CC BY
13
УДК 621.45.01+533.9.07
Г.К. Бахмет, А.В. Лоян, Т.А.Максименко, В.А.Подгорный
Национальный аэрокосмический университет им. Н. Е. Жуковского
"ХАИ", Украина
ПОСТРОЕНИЕ РЕГРЕССИОННЫХ МОДЕЛЕЙ РАБОТЫ
СПД МАЛЫХ ТЯГ
Аннотация: Представлены результаты предварительных экспериментов по исследованию СПД малой тяги, обработанных методом наименьших квадратов. Полученные результаты позволили выбрать основные факторы, влияющие на работу СПД, выбрать интервалы варьирования этих факторов и построить план полного факторного эксперимента. Проведенный эксперимент по этому плану представлен построенной регрессионной моделью работы СПД. Результаты работы показали, что для исследования СПД можно использовать планы полных факторных экспериментов.
Математическая модель, метод наименьших квадратов, полный факторный эксперимент, разрядное напряжение, разрядный ток, расход рабочего тела, СПД, факторы
Вступление
В настоящее время существуют математические модели СПД средних тяг [1]. Актуальность создания СПД малых тяг (0.2Г), показала, что использовать существующие модели СПД для них проблематично. В настоящее время существуют только отдельные экспериментальные данные по влиянию различных факторов на рабочие процессы и характеристики СПД, что затрудняет построение надежной математической модели СПД.
чае: создание моделей на уровне дифференциальных и интегральных представлений физики процесса и второе направление и проведение факторного эксперимента по построению моделей черного ящика.
Объект исследования
Для эксперимента выбран стационарный плазменный двигателя (СПД), схема которого представлена на рис.1. Размеры двигателя представляли: в диаметре 40 мм; толщина 50 мм.
1. Анод-газораспределитель, через который подается инертный газ ксенон.
2. Кольцевой канал, ограниченный диэлектрическими стенками.
3. Магнитная система, обеспечивающая создание в объеме кольцевого канала магнитного поля с необходимой конфигурацией магнитных силовых линий.
4. Катод - нейтрализатор (создает группу электронов для обеспечения процесса ионизации и группу электронов (основную) для компенсации заряда ионной струи).
Схема электрических цепей СПД включала в себя источники питания: поджига катода, магнитной системы, анода, нейтрализатора, системы подачи рабочего дела.
Обоснование выбора отклика и факторов СПД
В общем виде математическую модель можно представить как:
F (Y, X ),
где F - нелинейный алгебраический оператор;
© Г.К. Бахмет, А.В. Лоян, Т.А.Максименко, В .А.Подгорный 2006 г.
Хе
Можно выделить два направления в этом слу-
у - отклик модели (выходной параметр);
X - факторы, влияющие на работу СПД (вектор независимых переменных).
Факторы, влияющие на работу СПД, можно представить двумя группами величин:
1. Величины конструктивные, которые связаны с изменением геометрии СПД;
2. Величины энергетические, которые определяются с помощью измерений определенных величин на стенде.
К первой группе можно отнести следующие геометрические параметры:
а) размеры анода;
б) размеры магнитной системы;
в) размеры канала.
Ко второй группе можно отнести:
1. Расход рабочего тела через двигатель т .
2. Разрядное напряжение ир.
3. Разрядный ток I .
4. Магнитное поле в .
Необходимо также отметить, что работа СПД характеризуется также: тягой, тяговым к.п.д., энергетической ценой тяги, импульсом. Все эти представления определяются геометрическими размерами, расходом рабочего тела, разрядным напря -жением и током. Эти величины представляют интерес с точки зрения оптимизации конструкции и в данной работе они не рассматривались.
Если рассматривать величины второй группы, то к факторам предположительно можно отнести:
1. Расход рабочего тела т , который обеспечивается анодом двигателя и нейтрализатором, что связано с двумя процессами:
а) с количеством образования в двигателе ионов за счет процессов ионизации;
б) количеством образования электронов, необходимых для получения квазинейтральной плазмы (процесса нейтрализации), обеспечивающей тягу двигателя.
