Построение разностных схем второго порядка точности для задач диффузии-конвекции мультифракционных взвесей в прибрежных морских системах Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА COMPUTATIONAL MATHEMATICS

© ©

'Я) Check for updates

Оригинальное теоретическое исследование

УДК 519.6

https://doi.org/10.23947/2587-8999-2024-8-3-43-59

Построение разностных схем второго порядка точности для задач диффузии-конвекции мультифракционных взвесей в прибрежных морских системах

В.В. Сидорякина12

1 Донской государственный технический университет, г. Ростов-на-Дону, Российская Федерация

2 Таганрогский институт имени А.П. Чехова (филиал) РГЭУ (РИНХ), г. Таганрог, Российская Федерация [email protected]

Аннотация

Введение. Рассматривается начально-краевая задача транспорта мультифракционных взвесей применительно к прибрежным морским системам. Данная задача описывает процессы переноса и осаждения частиц взвеси, а также взаимный переход между её различными фракциями. С целью получения монотонных разностных схем для задач диффузии-конвекции взвесей целесообразно использовать разностные схемы, удовлетворяющие принципу максимума. При построении разностной схемы, для которой будет выполнен принцип максимума, желательно получить второй порядок аппроксимации по пространственной переменной как для внутренних, так и для граничных точек исследуемой области. Материалы и методы. Данная задача вызывает определенные трудности при рассмотрении границ геометрической области, для которых выполнены граничные условия второго и третьего рода. В этих случаях, чтобы сохранить второй порядок погрешности аппроксимации, вводится «расширенная» сетка (сетка, дополненная фиктивными узлами). Ориентиром служит аппроксимация указанных граничных условий по формуле центральных разностей и исключение из полученных выражений функций концентрации взвеси в фиктивном узле. Результаты исследования. Построены разностные схемы второго порядка точности для задачи диффузии-конвекции мультифракционных взвесей в прибрежных морских системах.

Обсуждение и заключение. Предложенные схемы не являются абсолютно стабильными и подробный анализ устойчивости и сходимости, связанный с отношением шагов сетки, является важной проблемой, которую автор планирует решать в будущем.

Ключевые слова: прибрежные морские системы, мультифракционная взвесь, задача диффузии-конвекции, разностная схема, погрешность аппроксимации

Финансирование. Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 23-21-00509, https://rscf.ru/project/23-21-00509

Для цитирования. Сидорякина В.В. Построение разностных схем второго порядка точности для задач диффузии-конвекции мультифракционных взвесей в прибрежных морских системах. Computational Mathematics and Information Technologies. 2024;8(3):43-59. https://doi.org/10.23947/2587-8999-2024-8-3-43-59

Construction of Second-Order Finite Difference Schemes for Diffusion-Convection Problems of Multifractional Suspensions in Coastal Marine Systems

1 Don State Technical University, 1, Gagarin Sq., Rostov-on-Don, Russian Federation

2 Taganrog Institute named after A.P. Chekhov (branch) of RSUE, Taganrog, Russian Federation [email protected]

Abstract

Introduction. This paper addresses an initial-boundary value problem for the transport of multifractional suspensions applied to coastal marine systems. This problem describes the processes of transport, deposition of suspension particles,

Original Theoretical Research

Valentina V. Sidoryakina12

© Сидорякина В.В., 2024

and the transitions between its various fractions. To obtain monotonic finite difference schemes for diffusion-convection problems of suspensions, it is advisable to use schemes that satisfy the maximum principle. When constructing a finite difference scheme that adheres to the maximum principle, it is desirable to achieve second-order spatial accuracy for both interior and boundary points of the domain under study.

Materials and Methods. This problem presents certain difficulties when considering the boundaries of the geometric domain, where boundary conditions of the second and third kinds are applied. In these cases, to maintain second-order approximation accuracy, an "extended" grid is introduced (a grid supplemented with fictitious nodes). The guideline is the approximation of the given boundary conditions using the central difference formula, with the exclusion of the concentration function at the fictitious node from the resulting expressions.

Results. Second-order accurate finite difference schemes for the diffusion-convection problem of multifractional suspensions in coastal marine systems are constructed.

Discussion and Conclusion. The proposed schemes are not absolutely stable, and a detailed analysis of stability and convergence, particularly concerning the grid step ratio, remains an important problem that the author plans to address in the future.

