CC BY
47
УДК 692
Ишанова В.И. - аспирант
E-mail: veronika_ishanova@mail.ru
Пекерман Э.Е. - ассистент
Удлер Е.М. - кандидат технических наук, профессор
E-mail: udler@kgasu.ru
Казанский государственный архитектурно-строительный университет
Адрес организации: 420043, Россия, г. Казань, ул. Зелёная, д. 1
Построение сети Чебышева на поверхности гиперболического параболоида
Аннотация
Предлагается методика и алгоритм итерационного процесса численного решения задачи о наложении сети Чебышева с равносторонними ячейками на седловую поверхность гиперболического параболоида с целью получения раскройной формы тканевой заготовки тентового покрытия. Составлена система нелинейных уравнений для отыскания узлов искомой сети на основе представления криволинейных сторон ячеек прямолинейными. Дается анализ допустимости такого представления в зависимости от параметров геометрии поверхности. Приводится блок-схема итерационного процесса расчета координат узлов сети.
Ключевые слова: тентовые покрытия, мягкие оболочки, пленочно-тканевые ограждения сооружений, сетевой угол, формообразующие свойства материалов, сетчатые оболочки, поверхности отрицательной гауссовой кривизны, гиперболический параболоид, сети Чебышева, раскрой тентовых оболочек сложных форм.
Гиперболический параболоид - один из основных видов поверхностей для тентовых покрытий. Это объясняется его отрицательной гауссовой кривизной, обеспечивающей способность воспринимать знакопеременные нагрузки механически напряженными мягкими оболочками, из которых состоят тентовые покрытия.
Как известно, геометрия поверхностей характеризуются двумя важными показателями кривизны:
- гауссовой, равной произведению главных кривизн:
Кg — кл-к2, (1)
- и средней, равной половине их суммы:
(2)
Поверхности, имеющие минимальную площадь на заданном контуре, называют минимальными. Такие поверхности имеют постоянную отрицательную гауссову и нулевую среднюю кривизну. Однако, обратное не всегда справедливо. То есть не все поверхности отрицательной гауссовой кривизны с нулевой средней являются минимальными.
При проектировании тентовых покрытий естественно стремление к минимизации расхода материалов путем использования минимальных поверхностей. С целью оптимального использования механических характеристик тканей желательно придание покрытию формы поверхности постоянной отрицательной кривизны. Однако, эти условия значительно обедняют палитру архитектурных форм тентовых сооружений и поэтому редко учитываются в реальном проектировании. Как правило, основными исходными архитектурными параметрами проектирования являются контурные условия: форма в плане и габариты внутреннего пространства сооружения.
В настоящей работе рассматриваются поверхности в форме гиперболического параболоида, описываемого известным уравнением (3):
2 2
---=;• (3)
2р 2q
Заметим, что параметры главных образующих парабол р и q позволяют в определенном диапазоне изменять форму оболочки и с ними архитектурный облик тентового покрытия.
Важной, но сложной задачей проектирования покрытий строительных сооружений из тентовых оболочек является построение схем их раскроя. Сложность заключается в том, что поверхности двоякой кривизны не разворачиваются на плоскость. Одним из путей решения задачи является использование особого свойства армирующей основы тентовых материалов - тканей, имеющих, как правило, простое полотняное переплетение нитей. Таким свойством является способность тканей в определенных пределах трансформировать геометрическую структуру за счет изменения угла между нитями двух направлений армирования, который принято называть сетевым углом.
Идея плоского раскроя не развертывающихся поверхностей с учетом изменения сетевого угла принадлежит русскому математику П.Л. Чебышеву, который еще в 1878 году сделал доклад «О кройке одежды» [1]. Особенностью сетей Чебышева является равенство противоположных сторон четырехугольных ячеек сети. Для целей проектирования тентовых оболочек эту идею предлагали использовать отечественные архитекторы В.Г. Штолько [2], В.А. Сладков [3]. Численному решению задачи раскроя некоторых тентовых поверхностей с использованием сетей Чебышева уделяется внимание в исследованиях Попова Е.В. [4].
