Постулаты при квантово-механических расчетах и описании свойств атома водорода Текст научной статьи по специальности «Физика»

Чуев И.И. ©

Кандидат химических наук, доцент кафедры физической химии Чувашский государственный университет

ПОСТУЛАТЫ ПРИ КВАНТОВО-МЕХАНИЧЕСКИХ РАСЧЕТАХ И ОПИСАНИИ

СВОЙСТВ АТОМА ВОДОРОДА

Аннотация

Проведен анализ взаимодействий между электроном и протоном в атоме водорода. Дана новая форма математической записи первого постулата Бора и изменена его описательная часть. Рассчитаны значения коэффициента (постоянной) Планка - h . радиуса стационарной равновесной орбиты электрона - r и скорости его вращения - и при различной температуре; при этом показано, что произведение - hu есть константа, равная 1,44610~27 Джм, т.е. не зависит от температуры. Второй постулат в теории Бора оставлен без существенных изменений.

Ключевые слова: постулаты, скорость электрона, радиус атома, кинетическая энергия,

магнитная индукция, скорость света, энергия электростатического притяжения, сила центробежного отталкивания.

Keywords: postulates, the speed of the electron, the radius of the atom, the kinetic energy, magnetic induction, the speed of light, the energy of electrostatic attraction, the centrifugal force of repulsion.

Хотя проблеме изучения и анализа свойств атома водорода посвящено большое число исследований и публикаций в механизме взаимодействий положительно заряженного протона с вращающимся вокруг него отрицательно заряженным электроном не все выяснено и встречаются даже противоречивые заключения. Это, в частности, относится к одному из основополагающих в квантово-механической теории положений - первому постулату Бора . Этот постулат определяет ,что электрон не излучает энергии при своем круговом движении, если он движется по особым, так называемым, квантованным орбитам. По современной трактовке этого постулата в атоме существуют стационарные (не изменяющиеся со временем) состояния (орбиты), характеризующиеся определенными дискретными значениями энергии. Считается, что движение электронов по стационарным орбитам не сопровождается излучением электромагнитных волн. В соответствии с этим в стационарном состоянии атома электрон, двигаясь по круговой орбите, должен иметь дискретные квантовые значения момента импульса, удовлетворяющие условию:

m mn^rn =m h (1a)

где : n= 1,2,3.; m - масса электрона ; un - скорость электрона по n-й орбите радиусом - rn ;

h = h/(2n), h- постоянная Планка ; п - число пи.

Соотношение (1а) является математической записью первого постулата Бора (постулата стационарных состояний) [1,c 343,344].

Чтобы опровергнуть приведенные заключения первого постулата Бора достаточно проанализировать количественно специфику взаимодействий в системе протон - вращающийся электрон, как это сделано в сообщении [ 2 ]. Детализируя и углубляя методику такого анализа, я счел необходимым и целесообразным провести его более подробно еще раз и изложить полученные результаты в настоящем сообщении.

F'

Результирующая сила - эл , действующая на движущийся заряд - е в электрическом

поле с напряженностью - Е и возникающем магнитном поле с индукцией - B , определяется формулой Лоренца:

© Чуев И.И., 2014 г.

Р'зл = еЁ + Q[$B] = F + F Магн. (2)

эл

Слагаемое - е • Ё является силой электростатического взаимодействия (притяжения) электрона и протона в составе атома. По закону Кулона она равна

рэл = e •E =

Qo - e

4ns0 r2

(3)

где r - расстояние между зарядами в м ; Q0 - заряд протона, е - электрона,

(Q0 =е = 1,60 • 10-19 Кл.); 80 = 8,85 • 10-12 ф/м - электрическая постоянная.

Сила - Рэл , действующая на отрицательно заряженный электрон направлена радиально к положительному заряду ядра - протону.

