CC BY
19
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
УДК 519.17
ПОСТРОЕНИЕ СТРУКТУРНОГО ГРАФА МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ НА ПЛОСКОСТИ
© 2006 г. А.Ф. Чипига, А.Н. Белаш
Формулировка задачи
При проектировании, конструировании и моделировании работы механических систем возникает необходимость определения последовательности всех связей между элементами. С ростом сложности конструкции и связей между отдельными частями системы процесс представления ее в глобальном виде вызывает затруднения. Сложности возникают вследствие:
- увеличения величины площади, занятой структурным графом системы (увеличение размера рисунка);
- увеличения суммарной длины линий связей между элементами системы, что резко усложняет рисунок;
- увеличения числа пересечений линий связей.
Основные обозначения: £ - площадь, занятая
структурным графом системы; Ь - суммарная длина линий связей графа; Р - общее число пересечений линий связей структурного графа; В - вероятность получения оптимального решения; Т - время, затраченное на получение оптимального решения; £и -площадь, занятая структурным графом системы, полученная в работе; Ьи - суммарная длина линий связей графа, найденная в работе; Ри - общее число пересечений линий связей структурного графа, полученное в работе; В и - вероятность получения оптимального решения, вычисленная в работе; Ти - время, затраченное на получение оптимального решения, определенное в работе.
Определение критериев эффективности
Анализируя перечисленные факторы, влияющие на эффективность представления структурного графа механической системы, можно определить критерии эффективности решаемой проблемы:
1) величина площади, занятой структурным графом системы (£);
2) суммарная длина линий связей графа (Ь);
3) общее число пересечений линий связей структурного графа ( Р );
4) вероятность получения оптимального решения;
5) время, затраченное на получение оптимального решения.
Таким образом, основная цель работы состоит в получении наилучшего представления структурного графа механической системы с точки зрения оптимизации £, Ь , Р , В , Т .
Очевидно, что решение задачи тесно связано со смежными проблемами теории графов, таких как исследование планарности неориентированных графов, выделение максимальной планарной части, укладка графов на плоскости. В настоящее время известно множество путей создания представления структурного графа механической системы:
1. Представление механической системы в виде графа-дерева [1, 2].
2. Исследование планарности графа по критерию Понтрягина - Куратовского, т.е. перебор всех подграфов, гомеоморфных известным непланарным графам, и выделение максимальных планарных частей [1, 2].
3. Последовательная укладка графа с позиции минимизации суммарной длины линий связей [1, 2].
4. Генетические алгоритмы поиска оптимального решения.
Известны также и другие методы, например методы полного перебора, случайного поиска решения и т.д. Эти методы не эффективны, особенно при росте числа вершин графа, поэтому не представляют практической значимости. Сравнительные статистические данные эффективности работы основных известных и разработанного методов сведены в таблицу.
Анализ таблицы позволяет сформулировать основные недостатки существующих методов.
Метод, основанный на представлении механической системы в виде графа-дерева, повторно изображает некоторые элементы конструкции, что приводит к неоправданному росту величины площади, занимаемой изображением.
Метод, опирающийся на исследование планарно-сти графа по критерию Понтрягина - Куратовского, ведет к полному перебору всех возможных подграфов исследуемого графа и исследованию их на предмет гомеоморфизма заранее известным непланарным графам. Очевидно, что при значительном росте числа вершин графа этот метод по скорости нахождения решения приближается к методам, основанным на полном переборе. Поэтому решение задачи затягивается на неопределенный срок.
Таблица
Анализ показателей работы методов представления структурного графа
Метод
Показатель Граф-дерево Понтрягин-Куратовский Последовательная укладка графа Генетический поиск
Количество вершин До 5 5-30 >30 До 5 5-30 >30 До 5 5-30 >30 До 5 5-30 >30
Я / Я и 1,1 5 >8 1 1 1 1 1,1 >1,7 1 1 1
Ь / Ь и 1,1 4,3 >8 1 1 1 1 1,1 >1,6 1 1 1
Р / Ри 0 0 0 1 1 1 1 1,3 1,2 1 1 1
в / В и 1 1 1 1 1 1 1 0,7 0,68 1 0,8 0,73
Т O(n) O(n 2) O(n 2) O(n) O(2n) O (3n) O(n) O(n 2) O(n 2) O(n) O(n 2) O(n 2)
Т и O(n) O(n 2) O(n 2) O(n) O(n 2) O(n 2) O(n) O(n 2) O(n 2) O(n) O(n 2) O(n 2)
Метод, базирующийся на последовательной укладке графа с позиции минимизации суммарной длины линий связей, не анализирует равнозначные (по величине Ь) вершины при выборе их для укладки. Решения не всегда получаются оптимальными.
Метод, использующий генетические алгоритмы поиска оптимального решения, имеет вероятностную составляющую при получении решения [3].
