CC BY
7
УДК 539.3
Каюмов Рашит Абдулхакович
доктор физико-математических наук, профессор Е-mail: kayumov@rambler.ru Мухамедова Инзилия Заудатовна кандидат физико-математических наук, доцент Е-mail: muhamedova-inzilij a@mail. ru
Казанский государственный архитектурно-строительный университет
Адрес организации: 420043, Россия, г. Казань, ул. Зеленая, д. 1
Хазиева Гузель Фоатовна
инженер
Е-mail: guzel.khazieva.2016@mail.ru МБУ «Казгражданпроект»
Адрес организации: 420012, Россия, г. Казань, ул. Достоевского, д. 35/10
Потеря устойчивости листовых косоугольных консолей Аннотация
Постановка задачи. Рассматривается задача оценки несущей способности из-за потери устойчивости узлов металлических конструкций в виде тонкостенных листовых косоугольных.
Результаты. Разработана методика расчета на устойчивость ребер листовых консолей с учетом геометрической и физической нелинейности. Проведены численные эксперименты при варьировании геометрических и механических параметров. На основе анализа численных экспериментов получены формулы для вычисления критической силы.
Выводы. Значимость полученных результатов для строительной отрасли заключается в том, что задача определения критической нагрузки сведена к аналогу формулы Эйлера, но с поправочным коэффициентом, зависящим от геометрических параметров косоугольной пластины. По результатам численных экспериментов можно получить единую регрессионную функцию для вычисления критической силы, где поправочный коэффициент зависит и от угла скоса пластины, и от относительной длины. Выявлено, что от толщины пластины и от коэффициента Пуассона поправочный коэффициент почти не зависит.
Ключевые слова: косоугольная пластина, устойчивость, критическая сила, численный эксперимент.
Введение
Ряд крупных катастроф показал, что обеспечение надлежащей прочности современных инженерных сооружений далеко не достаточно, необходимы дополнительные исследования, в том числе устойчивости, как отдельных элементов конструкции, так и всего проектируемого сооружения.
Вопросам устойчивости в настоящее время уделяется большое внимание. Наряду со сжатым стержнем в условиях неустойчивого равновесия, может оказаться и сжатый лист и изгибаемая балка, и сжимаемая внешним давлением цилиндрическая трубка и т. д. Также, например, в каркасах зданий из металлических конструкций имеется большое количество узлов, содержащих опорные ребра: базы колонн, опорные узлы прогонов, консоли кранов, которые наряду с расчетом на прочность требуют расчета на устойчивость. На сегодняшний день для этих ребер в виде тонкостенных листовых косоугольных пластин нет простых решений, которые инженер мог бы применить непосредственно к расчету на устойчивость.
Разработка методики расчета на устойчивость по деформационному подходу
В данной работе для расчета на устойчивость при изгибе тонкостенных косоугольных пластин используется деформационный подход. Поскольку, как и в сжатом стержне, на диаграмме «нагрузка - перемещение» нет экстремальной (предельной) точки, то сначала необходимо ввести некоторый критерий для определения критической силы. Для этого будем сравнивать два решения.
В первом решении критическую силу будем находить по формуле Эйлера (бифуркационный подход). Эта задача решена Тимошенко С.П. [1, 2] для тонкостенной прямоугольной балки узкого прямоугольного сечения шириной Ь и высотой. Рассматривается случай, когда консоль изгибается силой Р, приложенной в центре концевого сечения. При увеличении нагрузки, достигается условие, когда форма изгиба в плоскости стенки становится неустойчивой и происходит выпучивание. На рис. 1 показана форма потери устойчивости балки при поперечном изгибе.
Рис. 1. Форма потери устойчивости балки постоянного поперечного сечения при изгибе
Для определения критической силы допускается, что произошло малое боковое выпучивание. Из уравнений равновесия выпученной консоли определяется наименьшая величина нагрузки, которая удерживает ее в слегка изогнутом виде. Это и будет критическая сила, которую можно вычислить по формуле:
б ф 4.013ЖС
рбифурк _ V у (1)
кр I2 '
1 ?»3 1
ВУ = 3УЕ =-Е , С = ЗьО = - 0.63-)0,
У У 12 к 3 у ь
где ВУ - главная жесткость при изгибе полосы в плоскости хг, С - жесткость при
кручении, Е - модуль упругости, О - модуль сдвига, 3У ^ - моменты инерции для узкого
прямоугольного сечения.