Движение заряда создает вокруг него магнитное поле и проявление силы Лоренца -

F магн, учитывающейся вторым слагаемым уравнения (2). Модуль вектора F

FMaaH = Q0 • $ • B • sin^ (4’) , а - угол между $ и B . В нашем случае в результате

действия магнитного поля электрон вращается вокруг протона и следовательно а =90° , а sin а

=1 . Сила Лоренца перпендикулярна векторам $ и B и противоположна Кулоновской силе. Магнитное поле - как силовое поле изображают с помощью линий магнитной индукции , т.е.

линий касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора B . Их направление определяют правилом правого винта. Линии магнитной индукции всегда замкнуты.

Модуль же вектора магнитной индукции поля точечного заряда электрона - е,

„ JU0. e$

вращающегося со скоростью - и - равен: B = ~ ~

4л • г

у

ц0 - магнитная постоянная = 4 л-10- Гн/м

(4)

С учетом (4’) и (4) получим FM

магн

= A

Q0 - e $2

(5)

4л • r2

Вращение электрона вокруг протона приводит к воздействию на него центробежной силы - Бц , которая зависит от скорости вращения - и и расстояния от центрального протона - r

F4 =

m

• $2

г

(6)

Бц - направлена противоположно - Бэл , т.е. направлена радиально и отталкивает электрон от протона .

Можно условно принять, что если эти три силы уравновешиваются, то становится возможным стационарное движение электрона по круговой орбите. И в условиях равновесного вращения

Рэл - F магн. = Рц , (7)

т.е.

1 e • Qo Qo - e • $2 = m$2

4ns0 г2 4л • г2 г ' (8)

Следует отметить, что уравнения (7) и (8) являются неполными , так как не учитывают всю специфику сил , действующих в системе протон- вращающийся электрон. Неполной будет и запись соотношения (9), учитывающего равенство энергий . А именно запись того, что алгебраическая сумма электростатической и магнитной энергии равна кинетической энергии равновесного вращения электрона - е со скоростью - и

1 e • Qo Qo - e • $2

---------- Ao—-----

4ле0 г 4л • г

m$

(9)

Отсутствие полной записи уравнений (7,8 и 9 ) обусловлено тем,что при их записи не учтено изменение сил и энергии в результате излучения движущимся электроном

электромагнитных волн в соответствии с законом классической электродинамики ,т.е. электрон при своем движении должен путем излучения терять энергию. В результате чего кинетическая энергия электрона будет уменьшаться; следовательно уменьшится скорость вращения электрона ,а радиус орбиты - r должен будет увеличиваться , отклоняясь от равновесного значения, и электрон может возвратиться к равновесному значению - r путем поглощения энергии [ 2 ]. Таким образом , если за первый полупериод электрон вращаясь выделяет энергию , то за второй полупериод поглощает ее в эквивалентных количествах и ,наоборот, если за первый полупериод он поглощает энергию , уменьшая - г , то за второй выделяет ее , увеличивая- r . Такие колебания энергии около равновесного радиуса равновесной электронной орбиты и представлены на рис. 1

Рис. 1. Изменение энергии (W) при вращении электрона на равновесных орбитах за период (т).

Анализ совокупности энергий с использованием соотношения (9) позволяет заключить, что кинетическая энергия вращения электрона - m и2 в данном приближении должна быть

h-3

равна квантово-механической - ^ r (hv), т.е.

л2 h -3

m3 =-------

2ж- г (1б)

или m •нт = Й (1в)

А соотношения (1б) и (1в) тождественны соотношению (1а при n=1) , выведенному на основании более сложных теоретических выкладок, и являют собой старую неполную по существу математическую запись первого постулата квантовой механики для атома водорода. Но я привожу их, чтобы использовать методику их обоснования и вывода при записи первого постулата в новой форме уже с учетом испускания и поглощения электромагнитной волны (энергии) движущимся электроном, чтобы понять допущенные ранее ошибки, а также достоверность некоторых соотношений, при выводе которых не учитывалось наличие излучения и поглощения энергии электроном. В соответствии с этим возможно воспользоваться и уравнением (9), записывая его следующим образом

(

e - Qo Qo • e-Я 3

)-

= m3

(10)

