CC BY
92
УДК 621.87; 681.5
ПОСТРОЕНИЕ РЕГРЕССИОННОЙ МОДЕЛИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ЗАТРАТ РАБОЧЕГО ПРОЦЕССА ГРУЗОПОДЪЕМНОГО КРАНА
В.С. Щербаков, М.С. Корытов, С.В. Котькин
В статье рассматривается задача оценки энергозатрат при перемещении груза грузоподъемным краном. Получены регрессионные зависимости, позволяющие определить удельные затраты топлива при перемещении грузов по заданным траекториям, предложен критерий оценки энергозатрат траектории перемещения грузов
Ключевые слова: регрессионная модель, энергетические затраты, грузоподъёмный кран
Для обоснованного выбора технологических параметров при перемещении грузов грузоподъемными кранами (ГПК), а также конструктивных решений при проектировании ГПК и их элементов, необходимы критерии сравнения различных вариантов. Использование энергетических критериев оценки эффективности рабочего процесса ГПК позволяет снизить величину эксплуатационных расходов при перемещении грузов в сложноорганизованном трехмерном пространстве с препятствиями. Это обуславливает необходимость планирования траектории с использованием пространства конфигураций ГПК, т.е. пространства управляемых обобщенных координат.1
В среде МАТЬАБ - 8іши1іпк с использованием пакетов расширений 8іш8саре, 8ішМесЬапіс8, 8ішНу<ігаи1іс8, была разработана комплексная имитационная модель ГПК на автомобильном шасси с телескопической стрелой, включающая в себя подсистемы: механическую, гидравлического привода и двигателя внутреннего сгорания (ДВС) [1, 2, 3].
Положение и ориентация базового шасси ГПК в трехмерном пространстве задается шестью условно постоянными обобщенными координатами, обозначенными д1...д6. Кроме того, присутствуют четыре управляемые координаты рабочего оборудования, меняющие свои значения: угол поворота платформы д7, угол подъема стрелы д8, длина телескопического звена стрелы д9 и длина грузового каната д10. Значение угловых координат д7 и д8 задается в радианах, линейных д9 и д10 - в условных линейных единицах (УЛЕ). Моделирование рабочих процессов ГПК при помощи разработанной имитационной модели позволяет получить значения израсходо-
Щербаков Виталий Сергеевич - СибАДИ, д-р техн. наук, профессор, тел. (8-3812) 65-04-55
Корытов Михаил Сергеевич - СибАДИ, канд. техн. наук, доцент, тел. (8-3812) 65-03-18
Котькин Станислав Вячеславович - СибАДИ, аспирант, e-mail: kotkin.s@gmail.com
ванного ДВС топлива при перемещении грузов по заданным траекториям, с учетом всего комплекса динамических свойств подсистем.
Относительно большое время моделирования имитационной модели, и необходимость рассмотрения значительного числа различных вариантов перемещений при поиске оптимальной траектории перемещения груза в сложноорганизованном пространстве с препятствиями, затрудняют прямое практическое использование комплексной имитационной модели в режиме реального времени в задаче оптимизации траектории и обуславливают целесообразность построения на ее основе регрессионной модели определения энергетических затрат рабочего процесса ГПК.
В работе были получены уравнения регрессии удельных расходов топлива G7...G9, отнесенных к изменениям управляемых координат ГПК (единицы измерения л/рад для д7, д8, л/УЛЕ для д9, дю), при изменении управляемых координат д7 . д9, следующего вида:
^7... ^9=Ь]+Ь2• трр+Ьз• т^р д^+Ь^• д9• тГр+
+Ъб• д9• тгр +Ъ7• д9 +Ъ§• д9 • тГр+Ъ9• д9 • тГр +
+Ъю • д8+Ъц • д8 • Шрр+Ъ и • д« • тгр2+Ъ\з • д8 • д9+
+Ъ14 • д8 • д9 тГР+Ъ15 • д8 • д9 • тГР +Ъ16 д8 д9 + (^
+Ъ17 • д8 • д9 • тГР+Ъ 18 • д8 • д9 • тГР +Ъ19 • д8 +
+Ъ20 • д82 • тгр+Ъ21 • д82 • тгр2+Ъ22 • д82 • д9+
+Ъ23 • д82 • д9 • тгр+Ъ24 • д82 • д9 • тгр2+Ъ25 • д82 • д92+
+Ъ26 • д8 • д9 • тГР+Ъ27• д8 • д9 • тГР ,
где тГР - масса груза, перемещаемого ГПК; Ъ1. Ъ27 - коэффициенты уравнений регрессии.
