Научная статья на тему 'Построение решения задачи Коши методом Римана для одного гиперболического уравнения'

Построение решения задачи Коши методом Римана для одного гиперболического уравнения Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
1168
145
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ЗАДАЧА КОШИ / PROBLEM CAUCHY / ФУНКЦИЯ РИМАНА / RIEMANN'S FUNCTION / ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ / HYPERBOLIC EQUATION / ГРУППОВОЙ АНАЛИЗ / GROUP ANALYSIS

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Вильдяева А.А., Абдуллина Р.И., Акимов А.А.

В работе для одного гиперболического уравнения второго порядка с использованием группового анализа была построена четырехпараметрическая группа преобразований. Продемонстрировано использование данной группы для решения задачи Коши методом Римана.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

CONSTRUCTION OF THE SOLUTION OF THE CAUSHY PROBLEM BY THE RIEMANN’S METHOD FOR A HYPERBOLIC EQUATION

In this paper for the hyperbolic equation was constructed the four-parameter group and with the help of the group was found the solution of the Cauchy problem by the Riemann method for a hyperbolic equation.

Текст научной работы на тему «Построение решения задачи Коши методом Римана для одного гиперболического уравнения»



ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 517.95

А.А. Вильдяева

студент,

кафедра математического анализа, Стерлитамакский филиал ФГБОУ ВПО «Башкирский государственный

университет» Р.И. Абдуллина

студент,

кафедра математического анализа, Стерлитамакский филиал ФГБОУ ВПО «Башкирский государственный

университет» А.А. Акимов канд. физ.-мат. наук, доцент, кафедра математического анализа, Стерлитамакский филиал ФГБОУ ВПО «(Башкирский государственный

университет»

ПОСТРОЕНИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ МЕТОДОМ РИМАНА ДЛЯ ОДНОГО ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

Аннотация. В работе для одного гиперболического уравнения второго порядка с использованием группового анализа была построена четырехпараметрическая группа преобразований. Продемонстрировано использование данной группы для решения задачи Коши методом Римана.

Ключевые слова: задача Коши, функция Римана, гиперболическое уравнение, групповой анализ.

A.A. Vilduaeva, Sterlitamak branch Bashkir state university

R.I. Abdullina, Sterlitamak branch Bashkir state university

A.A. Akimov, Sterlitamak branch Bashkir state university

CONSTRUCTION OF THE SOLUTION OF THE CAUSHY PROBLEM BY THE RIEMANN'S METHOD FOR A

HYPERBOLIC EQUATION

Abstract. In this paper for the hyperbolic equation was constructed the four-parameter group and with the help of the group was found the solution of the Cauchy problem by the Riemann method for a hyperbolic equation.

Keywords: problem Cauchy, Riemann's function, hyperbolic equation, group analysis.

Групповой анализ дифференциальных уравнений находит широкое применение при исследовании уравнений математической физики. Используя результаты по групповой классификации однородных гиперболических уравнений второго порядка, было предложено находить функцию Римана с помощью симметрий уравнения.

Рассмотрим следующее уравнение второго порядка:

в области й , ограниченной характеристиками АС (у = 2х), СВ (ух = 1) и отрезком АВ (у = 1). Поставим задачу Коши: найти в области й функцию и(х,у), удовлетворяющую условиям:

Lu = x3uxx - y2xuvv - 4y3u = 0

(1)

u(x,y) e C(D) n C1(D и AB) и C2(D); Lu(x, y) ° 0, (x, y) e D;

(2) (3)

I / \ Эи и\ „ = ф( X),----

\у=1 ^ >' ду

1

= у(X), --1 £ X £ 1, (4)

у=1

где ф(х), у(х) - заданные достаточно гладкие функции.

у

С помощью замены переменных Х = ху, л = уравнение (1) приводится к канониче-

х

и^л^^Г ил+^и = 0. (5)

скому виду:

1 2Х"

Для решения задачи воспользуемся методом Римана, который основывается на следующем тождестве:

2(ч-и - и-ч) = (чил - ичл + 2auv), + (чи, - ич, + 2Ьич)л, (6)

где

1-и = и^л + а(Х,л)и, + Ь(Х,Л)ил + с(Х,л)и = ^ (Х,л) (7)

Сч = - (ач), - (Ьч)л + су - сопряженный с -и дифференциальный оператор; в - область

интегрирования с кусочно-гладким контуром Г.

Интегрируя обе части тождества (6) по области в и пользуясь формулой Остроградского, получим

2|| (ч-и - иСчХ^л = [[ [-(чих - ичх + 2ЬичX + (чил - ичл + 2аичл].

в Г

Метод Римана сводит задачу интегрирования уравнения (1) к построению функции Римана ч = Я(Х,л;Х0,л0), удовлетворяющей однородному сопряженному уравнению (по переменным Х,л):

= 0

и следующим условиям на характеристиках:

aR)| = 0, ЬR)| = 0,

л !Х=Х0 х !л=л0 (8)

R(Xo, л>;,0, л0) = 1.