Решение задачи
Определение 1. Зададим на множестве ребер неориентированного графа О (X ,и) неотрицательную числовую функцию , которую назовем величиной потока ребра (хг, х}-). Выделим в этом графе две
вершины: 5 - источник и / - сток.
Примем, что пропускные способности всех ребер равны между собой и равны 1 [4]. Тогда для графа с одной компонентой связности имеем
I/ Г-1( ,) = ¿/ Г С). (1)
Соотношение (1) назовем уравнением сохранения потока. Оно формально выражает свойство, состоящее в том, что, за исключением источника и стока, поток в каждом узле сети не возникает и не исчезает. Кроме того, поток пропорционально делится при выходе из одного ребра и попадании в другое ребро или рёбра.
Построение генеалогического дерева неориентированного графа сходно с тем, что по его рёбрам распространяется некий поток.
Теорема 1. В неориентированном графе с одной компонентой связности без кратных рёбер, петель возможна только одна равновесная ситуация по величине встречающихся потоков. Если равновесная ситуация невозможна, то минимальное (по величине
встречающихся потоков) неравновесие также единственно.
Доказательство. Пусть задан неориентированный граф О(X, и), где X - множество вершин, и - множество ребер. Пусть в этом графе мощность множества X равна N. Xк - вершина с номером I, в которую попадает поток на шаге распространения к. ЯЬс - ребро, соединяющее вершины Ь и с.
Допустим, при выходе из некоторой вершины X0 поток попадает в (Xd+i, Xli+2,..., Xli+k ), г + к < N . Проводя распространение потоков аналогичным образом по всем вершинам графа, на каком-то шаге к получим один из следующих случаев:
1. В каком-то ребре графа ЯЬс потоки, выходящие из вершин X^-i и xCк-1, встретятся;
2. В какой-то вершине графа xЬк+i встретятся потоки, выходящие из вершин X^-i и xCк-1.
Для первого случая возможно, что 1Ьс = 1Ьс или
1Ь,с * 1с,Ь . Во вт°р°м случае возможно Iь,ь+1 = 1 с,Ь+1 или 1 Ь,Ь+1 * 1 с,Ь+1.
Опишем ликвидацию неравенства (1Ьс * 1сЬ), рассуждения для 1ЬЬ+1 * 1сЬ+1 аналогичны.
Предположим, что 1Ьс < 1сЬ . Тогда ясно, что при
движении потока из вершины X0 к вершине xЬк-i он получил большее количество делений, чем двигаясь из вершины X0 к вершине Xк-i. Очевидно, что, двигаясь из вершины X0, xЬк-i, поток образовал некоторое дерево В (X0 ,Xldl+i,X2,Xk-+ii,Xк-12i,Xк-1), где Xкi - вершина, в которую попал поток на шаге разлива к.
Тогда из дерева D можно выделить некоторую последовательность вершин, ведущую от X0 в xЪh-1 . Пусть это будет последовательность (X0, X0, X2di,...,X¿I-1). Чтобы увеличить 1Ъс и уменьшить I сЬ, необходимо пустить поток из вершины Х1а .
Поскольку, по условию теоремы, граф имеет одну компоненту связности, то такое перемещение может или улучшить, или ухудшить неравновесие. Очевидно, что такие перемещения в итоге также приводят к равновесию 1Ьс = 1Ьс. Если была найдена точка Xi, из
которой неравновесие не улучшается (число делений потока растет, а равновесие не наступает), то будем считать полученную точку в качестве той, из которой получено минимальное неравновесие. Минимальное неравновесие для точки Xi обозначим Е' (Xi). Предположим, что была найдена точка Xi, из которой получено равновесие. Минимальное равновесие для точки Xi обозначим Е(Xi). Если в ходе распространения потоков из некоторой точки было получено несколько равных по величине неравновесных ситуаций, то общее состояние системы также можно считать равновесной ситуацией.
Следствие 1. Можно утверждать, что в графе возможно получение одной и той же (по величине) равновесной ситуации, например в графе с равными степенями вершин.
Следствие 2. В неориентированном графе с одной компонентой связности без кратных ребер, петель, если определена некоторая вершина Xi, для которой существует Е'(Xi), полученное состояние системы может быть сведено к Е (X i) путем добавления ребер
(«условных ребер»).
Следствие 3. Исходя из теоремы 1 и условия поиска точки, для которой обеспечивается Е (Xi), можно утверждать, что все связи графа, расположенные на матрице смежности, будут находиться максимально близко к главной диагонали.