Чаще всего при построении сетей Чебышева на поверхностях их ориентируют по геодезическим линиям. На первый взгляд, это представляется рациональным, поскольку геодезические линии являются кратчайшими на поверхностях. Однако, на гиперболическом параболоиде это прямые линии и направление по ним армирующей основы материала не соответствует условиям силовой работы гибкого механически напрягаемого покрытия при знакопеременных нагрузках. Оптимальным с позиции механики следует считать расположение нитей ткани по направлениям главных кривизн оболочки.
В данной статье описывается методика построения сети Чебышева, ориентированной по направлениям главных образующих парабол поверхности, плоскости которых X0Z и Y0Z нормальны друг другу. Эти два направления принимаются за исходные оси сети Чебышева. При решении задачи делается допущение о возможности в некоторых пределах замены криволинейных сторон ячеек сети прямолинейными. Отклонения в размерах стороны ячейки при такой замене зависят от соотношения величины кривизны к размеру стороны ячейки. Поскольку максимальная кривизна параболы в ее вершине, то здесь следует ожидать максимального различия между длиной дуги параболы и ее хордой.
Численное значение величин дуги и хорды можно определить из интеграла (4) и формулы (5) соответственно:
где и обозначает оси X или У.
Для вычисления интеграла (4) с учетом уравнения (3) получены выражения (6а, б) для длины дуги в интервале [0,б/].
(4)
(5)
4 =^~р^х2 + р2 + ^{х + ^х2 +Р2)-^р, (6а)
Пу = ^Х2 + С]2 + 11п (у + 4у2 + г)~ |:1п Ч- (66)
Для вычисления длины хорды из уравнений (5) с учетом (3) получаем выражения (7):
Проведенные авторами вычисления показывают, что длина дуги превышает длину хорды б/ менее, чем на 1 %, если выполняется условие (8):
с1<а/2. (8)
Здесь а принимает значения р или д.
Построение сети Чебышева начинается с вычисления координат узловых точек на осях сети, совмещаемых с ветвями центральных парабол поверхности, как показано на рис. 1. Эти точки являются опорными для построения всей сети.
Рис. 1. Опорные точки на осях (слева) и вычисленные узлы сети Чебышева, наложенной на четверть поверхности гиперболического параболоида (справа)
Далее задача заключается в нахождении по трем опорным точкам четвертого узла ячейки сети. Этот узел отстоит на расстоянии, равном стороне ячейки с1 от смежных
вершин ячейки на поверхности гиперболического параболоида. Очевидно, что искомая
точка находится на пересечении двух сфер радиусом с1, центры которых расположены в смежных с искомым узлом вершинах ячейки, с поверхностью оболочки. Это приводит к необходимости подбора координат, удовлетворяющих системе из трех нелинейных уравнений (9), для каждой новой вершины (узла сети):
(•V • О, •)' +к,
(х. -х. . , V +(тл - V +(г. =с!2\
2 2
X V
-2
2 р 2 q ',}
Авторами разработан алгоритм итерационного процесса, позволяющего численным методом находить координаты искомых узлов сети. Блок-схема процесса представлена на рис. 2.
В соответствии с алгоритмом и блок-схемой, для каждой новой искомой точки вычисляются первые приближенные значения координат Х0, У0 и по соотношениям (10) из соображений симметрии, справедливой для плоских или очень пологих оболочек.
Рис. 2. Блок-схема процесса итераций
4 = х,-и-1 + (х,-и -у1о=у1-1,н + (у1,н-у1-1,н);
(10)
2 р 2
Затем вычисляются длины новых сторон ячейки: 1Х и /,, по формулам (11):
1:=(•'■ - хи-1) • (г у и-1) • (- VI);
П = (хо - х,-и } + (уо - У,-и )2 + к - --и } ■
Проверяется равенство этих расстояний шагу сети с1 по соотношениям (12), где 8 -заданная точность вычисления:
(П)
|/х - с!I < г; / - с/ < е.