Формула Римана в общем виде для решения уравнения (7) имеет вид

и(Х0,л0) = ^UR)р +(UR)о -11 -^их - uRX + 2buR^X + (Ruл - uRл + 2auR^л +ЦRfdXdл . (9)

22 РО О

В нашем случае уравнение, сопряженное к уравнению (5), имеет вид

функцию Римана ч = R(X,л;X0,Л0). Отметим, что в нашем случае искомая функция Римана удовлетворяет следующим условиям на характеристиках:

ихл+^ ил+ли = 0 (10)

^л=л0 ^ ^Х=Х0 =1, R(Xo,Лo;Xo,л0) = 1 (11)

Оператор симметрии однородного уравнения (10) имеет вид [4]:

X = ч+ ™(л)^ + х(Х, л)и ^ . ЭХ дл Эи

При этом, как следует из работы [2], должны быть выполнены следующие соотношения:

Эх Э^) ЭЬ Л Эх Э(aw) Эa „

— + ——- + w— = 0, — + ——- + v— = 0,

ЭХ ЭХ Эл Эл Эл ЭХ

Э2х + а Эх + ь Эх + Э^) + Э^) = 0

ЭХЭл ЭХ Эл ЭХ Эл 1

Подставляя в нашем случае a = 0 , Ь =--, о = л , получим следующие соотношения:

л 1 С

у = С2Х + С4, w = С2^ + С,- , х = С1--2,

2 4 2 2 3 л 1 2

где С1,С2,С3,С4 - произвольные постоянные. Таким образом, уравнение (5) в нашем случае допускает четырехпараметрическую группу с операторами:

X =А, х2 = 1А, х3 = 1 и-*-, х4 = и-*-.

1 ЭХ 2 л Эл 3 ЭХ 2 Эл 2 Эи 4 Эи

Построим линейную комбинацию этих операторов:

X — ^1X1 + ^2 Х2 + а, X, + ^4 Х4

где а1,а2,а3, а 4 - произвольные постоянные.

Следуя работе [5], потребуем инвариантности характеристик Х = Х0 и л = л0 относительно построенного оператора:

X(Х-Х0) =0, X(л-л0) = 0.

£ 2

л

Полагая а3 = 1, получим а2 = —0 , а2 = -Х0. Тогда результирующий оператор примет вид:

X = (Х-Х0 +

2

лл

ЭЭ

+ и-

ЭХ V 2 2л) Эл Эи

Инварианты этого оператора имеют вид: 11 =(Х-Х0)(л2 -л2), 12 = \ , поэтому будем

Х - Х0

искать решение уравнения (5) в виде функции Я = f(г)д(г), где г = (Х-Х0)(л2 -л2), г = Х-Х0.

В результате подстановки функции К в уравнение (10) оно распадается на два обыкновенных дифференциальных уравнения:

2zf"(г) + 2f'(г) + f(г) = 0 ,

2(г + Х0)д (г ) + д(г) = 0.

Решениями полученных уравнений являются функции

f = ^ (V 2 (Х-Х0 )(л2 -л2)), д = "1=,

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

^л/Х

где Л0 ( ) - функция Бесселя первого рода нулевого порядка, С - произвольная постоянная.

Тогда удовлетворяя полученное решение Я = f(г)д(г) условиям (6), получим функцию Римана:

я (Х, л,Х0,л0 ) = ^Ч (V 2 (Х-Х0 )(л2 -л2)). 1

Полагая в формуле (9) а = 0 , Ь =--, f = 0 и принимая во внимание, что и(Р) = ф(Х0),

2Х 0

' 1 1 1

и (О) = ф ), Я(Р) = я Х0, Х-;Х0, л01 = 1, Я(О) = я л1,л0;Х0,л01 = л/Х0л0, получим

г

Э0 ' £ О^чи | ■ ' - -

V Х0 ) V л0

и(Х0,л0) = + ^ фI-] + ] ^

2 I л) 4 х^ТХ3

2

^01 (X-Х0)I -л2 | dX-

л° у© , Г

Й^)| т2-л0 IIdX-

7X0 л у®,

2

| ^(3X-X3л02 - 2X0) 41(X - X.)[^ - л21| dX

Возвращаясь теперь к старым переменным х и у, получим решение задачи Коши:

и( х, у) =

Ф(ху) , у ф { х | \ Ф(г)

2 - + 2Ф 1у1 + 4

47 4

(г - ху)

2|

dz -

у У(г) .

^ 40

(г - ху)

2|

dz -

л/У | ф(г)

2х ху г

г | /

3гх2 - г3у2 - 2х3у

(г - ху)

dz.

))

Теорема. Если функции ф(х) е С2

—;1 2

у(х)е С2

— ;1 2

(12)

, то задача Коши для уравнения

(1) имеет единственное решение, которое определяется формулой (12).

1

2

г

1

2

г

1

2

г

Список литературы:

1. Акимов А.А. Построение решения задачи Дарбу для телеграфного уравнения в одной области // Сборник научных трудов Sworld. 2014. Т. 29, № 4. С. 45-48.

2. Акимов А.А. Построение функции Римана-Адамара задачи Дарбу для телеграфного уравнения // Сборник научных трудов Sworld. 2014. Т. 29, № 4. С. 48-50.

3. Акимов А.А., Галиаскарова Г.Р. Об одном соотношении задачи Дарбу для уравнения Трикоми // Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов. 2010. № 12 (54). С. 113-115.

4. Вильдяева А.А., Акимов А.А. Построение дифференциального уравнения с заданной симметрией // Сборник научных трудов Sworld. 2014. Т. 29, № 4. С. 57-59.

5. Казакова Е.А., Акимов А.А. Построение общего решения обыкновенного дифференциального уравнения методами группового анализа // Сборник научных трудов Sworld. 2014. Т. 29, № 4. С. 55-57.

6. Акимов А.А. О единственности решения задачи типа Неймана для уравнения Чаплыгина // Вестник Московского областного государственного университета. 2013. № 4. С. 38.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.