Далее была решена задача устойчивости при изгибе по деформационному подходу (второе решение), в физически линейной и геометрически нелинейной постановке. Для решения задачи в геометрически нелинейной постановке был использован тип конечного элемента КЭ 341 (геометрически нелинейный универсальный прямоугольный КЭ). Данный КЭ предназначен для определения напряжённо-деформированного состояния оболочек при сильном изгибе.
На рис. 2. представлен график зависимости силы Р от бокового выпучивания Ж.
Видно, что предельной точки нет. Сравним два решения. Так как из первого решения известно Ркрбифурк, то можно найти Жкр.
Введем коэффициент отказа п:
п=Жк/Жлин. (2)
Будем считать, что этот коэффициент определяет значение перемещения, которое можно считать критическим, а силу, которая вызывает перемещение Жкр будем называть критической силой Ркрдеформ, найденной с помощью деформационного метода.
На следующем этапе этот коэффициент п применим для определения Ркрдеформ деформационным методом в случае тонкостенных косоугольных пластин, причем для физической нелинейности. Для решения задачи в геометрически и физической нелинейной постановке был использован тип КЭ444 (четырехугольный элемент оболочки с учетом физической и геометрической нелинейности), тип жесткости пластина Н0.5. Закон деформирования был аппроксимирован кусочно-линейной зависимостью. При расчете используется шаговый метод. На каждом шаге матрица жёсткости формируется в системе координат «нового положения» с учётом изменения касательного модуля упругости.
Данную методику применим к задаче изгиба стальной тонкостенной пластины постоянного прямоугольного сечения со следующими геометрическими и механическими характеристиками:
- длина пластины Ь=1 м;
- высота поперечного сечения И=0,2 м;
- ширина поперечного сечения Ь=0,005 м;
- модуль упругости Е=2-108 кН/м2;
- модуль сдвига С=8-107 кН/м2;
- коэффициент Пуассона у=0,3;
В результате расчетов был получен коэффициент отказа п=8. Критическая сила по бифуркационному и деформационному подходам Ркрбифурк = Ркрдеформ = 2,098 кН.
Далее была построена расчетная модель стальной косоугольной пластины для оценки ее несущей способности на устойчивость (рис. 3-4).
Рис. 3. Расчетная схема опорного ребра Рис. 4. Форма потери устойчивости пластины
Численные эксперименты
Были проведены численные эксперименты по определению критической силы при варьировании геометрических параметров пластины от угла наклона, толщины и длины пластины. Высота свободного конца пластины принята постоянной и равной 10 см. Длина пластины изменялась в пределах от 10 см до 25 см. Угол наклона пластины приняли равным а=0, а=30, а=45. Толщина пластины была принята равной 1=0,4; 0,6; 0,8; 1; 1,2 см. Например, в таблице приведены значения критической силы при варьировании длины и угла наклона пластины при толщине 4 мм. Численные эксперименты показали, что:
- с увеличением длины пластины критическая сила уменьшается;
- с увеличением угла наклона пластины критическая сила возрастает;
- с увеличением толщины пластины критическая сила возрастает.
Таблица
Значения критической силы при разных длинах и углах наклона при толщине 4 мм
Ьо=1/Ио а=0 а=20 а=30
1 112,73 114,463 114,761
1,3 79,892 85,407 86,465
1,5 64,406 71,706 73,305
1,8 47,805 56,652 57,84
2 39,8542 49,2112 51,6576
2,3 31,045 40,699 43,333
2,5 26,647 36,289 39,004
(ц!)кр _ 12,085—-2 . (3)
Критической нагрузка для пластины с постоянным поперечным сечением при равномерно распределенной нагрузке определяется по известной формуле [1].
4ЁС 12
Формулу для определения критического напряжения пластины в виде трапеции, загруженной равномерно распределенной нагрузкой, предлагается записать в аналогичной форме:
Рэ
X Ср =-Ж, рэ _ а . ; (4)
кр А Ркр _ акр '1 ,
С _ о^ _ ^(1 - 0,63 Ь-) • а, В _ £. _ ^е. (5)
Для определения критического напряжения косоугольной пластины в виде трапеции предлагается ввести некоторый поправочный коэффициент к, который будет учитывать угол а - угол наклона ребра пластины (рис. 3). Тогда осредненное критическое напряжение можно записать в виде:
хср _ к^Щ-, где 1 д _ I, (6)
Кр (Код / ^ Ь Xмод - будем называть модифицированной гибкостью пластины.
