Построение семантически содержательных правил экспертных систем в задачах с повышенной точностью решения Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ И СИСТЕМЫ

УДК 004.94

В. А. Терехов, К. А. Майков, С. М. Жиряков ПОСТРОЕНИЕ

СЕМАНТИЧЕСКИ СОДЕРЖАТЕЛЬНЫХ ПРАВИЛ ЭКСПЕРТНЫХ СИСТЕМ В ЗАДАЧАХ С ПОВЫШЕННОЙ ТОЧНОСТЬЮ РЕШЕНИЯ

Предлагается метод построения логико-лингвистической модели коррекции нечеткого вывода с учетом прецедентов принятия решения. На основе обобщения базисных функций Фабера — Шаудера разработана модификация алгоритма нечеткого вывода Суджено, позволяющая редуцировать ошибки решения в условиях неизменности семантики начальных определений.

Ключевые слова: логико-лингвистическая модель, алгоритм Суджено, функции Фабера — Шаудера.

Введение. В настоящее время одним из средств подготовки специалистов, ориентированных на решение сложных технических задач, являются интерактивные тренажеры, включающие в себя экспертную подсистему, содержащую понятия и слабо формализуемые правила (эвристики), применяемые экспертом-инструктором для проверки основных вариантов решения задачи, формируемых обучаемым. Сдерживающим фактором развития интерактивных тренажеров, позволяющих заменить присутствие инструктора в процессе тренировки, является необходимость удовлетворения противоречивых требований к применяемым методам поиска решения слабо формализуемых задач. С одной стороны, требуется обеспечить возможность уменьшения погрешности решения, возникающей, в частных случаях в области входных данных, вследствие слабой формализации правил его поиска. С другой стороны, необходимо не допускать модификации определений понятий и эвристик, формируемых экспертом-инструктором. Это требование обеспечивает компетентное интерактивное вмешательство системы в тренировочный процесс в целях информирующего или корректирующего воздействия.

Модификация алгоритма нечеткого вывода Суджено. Рассмотрим возможность модификации алгоритма нечеткого вывода Суджено [1] с учетом прецедентов частных решений.

Для представления функциональной зависимости вида / : Я* ^ ЯМ в слабо формализуемой задаче без ограничения общности можно полагать, что логико-лингвистическая модель задачи содержит правила получения решений Т] с ядром кег Т] =< А^ В] >,

А] = {(Х]<, Т])\к = Щ Х/<е Я*}; В] = ^, Т}^), 21> е ЯМ , где Х]< — определяющие лингвистические переменные, 2] > — переменная вывода [2], Т}( ) — базовое терм-множество.

Этап логического вывода алгоритма Суджено характеризует значение переменной вывода 2 как линейную комбинацию определяющих переменных [3]:

N

XN) = к0 + 2. (1)

1=1

В этом случае целевая поверхность отклика выводимой переменной аппроксимируется гиперплоскостью, что может приводить на этапе композиции к получению неприемлемой по величине погрешности [4]. Осуществим модификацию алгоритма Суджено, основываясь на возможности аппроксимации функции произвольного числа переменных суммой значений вкладов каждой определяющей переменной независимо друг от друга, что показано в работах Колмогорова о представлении непрерывных функций нескольких переменных. Тогда требуемая поверхность отклика выводимой переменной может быть представлена выражением [5]

Ь N

г(XN ) = Нт 2 2 5/п (хп ), (2)

I=1 п=1

где / — порядок (уровень) приближения, 5/ п (хп ) — вклад переменной Хп в значение 2 на 1-м уровне приближения.

Для обеспечения сходимости уравнения (2) необходимо использовать аналогию многомерного обобщения базисных функций системы Фабера — Шаудера [6] и осуществить разбиение пространства Х1 х... х XN на зоны решения О^ , так что

О^ = и О/+1, О\+1 п О1/1 = 0 при I * у; I, у = ,

1 (3)

УЬ е N (((Х1,...,XN) е ОЬ) ^ (УОЬ,I * а)(5Ь = 0)),

N

где 5^(Х1,...,XN) = ^5/п(хп) — общая поправка в зоне О^ .

п=1

С учетом разбиения пространства Х1 х... х XN на зоны и требований (3) значение выводимой переменной можно представить в виде

Ь Б(/)

г(xl,...,xN) = 1!т 2 2 Ра(xl,...,XN Й (Х1,... , XN ) , (4)

/=1 а=1

где ра(Xl,...,X«) = (0 (X1••.-XN)еОа•

[ 0, иначе

— критерий необходимости учета поправки 5^ в ито-

говом решении.

