CC BY
25
Лузгин Владимир Васильевич К. т. н., доцент
Братский государственный университет Россия, Братск e-mail: rasp@brstu.ru
Vladimir Luzgin
candidate of tech. sciences,
senior lecturer Bratsk State University
Russia, Bratsk
e-mail: rasp@brstu.ru
Панасов Вячеслав Владимирович Братский государственный университет Россия, Братск e-mail: rasp@brstu.ru
Vyacheslav Panasov Bratsk State University Russia, Bratsk e-mail: rasp@brstu.ru
УДК 517.977.58
ПОСТРОЕНИЕ РЕШЕНИЙ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ НА ОСНОВЕ
МНОЖЕСТВ СИММЕТРИИ 1
© П. Д. Лебедев, А. А. Успенский
Ключевые слова: минимаксное решение уравнения в частных производных первого порядка; задача Дирихле; задача быстродействия; множество симметрии; эйконал.
Аннотация: Приводится метод построения функции оптимального результата в задаче быстродействия, основанный на выделении множества симметрии краевого условия. Развивается численно-аналитический подход к аппроксимации множества управляемости. Устанавливается связь решения задачи быстродействия с решением задачи о построении эволюции волновых фронтов при конструировании эйконала. Приводятся результаты моделирования решений динамических задач быстродействия и задач геометрической оптики.
Изучается задача Дирихле для уравнения в частных производных первого порядка типа Гамильтона-Якоби
min (v, Du(x)) + 1 = 0, (1)
v:\\v\\^1
u|r = 0. (2)
Здесь x = (x,y) E К2, ||v|| = л/vf + vf — евклидова норма вектора v = (vi,Vf), Г — граница
замкнутого множества M С К2, Du(x) = (Jgx, — градпет функции u = u(x).
Минимаксное решение [1] задачи Дирихле (1)-(2) совпадает с функцией оптимального результата соответствующей задачи динамического быстродействия с круговой индикатрисой скоро-
M
M
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований 08-01-
00587-а, Программы государственной поддержки ведущих научных школ НШ-2640.2008.1 и федеральной программы Президиума РАН №29.
метод решения задачи, основанный на выделении биссектрисы краевого множества. Биссектриса относится к множествам симметрии [2]. Топологические особенности множеств симметрии изучались в [3]. С точки зрения теории дифференциальных игр [4-5] множества симметрии относятся в плоском случае к рассеивающим кривым.
Численно-аналитические подходы к конструированию множеств симметрии при изучении особенностей геометрии по существу невыпуклых множеств, при построении функции оптимального результата в задачах управления, а также при формировании эйконала в геометрической оптики, развивались в работах [6-10].
Приводятся результаты моделирования решений задач Дирихле, эволюции множеств управляемости, а также распространения волновых фронтов в среде с постоянным коэффициентом преломления.
Пример решения задачи быстродействия с круговой индикатрисой скоростей представлен на рис. 1. В качестве целевого множества М выбран подграфик функции
Г —7.5х4 — 13х3 - 4.5х2, х ^ 0,
I (Х) = <
| —6х4 + 5х3 — 3х2, х > 0.
Здесь Г обозначает границу множества М, Ь — множество симметрии, Ф — линии уровня функции оптимального результата и = и(х, у) с шагом Нр = 0.4. На множестве симметрии функция и = = и(х, у) теряет гладкость, ее линии уровня соответственно имеют изломы.
X
Рис. 1. ЛИТЕРАТУРА
1. Субботин А.И. Обобщенные решения уравнений в частных производных первого порядка. Перспективы динамической оптимизации. М.; Ижевск: Институт компьютерных технологий, 2003.
2. Арнольд В.И. Особенности каустик и волновых фронтов. М.: ФАЗИС, 1996.
3. Sedykh V.D. On the topology of symmetry sets of smooth submanifolds in Rk // Advanced Studies in Pure Mathematics, 2006. Vol. 43. Singularity Theory and Its Applications. Pp. 401-419
4. Айзекс P. Дифференциальные игры. М.: Мир, 1967. 479 с.
5. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974.
6. Успенский А.А., Ушаков В.Н., Фомин А.Н. a-множества и их свойства / Институт математики и механики УрО РАН. Екатеринбург, 2004. 62 с. Деп. в ВИНИТИ 02.04.04, № 543-В2004.
7. Успенский А.А., Лебедев П.Д. Аналитическое и численное конструирование функции оптимального результата для одного класса задач быстродействия / / Прикладная математика и информатика: труды факультета ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова, 2007. № 27. С. 65-79.
8. Успенский А.А., Лебедев П.Д. Геометрия и асимптотика волновых фронтов // Известия высших учебных заведений. 2008. № 3. С. 27-37.
9. Ушаков В.Н., Успенский А.А., Лебедев П.Д. Построение минимаксного решения уравнения типа эйконала // Труды Института математики и механики. 2008. Т. 14. №2. С.182-191.
10. Успенский А.А., Лебедев П.Д. Процедуры вычисления меры невыпуклости плоского множества // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2009. Т. 49. № 3. С. 431-440.
Abstract: method for construction of the optimal result function for boarder performance problem based on symmetry sets is searched; controllability sets levels are approximated using analytical and computing approaches; connection between the boarder performance problem and evolution of the waterfronts in eikonal problem is ascertained; modeling results dynamic and geometry optic problems are given.
Keywords: Minimax Solution Of the First Order PDE; Dirichlet Problem; Performance Problem; Symmetry Set; Eikonal.
Лебедев Павел Дмитриевич аспирант
Институт математики и механики УрО РАН Россия, Екатеринбург e-mail: pleb@yandex.ru
Pavel Lebedev post-graduate student
Institute of Mathematics and Mechanics of UrD RAS
Russia, Ekaterinburg e-mail: pleb@yandex.ru
Успенский Александр Александрович к. ф.-м. н., с. н. с.
Институт математики и механики УрО РАН Россия, Екатеринбург e-mail: uspen@imm.uran.ru
Alexandr Uspenskiy
candidate of phys.-math. sciences, s. s. c. Institute of Mathematics and Mechanics of UrD RAS
Russia, Ekaterinburg e-mail: uspen@imm.uran.ru