(12)
Если не выполняется хотя бы одно из условий (12), то пересчитываются искомые координаты Хо, Уо по приведенным ниже зависимостям.
Если справедливо соотношение:
- с/ > /„ - с/
то перерасчет ведется по формулам (13):
4 = х<^-1 + (хи-1
X
У1о =Уи-1+(Уи-1 -Ук0~1)—--
(13)
в противном случае, по формулам (14):
Л'; -V... • (л;. •. ■
d (14)
Уко =Уі-и+(Уі-и-УІ~1)--Г-
‘у
В этих формулах к - шаг итерации.
Смысл пересчета в приведении в соответствие с системой уравнений (9). Заметим, что уравнения (13) и (14) определяют две координаты (Х0, Y0) точки пересечения стороны ячейки с соответствующей сферой радиуса d. Значение Z0 следует вычислять по третьему уравнению системы (10), так как искомый узел сети должен лежать на поверхности гиперболического параболоида. Процесс завершается при выполнении обоих условий (12).
По разработанному алгоритму, авторами составлена компьютерная программа автоматизированного наложения сетей Чебышева на поверхности гиперболических параболоидов. Она апробирована при проектировании тентовых сооружений. Пример результата практического решения подобной задачи на компьютере приведен на рис. 1.
Список библиографических ссылок
1. Чебышев П.Л. О кройке одежды. Полное собрание сочинений. Том V. - М., 1955. -256 с.
2. Штолько В.Г. Архитектура сооружений с висячими покрытиями. - Киев: Будівельник., 1979. - 152 с.
3. Сладков В.А. Архитектурные формы и виды тканевых и сетчатых покрытий, трансформируемых из плоскости // Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата архитектуры. - М.: МАРХИ, 1969.
4. Попов Е.В. Геометрическое моделирование тентовых тканевых конструкций с помощью метода натянутых сеток.
Ishanova V.I. - post-graduate student E-mail: veronika_ishanova@mail.ru Pekerman E.E. - assitant
Udler E.M. - candidate of technical sciences, professor E-mail: udler41@mail.ru
Kazan State University of Architecture and Engineering
The organization address: 420043, Russia, Kazan, Zelenaya St., 1
About imposition of Chebyshev‘s meshes by the surface as hyperbolic paraboloid Resume
The article describes the method and algorithm of iterative process of numerical solution of the problem of the application of the Chebyshev grid with cells with equal sides on the saddle-shaped surface of the hyperbolic paraboloid. It is necessary to cut the flat elements made of soft materials, films and fabrics, for light building hanging with coatings known as the «tent structures». The proposed technique is based on change the curve side of cells on the straight line . In article presents a system of nonlinear equations that reflect the relationship between the coordinates of interconnected nodes in cell. The method involves the numerical solution of this system of three nonlinear equations for calculate the coordinates of the fourth vertex of cells when the three known. Furthermore, made analysis of limits the is application of methods are depending on the parameters and dimensions of the surface geometry cell network. In conclusion, the authors provide a block-diagram of the iterative calculation process. For
practical use, was compiled a computer program as the implementation of the algorithm for solve the problem of the application of the Chebyshev grid.
Keywords: awning cover, soft shell, film-tissue structures fencing, mesh angle, properties of material to change form, mesh shell surface of negative Gaussian curvature, the hyperbolic paraboloid, the mesh of Chebyshev, tent membrane cutting of complex shapes.
Reference list
1. Chebyshev P.L. On the cutting of clothes // Complete Works. Volume V. - M., 1955. -256 p.
2. Shtolko V.G. Architecture of buildings with hanging coverings. - Kiev: Budivelnik, 1979,- 152 p.
3. Sladkov V.A. Architectural forms and types of fabric and mesh coverings, transformed from a plane. // Dissertation for the degree of candidate of architecture. - M.: Moscow Architectural Institute, 1969.
4. Popov E.V. Geometric modeling of tent fabric designs using the stretched mesh.