Теорема 2. Если в неориентированном графе с одной компонентой связности без кратных ребер и петель для некоторой вершины Xi было найдено Е(Xi), то матрица смежности при укладке графа в линию симметрична не только относительно главной диагонали, но и относительно линии, проведенной под прямым углом через центр матрицы смежности. Доказательство. Поскольку по условию теоремы найдена некоторая вершина Xi, для которой было найдено Е( Xi), то очевидно, что при укладке в линию вершины графа могут быть условно разделены на две половины. Деление вершин осуществляется таким образом, чтобы при проведении разреза через середину линии укладки (при нечетном числе вершин графа это точка Xi) получились две симметричные половины. Таким образом, если симметрия возможна, то узор связей левой верхней четверти матрицы смежно -сти будет полностью идентичен правой нижней чет-
верти матрицы смежности графа. Алгоритм работы структурного графа представлен на рис. 1.
Начало
Определение переменных i
Задание начальных условий
V
Определение E(X ) или E' (X )
Ш Ш
ш и
Рис. 1. Алгоритм работы структурного графа
Описание алгоритма
Шаг 1. Начало работы алгоритма.
Шаг 2. Определение переменных для представления графа, распределения потоков, промежуточных укладок.
Шаг 3. Задание начальных условий переменным таким образом, чтобы обеспечить последующую корректность расчетов.
Шаг 4. Определение Е(х) или Е'(х) в соответствии с требованиями теоремы.
Шаг 5. Проверка логического условия на наличие равновесия.
Шаг 6. При положительном решении предыдущего шага добавление ребер условно.
Шаг 7. Производство укладки.
Шаг 8. Окончание работы.
Корректность алгоритма
Теорема 3. Расположение связей вдоль главной диагонали матрицы смежности неориентированного графа свидетельствует о минимальной суммарной длине линий связей, следовательно, об оптимальной укладке графа на плоскости в линию.
Доказательство. Пусть граф О(X, и) задан в виде матрицы смежности М. Докажем, что при пере-
становке вершин графа таким образом, что для некоторого Шу матрицы смежности M, j ^ min для
i = const( j > i) добиваются того, что L ^ min, где i - номер строки M , j - номер столбца M , L - суммарная длина линий связей графа, ш. - элемент матрицы M .
Очевидно, что исходя из матрицы M , величина L может быть найдена по приведенной ниже формуле (2). Из формулы (2) мы можем утверждать, что выполнение условия L ^ min возможно лишь тогда, когда величина j - i ^ min. Поскольку рассматривается неориентированный граф, то матрица смежности является симметричной относительно главной диагонали.
N N
L = ££V (ш. (j - i)). (2)
i=1 j=1 j>n
Таким образом, достаточно рассмотреть только ее верхнюю часть, в которой j > i (если добавить нижнюю часть, то расстояние станет вдвое больше реального). Поэтому выполнение условия j - i ^ min возможно только тогда, когда связи максимально приблизятся к главной диагонали.
Следствие 1. По формуле (2) и теореме 3 наилучшим расположением графа в линию является такое, при котором связи в матрице смежности располагаются строго вдоль главной диагонали. В этом случае все соседние вершины графа размещаются по соседству друг к другу. О наилучшем расположении вершин в
линии свидетельствуют не номера вершин в графе, а лишь их позиции в матрице смежности. Позиции не являются строго закрепленными за каждой вершиной. Значит, оптимальная укладка возможна при различных последовательностях вершин.
Выводы
Определены критерии эффективности укладки графа на плоскости. Сформулированы и доказаны основные теоремы и предложен ряд новых определений, дающих возможность строить оптимальную укладку неориентированных графов на плоскости. Синтезирован алгоритм укладки графа. На его основе разработано программное обеспечение, позволяющее делать укладку неориентированных графов на плоскости применительно к механическим системам.
Литература
1. Нечипуренко М.И. Алгоритмы и программы решения задач на графах и сетях. Новосибирск, 1990.
2. Курейчик В.М. Комбинаторные аппаратные модели и алгоритмы в САПР. М., 1990.
3. Курейчик В.М. Генетические алгоритмы. Таганрог, 2002.
4. Галкина В.А. Дискретная математика: комбинаторные методы оптимизации. М., 2003.
Северо-Кавказский государственный технический университет, г. Ставрополь 19 марта 2005 г.
УДК 536.22: 631.2
МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ПЛОСКОЙ ОГРАЖДАЮЩЕЙ КОНСТРУКЦИИ
© 2006 г. Р.А. Амерханов, К.А. Гарькавый
Строительные материалы могут иметь сложную композиционную структуру, теплофизические характеристики которых, как правило, малоизвестны. К ним следует, в первую очередь, отнести коэффициент теплопроводности. Для определения значения этих характеристик наиболее целесообразно обратиться к методам решения обратных задач, основанных на замене дифференциального уравнения эквивалентным ему интегральным уравнением и интерпретации с его
помощью экспериментальной информации. Особое значение имеет решение обратных задач для идентификации параметров, используемых при исследовании моделей, как важный этап обеспечения адекватностей этих моделей. Этот метод получил особое приложение к решению задач тепломассопереноса [1-4].
Общая схема решения обратных задач тепломас-сопереноса и идентификации модели, а также ее проверки адекватности приведена на рис. 1 [2].