2е03 0 2 ' 2п - г

При сопоставлении же уравнений (10) и (1б), можно однозначно заключить, что суммарные члены в левой части уравнения (10) определяют h- постоянную Планка, т.е. равны ей

fo _ e - Q0 Q0 • e ' 3

2s03

(11)

2

Учитывая, что значение -h по данным литературы равно 6,63-10"34 Дж^с, первое слагаемое уравнения (11) позволяет рассчитать скорость электрона - и в условиях, при которых получено это значение - h, а именно при температуре примерно 3100°К [ 2 ]

e • Or, 3 = —Q 2s0 h

(1.6 • 10 -19)2

2 • 8.85 • 10-12 • 6.63 • 10 -34

2.18 • 106 м/с ,

(12)

так как при этой скорости электрона второе слагаемое уравнения (11) на четыре порядка меньше первого

И

о

e • Qo 2

3

4 • 3.14 • 10

•7

• (1,6 • 10

-19^2

2,18.106 2

1П- 38

= 3,5 •10 Дж^с,

(13)

и магнитное взаимодействие оказывает меньшее влияние на значение постоянной Планка, чем электростатическое взаимодействие электрона и протона.

Сила магнитного отталкивания электрона от протона при этих условиях примерно на четыре порядка меньше силы их электростатического притяжения. А поэтому можем пренебречь этой силой в уравнении (8) и записать:

1 e • Qo m32

4ns0 r2 r

(14)

т.е при данной скорости электрона сила электростатического притяжения условно уравновешивается в основном силой его центробежного отталкивания от протона.

Из уравнения (14) следует, что

e • Qo

4я"£0 m32

(15)

и радиус электронной орбиты обратно пропорционален квадрату скорости вращения электрона.

Уравнение (15) может быть получено и на основании условного равенства энергии электростатического притяжения электрона к протону кинетической энергии равновесного вращения электрона по равновесной орбите:

1 e • Qo

4^s0 r

m3

(16)

При понижении температуры скорость вращения электрона - и будет уменьшаться ,а значения радиуса орбиты - r будут закономерно расти. Такая закономерность не объяснима в раках современных теорий по строению атомов и даже противоречит им.

Это связано с тем, что в приведенном анализе энергетики электронно- протонных взаимодействий в атоме водорода не учтены роль и участие электромагнитной волны, сопровождающей вращение электрона, в таких взаимодействиях. В деталях это выглядит следующим образом.

Для электромагнитной волны важны две следующие характеристики : мгновенные знчения напряженностей электрического (Е) и магнитного (Н) полей. Связь между ними

определяется уравнением = н\[мо [1,с.159 ]

Откуда

Н = Е

1

Ио

(16)

Напряженность магнтного поля (Н) связана с его магнитной индукцией (В).

В=цо • Н

(17) и учитывая (4) можно записать

Н =

eS

4л ■ r2

(18), подставляя в (16) , получим

Е,

£o_ = eS

Mo 4л ■ r2

1

V М0 ■ 00

= с

(19) . С учетом же (2) и (3)

(21)

6

4 т0 r2

£о.

\Мо

eS

4л ■ r2

(20) откуда

Таким образом не зависимо от того с какой скоростью движется электрон - и, испускаемая им электромагнитная волна будет иметь скорость равную скорости света - с. Этот вывод можно определить как новый постулат при описании атома водорода . А для частицы-волны необходимо различать две скорости : скорость движения массы - заряда - и и скорость распространения волны - с.