Для расчета величины 5 а будем использовать преобразованное соотношение Суджено (1):

N

5а = z(xl•...• Ч) = ,о + Ка 2( а1 (xl) ) (5)

1=1

где Ка — общий коэффициент зоны О^ ; | е [0,1] — коэффициент влияния переменной Х1 в общем значении поправки; аг- (XI) е [0,1] — значение функции принадлежности терма, расположенного в левой части продукционного правила, вычисленное на этапе фаззификации алгоритма нечеткого вывода.

Окончательно для этапа логического вывода модифицированного алгоритма Суджено значение выводимой переменной определяется как

£ Ра^ъ-.%) ¿а,о + ка£(а,,а(х1))

О ^ N

Б

N

N

L

г(XN ) = ¿о + £ кЛ + £

Б

V

(6)

г=1 /=1

£ Ра(х1,-> XN)

а=1

Модель редукции ошибок нечеткого вывода. Для редукции ошибок решения в соответствии с выражением (6) осуществляется построение логико-лингвистической продукционной модели на основе данных о частных решениях задачи — модели редукции ошибок. Модель редукции ошибок состоит из продукционных правил четырех видов:

Правила (7), (8) используются для локализации области поправки, правило (9) — для вычисления величины поправки, правило (10) определяет суммарное значение поправки. Таким образом, повышение практической приемлемости решения обеспечивается не модификацией исходной экспертной модели, с помощью которой объясняется решение, а введением дополнительной модели редукции ошибок, построенной на основе обработки частных решений задачи.

Для определения параметров правил модели редукции используются алгоритмы обработки частных решений задачи, которые обеспечивают:

— разбиение пространства входных переменных Х1 х...х XN на иерархию вложенных

зон О^ , удовлетворяющих условию (3);

— построение продукционных правил вывода;

— определение положения функций принадлежности термов;

— расчет значений ¿а о, Ка, Vа, для продукционных правил вывода.

Для разбиения пространства входных переменных Х1 х... х XN на зоны Оа используется алгоритм обработки точек частных решений Р2 = |рг (хь..., XN, г) 11 = 1, Т2}, задающих значение решения г0 при входных данных (х0,...,х°). Зоной решения называется упорядоченная пара О =< В,с >, где с е Рг — радиус-вектор основания зоны, В = {Ьь...,ЬN} — система из N линейно независимых векторов (базис зоны), причем Ьг- = рГ - с.

В процессе построения базис зоны может включать в себя как векторы стандартного базиса, так и векторы, образованные с помощью частных решений. Обработка частных решений строится таким образом, чтобы, в первую очередь, в базисах зон осуществить замещение векторов стандартного базиса векторами, образованными с помощью частных решений. При невозможности дополнения базиса формируются дополнительные зоны, смежные с первоначальными.

Основание зоны с и векторы ее базиса {Ьь..., Ь N} задают положение гиперплоскости, определяющей признак р1а(Х1,...,XN) учета поправки в итоговом решении и величину §а (Х1,..., XN ) этой поправки.

(10)

(7)

(8)

(9)

Значения р^ и 5^ рассчитываются следующим образом. Представив произвольный вектор х е Х1 х Х2 х... х XN х 2 в виде суммы его ортогональных составляющих х0 е Х1 х Х2 х... х XN и х^ е 2, выразим поправку 5^ для зоны О^ путем разложения х по базису зоны О^ :

N

5а = х =2а п ь«+ с\4 >

п=1

где ап — коэффициенты разложения вектора х по базису зоны О^ .

Обозначив Впхп = (ь1 у), В-х!п = (ъ-), выражение (11) преобразуем к виду

N

5а(xl•...• Ч) = 2ка+ 5а ^

п=1

N

N

N

где кап = ^2 ъу п ^ 5 а = см-2 ъпс14п 2 ъу п .

У=1 п=1 у=1

Для расчета р^ требуется выполнение условий

(х0 - с0а) • И0 > 0 Ук е {1, 2,..., n}); (х0 - с°° - Ь?) • И0 > 0 Уу е {1, 2,..., n},

(11)

(12)

(13)

что справедливо при

N

ч (X!,...,xN) = 2- Г > 0 Ук е {1, 2,..., щ и 5(Xl•...• xn) =

1=1

где

N

2 ^I- 5 1=1

; [0,1], (14)

N

( N-1 (

чк = Ък, I-2 у=1

N-1

Л Л

2 2 ёп, рё

к ~к

р,т

V т=1 V

р=1

ё

з,т

эк у

V

N

чк =2 с/а

I=1

N (N -1 (N-1 Л Л

к ~к р,т

V У

ъку-2 2 2 ёп,рё_

} =1 V т=1 V р=!