Для этого был проведена серия вычислительных экспериментов на комплексной имитационной модели. В качестве предикторов, оказывающих влияние на удельный расход топлива G, выступали значения управляемых координат угла подъема стрелы д8, длины стрелы д9 и массы груза тГР. Было установлено, что начальные значения управляемых координат угла поворота платформы д7 и длины грузового каната д10 не являются значимыми при определении удельного расхода G, создаваемого всеми управляемыми координатами. В то же время, изменение ко-
ординат q7 и q10, как и двух других (q8 и q9) вызывает расход топлива. Принятие допущения о соблюдении принципа суперпозиции расхода топлива ДВС при сочетании движений по нескольким управляемым координатам q7...q10 одновременно, позволило получить три отдельных регрессионных уравнения вида (1) при изменении управляемых координат ГПК q7 - q9, и регрессионное уравнение вида (5) при изменении управляемой координаты q10.
Согласно разработанному плану, была сформирована выборка из 875 наблюдений (отдельных вычислительных экспериментов). Значения предикторов q8, q9 варьировались в следующих пределах, конструктивно заданных ограничений ГПК (автокран Ивановец КС-45717К-2 грузоподъемностью 25 т на базе КАМАЗ-65115): q8 е [0,26173; 1,309] рад; q9е [0; 12] УЛЕ. Значение предиктора тгр варьировалось в пределах [0; тгр max^ где тгр max =f q«, q9) -предельная масса поднимаемого груза в каждой точке положения оголовка стрелы, определяемая по диаграмме грузоподъемности ГПК.
По данным указанной диаграммы, методом нелинейной множественной регрессии с использованием программного продукта STATISTICA 8 (StatSoft, Inc), было получено в виде многочлена нелинейное уравнение регрессии предельной массы груза тгр max, соответствующей определенным значениям управляемых координат q8 и q9 (грузовысотная характеристика ГПК), имеющее вид:
тгр max= bx+b2 ■ q9+*3 ■ q9+b 4 ■ q8+^5 ■ q8 ■ q9+
+ b6' q8' q9 +b7 'q8 +b8' q8 ' q9+b9 'q8 'q9 +
3 3 3 3 3 (2)
+b10■ q8 +b11 ■ q9 + b12 ■ q8 ■ q9 +b13 ■ q8 ' q9+
+b14 ■ q8 ■ q93+ b15 ■ q82 ■ q93+b16 ■ q83 ■ q9. Максимальная относительная погрешность аппроксимации ^max определялась следующим образом:
^max max{ 100 ((тГР max)ИСТ i (3)
- (тгр max)PEr i ) / (тгр max)ИСТ i }, ie [1;25], где (тгр max)ИСТ - истинное значение предельной массы согласно диаграмме грузоподъемности; (тгр max)PEr - полученное по уравнению регрессии (2) для тех же значений предикторов q8 и q9 значение предельной массы.
Погрешность ^max уравнения (2) в рассматриваемом диапазоне изменения координат q8 и q9 составила 9,5 %. Значение критерия Фишера -F =472,15, превышает критическое значение из таблицы F-распределения с уровнем значимости 0,05 (2,99). Высокое значение коэффициента детерминации (R2=0,9973) указывает на хорошую объясняющую способность уравнения.
Внутри диапазонов
д8Е [0,26173; 1,309];
д9Е [0; 12]; (4)
тГрЕ [0; тГр тах]
все предикторы, оказывающих влияние на удельные расходы топлива G7...G10 по координатам, варьировались с шагом, делящим указанные диапазоны на 4 равные части (по 5 значений каждого предиктора, включая граничные). Для тГР величина шага в различных экспериментах была переменной, т.к. согласно (2) менялось значение тГР тах.
