Построение толерантных интервалов для нелинейной регрессии Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.254

Физико-математические науки

Фурина Ксения Олеговна, студент Факультет прикладной математики и механики, Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Пермский национальный исследовательский политехнический университет»

ПОСТРОЕНИЕ ТОЛЕРАНТНЫХ ИНТЕРВАЛОВ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИИ

Аннотация: В статье рассматривается нахождение толерантных интервалов для нелинейной регрессии.

Ключевые слова: толерантные интервалы, нелинейная регрессия, метод максимального правдоподобия.

Abstract: The article discusses the finding tolerance intervals for nonlinear regression.

Keywords: tolerance intervals, nonlinear regression, maximum likelihood method.

Рассмотрим нелинейную регрессионную модель Y = f(X, ft) + e, где Y - вектор зависимой переменной размерности n, X - матрица независимых переменных размерности n-p, ft - вектор параметров регрессии размерности q, /(•) - некоторая известная регрессионная функция и е - вектор независимых, одинаково распределенных случайных отклонений или остатков модели, который может быть нормально распределен, а может и не быть.

Оценки ft определяются с помощью метода максимального правдоподобия. s2 - оценка дисперсии случайных отклонений на основе n-q степеней свободы.

Ufr /П dfiXi 'Ю

Vf(Xi 'ß) = dßT где Vf (Xj, ß) - вектор градиент функции f (•). Оценки матрицы P находятся по формуле [3]:

Я = Vf(Xj ,ß)|ß =ß

Рассмотрим выборку некоторого референтного значения определенного показателя.

№ Х Y

1 125 5,004002

2 100 5,810338

3 85 6,862735

4 150 4,392424

5 100 5,758126

6 100 6,470438

7 125 4,97301

8 125 6,726803

9 115 6,043514

10 100 5,8141

11 85 7,293299

12 125 5,263463

13 115 5,173847

14 100 5,273649

15 85 7,145394

16 75 5,923229

17 150 5,248598

18 125 5,686955

19 75 6,434751

20 85 7,003282

21 100 5,552263

22 115 5,272782

23 75 6,244904

24 115 5,606367

25 85 6,01202

26 125 5,323851

27 125 5,601213

28 115 4,947001

29 100 7,350235

30 85 6,04294

31 125 5,251739

32 115 4,932247

33 100 6,876137

34 85 5,678063

35 75 7,39794

36 75 7,39794

37 75 7,39794

38 75 7,39794

39 75 7,39794

40 85 7,39794

Таблица 1 - Выборка для референтного значения определенного показателя [2]

Рассмотрим нелинейную модель у = 12,413 — 3,818 • ^(X — 53,844) . Параметры этой модели были оценены с помощью метода максимального правдоподобия.

Построим для этой модели толерантные интервалы.

1. Возьмём долю р = 0,9, уровень доверия у = 1 — а — 0,95, объем выборки п=40, д=3 [1].

2. Построим матрицу Р для данной выборки по формуле:

Р =

1 1

V1

— у) *2 — У)

К — у)

Х1 — у

Р

*2 — У 'р

*п —У'

3. Находим оценку дисперсии случайных отклонений:

^ = (у — хр)т (У — Х?) п — ц

= 0,4025

4. Для заданной доли р=0,9 находим квантиль стандартного нормального распределения г0,9 = 1,2816.

1

5. Для выбранного вектора-столбца (наблюдение 1) р = 1 1,85221 I находим

0,05365

—33,9341 —144,612'

1

а = (рт(РтР)—1 р) 2

69,828

1 1,85221 0,05365 • I —33,9341 16,5223 69,8804

V—144,612 69,8804 306,53

1/2

1,85221^ 0,05365

= 0,242

^п—ц ;1—а = ^37;0,95 (0242) = ^37;0,95 (5,305) = 7,526

к (й) = ах ¿37;0,95 (5,3 0 5) = 0,2 42 • 7,526 = 1,818.

6. Для выбранного вектора - столбца р = [ 1,85221 ) находим нижнюю

Д05365,

границу одностороннего толерантного интервала: 1(х) = ? — к(й(р))Б = 5,342 - 1,818 • 0,635 = 4,188. Повторим пункты 1-6 для оставшихся наблюдений выборки.

№ Х У Ь

1 125 5,004002 4,188085

2 100 5,810338 4,913906

3 85 6,862735 5,553926

4 150 4,392424 3,466295

5 100 5,758126 4,913906

6 100 6,470438 4,913906

7 125 4,97301 4,188085

8 125 6,726803 4,188085

9 115 6,043514 4,476145

10 100 5,8141 4,913906

11 85 7,293299 5,553926

12 125 5,263463 4,188085

13 115 5,173847 4,476145

14 100 5,273649 4,913906

15 85 7,145394 5,553926

16 75 5,923229 6,1029

17 150 5,248598 3,466295

18 125 5,686955 4,188085

19 75 6,434751 6,1029

20 85 7,003282 5,553926

21 100 5,552263 4,913906

22 115 5,272782 4,476145

23 75 6,244904 6,1029

24 115 5,606367 4,476145

25 85 6,01202 5,553926

26 125 5,323851 4,188085

27 125 5,601213 4,188085

28 115 4,947001 4,476145

29 100 7,350235 4,913906

30 85 6,04294 5,553926

31 125 5,251739 4,188085

32 115 4,932247 4,476145

33 100 6,876137 4,913906

34 85 5,678063 5,553926

35 75 7,39794 6,1029

36 75 7,39794 6,1029

37 75 7,39794 6,1029

38 75 7,39794 6,1029

39 75 7,39794 6,1029

40 85 7,39794 5,553926

Таблица 2 - Результаты вычислений

Рис. 1 - Нижняя граница для референтного значения

Библиографический список:

1. ГОСТ Р ИСО 16269-6-2005. Статистические методы. Статистическое представление данных. Определение статистических толерантных интервалов. (УТВЕРЖДЕН И ВВЕДЕН В ДЕЙСТВИЕ Приказом Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии от 30 июня 2005 г. N 171-ст) М.: Стандартинформ, 2005.

2. FB.ru Интернет журнал [Электронный ресурс] Референтные значения -что это такое? http://fb.ru/article/136705/referentnyie-znacheniya—chto-eto-takoe-chto-oznachaet-referentnoe-znachenie (дата обращения: 10.12.2016).

3. DEREK S. YOUNG. Regression Tolerance Intervals // Communications in Statistics—Simulation and Computation , 42: 2040-2055, 2013.