2. Разрядное напряжение ир , которое обеспечивает создание разгонного потенциала для ускорения ионов двигателя до необходимой скорости.
3. Магнитное поле В. Для оценки магнитного поля можно использовать значение тока в катушке электромагнита, так как для магнитного поля выполняется зависимость:
в = к ■ 1т,
где к - коэффициент пропорциональности.
Следовательно, в качестве фактора, характеризующего магнитное поле, можно выбрать ток на
магнитной катушке 1т.
ЗАМЕЧАНИЕ. Для СПД сопротивление ионно-
плазменной среды является непостоянной величиной и связано в первую очередь с разрядным током и фактически с количеством ионов и электронов. Следовательно, возможно разрядный ток является показателем образовавшейся ионно-плаз-менной среды, а следовательно возможно и выходной величиной относительно энергетических показателей СПД.
Приведенные рассуждения позволили выбрать в качестве факторов:
- расход рабочего тела через двигатель т ;
- разрядное напряжение ир;
- ток в цепи обмотки электромагнита 1т .
В качестве выходной величины можно выбрать:
- разрядный ток I .
Предварительный эксперимент
Предварительные эксперименты связанны с построением:
1р = 1Р (т), 1Р = 1Р (ир), 1Р = 1Р (1т).
Их цель определить:
- возможности варьирования факторами;
- области линейности относительно выбранных параметров;
- достоверность полученных экспериментальных данных.
Экспериментальные данные аппроксимировались методом наименьших квадратов.
Диапазон значений каждого фактора в эксперименте представлен тремя уровнями (табл.1).
Таблица уровней факторов
Таблица 1
В предположении, что зависимости могут представлять собой кривые второго порядка, для их построения использовалось по 5 точек. Для проведения эксперимента повторяющиеся точки не мерялись. Всего замерялось 81 точка по три раза, то есть 243 точек. Если бы не использовался по-
иР 1Р т
1. Нижний уровень 180В 2А 0,25 мг/с
2. Средний уровень 240В ЗА 0,3 мг/с
3. Верхний уровень 300В 4А 0,35 мг/с
вторный результат, то нужно было бы мерить 135 по три раза, то есть всего 405 точек (в 1,7 раза меньше). Такой подход уменьшил время проведения эксперимента, хотя возможно и вносил определенные погрешности в построение зависимостей.
1БЗМ1727-0219 Вестник двигателестроения № 3/2006
- 171 -
При использовании метода наименьших квадратов анализ точности заключался в : оценке дисперсии коэффициентов регрессии и оценке дисперсии отклика, проверке значимости коэффициентов регрессии, проверке адекватности полученного уравнения путем построения доверительной области для отклика. Полученные результаты представлены в виде зависимостей разрядного тока от напряжения при определенном расходе и токе магнита. Кривые 1-го порядка имели вид: 1р02_20_1=0.064+0.000591ир 1р02_25_1=0.146+0.000224ир 1р02_30_1=0.101+0.000431ир 1р03_20_1=0.378-0.000204ир 1р03_25_1=0.218+0.00045бир 1р03_30_1=0.138+0.000792ир 1р04_20_1=0.152+0.000534ир 1р04_25_1=0.347+0.000419ир 1р04_30_1=0.25+0.000787и Кривые 2-го порядка записаны в идее: 1р02_20_2=-0.88+0.00902ир-0.0000187ир2 1р02_25_2=—0.612+0.00699ир-0.0000150ир2 1р02_30_2=-0.977+0.01ир-0.0000214ир2 1р03_20_2=-0.209+0.0013ир-0.00000334ир2 1р03_25_2=-0.522+0.0070бир-0.000014бир2 1р03_30_2=-0.283+0.00455ир-0.00000834ир2 1р04_20_2=-1.245+0.013ир-0.0000277ир2 1р04_25_2=-0.139+0.0047бир-0.00000962ир2 1р04_30_2=0.245+0.000824ир-0.0000000948ир2
В обозначении использовались определенные условности. Пример: 1р02_20_1. Это значит: т = 0,2 мг/с, 1т = 2,0А, зависимость линейная.