Испускание и поглощение электромагнитной волны - фотона приведет как к изменению силы, действующей на электрон, так и к изменению его энергии. С учетом этого уравнения (7),(8),(9),(10),(14),(16) и (1б) необходимо ввести новое слагаемое. Так, если энергию фотона оценить по уравнению Эйнштейна

W = m ■ c (22) [3,с.371], где m’ - инертная масса кванта-фотона. Уравнение (9)

принимает вид

1 e ■ Qo

Qo ■ e ■S2

4леп

Ю ■ e S n2 t 2

М---------= mS + mc

4л ■ r

а уравнение (10) должно быть записано так

(

e ■ Q0 Q0 ■ e ■ S , S

2ooS

Mo

2л ■ r

П2 f 2

=mS +mc

r

2

(9’)

(10’)

И кинетическая энергия электрона с фотоном механической - hv

(mS + m' c ) равна

квантово -

mS2

t 2

+ m c

h ■S

2 л ■ r

(1б’)

или

(mS + m c )r = % ■S (1в’)

Уравнения (1б’) и (1в’) являются новой, более точной математической записью первого постулата квантовой механики для атома водорода.

В соответствии с уравнениями (10’) и (1б’) - коэффициент Планка - h также

определяется уравнением (11), а произведение

hS

e ■ Qo 2о0

= const

(12’), остается постоянным,

не зависящим от температуры.

Следуя уравнению (9’) , необходимо уточнить и запись уравнения (16)

1 e ■ Qo „2 . ,2

---------= mS +mc

4лг0 r

(16’)

e ■ Qo 1

и тогда r = . , П2 , 2\ (15’)

4л ■ s0 (mS + m c ) v !

Достоверность уравнения (15’) можно подтвердить исходя из следующего: на основании

уравнения (1б’) h ■ S = 2л ■ r(mS + m'c2), подставляя r из (15’) получим

h - 3 = 2л

e - Qo (m32 + m'c2) e - Q0

4л - s0 (m3 + m' c ) 2e,

= СОЯ?/

что и должно быть в соответствии с уравнением (12’)

Следовательно, как h не зависит от частоты электромагнитного излучения, так и

-27

произведение (h -3 = 1,446 -10 Дж-м ) не зависит от температуры. Это один из основных выводов, вытекающих из математической записи первого постулата квантовой механики, который необходимо учитывать при расчетах и описании атома водорода.

Таким образом первый постулат квантовой механики при описании атома водорода в противоположность первому постулату Бора определяет ,что электрон , двигаясь по круговой равновесной орбите, излучает и поглощает некоторые порции - кванты электромагнитной

1 3

энергии с частотой у = ~ = ~ . При этом - r определяется уравнением (15’). Приведенные

т 2л - r

выше соотношения полностью соответствуют первому постулату и могут быть использованы при квантово- механических расчетах. Примерная методика расчета некоторых характеристик атома водорода и рассмотрена ниже.

Основная неопределенность при таком расчете связана с учетом энергии фотона - m’ c , так как в литературе имеются лишь косвенные сведения о его инертной массе - m’ , а масса покоя m’o = 0. Поэтому для вычисления энергии фотона приходится использовать уравнение (16’) в соответствии с которым

, 2

m c

1 e - Qo

4л£0 r

m32

Справочное [1,с.446 ] значение r = 5.28 • 10-11 м , а скорость

электрона, вычисленная по уравнению (12) , и = 2,18- 106 м/с . Тогда m’ c2 = 43.6364 • 10-19 -43.2944 • 10-19 = 3.42 • 10-20 Дж. Это значение составляет 0,79% от значения энергии электрона , т.е. меньше 1% , что исходя из общих соображений , необходимо считать нереальным. В соответствии с данным значением энергии инертная масса фотона

m'

3,42 -10-20 8,9874 -1016

-37

= 3,8 -10 кг.

Если же справочное значение радиуса атома водорода принять равным 0,46 • 10-10 м по данным [4,с.380] , то m’c2 = (50,087 - 43.2944) • 10-19 =

= 6,7926 • 10-19 Дж. В этом случае энергия фотона составляет 15,7% от энергии электрона, т.е. это более реальная величина ; а инертная масса фотона m’= 7.558-10-36 кг. Одного порядка с инертной массой фотона m’= 3,35-10-36 кг, приведенной в [5,с.201]. С учетом последнего значения m’c2 = 3,01 • 10-19 Дж и проводились дальнейшие расчеты. Так энергия фотона при 3100°К составляет 6,9% от значения энергии электрона , а значение радиуса электронной орбиты , вычисленное по уравнению (16’), равно 0,498 • 10-10 м.

