Построение топологии кратчайшего дерева минимального веса для пяти точек плоскости с евклидовой метрикой Текст научной статьи по специальности «Математика»

http://www.edu.ru/db-mon/mo/Data/d_09/prm827-1.pdf (дата обращения: 07.12.2011).

22. Федеральный государственный образовательный стандарт высшего профессионального образования по направлению подготовки 190100 Наземные транспортно-технологические комплексы (квалификация (степень) «бакалавр») [Электронный ресурс]. — Режим доступа: http://www.edu.ru/db-mon/mo/Data/ d_09Zprm546-1.pdf (дата обращения: 07.12.2011).

23. Федеральный государственный образовательный стандарт высшего профессионального образования по направлению подготовки 161700 Баллистика и гидроаэродинамика (квалификация (степень) «бакалавр») [Электронный ресурс]. — Режим доступа: http://www.edu.ru/db-mon/mo/Data/d_09/ prm779-1.pdf (дата обращения: 07.12.2011).

24. Федеральный государственный образовательный стандарт высшего профессионального образования по направлению подготовки 280700 Техносферная безопасность (квалификация (степень) «бакалавр») [Электронный ресурс]. — Режим доступа: http://www.edu.ru/db-mon/mo/Data/d_09/prm723-1.pdf (дата обращения: 07.12.2011).

25. Федеральный государственный образовательный стандарт высшего профессионального образования по направлению подготовки 240700 Биотехнология (квалификация (степень)

«бакалавр») [Электронный ресурс]. — Режим доступа: http:// www.edu.ru/db-mon/mo/Data/d_09/prm816-1.pdf (дата обращения: 07.12.2011).

26. Федеральный государственный образовательный стандарт высшего профессионального образования по направлению подготовки 261100 Технология и проектирование текстильных изделий (квалификация (степень) «бакалавр») [ Электронный ресурс]. — Режим доступа: http://www.edu.ru/db-mon/ mo/Data/d_09/prm730-1.pdf (дата обращения: 07.12.2011).

КАИГОРОДЦЕВА Наталья Викторовна, кандидат педагогических наук, доцент (Россия), доцент кафедры «Начертательная геометрия, инженерная и компьютерная графика».

ПАНЧУК Константин Леонидович, доктор технических наук, доцент (Россия), заведующий кафедрой «Начертательная геометрия, инженерная и компьютерная графика».

Адрес для переписки: [email protected]

Статья поступила в редакцию 07.12.2011 г.

© Н. В. Кайгородцева, К. Л. Панчук

УДК 5152 В. Я. ВОЛКОВ

К. А. КУСПЕКОВ

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия,

г. Омск

Казахский национальный технический университет им. К. И. Сатпаева, г. Алматы, Республика Казахстан

ПОСТРОЕНИЕ ТОПОЛОГИИ КРАТЧАЙШЕГО ДЕРЕВА МИНИМАЛЬНОГО ВЕСА ДЛЯ ПЯТИ ТОЧЕК ПЛОСКОСТИ С ЕВКЛИДОВОЙ МЕТРИКОЙ_____________________________

В статье рассматривается методика построения кратчайших связывающих линий для множества из пяти точек весовыми коэффициентами. Приводятся различные топологии для этого дерева.

Ключевые слова: кратчайшее дерево, кратчайшие линии, вес точки.

При решении различных инженерных задач, например автомобильных дорог, нефтепроводов, водопроводов, должны быть положены следующие требования:

— сеть должна охватывать все пункты, источники, всех потребителей;

— иметь суммарную минимальную длину;

— иметь возможно меньшую строительную стоимость.

Наиболее оптимального и графически наглядного метода проектирования можно достичь, используя кратчайшие связывающие линии, соединяющие заданное множество точек плоскости. При этом различные пункты, источники и узлы моделируются

точками, а различные линейные сооружения, соединяющие эти пункты и узлы, — линиями. Возникает следующая математическая задача: дано дискретное, конечное множество точек, требуется построить связывающую данное множество точек линию, удовлетворяющую наперед заданные условия, и наитии точки, оптимизирующие решения задачи.

Пусть на плоскости задано множество точек М1, М2, ..., М^ которые необходимо связать линией кратчайшей длины. Связывающий линии точку Мi с точкой М; представляет собой отрезок прямой, так как геодезической линией плоскости служит прямая. Поэтому кратчайшая линия, связывающая заданное множество точек, состоит из совокупности прямых.