Таким образом, исследовалось всего 5-5-5=125 уникальных сочетаний значений предикторов д8, д9, тГР. Для каждого из 125 сочетаний в отдельном эксперименте моделировалось изменение одной из 4-х управляемых координат д7 . д10 с номинальной скоростью в течение 3-х секунд (промежуток времени между включением и выключением соответствующего гидропривода). Причем, моделировалось всего 125 наблюдений координаты д7, изменение которой не влияет на высоту груза (направление изменения д7 неважно с точки зрения расхода топлива), а для остальных управляемых координат (д8 . д10) - по 250 наблюдений (125 на подъем и 125 на опускание груза соответствующей координатой). Общее число наблюдений составило 125+250+250+250=875. В каждом отдельном эксперименте фиксировался удельный расход топлива G7...G10, вызванный изменением соответствующей управляемой координаты д7 . д10 соответственно.
Анализ полученных экспериментальных зависимостей G7...G10 показал, что они имеют существенно нелинейный характер по всем переменным-предикторам (д8, д9, тГР). Выбросы и ошибки в выборке отсутствовали, т.к. использовалась имитационная математическая модель и вычисления с двойной точностью.
Предварительно были получены данные о неадекватности линейной модели множественной регрессии удельных расходов топлива G7...G9 от предикторов. А также неадекватности нелинейных по переменным моделей, линеаризованных: полиномами сумм одночленов из одной независимой переменной до 2.4-й степеней включительно, логарифмическими и экспоненциальными функциями, (погрешность ^тах для всех перечисленных моделей составила свыше 40 %). Снижение размерности модели (уменьшение числа предикторов, либо их преобразование в меньшее число переменных) без существенного снижения точности регрессии также оказалось невозможным.
Было принято решение об использовании нелинейной множественной регрессии форму-
лой вида (1), которая представляет собой симметричный многочлен от 3 переменных-предикторов в степенях 0; 1; 2, в 27 всевозможных сочетаниях. Степень многочлена (1) по совокупности всех переменных - 6 [4]. Использовалась реализация алгоритма Левенберга - Мар-квардта в программном продукте 8ТАТКТ1СА 8 [5, 6, 7].
Уравнение регрессии удельного расхода горючего G10 при подъеме груза (л/УЛЕ), отнесенного к изменению управляемой координаты ГПК д10, имеет более простой вид, т.к. зависит только от одного из трех учитываемых предикторов - от массы груза тГР:
а10=(0,0644832+0,00000453877-тГР)2. (5)
Удельный расход горючего G10 при опускании груза (л/УЛЕ), отнесенный к изменению управляемой координаты ГПК д10, аппроксимируется аналогичной зависимостью:
аю=(0,0454509+0,00000278131-тгр)2. (6)
Вид данных зависимостей - параболический.
Анализ показателей качества уравнений множественной нелинейной регрессии величин G7 ... G9, аналогичных уравнению (1), и квадратичных уравнений вида (5) и (6) (табл. 1, 2) показал, что регрессия по уравнениям данного вида дает наилучшие результаты. Все коэффициенты уравнений регрессии величин 07 ... Gl0, согласно г-статистике Стьюдента, значимы. Максимальная относительная погрешность аппроксимации ^тах во всем рассматриваемом диапазоне изменения предикторов не превышает 3,4 % (см. табл. 1, 2, рис. 1).
Полученные регрессионные уравнения позволяют в наглядной форме в виде графических зависимостей представить удельные расходы топлива при изменении управляемых координат как функции значимых с точки зрения энергозатрат параметров технологического процесса ГПК: д8, д9, тГР (рис. 2).
В свою очередь, удельные расходы топлива, изменяющиеся в зависимости от текущих значений параметров технологического процесса д8, д9, тГР, и направления приращения, позволяют при перемещении груза ГПК по произвольной траектории в пространстве изменения управляемых координат д7...д10 интегрированием получить абсолютные значения расхода топлива для всей заданной траектории Ое, и оценить таким образом энергозатраты:
Gг=JG7(q8, <?9, т^й^^^, <?9, т„)йд8+
+^9(<?8, <?9, тгр)<^д9+^ю(тгр)<^дю.
Предложенные регрессионные уравнения определения энергетических затрат рабочего процесса ГПК позволяют получить значения из-
(7)
расходованного ДВС ГПК топлива при перемещении грузов по заданным траекториям, не прибегая к имитационному моделированию. Это открывает возможность использования разработанной регрессионной модели при поиске оптимальной траектории перемещения груза ГПК в сложноорганизованном пространстве с препятствиями.