Для вычисления произведения h-u использовано уравнение (12’) . h - 3 = 1,446 -10 Дж-м. Еще раз отмечу, что это произведение есть константа и позволяет рассчитать h по значениям скорости - u. и как и h - зависит от температуры и первая зависимость дана мною в сообщении

„2

[2] и имеет вид

- 3ъе,

m3

2 кТ

( _т_ Л

^ 2л - кТ j

(22)

3/2

3

где е1- основание натурального логарифма, k - постоянная Больцмана = = 1,38- 10-23

Дж/К, а m - масса электрона = 9,11-10-31 кг.

Результаты проведенного расчета представлены в таблице.

Таблица

Значения скорости электрона - и , его частота - уэл , постоянной Планка - h , радиуса равновесной

орбиты - r при различной температуре - Т

Т,К и , м/с ^Дж-с r1010, м Гэл-1015,с-1

3100 2,18106 6,63 10-34 0,498 6,97

2000 1,483 106 0,975 10-33 0,9998 2,36

1117 1,26106 1Д48-10"33 1,32 1,52

500 8,08105 1,7910-33 2,572 0,5

300 5,9103 2,4510-31 7,6536 0Д227-10"2

200 4,85103 2,9810-31 7,6539 0Д009-10"2

Следуя данным, приведенным в таблице, можно заключить, что значения скорости электрона в атоме водорода закономерно убывают при уменьшении температуры, при этом значения постоянной Планка монотонно возрастают; возрастают и значения радиуса равновесной электронной орбиты , но только до 300°К, при дальнейшем снижении температуры рост значений радиуса прекращается - радиус практически остается постоянным. При снижении температуры до 300°К и ниже происходит резкое уменьшение частоты электронных вращений, при этом энергия движения электрона уже много меньше энергии фотона-электромагнитной волны.

В дополнение к изложенному необходимо более кратко остановиться на втором постулате Бора (правило частот), как втором постулате при квантово- механическом описании атома водорода, принимаемом без существенных изменений.

При переходе атома из равновесного состояния в другое излучается (поглощается) фотон

с энергией h - v = Еn - Em (23) где : En и Em - соответственно энергия орбит атома до и после излучения (поглощения) фотона. Набор возможных дискретных частот - v = (En - Em)/h -квантовых переходов и определяет линейчатый спектр атома водорода [1,с.344] с учетом правила отбора. В теории Бора это правило отбора выводится с помощью так называемого принципа соответствия.

Рассмотренные в настоящем сообщении постулаты при квантово-механическом описании атома водорода и выводы, сделанные на основании их, в особенности на основании первого постулата могут быть использованы (служить основой) не только в рамках квантовомеханических расчетов и определения свойств атома водорода, но и расчетов свойств систем в присутствии этого атома, для таких расчетов свойств систем при наличии атомов других элементов. Для этих целей может быть применена методика , использованная при обсуждении первого постулата.

Путем использования первого постулата (уравнений - 1б’ и 1в’), выводов из него и анализа специфики электронно - протонных взаимодействий рассчитаны значения коэффициента Планка, радиуса равновесной орбиты и частоты электронных переходов при различной температуре; при этом установлено, что произведение коэффициента Планка и скорости вращения электрона является константой, равной 1,446 • 10- Дж-м и не зависит от температуры.

Литература

1. Даниэльс Ф., Ольберти Р.Физическая химия - М.: Мир, 1978. — 646с.

2. Раковский А.В., Введение в физическую химию - М.: ГОНТИ НКТП,1938,-678с.

3. Справочник химика // Под ред. Б.П.Никольского, - Л.: М.: 1963,Т.1,-1072с.

4. Трофимова Т.И.Физика. Справочник с примерами решения задач. - М.: Высшее образование, 2008. — 448с.

5. Чуев И.И. // Universum: Химия и биология: электрон.научн.журн.2014№3(4).иКЕ: http:// 7universum.com/ru/nature/archive/item/1069