N

ёк

о у ,т

ък, у

№; Ик, к = 0, N, —

.. __N ( N Л

ёкр,т — элемент матрицы (О1°)-1; 5 =2 ъ-I ^ * =1 #; 5 = 2 2 ъ-

у=1 у=lV I=1 V

ортогональное дополнение к системе базисных векторов граней Ок , причем И к • Ь к > 0 при к = ^ и И0 • Ь0 < 0.

Выражения (11), (12) для расчета поправки 5^ и (13), (14) — для критерия ра позволяют определить положение функций принадлежности термов в правилах модели редукции

N

ошибок. В общем случае линейная комбинация г = к0 +2 kiXi в зоне О с основанием

г=1

с = (с1,..., CN+1) может быть выражена в виде

N

г = с

N+1 + К 2( а(X) )

г=1

где V. =--; К = ,/£(( |О|.) ; |О|. — протяженность зоны вдоль оси, заданной ортом

к V.=1 ' 1

стандартного базиса е.; а. (xi) — функция принадлежности треугольного вида [7].

Таким образом, учет частных решений задачи в модели редукции ошибок обеспечивает локальную коррекцию результатов классического алгоритма нечеткого вывода Суджено и повышает практическую приемлемость решения без изменения начальной экспертной модели задачи.

Заключение. Рассмотренная модификация нечеткого вывода позволяет снизить влияние субъективного фактора, ухудшающего качество решения из-за неточностей, вносимых экспертом при описании системы. На практике в задачах управления и распознавания в области исходных данных при недостаточной информации о закономерностях работы системы известные алгоритмы нечеткого вывода приводят к ошибочным решениям. Предложенный подход позволяет добиться желаемого решения в любой области исходных данных, включая и те, где знания эксперта, выраженные в нечетком описании системы, оказываются неточными или ошибочными. Решение в этом случае достигается с помощью набора корректировочных данных. При этом корректировочные данные приводят не к модификации созданных экспертом правил или определений характеристических функций, а к дополнению существующего описания, что позволяет сохранить смысловое содержание нечеткого вывода решения в терминах, введенных экспертом.

список литературы

1. Wang L., Mendel J. M. Fuzzy basis functions, universal approximation, and orthogonal least-squares learning // IEEE Transact. Neural Networks. 1992 . Vol. 3, N 5. P. 807—814.

2. Kosko B. Fuzzy systems as universal approximators // IEEE Transact. on Computers. 1994. Vol. 43, N 11. P. 1329—1333.

3. Castro J. L., Delgado M. Fuzzy systems with defuzzification are universal approximators // IEEE Transact. on System, Man, and Cybernetics. 1995. Vol. 25, N 4. P. 629—635.

4. Tsukamoto T. An approach to fuzzy reasoning method // Advances in Fuzzy Set Theory and Applications. Amsterdam: North-Holland Publishing Co., 1979. P. 137—149.

5. Жиряков С. М., Майков К. А., Рогозин О. В. Адаптация нечеткого вывода к критическим зонам ошибок управления в задачах управления // Приборы. 2009. № 2. С. 22—29.

6. Takagi T., Sugeno M. Fuzzy identificaton of systems and its applications to modeling and control // IEEE Transact. on System, Man, and Cybernetics. 1985. Vol. 15, N 1. P. 116—132.

7. Круглов В. В., Дли М. И. Нечеткая логика и искусственные нейронные сети. М.: Физматлит, 2001. 224 с. Владимир Анатольевич Терехов

Константин Анатольевич Майков

Сергей Михайлович Жиряков

Рекомендована Московским институтом радиоэлектроники и автоматики

Сведения об авторах канд. техн. наук; Московский государственный технический университет „Московский институт радиоэлектроники и автоматики", кафедра технической электродинамики и электроники; профессор д-р техн. наук, профессор; Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана, кафедра программного обеспечения ЭВМ и информационных технологий; E-mail: [email protected]

канд. техн. наук; ОАО «Российская самолетостроительная корпорация „МиГ"», Инженерный центр „ОКБ им. А. И. Микояна", Москва; E-mail: [email protected]

Поступила в редакцию 28.06.12 г.