УЛЕ тгр=2 50 кг
5 ■-Рсррс€с!1(“)нньгс графики
'6*1.5
(]?.■ рад
Рис. 1. Экспериментальные и регрессионные
зависимости удельного расхода О-, (пример)
\ 10
Gi, л/рад 24000 кг
а)
250 кг
1.5
q 8:р
CJ9, УЛЕ
1.8
1.4
1.2
Q 250 кз б)
О 6250 Г дэ=0 УЛЕ
КГ N
; ,,,<6?, л/рад
о о
24000 кг
кг
' шгр 250... .24000 кг
ф, рад it
Щ 0.4 0.6 OS 1 I.I 1.4 1.(Г
Рис. 2. Зависимости удельных расходов топлива, полученные по уравнениям регрессии на опускание груза при значениях тГР от 250 до 24000 кг (пример)
Литература
1. Корытов М. С. Моделирование рабочих движений автокрана при помощи SimMechanics и Virtual Reality Toolbox / М.С. Корытов, В. А. Глушец, С. А. Зырянова //
Exponenta Pro. Математика в приложениях. - 2004. - № 3. -4 (7 - S). - С. 94-102.
2. Корытов М.С. Модель гидропривода автокрана в Simulink / М.С. Корытов, Н.А. Гуровская // Общие и комплексные проблемы технических и прикладных наук: межвуз. сб. тр. молодых ученых, аспирантов и студентов. -Омск: Изд-во СибАДИ, 200б. - Вып. 3. Ч. 1. - С. 49-52.
3. Корытов М.С. Simulink-модель двигателя внутреннего сгорания грузоподъемного крана / М.С. Коры-тов,В.С. Щербаков, С.В. Котькин // Вестник Сибирского
отделения Академии военных наук, 2011. - № 10. - С. 393398.
4. Прасолов В.В. Многочлены. - М.: МЦНМО, 2003. - 336 с.
5. Гилл Ф. Практическая оптимизация: пер. с англ. / Ф. Гилл, У. Мюррей, М. Райт. - М.: Мир, 1985. - 509 с.
6. Халафян А.А. STATISTICA 6. Статистический анализ данных. - М.: Бином-Пресс, 2007. - 512 с.
7. Seber G.A.F Wild C.J. Nonlinear Regression. - New York: John Wiley and Sons, 1989. - 781 p.
Таблица 1
Значения показателей качества уравнений регрессии удельного расхода горючего G1 ... G10 при изменении управляемых координат ГПК д8 - д10, направленном на подъем груза
Показатель Координата
G7 Gs G9 G10
Коэффициент детерминации R2 0,996s 0,9998 0,9999 0,9994
Скорректированный коэффициент детерминации R 2 0,9959 0,9998 0,9999 0,9994
Критерий Фишера F 30305,6 123139,4 7351,1 413351,1
Сумма квадратов остатков RSS 3,0374-10-8 1,4812-10-6 4,0895-10-8 1,191310-6
Стандартная ошибка уравнения регрессии SEE 1,7б05 10-5 1,2294-10-4 2,0428-10-5 9,8818-10-5
Максимальная относительная погрешность аппроксимации ^max, % 2,82 2,1 2,89 3,32
Таблица 2
Значения показателей качества уравнений регрессии удельного расхода горючего G8 ... G10 при изменении управляемых координат ГПК д8 - д10, направленном на опускание груза
Показатель Координата
Gs G9 G10
Коэффициент детерминации R2 0,9976 0,9982 0,9914
Скорректированный коэффициент детерминации R 2 0,9971 0,9969 0,9914
Критерий Фишера F 227949,8 16243,4 528362,3
Сумма квадратов остатков RSS 2,4932-10-6 б,3847 10-7 3,9113-10-7
Стандартная ошибка уравнения регрессии SEE 3,5274-10-5 4,5627-10-5 б,3428 10-5
Максимальная относительная погрешность аппроксимации ^max, % 3,3548 2,93 2,14
Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия
BUILDING A REGRESSION MODEL FOR DETERMINING ENERGY EXPENDITURE
WORKING PROCESS CRANE
V.S. Shcherbakov, M.S. Korytov, S.V. Kotkin
The article is devoted to the problem of estimating energy expenditure in moving cargo cranes. Obtained regression model, which allows determining the energy expenditure for moving the cargo to the given trajectories and proposed the criterion for assessing energy expenditure
Key words: regression model, energy expenditure, crane