Чтобы найти зависимость к от а были проведены численные эксперименты при разных значениях а и I.
Далее Ркрэ - равнодействующую критическую нагрузку, определяемую бифуркационным методом, будем находить по результатам расчета в ПК «Лира-САПР». Тогда коэффициент учитывающий угол наклона пластины, будем определять из численных экспериментов из следующего соотношения:
Рэ _А• к• Ь(7)
кр 12
Формула для определения критической силы (7) является аналогом формулы Эйлера, для пластины в виде трапеции с поправочным коэффициентом к.
При постоянном угле, но разных значениях Ь, И, I, были найдены коэффициенты к. Численные эксперименты показали, что поправочный коэффициент к очень мало зависит от толщины пластины и коэффициента Пуассона. По результатам численных экспериментов можно получить единую регрессионную функцию, которая позволяет вычислить критическую силу по формуле (7), где коэффициент к зависит от угла скоса пластины и от относительной длины.
2)1+(с0+сга+сга2)12, (8)
где а - угол скоса пластины (20 <а<45 ); I - длина пластины (10 см</<25 см). Для определения искомых коэффициентов а., Ь., с. (/ _ 0,3) используется метод минимизации
квадратичной невязки. В рассмотренной задаче найдены следующие их значения: а0 = 0,73; а1 = -0,0290; а2 = 0,000464;
Ъо = 0,87269; Ь1 = 0,0095051; Ь2 = -0,004365; (9)
с0 = -0,14707; с1 = -0,0040464; с2 = 0,00012198;
у/Е • о
С увеличением длины пластины коэффициент к возрастает; с увеличением угла скоса коэффициент к также возрастает.
Определение критической силы с учетом физической нелинейности
Для определения пределов применимости формулы (7) был проведен комплекс расчетов. Так как этой формулой можно пользоваться только в пределах упругих деформаций, где справедлив закон Гука, то был проведен комплекс вычислений для определения критической силы за пределами пропорциональности.
Были проведены численные эксперименты по определению критической силы при разных углах скоса а и при разных толщинах к. Например, на рис. 5 представлена зависимость критической силы от относительной длины для прямоугольной пластины при толщине 4 мм.
Рис. 5. Зависимость критической силы от относительной длины для прямоугольной пластины при толщине 4 мм
Аппроксимируя полиномом 2-ой участок графиков и построив линии тренда, можно получить формулу для определения критической силы за пределами пропорциональности, аналогичную формуле (8). Пределом применимости формулы в виде (7) (1-ый участок графика) будет та точка, в которой она пересекается со вторым участком.
По графикам видно, что явно выделяется область, где критическая нагрузка ниже той, которая получена в упругой постановке. А при некоторой длине пластины напряжения достигают предела текучести. При угле скоса а — 30° получается интересный эффект (рис.6). Здесь уже только две области: или упругая потеря устойчивости, или максимальные напряжения достигают предела текучести.
Рис. 6. Зависимость критической силы от относительной длины пластины для угла скоса а=30 при толщине 4 мм
Заключение
Разработаны методики определения критической нагрузки в Эйлеровой постановке и деформационным методом. Проведено тестирование методик. Изучена сходимость решения к точному, в зависимости от числа конечных элементов. Проведен ряд численных экспериментов и получены зависимости критической нагрузки от геометрических параметров опорной пластины. На основе обработки численных результатов, получены эмпирические формулы для расчета критической нагрузки.
Список библиографических ссылок
1. Тимошенко С. П. Устойчивость упругих систем. М., 1955. 532 с.
2. Тимошенко С. П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек. М., 1971. 808 с.
3. Алфутов Н. А. Основы расчета на устойчивость упругих систем. «Машиностроение», 1978. 312 с.
4. Туснин А. Р. Перекрытия многоэтажных зданий со стальным каркасом // Промышленное и гражданское строительство. 2015. № 8. С. 10-14.
5. Hadzalic E., Barucija K. Concrete shrinkage effects in composite beam // Construction of unique buildings and structures. 2014. № 11 (26). P. 85-93.
6. Замалиев Ф. С. К оценке напряженного состояния преднапряженных сталежелезобетонных балок // Известия КГАСУ. 2017. № 3 (41). С. 87-98.
7. Vasdravellis G., Uy B., Tan E. L., Kirkland B. Behaviour and design of composite beams subjected to sagging bending and axial compression Original Research // Journal of Constructional Steel Research. 2015. № 110. P. 29-39.
