Построение решении динамических задач на основе множеств симметрии Текст научной статьи по специальности «Математика»

Лузгин Владимир Васильевич К. т. н., доцент

Братский государственный университет Россия, Братск e-mail: [email protected]

Vladimir Luzgin

candidate of tech. sciences,

senior lecturer Bratsk State University

Russia, Bratsk

e-mail: [email protected]

Панасов Вячеслав Владимирович Братский государственный университет Россия, Братск e-mail: [email protected]

Vyacheslav Panasov Bratsk State University Russia, Bratsk e-mail: [email protected]

УДК 517.977.58

ПОСТРОЕНИЕ РЕШЕНИЙ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ НА ОСНОВЕ

МНОЖЕСТВ СИММЕТРИИ 1

© П. Д. Лебедев, А. А. Успенский

Ключевые слова: минимаксное решение уравнения в частных производных первого порядка; задача Дирихле; задача быстродействия; множество симметрии; эйконал.

Аннотация: Приводится метод построения функции оптимального результата в задаче быстродействия, основанный на выделении множества симметрии краевого условия. Развивается численно-аналитический подход к аппроксимации множества управляемости. Устанавливается связь решения задачи быстродействия с решением задачи о построении эволюции волновых фронтов при конструировании эйконала. Приводятся результаты моделирования решений динамических задач быстродействия и задач геометрической оптики.

Изучается задача Дирихле для уравнения в частных производных первого порядка типа Гамильтона-Якоби

min (v, Du(x)) + 1 = 0, (1)

v:\\v\\^1

u|r = 0. (2)

Здесь x = (x,y) E К2, ||v|| = л/vf + vf — евклидова норма вектора v = (vi,Vf), Г — граница

замкнутого множества M С К2, Du(x) = (Jgx, — градпет функции u = u(x).

Минимаксное решение [1] задачи Дирихле (1)-(2) совпадает с функцией оптимального результата соответствующей задачи динамического быстродействия с круговой индикатрисой скоро-

M

M

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований 08-01-

00587-а, Программы государственной поддержки ведущих научных школ НШ-2640.2008.1 и федеральной программы Президиума РАН №29.

метод решения задачи, основанный на выделении биссектрисы краевого множества. Биссектриса относится к множествам симметрии [2]. Топологические особенности множеств симметрии изучались в [3]. С точки зрения теории дифференциальных игр [4-5] множества симметрии относятся в плоском случае к рассеивающим кривым.

Численно-аналитические подходы к конструированию множеств симметрии при изучении особенностей геометрии по существу невыпуклых множеств, при построении функции оптимального результата в задачах управления, а также при формировании эйконала в геометрической оптики, развивались в работах [6-10].

Приводятся результаты моделирования решений задач Дирихле, эволюции множеств управляемости, а также распространения волновых фронтов в среде с постоянным коэффициентом преломления.

Пример решения задачи быстродействия с круговой индикатрисой скоростей представлен на рис. 1. В качестве целевого множества М выбран подграфик функции

Г —7.5х4 — 13х3 - 4.5х2, х ^ 0,

I (Х) = <

| —6х4 + 5х3 — 3х2, х > 0.

Здесь Г обозначает границу множества М, Ь — множество симметрии, Ф — линии уровня функции оптимального результата и = и(х, у) с шагом Нр = 0.4. На множестве симметрии функция и = = и(х, у) теряет гладкость, ее линии уровня соответственно имеют изломы.

X

Рис. 1. ЛИТЕРАТУРА

1. Субботин А.И. Обобщенные решения уравнений в частных производных первого порядка. Перспективы динамической оптимизации. М.; Ижевск: Институт компьютерных технологий, 2003.

2. Арнольд В.И. Особенности каустик и волновых фронтов. М.: ФАЗИС, 1996.

3. Sedykh V.D. On the topology of symmetry sets of smooth submanifolds in Rk // Advanced Studies in Pure Mathematics, 2006. Vol. 43. Singularity Theory and Its Applications. Pp. 401-419

4. Айзекс P. Дифференциальные игры. М.: Мир, 1967. 479 с.

5. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974.

6. Успенский А.А., Ушаков В.Н., Фомин А.Н. a-множества и их свойства / Институт математики и механики УрО РАН. Екатеринбург, 2004. 62 с. Деп. в ВИНИТИ 02.04.04, № 543-В2004.

7. Успенский А.А., Лебедев П.Д. Аналитическое и численное конструирование функции оптимального результата для одного класса задач быстродействия / / Прикладная математика и информатика: труды факультета ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова, 2007. № 27. С. 65-79.

8. Успенский А.А., Лебедев П.Д. Геометрия и асимптотика волновых фронтов // Известия высших учебных заведений. 2008. № 3. С. 27-37.

9. Ушаков В.Н., Успенский А.А., Лебедев П.Д. Построение минимаксного решения уравнения типа эйконала // Труды Института математики и механики. 2008. Т. 14. №2. С.182-191.

10. Успенский А.А., Лебедев П.Д. Процедуры вычисления меры невыпуклости плоского множества // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2009. Т. 49. № 3. С. 431-440.

Abstract: method for construction of the optimal result function for boarder performance problem based on symmetry sets is searched; controllability sets levels are approximated using analytical and computing approaches; connection between the boarder performance problem and evolution of the waterfronts in eikonal problem is ascertained; modeling results dynamic and geometry optic problems are given.

Keywords: Minimax Solution Of the First Order PDE; Dirichlet Problem; Performance Problem; Symmetry Set; Eikonal.

Лебедев Павел Дмитриевич аспирант

Институт математики и механики УрО РАН Россия, Екатеринбург e-mail: [email protected]

Pavel Lebedev post-graduate student

Institute of Mathematics and Mechanics of UrD RAS

Russia, Ekaterinburg e-mail: [email protected]

Успенский Александр Александрович к. ф.-м. н., с. н. с.

Институт математики и механики УрО РАН Россия, Екатеринбург e-mail: [email protected]

Alexandr Uspenskiy

candidate of phys.-math. sciences, s. s. c. Institute of Mathematics and Mechanics of UrD RAS

Russia, Ekaterinburg e-mail: [email protected]