов
п— 1
Мг = ^ 2пДр • Да • Да/(г)
¿=1
совпадает с массой гладкой оболочки М0 = М (Н0).
Для определения критического давления гладкой и подкрепленной оболочек воспользуемся формулами (9) и (8). Введем функцию отношения критического давления подкрепленной оболочки к критическому давлению гладкой оболочки и найдем ее максимальное значение /*:
где с1 = а параметр г/* называется эффективной жесткостью шпангоута [6, 7] и является корнем уравнения
Л/,( /Т(п) \3/4 л п/о /72п +1 \4/3 \
После упрощения получаем
где
П ак3 Т( ^ Г /4/1 В = т , о • 1 (п), С =——.
Условие равенства массы подкрепленной оболочки массе гладкой оболочки (М(Но) = М(Н) + Мг) примет следующий вид:
(1 - ¿)2 _ „ _ к П-1
i
4
После подстановки выражения для а4 в функцию /ь(^) получим
г ¿5/2 (2п±1)7_
где — корень кубического уравнения
в
4--7-775-- I)2 = 0.
Л2((2-Ы)4/3С-1/
Данное уравнение имеет один корень на интервале (0, 1).
Функция д = возрастает при с1 (Е [0;с£*], следовательно, максимум
функции находится на промежутке 1]. На этом промежутке функцию д можно записать в виде
д(й) = й1о/3 + ВА-2й1/3(й - 1)2.
Корни уравнения д'(й) = 0 лежат вне отрезка [й*;1] (см. [10]), значит, максимум функции /ь(й) достигается на одном из краев ; 1]:
/* = max
2n + 1
3
dt] 1
Для малых /io выполняется неравенство <i* • 2"3^1 > 1, поскольку d —> 1 при ho —> 0.
Таким образом, получено кубическое уравнение, корень которого соответствует максимальному критическому давлению жестко заделанной оболочки, подкрепленной шпангоутами разной жесткости:
fr--7—Щ-v-№-D2 = 0.
При этом а* и /, соответствующие d*, можно найти по следующим формулам:
6. Результаты. В таблице приведены значения критического давления, полученные описанным в статье аналитическим методом (р) и методом конечных элементов (pfem) в пакете Сотво1. Рассматриваются некоторые параметры функции
Некоторые значения критического давления
к = 1 к = 2
и = 1 ns р, Па Pfem, Па dt ns р, Па Pfem, Па dt
3 628199 609440 0.918 3 666391 645430 0.9399
4 700574 688990 0.8850 4 760599 747720 0.9145
5 757109 755760 0.8539 5 839855 839140 0.89
и = 1.5 3 658402 614370 0.9354 3 689856 642590 0.9530
4 754081 717130 0.9114 4 803660 762560 0.9349
5 863682 804290 0.9 5 927847 861660 0,9262
и = 2 3 681002 616760 0.9481 3 707084 637890 0.9625
4 787950 733720 0.9276 4 830211 770330 0.9471
5 918921 811080 0.9226 5 971589 851530 0.9434
распределения жесткостей шпангоутов и и к для медной оболочки I = 4, подкрепленной и8 шпангоутами (Е = 11 • 1010 Па, р = 8920 кг/м3, V = 0.35). Края оболочки жестко закреплены, а высоты шпангоутов распределены по треугольному закону:
т=Нг-1)(и-1) + 1,
Здесь и — отношение высоты второго шпангоута к первому. Для гладкой оболочки толщины Н = 0.01 критическое давление для тех же условий ртах = 384840 Па.
Сравнение результатов аналитического и численного решений показывает, что данный подход можно использовать для приближенного подбора параметров перед началом проектирования.
Литература
1. Адамович И. А., Филиппов С. Б. Оптимизация параметров подкрепленной цилиндрической оболочки. Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1. Математика. Механика. Астрономия 2 (60), вып. 2, 226-234 (2015).
2. Боярская М. Л., Филиппов С. Б. Устойчивость шпангоута под действием внутреннего давления в цилиндрической оболочке. Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1. Математика. Механика. Астрономия 3 (61), вып. 2, 264-273 (2016). https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2016.210
3. Teng J. G., Rotter J. M. Buckding of Thin Metal Shells. CRC Press (2003).
4. Товстик П. Е. Устойчивость тонких оболочек. Асимптотические методы. Москва, Наука (1995).
5. Филин А. П. Элементы теории оболочек. Ленинград, Стройиздат (1975).