8. Yingjiang, Zhao & Renjun, Yan & Hongxu, Wang. (2015). Experimental and numerical investigations on plate girders with perforated web under axial compression and bending moment. Thin-Walled Structures. 97. 199-206. 10.1016/j.tws.2015.09.017.
9. Каюмов Р. А., Сулейманов А. М., Мухамедова И. З. Моделирование поведения пленочно-тканевого материала при воздействии эксплуатационных факторов // Механика композиционных материалов и конструкций. 2005. т. 11. № 4. С. 519-530.
10. Замалиев Ф. С. Выявление доэксплуатационных напряжений и деформации стальных балок - ребер сталежелезобетонного перекрытия // Вестник МГСУ. 2013. № 7. С. 33-39.
11. Kim H.-Y., Jeong Y. J. Ultimate strength of a steel-concrete composite bridge deck slab with profiled sheeting // Engineering Structures. 2010. P. 534-546.
Kayumov Rashit Abdulhakovich
doctor of physical and mathematical sciences, professor
E-mail: kayumov@rambler.ru
Muhamedova Inzilija Zaudatovna
candidate of physical and mathematical sciences
E-mail: muhamedova-inzilij a@mail. ru
Kazan Federal University
The organization address: 420008, Russia, Kazan, Kremlevskaya st., 18 Hazieva Guzel Foatovna
engineer
E-mail: guzel.khazieva.2016@mail.ru MBU «Kazgrashdanproekt»
The organization address: 420012, Russia, Kazan, Dostoevskogo st., 35/10 Loss of stability of sheet oblique consoles
Abstract
Problem statement. The problem of estimating the bearing capacity due to the loss of stability of assemblies of metal structures in the form of thin-walled oblique corner leaves is considered.
Results. A technique for calculating the stability of the edges of sheet consoles is developed taking into account geometric and physical nonlinearity. Numerical experiments were performed with varying geometric and mechanical parameters. Based on the analysis of numerical experiments, formulas were obtained for calculating the critical force.
Conclusions. The significance of the results obtained for the construction industry lies in the fact that the task of determining the critical load is reduced to an analog of the Euler formula, but with a correction coefficient that depends on the geometric parameters of the oblique angle plate. Based on the results of numerical experiments, it is possible to obtain a single regression function for calculating the critical force, where the correction factor depends both on the slant angle of the plate and on the relative length. It was found that the correction factor is almost independent of the thickness of the plate and the Poisson ratio.
Keywords: oblique angle plate, stability, critical force, numerical experiment.
References
1. Timochenko S. P. Stability of elastic systems. M., 1955. 532 p.
2. Timochenko S. P. Stability of rods, plates and shells. M., 1971. 808 p.
3. Alfutof N. A. Basics of calculating the stability of elastic systems. M., 1978. 312 p.
4. Tusnin A. R. Overlapping multi-storey buildings with a steel frame // Promishlennoe I grashdanskoe stroitelstvo. 2015. № 8. P. 10-14.
5. Hadzalic E., Barucija K. Concrete shrinkage effects in composite beam // Construction of unique buildings and structures, 2014. № 11 (26). P. 85-93.
6. Zamaliev F. S., Estimation of the stressed state of prestressed steel-reinforced concrete beams // Izvestiya KGASU. 2017. № 3 (41). P. 87-98.
7. Vasdravellis G., Uy B., Tan E. L., Kirkland B. Behavior and design of composite beams subjected to sagging bending and axial compression Original Research // Journal of Constructional Steel Research. 2015. № 110. P. 29-39.
8. Yingjiang, Zhao & Renjun, Yan & Hongxu, Wang. (2015). Experimental and numerical investigations on plate girders with perforated web under axial compression and bending moment. Thin-Walled Structures. 97. 199-206. 10.1016/j.tws.2015.09.017.
9. Kayumov R. A., Suleimanov A. M., Mukhamedova I. Z. Modeling of the behavior of film-fabric material under the influence of operational factors // Mehanica compositsionnih materialov i construktsiy. 2005. t. 11. № 4. P. 519-530.
10. Zamaliev F. S. Detection of pre-operational stresses and deformation of steel beams -edges of steel-concrete overlap // Vestnik MGSU. 2013. № 7. P. 33-39.
11. Kim H.-Y., Jeong Y.-J. Ultimate strength of a steel-concrete composite bridge deck slab with profiled sheeting // Engineering Structures. 2010. P. 534-546.