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (107) 2012 ИНЖЕНЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА

ИНЖЕНЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (107) 2012

12

Рис. 1. Топология 1 МД для пяти точек при равных значениях q

Рис. 2. Топология 2 МД для пяти точек

при q1>q2+qз+q4+q5

Каждая точка является концом, по крайней мере, одного отрезка, каждый отрезок связывает две точки; линия кратчайшей длины не имеет замкнутых участков. Очевидно, конфигурация кратчайшей связывающей линии представляет собой дерево [1]. Дерево — это граф, который не имеет петель и замкнутых контуров. Геометрическую задачу на построение линии, проходящей через заданное множество и дополнительно вводимых точек, называют проблемой Штейнера.

Пусть на плоскости дано множество точек М1, М2, ..., в каждой из которых сопоставлена некоторая положительная величина i=1, 2, ..., m, назовем весом точки.

Требуется определить число п, то есть количество дополнительно вводимых точек N и построить дерево минимального веса с вершинами в точках М1, М2, ..., М и N ..., N . Величина п. lM.N l назы-

2' ' m 1' 2 ' п м I . .1

^ “ * • 1' 2 вается весом ветвей

|MiNi|, а весом дерева — сумма весов всех ветвей дерева. Дерево, удовлетворяющее условиям сформулированной задачи, назовем минимальным (МД) [1]. Весовые коэффициенты интерпретируются как удельные и эксплуатационные расходы сети.

Пусть заданы конечное множество точек М1, М2, М3, М4 и М5 Вес каждой точки обозначим п1, п2, п3, 44 и 45.

Рассмотрим построение топологии кратчайшего дерева для пяти точек плоскости с различными значениями весового коэффициента

Построение проведем в два этапа: на первом этапе применим шаговый алгоритм [2] и построим топологию кратчайшего дерева при значении п1 = п2 = = П3 = П4=П5. На втором этапе определяем оптимальные конфигурации топологии при различных значениях п.. Пусть заданные точки с весами М1, п1; М2, П2; М3, п3; М4, п4 и М5 п5 занимают положение, показанное на рис. 1.

Рис. з. Топология з МД для пяти точек при qз>q1+q2+q4+q5

Рис. 4. Топология 4 МД для пяти точек

при q4>q1+q2+qз+q5

Рис. 5. Топология 5 МД для пяти точек

при q5=q4>q1+q2+qз

1-й шаг. Вычисляем расстояние между заданными точками по формуле:

d(M1,M2) = V(X! - х2)2 + (у; - у2)2

оказалось, что наименьшим расстоянием обладают точки М1, п1 и М2, п2. Если бы несколько пар точек обладали одинаковыми расстояниями, то выбирается любая из этих пар. Строим равносторонний треугольник на отрезке |М1М2| и определим эквивалентную точку М1Г2, представляющую вершину этого треугольника.

2-й шаг. Сравниваем расстояние между оставшимися точками М3, М4, М5 и фрагментом М1 — М2. Минимальным расстоянием обладает пара, состоящая из точек М3, п3 и М4, п4. Построив равносторонний треугольник на сторонах М3, п3 и М4, п4 определим эквивалентную точку М3,4.

3-й шаг. Сравниваем и вычисляем расстояние между точкой М5, п5 и фрагментами М1, п1 — М2, п2 и М3, д3 — М4, д4. Наименьшим расстоянием обладают

фрагменты М1, п1 — М2, п2 и М3, п3 — М4, п4. Строим равносторонний треугольник на отрезке |М1,2 М3,4 |, и вершина этого треугольника определяет положение

точки М

(1'2), (34)

эквивалентную точкам М1,2 и М3

4-й шаг. Соединяем точки М5, д5 и М (1,2) (3,4). Прямая, проведенная через точку М3, д3 под углом 600 к М5, д5 М (1,2) (3,4) пересекает ее в точке Ы1. Проведем прямую из точки М4, д4 под углом 60° к Ы1 М3,4 и находим точку М3. Аналогично определяем точку Ы2.