6. Филиппов С. Б. Теория сопряженных и подкрепленных оболочек. Санкт-Петербург, Изд-во С.-Петерб. ун-та (1999).
7. Алфутов Н. А. Основы расчета на устойчивость упругих систем. Москва, Машиностроение (1978).
8. Шарыпов Д. В. Низкочастотные колебания цилиндрической оболочки, подкрепленной шпангоутами. Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1. Математика. Механика. Астрономия, вып. 3, 102-108 (1997).
9. Лопатухин А. Л., Филиппов С. Б. Низкочастотные колебания и устойчивость тонкой цилиндрической оболочки, подкрепленной шпангоутами Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1. Математика. Механика. Астрономия, вып. 2, 84-90 (2001).
10. Filippov S. B. Buckling, vibrations and optimal design of ring-stiffened thin cylindrical shells. In: Advances in Mechanics of Solids, 17-47 (2006). https://doi.org/10.1142/9789812773166.0002
Статья поступила в редакцию 21 ноября 2020 г.;
после доработки 16 декабря 2020 г.; рекомендована в печать 17 декабря 2020 г.
Контактная информация:
Нестерчук Григорий Анатольевич — ассистент; grigory_ne@mail.ru
Buckling of a clamped supported cylindrical shell*
G. A. Nesterchuk
St. Petersburg State University, 7—9, Universitetskaya nab., St. Petersburg, 199034, Russian Federation
For citation: Nesterchuk G. A. Buckling of a clamped supported cylindrical shell. Vestnik of Saint Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy, 2021, vol. 8(66), issue 2, pp. 247-254. https://doi.org/10.21638/spbu01.2021.205 (In Russian)
The paper considers problem of buckling of a thin elastic cylindrical shell, supported by rings of various stiffness. The approximate solution for clamping edge was obtained with analytical Rayleigh — Ritz method. The parameters of the optimal distribution of the mass of the structure between the shell and the stiffeners are found in order to maximize the critical pressure. Frames with zero eccentricity are considered. The obtained analytical solutions are compared with the solution by the finite element method.
Keywords: stiffened cylindrical shell, asymptotic methods, buckling. References
1. Adamovich I. A., Filippov S. B. Optimal design of stiffened cylindrical shell. Vestnik of Saint Petersburg University. Series 1. Mathematics. Mechanics. Astronomy 2 (60), iss. 2, 226—234 (2015). (In Russian)
2. Boyarskaya M.L., Filippov S. B. Buckling of a ring joint with the cylindrical shell under internal pressure in the shell. Vestnik of Saint Petersburg University. Series 1. Mathematics. Mechanics. Astronomy 3 (61), iss. 2, 264-273 (2016). https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2016.210 (In Russian) [Engl. transl.: Vestnik St. Petersb. Univ., Math. 49, 166-173 (2016). https://doi.org/10.3103 /S1063454116020035].
3. Teng J.G., Rotter J. M. Buckling of Thin Metal Shells. CRC Press (2003).
4. Tovstik P. E. Buckling of thin shells. Asymptotic methods. Moscow, Nauka Publ. (1995). (In Russian)
5. Filin A. P. Elements of the Theory of Shells. Leningrad, Stroiizdat Publ. (1975). (In Russian)
6. Filippov S. B. Theory of joint and stiffened shells. St. Petersburg, St. Petersburg Univ. Press (1999). (In Russian)
7. Alfutov N. A. Basis of calculation for stability of elastic systems. Moscow, Mashinostroenie Publ. (1978). (In Russian)
8. Sharipov D. V. Low frequency vibrations of stiffened cylindrical shell. Vestnik of Saint Petersburg University. Series 1. Mathematics. Mechanics. Astronomy, iss. 3, 102-108 (1997). (In Russian)
9. Lopatukhin A. L., Filippov S. B. Low frequency vibration and buckling of the ring stiffened thin cylindrical shell Vestnik of Saint Petersburg University. Series 1. Mathematics. Mechanics. Astronomy, iss. 2, 84-90 (2001). (In Russian)
10. Filippov S. B. Buckling, vibrations and optimal design of ring-stiffened thin cylindrical shells. In: Advances in Mechanics of Solids, 17-47 (2006). https://doi.org/10.1142/9789812773166.0002
Received: November 21, 2020 Revised: December 16, 2020 Accepted: December 16, 2020
Author's information:
Grigory A. Nesterchuk — grigory_ne@mail.ru
*This work is supported by Russian Foundation for Basic Research (grant no. 19-01-00208). 254 Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2021. Т. 8(66). Вып. 2