1р03_25_2. Это значит: т = 0,3 мг/с, 1т = 2,5А, зависимость квадратичная.
Анализ полученных зависимостей позволил сделать следующие выводы:
1. С увеличением расхода разрядный ток возрастает (рис. 2)
2. С увеличением расхода зависимость разрядного тока от напряжения приближается к линейной.
3. При расходах 0,4 мг/с рост магнитного поля приводит к росту разрядного тока (рис. 3).
4. При расходах 0,2-0,3 мг/с зависимость разрядного тока от магнитного поля более сложная.
5. При расходах больше 0,2 мг/с увеличение разрядного напряжения приводит к росту разрядного тока.
Рис. 2 Рис. 3
Результаты проведения полного факторно-
го эксперимента
Полученные результаты предварительного эксперимента позволили сымитировать проведение полного факторного эксперимента.
Модель многофакторного эксперимента строилась в зависимости от трех факторов:
1р04 20 2(ир) 0-1 1р04_2!_2(ир) 1р04 30 2(Пр) 0 ;
Цр
1р = 1р (т ир, 1т ).
Кодированные величины соответствовали: Значение факторов.
В кодированных факторах модель была определена в виде:
У = 0,318 + 0,014- х1 + 0,128- Х2 - 0,009- х3-
0,001- х1 ■ х2 + 0,002- х1 ■ х3 - 0,00975- х2 ■ х3 +
+0,00525- х1 ■ х2 ■ х3.
В некодированных величинах в заданных диа-
Обозначение
кодированной Наименование
величины
ир х1 Разрядное напряжение
т х2 Расход рабочего газа
1 т х3 Ток магнита
пазонах изменения факторов можно записать:
Значение факторов Up m 1m
Нижний уровень, гтт 200 0,2 2
Верхний уровень, 2 тах 250 0,4 3
Интервал варьирования, АИ 25 0,1 0.5
Основной уровень, 20 225 0,3 2,5
1Р = -0,939 + 0,00343 иР + 4,22 т +0,2881т -
0.0109 ^т - 0,0011 ир1т - 0,191 т + + 0,0042 ир 1т т .
Вывод
Результаты работы показали, что для исследования СПД можно использовать планы полных факторных (или дробных) экспериментов.
Данная работа проводилась в рамках проекта УНТЦ №1936.
Литература
1. Белан Н.В., Олендарев В.Д., Оранский А.И.
Физикоматематическая модель процессов в плазменных двигателях с азимутальным дрейфом электронов: Учеб. пособие. - Нац. аэрокосмический унт «Харьк. авиац. ин-т.», 2001. - 90 с. Гмурман В.Е.
Поступила в редакцию 25.05.2006 г.
Рецензент: канд. физ.-мат. наук Головченко А.В. Национальный аэрокосмический университет им. Н.Е. Жуковского "ХАИ", Харьков.
Анота^я: Представлено результати попередн1х експеримент1в по досл1дженню СПД ма-лих тяг, оброблених методом найменших квадрат'в. Одержанi результати дозволили вибрати основнi фактори, що впливають на роботу СПД, вибрати iнтервали змни цих факторiв та побудувати план повного факторного експерименту. Проведений експери-мент по цьому плану представлено побудованою регресйною моделлю роботи СПД. Результати роботи показали, що для дослiдження СПД можливе використання планiв по-вних факторних експериментiв.
Abstract: The antecedent experiment results of low thrust SPT investigation which was treated by least-squares method are shown. The findings allows make basic factors choice of influence on SPT working. The variation intervals of these factors are found. The full factor experiment plan is defined. The experiment is made according this plan. The regression model of SPT working is made and represented. The work results show that it is possible to use full factor experiment plans for SPT investigation.
ISSN 1727-0219 Вестник двигателестроения № 3/2006 — 17y —