Таким образом, суммарная минимальная длинна дерева МД5 равна:

L = д(| М^2 | + | М2Н2 | + | N,N1 | + | М^3 | +

+ | M4Nз | + | NlNз | + | М^ |)

При реальном проектировании инженерных сетей значения коэффициента д фактически бывает разными. Поэтому построим топологию кратчайшего дерева для этих точек при различных значениях д. Пусть д1>д2 + д3 + д4 + д5. В [1] исследовано построение кратчайшего дерева для трех точек М1 М2 и М3 с весами д1 , д2 , д3. При значении д1 >д2 + д3 точка Штейнера совпадает с точкой М1, д1. При д2>д1 + д3 получаем N = М2, д2. При Я3>Я1 + Я2 точка N совпадает с точкой М3, д3. В построенной топологии (рис.1) точки М1, д1; М2, д2; точки Штейнера N и N рассмотрим как отдельное подмножество и в точку N сопоставим мнимый вес д1, при д1 >д2 + д1 для построения кратчайшего дерево для точек М1, М2, N1 применим выше приведенную методику построения для трех точек. Тогда точка М1, д1 совпадет с точкой Штейнера ^, то есть М1, q1 = N2 (рис. 2).

При д3>д1 + д2 + д4 + д5, в этом случае топология 1 трансформируется в топологию 3, (рис. 3). М3, д3 совпадает с точкой N3, то есть М3, q3 = N3.

Пусть д4>д1 + д2 + д3 + д5, тогда М3, q4 = N4 (рис. 4).

Пусть д5 = д4>д1 + д2 + д3, тогда М4, q4 = N3, М5, q5 = N5 и получим топологию 5 (рис. 5).

Таким образом, при различных значениях коэффициента q меняется конфигурация искомой топологии кратчайшего дерева. Используя возможности компьютерной технологии, можно получить различные варианты топологии моделируемой сети, отвечающие наперед заданным требованиям.

Библиографический список

1. Есмуханов, Ж. М. Графический алгоритм обобщенной проблемы Я. Штейнера / Ж. М. Есмуханов // Прикладная геометрия и инженерная графика. — Алма-Ата : КазПТИ, 1974. — Вып. I. - С. 19-23.

2. Куспеков, К. А. Геометрические методы определения оптимальной конфигурации сетей автомобильных дорог / К. А. Куспеков // Инженерное образования и наука в XXI веке : тр. Межд. конф., посвящ. 70-летию КазНТУ имени К. И. Сат-паева. В 2 т. Т. 2. Индустриально-инновационное развитие эко-номики. — Алматы : КазНТУ, 2004. — С. 155-160.

ВОЛКОВ Владимир Яковлевич, доктор технических наук, профессор (Россия), заведующий кафедрой «Начертательная геометрия, инженерная и машинная графика» Сибирской государственной автомобильнодорожной академии, г. Омск.

КУСПЕКОВ Кайырбек Амиргазыулы, кандидат технических наук, доцент (Казахстан), заведующий кафедрой «Начертательная геометрия и графика» Казахского национального технического университета им. К. И. Сатпаева, г. Алматы.

Адрес для переписки: [email protected].

Статья поступила в редакцию 15.03.2011 г.

© В. Я. Волков, К. А. Куспеков

Книжная полка

Чекмарев, А. А. Начертательная геометрия и черчение : учебник для бакалавров / А. А. Чек-марев. - 4-е изд., испр. и доп. - М. : Юрайт, 2012. - 471 с. - Гриф МО РФ. - ISBN 978-5-99161764-2.

В учебнике изложены основы начертательной геометрии в непосредственной связи с основами технического рисунка и черчения; основы машиностроительного черчения, правила выполнения схем; даны элементы строительного и топографического черчения; основы использования персональных электронных вычислительных машин для решения графических задач. Соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту высшего профессионального образования третьего поколения. Для студентов педагогических и машиностроительных вузов, педагогических училищ, а также для учителей математики и черчения.

Полежаев, Ю. О. Инженерная графика : учеб. пособие для студ. учреждений ВПО / Ю. О. Полежаев. - М. : Academia, 2011. - 416 с. - Гриф УМО вузов России. - ISBN 978-5-7695-7992-9.

Учебник создан в соответствии с требованиями Федерального государственного образовательного стандарта по направлению подготовки «Строительство» (квалификация «бакалавр»). Изложены основы проекционных и геометрических построений на чертежах, которые являются важнейшей формой документации в архитектурно-строительном проектировании. Приведены необходимые сведения, нормы и правила для производства и стандартизованного графического оформления инженерно-строительных чертежей различных марок, рассмотрены примеры их чтения. Также даны сведения о техническом рисунке как составной части графики строительных чертежей. Для студентов учреждений высшего профессионального образования.

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (107) 2012 ИНЖЕНЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА