CC BY
33
PHYSICO-MATHEMATICAL SCIENCES
CONSTRUCTION OF A MATRIX STRUCTURE B FOR TETRAGONAL
SYMMETRY OF CLASSES 4, 4, 4/M Seytkhanova A.1, Duan A.2 (Republic of Kazakhstan) ПОСТРОЕНИЕ СТРУКТУРЫ МАТРИЦЫ В ДЛЯ ТЕТРАГОНАЛЬНОЙ
СИММЕТРИИ КЛАССОВ 4, 4, 4/M Сейтханова А. К.1, Дуан А. Ж.2 (Республика Казахстан)
'Сейтханова Айнур Кусбековна /Seytkhanova Ainur — кандидат физико-математических наук, департамент энергетики, металлургии и информационных технологий, факультет инженерной академии,
Инновационный Евразийский университет; 2Дуан Айгерим Жанатовна / Duan Aigerim — магистарант, кафедра физики и приборостроения, факультет физики, математики и информационных технологий, Павлодарский государственный университет им. С. Торайгырова, г. Павлодар, Республика Казахстан
Abstract: in this article the authors examine the distribution of thermoelastic waves in anisotropic media of
tetragonal syngony of 4, 4, 4 / m classes. Investigation of wave processes with thermomechanical effect in elastic media is connected with necessity of solving theoretical and applied problems of geophysics, seismology, mechanics of composite materials. Connected equations of movement and head conductivity equations differ in complexity and abundance of physical-mechanical parameters. In this connection the section of mechanics of a deformable firm body named thermoelasticity intensively develops. Within the framework of this direction, leaning against the use of certain physical-mechanical properties anisotropic environments, the constrained thermal and mechanical fields are studied.
Аннотация: в своей статье авторы рассматривают распространение термоупругих волн в
анизотропных средах тетрагональной сингонии классов 4, 4, 4/m. Исследование закономерностей волновых процессов в упругих средах с термомеханическим эффектом связано с необходимостью решения теоретических и прикладных задач геофизики, сейсмологии, механики композитных материалов. Связанные уравнения термоупругости отличаются сложностью и обилием физико-механических параметров. Являясь разделом механики деформируемого твердого тела, теория термоупругости, опираясь на использование определенных физических свойств естественных кристаллов и керамик искусственного происхождения, изучает механику связанных тепловых и механических полей. В рамках этого направления, опираясь на использование определенных физико-механических свойств в анизотропных средах, изучаются связанные тепловые и механические поля.
Keywords: thermoelastic wave, anisotropic medium, tetragonal syngony, thermomechanical effect, process, the structure of the matrix.
Ключевые слова: термоупругая волна, анизотропная среда, тетрагональная сингония, термомеханический эффект, процесс, структура матрицы.
В кристаллах тетрагональной сингонии выделенной является ось четвертого порядка. Перпендикулярно ей расположены две другие оси, пересекающиеся под углом 900 и имеющие одинаковые единичные трансляции. Структура матрицы В для тетрагональной симметрии классов 4,
4 , 4/m в объемном случае имеет вид:
B =
" 0 Ь,2 bl3 0 bl5 0 bl7 0
Ь21 0 0 b24 0 b26 0 0
Ъ24 0 0 b3i 0 0 0 0
0 Ь13 b43 0 b45 0 b„ 0
Ь26 0 0 0 0 b34 0 0
0 Ь15 b45 0 b65 0 b„ 0
0 0 0 0 0 0 by? bjs
0 — irnbn — imb47 0 — imb67 0 bS7 by?
(1)
Как и в других классах симметрии и в этом случае волны различной поляризации в пространственном распространении взаимосвязаны. Из (1) следуют структуры матриц коэффициентов при распространении термоупругих волн в координатных плоскостях, которые имеют вид: плоскость (ж), п=0:
В =
0 Ь,2 Ь,3 0 0 0 Ъ,7 0
Ъ21 0 0 Ъ24 0 0 0 0
Ь24 0 0 Ъ34 0 0 0 0
0 Ь,3 Ъ43 0 0 0 Ъ47 0
0 0 0 0 0 Ъ56 0 0
0 0 0 0 Ъ65 0 0 0
0 0 0 0 0 0 Ъ77 Ъ78
0 — 1 юЪ17 — 1 ю Ъ47 0 0 0 Ъ87 Ъ77
(2)
из структуры (2) видно, что 1 - продольная и Х - поперечная упругие волны связаны с тепловой волной (наличие в структуре элементов Ь17, Ь47), а упругая поперечная волна У-поляризации распространяется независимо (отделение отдельной матрицей элементов Ь56, Ь65). плоскость (у7), т=0:
В =
0 Ъ12 0 0 Ъ15 0 Ъ,7 0
Ъ21 0 0 0 0 Ъ26 0 0
0 0 0 Ъ34 0 0 0 0
0 0 Ъ43 0 0 0 0 0
Ъ26 0 0 0 0 Ъ5б 0 0
0 Ъ15 0 0 0 0 Ъб7 0
0 0 0 0 0 0 Ъ„ Ъ78
0 — iюЪ17 0 0 — i ю Ъ67 0 Ъ87 Ъ77
(3)
из (3) следует, что упругая поперечная волна Х-поляризации распространяется независимо (отделение отдельной матрицей элементов Ь34 , Ь43), а Ъ - продольная и У - поперечная упругие волны связаны с термоупругим эффектом (наличие элементов Ь17, Ь67). в) ось 7, т=0, п=0
В =
0 Ъ12 0 0 0 0 Ь17 0
Ъ21 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 Ь34 0 0 0 0
0 0 Ъ43 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 Ь56 0 0
0 0 0 0 Ъб5 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 Ъ7а
0 — i ю Ъ17 0 0 0 0 Ъ37 0
(4)
Из этой матрицы коэффициентов следует, что упругая продольная волна Ъ-поляризации подвержена термоупругому эффекту (это доказывает наличие Ь17 в 1-й и 8-й строках соотношения (4), поперечные волны Х и У - поляризаций распространяются независимо друг от друга и тепловой, а это доказывает, что они не подвержены термомеханическому эффекту. Этот факт известен из экспериментальных исследований [1, с. 134-135]. Эти исследования говорят об отсутствии термоупругого эффекта у одномерных волн поперечной поляризации и наличия термоупругого эффекта у продольной волны. При распространении по образцу упругой продольной волны между областями сжатия и растяжения будут возникать градиенты температуры. Это приведет к потоку тепла и в результате к диссипации энергии, т.е. к затуханию волны, которое зависит от частоты.
Литература
1. Труэл Р., Эльбаум Ч., Чик Б. Ултразвуковые метод в физика твердого тела. М.: Мир, 1973.
2. Испулов Н. А. Аналитические решении связанных задач термоупругости в анизотропных средах методам матрицанта: дис. канд. физ. мат. наук: 01.02.04 / Н. А. Испулов. Алматы, 2008 г. 100 с.
3. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988. 552 с.