Keywords: coastal marine systems, multifractional suspension, diffusion-convection problem, difference scheme, approximation error

Funding information. The study was supported by the Russian Science Foundation grant no. 23-21-00509, https://rscf.ru/project/23-21-00509

For citation. Sidoryakina V.V Construction of Second-Order Finite Difference Schemes for Diffusion-Convection Problems of Multifract Suspensions in Coastal Marine Systems. Computational Mathematics and Information Technologies. 2024;8(3):43-59. https://doi.org/10.23947/2587-8999-2024-8-3-43-59

Введение. Взвешенное вещество (взвесь) является естественной частью морских систем. Изменения количественного и качественного состава взвеси могут структурировать ландшафт, негативно влиять на экологические сообщества и сократить срок службы инфраструктуры. Для решения данных проблем необходимо четкое понимание процессов транспортировки взвеси с учетом пространственных и временных изменений. Как правило, для этих целей прибегают к методам математического и численного моделирования [1-4].

В рамках данной статьи читателю предлагается ознакомиться с математической моделью транспортировки взвеси, основанной на трехмерном уравнении диффузии-конвекции. В ней учитываются многофракционный состав взвеси, скорость водного потока, гидравлическая крупность, сложная геометрия дна, ветровые напряжения, трение о дно и т. д. [5-8]. Особое внимание уделено аппроксимации предложенной модели во внутренних и граничных точках расчетной области. Предложенные методы позволяют построить разностную схему, аппроксимирующую рассматриваемую модель со вторым порядком точности относительно шагов пространственной сетки с учетом граничных условий второго и третьего рода. материалы и методы

1. Постановка задачи диффузии-конвекции мультифракционных взвесей. В прямоугольной декартовой системе координат Oxyz рассмотрим трехмерное уравнение диффузии-конвекции с использованием кососимме-трической формы представления оператора конвективного переноса [5-7]:

дсг+C0cr = Dcr + Fr, r =1,2,3, (x, y, z)eG, G={0 < x < Lx ,0 < y < Ly ,0 < z < b\;

dt y

r 1

^ s 2

dcr dcr dc d(ucr) d(vcr) d(w'c) u—+v—-+—+w. ' + v ' + v '

dx dy dz r dx dy dz

г дХ\',,'г дх) 5>\ ду ) дг (У^ дг

Е =(а2с2 (х У, ^ЬРлНУС

Е2 =(р1с1 (х, у, г,{]-а2е2 )+(азСз (х, у, )+у2с2,

Ез = (в2с2 (XУ,азсз)+Тзсз,

где сг, сг = сг (х,у,— концентрация частиц в момент времени t, t е [0; Т]; и, V, V — компоненты вектора и скорости водной среды; м>'г= w+— гидравлическая крупность частиц; — коэффициенты гори-

зонтальной и вертикальной диффузии частиц; ¥г — функция источника; агРг — коэффициенты, описывающие интенсивность превращения частиц одной фракции в другую, аг > 0, вг > 0 ; уг — мощность внешнего источника частиц. Здесь нижний индекс г указывает на принадлежность частицы к фракции под номером г. Уравнение (1) дополняется начальными условиями:

С (X,у, 2,0)= с 0 (х,у,2), (х,у,х)е.О; (2)

и граничными условиями:

- на боковых гранях параллелепипеда G:

с = сесли и- <0;

дс

—-=0, если и- >0;

дп "

( ыЙ — проекция вектора скорости на внешнюю нормаль п к границе, с' известные значения концентраций); - на верхнем основании параллелепипеда G:

^=0; dz

- на нижнем основании параллелепипеда G:

5^ 5z

(3)

(4)

(5)

(6)

Методами, изложенными в работе [9], выполнено преобразование с «запаздыванием» на временной сетке ют = пт,п = 0,1,...,N, Ы1 т=Т} и переход к новой системе координат ОхА 9е[0;1] по формулам:

о 2-П

0=^—> *0 = У в = У п

где h — глубина; п — высота свободной поверхности относительно свободной поверхности) [10]. Уравнение (1) преобразуется следующим образом:

дс"

+С0с" = Вс" + ^, г=1,2,3, ^ <,<,„,"=1,2,...,Ы,,

д,

(7)

C0c"r = -0 r 2

dc"r 5< , 1 dc"r d(uc"r ) d(vcn) 1 ö(w'rc:) u—^+v—+w--- +——'-+——'-+----'dx dy H 59 dx dy H 59

д

дсП ) д

Dc" 557J+дуГ ä?J+H^

дс

1 д

дС д9

(8)

F" =(a2C2-1 (x, yM^-W )+y"C", F =(ßi<-1 (x,y,9,t„-i)-a2c")+(азсП-1 (x,y,9,U-ß2c")+yC,

Е" =(Р2 с"-1 (х, уЛ^-азС? )+у3 сП. Начальные и граничные условия (2)-(6) соответствующим образом примут вид:

С(х,у,0,0)=с^, (х,у,0)еО,

с(х,у,0,^)=с";1 (х,у,0,Гп_1), п=2,...,Ы,, (х,у,0)еО;

СП = с', если и- <0;

г г? П 7

дс"

дп

-=0, если и- >0,

^=0; 50

дс"

- =-ZrCr .

д0 r r

(9)

(10) (11)

(12)

(13)

2. Разностная схема второго порядка точности для задачи диффузии-конвекции мультифракционных взвесей во внутренних узлах. Предположим существование непрерывных (ограниченных) частных производных четвертого порядка относительно пространственных переменных у, 9) для функций с"г, г =1,2,3 и непрерывных

д4с" д4с" д4с" д2с"

частных производных второго порядка относительно временной переменной ^ то есть -^-4-' "^¡4"' --

непрерывные и, следовательно, ограниченные функции для всех (х,у,В)еО, (п_1 <t<(п, п=1,...,. Также предпо-

f

ложим непрерывности частных производных второго порядка:

. д\г д\г 3%r du dv cnWjL

dx1 ' dy2 ' 502 ' . dx2' ây2' 50

Для аппроксимации задачи (8)-(13) используем сетки:

ю=юх хюу хю0, ю=юх хюу хю0,

Ю ={х: х=И; I=1,...,N-1; N-\)ИХ - -И) Ю ={у: У=А; ]=1,..., N-1; (^ -1)Иу - Ьу - Иу), ю0 ={0; 0= кИ0; к=1,..., N,-1; (Ж0-1)И0 -1-И0),

Юх ={х: х=¡Их; I=0,1,..., N; - ¿х}

Ю={у; У=л; ]=0,1,..., N; ^ - ¿у),

Ю0={0; 0=кИ0; к=0,1,..., Ж0; Ж0И0-1).

Далее при записи сеточных функций для е"г и Е" будет использоваться черта над ними. После введенных предположений приходим к аппроксимации уравнения (8):

сп (х, у. ,0к)-с:-1 (х-, У-А) - , ч

'У' к) Г ' к)+С& = Ос: + Р,г =1,2,3, (х,у.Д)ею, ^ейт, т

^=2И (и (х+, У Л С (х' +И, У> ^ Уи" (х, У> ^ (х - И, у А))+

(у" (.х, yJ + 0,5Ку Д )с" (х, уу + Иу ,0к )-у" (х, у -0,5Иу 0 )с" (х,, yJ - Иу 0))+

Я * --у^кС(х,,У] +Иу,0к)-у"(х.,У]-0,5Иу0)0"(х.у иу

+2н^ (<(х,,У] ,0к + О,5И0)с"(хх,У]0 + И0)-<(х,,У],0к-0,5К)с;(х,,у]0 -К)),

= 1К {х, + 0,5^,у] ,вк}(с; (х, + К,yJ ,0к)-сП (X,у А))-^г (х -0,5^,у ,вк)• (СП {х>, У] ,6к )-сП (х, -Их, у] ,0к )))+1 {х>, У] +0,5Ку ,0к )(сг" (х,, У] + Иу Д )-сг" (х,, у Д ))-(х,, У] -0,5Иу ,0к )(с? (х,, У] ,0к )-сП (х1, у] - Иу 0 )))+ 2 ( 1 (х1, У] 0 + 0,5Ив}

Н Vх',У])И0

(14)

•(СП (х,, У] ,0 к + И у? (х1, У] ,0 к ж, (х,, У] ,0 к -0,5И0 )(с; (х,, У] ,0 к )-с; (х,, У] ,0 к - И ))), =(а2с^-1{х, у^и-вс у НС, Р" =(в с"-1 (х, уАС, )-аС }+(аз^п-1 (х, уЫ^ )-Р2С? )+у2СГ, Р" =(в2С2"-1 (х, уАи-а£ )+У3 с".

Убедимся в том, что разностная схема (14) имеет второй порядок точности. С этой целью в уравнение (14) подставим точное решение е"г (х,у Дсг(х,у,,0к,(„), (х1,yj,9к)еО, (п еют, п=0,1,...,задачи (3)-(8) и покажем, что для погрешности аппроксимации

ч с" (х, у. А)-е"-1(х, у. ,еЛ , ч ч

Vй(х,уе)=- к) г к)-сс{х,у,ек)+Бс:(х,у,екуг:(х,ек) (15)

выполнено соотношение:

где И2 = И2х + И2у + И2д .

V(х,У; Д)=0(т+и2), п=0,1,...,Ы,, (16)

Представим разложение функции с"1 в ряд Тейлора относительно узла (х > У] ):

ч ч до"(х.,у.,0.,/) д2еп(х.,у.,0.,( )Т2

сП-1 (XУ,0. ,и)=о," (х. у,0. ,*я)- д,к 'я) ' 2+0(т3). (17)

С использованием соотношения (17) для первого слагаемого из левой части (15), находим:

< (x, yj A ,t„ )-c"-1 (x, y A ,Ci)_ 1

ч Г / ч дс" (xi,yf ,9, ,t")

en (x, y ,9k ,t")- c" (x, y ,9k ,t" )- д k' >T+

(18)

д2с" (x, yj ,9k ,t" ) ôt2 2

O(T3)

ôc" (x,, yj ,9k ,t" )

ôt

+0(t).

Для оценки погрешности аппроксимации оператора конвективного переноса из уравнения (15) используются

разложения с", и", V, м>'" в ряд Тейлора в окрестности узла (х,yj,9к,1п):

и/

ч dc"(x.,y.,9.) d2c"(x.,y.,9.)h2 , 34

c;(x ±hx,y, a)=c;(x,y. a)± ,k}h +-Axxrjdf+Oh\

С (x,y. ±hy ,9k)=c; (x,,y. ,9k)±-

dc; & ,y. ,9k)h /< (x, y ,9k)h

dy

dy2

2

k1 y +ofa%

с; [x,, y. ,9 k ± h9 )=c; (,, y. ,9 k ^^fe) h h2+0(h9),

un (x, + 0,5hx, yj ,9k )+u" (x -0,5hx, y ,9k )=lu" (x,, y ,9k )+O(h2x ),

/ \ / \ du"(x,, y,,9k) , ,4

u"(.x+ 0,5hx,y,,9k)-u"(x,,-0,5hx,y,,9k)= ' k,hx +O(hl),

v" (xt, yj + 0,5hy ,9k )+v" (xt, yj -0,5hy ,9k )=Iv" (x,, yj ,9k )+O(h2y ),

/ \ / \ dv"(x,y,,9k) , ,4

v"(x,,yj + 0,5hy,9k)-v"(x,yj-0,5hy,9k)= ' ^ k,hy +O(hy),

W (x,, yj ,9k +0,5И,)+w'r" (x, y. ,9k-0,5h)=l w'" (x, y ,9k )+O(h),

(x,.,y.,9k + 0,5h,)-W"(x,У.,0k= ^ (x,£jßk)he+O(hi).

w.

При подстановке в выражение (15) для С0с" соответствующих выражений (19)-(27), получаем:

,_1 du" (x, ,9k )

C c" - j k 2 dx

o-C" (x, yj ,9k )+u" +

dc"r {x,,yj ,9k) | 1 dv" (x,y. ,9k)

dx

2 dy

c" (x, У. ,9k )+v" (x, У. ,9k )•

(19)

(20)

(21) (22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

•dc"(x-,У,9k) + 1 ^"(х,y.,9k)c"(x y 9 (x y 9 )dC"(x,Уj9)+

dy 2H (x,,y. ) 59 Cr (x,yj ,9k)+H (x,,y. )Wr(x,yj ,9k) 59 +

+o(h2+hy+% ).

Для оценки погрешности аппроксимации оператора диффузионного переноса из уравнения (15) используются разложения с"г, г, г в ряд Тейлора в окрестности точки (х,У} ,9к):

c; (x, ± hx, y.. ,9 k )=c; (x,, y.. ,9 k )±-

dc;(xi,y.,9k)h +d2c"r (xi,y.,9k)h^53cr"(xi,y.,9k)h

dx

dx2

dx3 6

c; fa, y. ± hy ,9k )=c; (x, y. ,9k )±-

d^ix.)^ ,d2c;(x,,y.,9k)h2y +$c"r (x,,y.,9k)h

dy ~hy + dy2

9k hy3

dy

c; (x,, y. ,9k ± h)=c; (x,, y. ,9k )±-

dc;(xi,y.,9k). +d2c"r (xi,y.,9k)h\d^(x,,y.,9k)h{

h9 +

59 592 2 593 6

(x + 0,5hx,yj A(x -0,5h,yj ,9k)=^hrr (x,yj A)+0(h2x ), (x +0,5hx, yj ,9k (x -0,5hx, yj ,9k ^^AdMll K +0$ ),

o(k ),

OK ^

ю(н: ),

^ (x, yj +0,5hy ,9k (x, yj -0,5hy ,9k )=l (x,, yj ,9k )+0(h2y )

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

x

x

+

2

2

2

6

^ (x y + 0,5 hy (x, yj -0,5hy Д ^ ^ A \y +O(h% (35)

^ (x, yj A + 0,5^)+^, (x, ,6, -0,5h)=(x, yj ,6, )+O(h0), (36)

(x,yj A +o,5h)-^ (x,yj Д -о,5К)=д^,г (yj ,9k\ +O(h03). (37)

При подстановке в выражение для Dc"r соответствующих выражений из равенств (29)-(37), получаем:

Dc„ Ы,9k)(x^,9k) + , ,y ,9/< (x^j,9k) Фк,(x.Уя9k)(x^,9k)+

r dx dx ' ' p dx2 dy dy

+u (x y 9 (x,^ 9k) + 1 {dHy (x., yj ,9k Щ (x, yj ,9k)+u (x y9) +Hv (x', yj ,9k)—dy—+H^) [-39--d9—(x', yj ,9k y

X ^+*+к).

(38)

5Г

Из равенств (18), (28) и (38) следует, что общий порядок погрешности аппроксимации разностной схемы (14) в узлах сетки ютхю равен 0(т+И2), И2 = И2 + И2 +И .

Отметим, что начальное условие (9) задаётся на сетке ют хю точно.

3. Разностная схема второго порядка точности для задачи диффузии-конвекции мультифракци-онных взвесей в граничных узлах. Будем предполагать существование и непрерывность производных

с4е" д4е" д4е" 32е" . _ . д2ы д2у д2w'

—---------г- г = 1,2,3, а также непрерывности частных производных второго порядка: —- —- —^,

дх4' ду4' дв4' д?' дх ду де2'

дХг дЧ,г 9\,г

дх2 ' ду2 ' д92

Дополнительно считаем, что существуют и непрерывны смешанные частные производные:

д2с"г д2е"г д2е"г д4е"г д4е"г д4е"г д4е"г д4е"г д4е"г д4е"г д4е"г д4е"г

dxdt dydt dddidtdX'dtdy3'dtdQ3' dydX' DQdx3 dxdy3' DQdy3 dxdQ3' dydQ3

35c"r cfc"r &cnr &cnr &cnr &cnr

dy2dx3' 3Q2dx3 dx2dy3 DQ2dy3 dx23Q3 dy2DQ3' d\r r d2^r d\,r d2vn d2vn d2vn d2vn d2w'n d2w'r" d2w'r" d2w';

дхду дхдв дудх двдх дудв дхду двду дудх дудв дхдв дудв двдх двду Будем считать, что выполнены условия:

-^*^ -к» -Т~(39)

Му ПУ

к11, К2>к21> К2> ^31, к32 — некоторые положительные константы.

Для аппроксимации граничных условий введём расширенную сетку:

го+={(х, yJ ,9к ),/ = -1,0,..., +1, ]=-1,0,..., Ыу +1,к=-1,0,..., N,+1,

х = ¡Их; у=А ;9к = кИ; КК = ¿х; = ¿У; =1}.

Для узлов сетки ю+ \ю значения компонент вектора скорости предполагается равным нулю:

С(х,у ,9к)=0, если (х,у,,9к)ею+ \й . (40)

Кроме того, будем считать известными значения компонент вектора скоростей водной среды и гидравлической крупности частиц взвеси в узлах сетки ю+ \ю с дробными значениями индексов: и"(-0,5^,у],6к), и"(Ьх + 0,5кх,у ,6к), V" (х ,-0,5ку ,9к), V" (х, ьу + 0,5ИУ ,0^) и < (х, у, ,-0,5Ae), < (х, у, ,1+0,5Ае). Х' х

Граничные условия (10) аппроксимируются следующим образом:

\еП (0, y¡ ,9к)=с'г, если ип (0,5^, y¡ Д )+ии (-0.5А,, у3 Д) > 0,

1 (41)

С (к,У ,9к)=с', если ип (Ьх -0,5hx,у] ,0к)+и" (L:t + 0,5^,у] Д) <0, ^,у. Д )ею+;

С (х ,0,0к )=с, если Vй (х ,0,5ку 0 )+у" (х ,-0,5Иу ,0к) > 0,

[С(х1,Ьу,0к)=с', если V(х1 ,Ly-0^у,0к)+ у"(х1,Ьу + 0^,0к)<0, (х1,у 0)ею+.

В случае потоков на боковых гранях области G, совпадающих по направлению с внешними нормалями к граням, т. е. при выполнении условий

ы" (0,5/, у ,9, )+ы" (-0,5/, у ,ек )< 0, ы"(Ьх-0,5/,у ,9,)+ы"(Ьх + 0,5/,у ,9,)>0, (х,,у,9к)ею+;

V" (х, ,0,5/ ,9,)+V" (х, ,-0,5/ ,9к )< 0, V"(х1,1у-0,5/,9,)+V"(х,, 1у + 0,5/,9,)>0, (х,,У],9к)

lea

имеют место граничные условия Неймана.

Перейдём к построению разностной схемы для случая, когда выполнено условие (11). При х. = 0 условие (11) равносильно следующему:

дсп (0,у А) _

дх

На сетке ю+ узел является внутренним (рис. 1).

x , = —h

x = 0

-=0.

x, = h

1 x

x. = 2h

2 x

►-1 0,5 h x \-Я о,5 h x

Ч X

h

Рис. 1. Построение расширенной сетки на левом конце отрезка 0 < х < 1,х Разностная схема в узлах (0,у^ ,9к) запишется в виде:

^(°-у А К-1 (°-у, А)+и {0,5К, у Л )с: {К, у Л уи* (_0,5К, у Л у, , у Л))+

+^V у, + 0,5К ,е*С у- + К А(о,у, -°5ку ,е4(о,у, -/ ,е4))+2н(01 у ^ ■

(w (о, у A +0,5/)c" (0, y ,9k + /)-w'r" (0, y ,9k -0,5/)c; (0, y ßk - /))=Кг (^ (0,5/, y А ) (cn (/, У ,0k H" (0, у ,0k (-0,5h, у ,0, )(c; (0, У ,0k )-cn (-/, у Д )))+1 ■

hy

К (0, y + 0,5/ ,9k )(cr" (0, y + hy ,9k )-c; (0, y ,9k ))-ц„, (0, y -0,5h, A )(c" (0, y А )-

(42)

(43)

(44)

-с; (о,у -/ ,9к))+¿фщ(о,у А+0,5/^; (о,у д+/)-с; (о,у д))-

(0,У ,9к-0,5/)(с; (0,у ,9к)-с" (0,у ,9к -/)))+^,

(о,у ,9к)ею+, г =1,2,3,;=1,...,Ж,.

В своих рассуждениях ориентируемся на аппроксимацию рассматриваемого граничного условия по формуле центральных разностей и исключение из полученного выражения и уравнения (44) значений в фиктивном узле (-Нх,у],вк). Функции с"(-Их,у},Вк) будут входить в в^1ражения:

^ (п" {°,5Их, у ,9к )а; (Их, у ,0, )-п" {-0,5Их, у ,0, (-Их, у ,0, ))

о

x

¿- к (0,5^, У А )(с; (Их, у, А )-с" (0, у а (-0,5Их, у Д )(с" (0, у а к (-К, у} А)),

которые мы соответственно обозначим как С0с^_о и БеГ Условие (43) запишем в виде:

с (К,у, Д)-? (-Их,у, А) _

2Их

=0 (45)

и из него получим:

с (-Их ,у, ,9к) = сг (Их

с; (-К, у, А)=с; (Их,у, ,9 к). (46)

Подставляя полученное по формуле (46) значение с"(-Их,у, А) в выражение для С0с"| о , находим:

С0сг"1= (о,5И ,у А)-и" (-о,5Их ,у Ар; (Их ,у д). (47)

Предварительные выкладки показали, что при использовании равенства (45) погрешность аппроксимация выражения для С0с"| будет О(И2), а выражения для Бе^ =о — О(Их) Чтобы получить общий порядок погрешности

аппроксимации О(И2) разностной схемы, для оператора БС^ будет предложен иной подход. При разложении функций с"г (+Их,у, Д) в ряд Тейлора в окрестности точки (0,у Д) получаем:

(48)

ч / ч дс" (0,у, Д) д2с" (0,у1 Д)И2 дс" (0,у, Д)И3

<(±И,у, А)=с:(ау, Ак + к}\± д,/, т-

^■"(ъ ,, а \;„4

,д4с: (о у, А) и:

4 -+0(И5). дх4 24 1 х/

При использовании соотношения (48) выпишем в явном виде главный член невязки:

(К, у, А К (-К, у, А) _д< (0, у, А) + ^ (о, у, а ) и[+0(и4 ) 2Их дх дх3 6 ^ х''

^ дс" (0, у. ,0.)

Последнее выражение с учётом условия —^—1—^=0 может быть записано в виде:

дх

с К, у, ,9к К (-К, у, А )_ И2 д3с(0, у, ,0к ) + ^ ). (49)

И2 д3 ^г__

2И 6 дх

X _

.3

С помощью равенства (49) найдем значение функции с"1 в фиктивном узле (-Их,у,0) из выражения:

у (-Их, )_ с: (Их, у, ,0к)-Из ^Щу0-+о(и;)- <50>

Дальнейшие рассуждения будут направлены на аппроксимацию производной

дС (0, у. А)

дх3

Обе части уравнения (8) продифференцируем по переменной х и из полученного равенства выразим произво

дС гг п дс"г (0,у.,0к)

дную —- . Далее здесь перейдем к пределу при х ^ 0 и учитывая, что —^ 1—И=0, находим:

дх3 дх

дЧ" (0, У; А )__1

дХ ^ (0, У; ,Ак )

д2< (0,У; ,0к)+и„ (0,у , ^ (0,У ,Ак) д< (0,У ,0к) +

дхд1 дх дх ду

;(0 у 0 )д2<(0,У,Ак), 1 а<(0,уА)дс;(0,уА), 1 ^(0 у 0 )д<(0уА),

^ к' дхду Н(0,у) дх д0 Н(0,у;) гУ к' дхдА

1 д ип (0,у1 Д) . . 1 д у" (0,у1,0.) . . 1 д2м>'" (0,у 1,0.) .

^-V с"(0,у ,,0.-\2hUd^(0,у .,0.)+-^---к'ап(0,у .,0.)-

2 дх2 ^ ' 2 дхду Л'*.'") 2Н (0, у,) дхд0 Л ,У>' к'

(0,у] ,0.)д2с" (0,у] ,0.) дц„, (0,у] ,0.)д2с" (0,у ,0.) 0 ) д3с"

дх дх2 дх ду2 '•Г]' дхду2 н2 (0,у.)

х =0

d\r (0,y ,9,) de: (0,y ,9k)52< (0,y ,9,) + 5^ (0,y ,9,) 52< (0,y ,9,)+

5x59

59

59

+ (0 9 А"(0,y ,9k)Х

+ K,r (0,yj ,9k)-—-

5x592

5x59 5x

r =1,2,3, (0, yj ,9k )eG.

592

Очевидным образом, здесь выполнено равенство:

dF (0, у А )_дЕ? (0, у ,9k )_ÔF3" (0, у ,9k )

дх

дх

дх

=0.

Для удобства восприятия текста читателем, аппроксимацию выражения в прямых скобках из правой части выражения (51) проведем для каждого слагаемого отдельно. Изначально отметим, что для коэффициента 1

(0, yj ,6k )

стоящего перед данной скобкой, используем выражение:

1

2

h,, (0,у ,9k) (0,5Й, ,Уу ,9kК, (-0,5h ,Уу ,9k)'

Рассмотрим производную

54" (0, y ,9k )

dxdt

. Для неё имеем:

34"(0,y,9k)_ 1 (да:(h,y,9kt) dc"r (-hx,yД^f

dxdt 2h

dt

dt

-Щ )-2h •

4(hx,y ,9k,t„ +т)-сП(hx,y,9k,tn-t) 4(-hx,yj,9k,tn +т)-СГп (-hx,y ,9k,tn -т) ^

2t

2t

-+0(т2 )

+0h )=2h

(4r (h,y,9k,tn +т)-СГ"(-hx,yj,9k,f +t) 4(h„,y,9k,f -t)-C(-hx,yj,9k,f -т)

2 h

2 h

2h

1 0(t2 )+O(h ).

Используя равенство (50), могут быть записаны соотношения:

С(h,yj,0kЛ ±т)-4(-К,у ,0,t ±т)_h2 d3c"r (0,y,9k,tn ±т)

2hx 6

С помощью равенства (54) преобразуем равенство (53):

dxi

д2с^_ 1 h2 (0,y. ,9k ^ +T) (0,y. ,9k ^-T)

dxdt 2t 6

dxi

dx3

é 0(t2 )+°(h2 )■

2h

ч d'à"(0,y.,9k,t ±t)

Введя обозначение ф(0,ys,9k,tn ±т)=————-—-, последнее равенство запишем в виде:

dxs

(52)

(53)

(54)

d4=£

dxdt 6

52< h fф(0, yj ,9k t +т)-д>(0, yj ,9k ,t„-t)

\

2t

"2h°(T2 )+0(h2 )

Откуда следует:

^2 n j 2

д 4 = К

dxdt 6

(55)

В соответствии с условием Куранта [11] величина т ограничена и можем считать выполнимым равенство:

^ 0(т2 )=O(hx ). С учётом

сказанного, имеем:

dCL* MjO+0(hx ).

dxdt 6

dt

(56)

+

+

Учитывая соотношение (56) при ограниченности производной

д2сп (0, у1 ,0.)

стью до О(Их) выражение --—-—- равно нулю.

др(0, У А Л ±т) _де" (0, у- Д ,1п ±т)

дГдх3

с точно-

дхд1

Далее покажем, что производная

в ноль.

К

дЧ (0, у.,0. )

дхду2

при аппроксимации с погрешностью О(И ) также обращаются

С учетом неравенства к11 <—<к12 из (39), имеем:

К

я3„ "I

д3с"(0,у,,вк)_ 1 (д2с"(Их,у,,0к) д2с:(-Их,у,,0ку

дхду

2И

ду2

ду2

°(И2 )=

с и , у, + Иу ,0к )-2с и , у, ,0к )+с: и , у, -иу д у

2К

иу^ 2с"(Их,у,,0к)+с"(их,

г„2

у

с" (-Их, у, + Иу ,0к)-2с" (-Их, у, ,0к)+с" (-Их, у, -Иу ,0к)

И2

) +°(К )=

1 (с;И,у, + Иуд)-с;(-нх,у,+Иуд) с;(и,у,д)-с;(-их,у,д)+

--2--г

2Их 2Их

| с"(Их,у, -Иу,9к)-с"(-Их,у, -Иу,9к

2 И

^о(К )+°(И2 )=

(57)

1 (Их, у, + Иу Д )-с" (-Их, у, + Иу ,9 к) с" (Их, у, ,9к )-? (-Их, у, ,9к)+ --2--+

2И

2И

с: (Их, у, -Иу ,9 к )-€? (-Их, у, -Иу ,9 к)

2Их

На основе равенства (57), может быть записано соотношение:

ьо(К + Иу).

с"(Их,у,±Иу Д)-с:(-Их,у, ±Иу,9к)_И2 Яс"(0,у, ±Иу Д)

2 И

6

дх3

Используя равенства (58), преобразуем соотношение (57):

дс" (0,у] ,0к)_ 1 Их2 (д3с" (0,уЛ + Иу ,0к) (0,у, ,0к) | д3с" (0,у, -Иу Д) -----2--1--

дхду

и; 6

дх3

дх3

дх3

Ю(И2 + Иу).

(58)

гг (п ±ь а ) дЧ" (0,у, ±Иу Д) д ) д3с" (0,у, Д)

Пусть ф(0, у, ± Иу Д )=-¿у——, Ф(0, у] ) =-ъг*— . Тогда последнее равенство может быть запи-

сано в виде:

дх3

д3с" (0, у, ,9 к)_ И2 ( ф(0, у, + Иу к)-2Ф(0, у, Д )+ф(0, у, - Иу Д)

дхду2

Из равенства (59) следует:

Ю(И2х + Иу).

(59)

д с?(0,у,,9к)_И2х (52ф(0,у,,9к)

Л

дхду2 6

Последнее равенство можно преобразовать к виду:

дс"(0,у, Д)_и2х 52ф(0,у,,9к)

ду2 +Щ )1+°(и2 + иу).

дхду2 6 ду2

Учитывая соотношение (60) при ограниченности производной

+О(Их).

дЦо..) зЧ(о,уА)

дЧ" (0, у. ,0. ) выражение —^^—К_± равно нулю.

дхду2

ду2

ду дх

(60)

с точностью до О(И )

1

+

И

у

2

И

6

У

~ с"Iй,У ■ ^к

Проводя аналогичные рассуждения для производных —^—■

дхдв2

^ ("• У] А) д2с"г (0,yj ,9k) дсП (0,,9k)

можно легко

дхду дхд0

убедиться, что при выполнении неравенств из (40), с точностью до О(кх) эти производные равны нулю.

д2с"г (0,у ,0к)

Обратимся к производной -о^— . Имеем:

34" (0, У, ,9k )_ 4" (hx, y. ,9k )-2сГ (0, y. ,9k )+4" (-hx, Д )

~O{h2x ).

_ ...... . (61)

дх2 к2х

В последнем равенстве значение функции с" в фиктивном узле ,У],9к) будет заменено с помощью выражения (50). Получаем

д2< (0, y. ,6k )_ 1

дх2

h дгс"

4 h У ,6k)-2с" (0,y. ,6k)+ с" (hx ,y ,6k)--х r

h3 cÇ (0, y. ,6k )+ 3 дх3

Oh )

Y\

Ok )=1 (24 (hx, У, А )-4" ^ yj ,6k ))-3 ЩуЩ+о-)

или

дЧ" (Q,y ,9k) _ 2 (_" (h 9 ) _" (0 9 )) hx $0" (0,у ,9k) Sx2 = Ф (hx,У 9)-_ (0,y ,9k))- 3" &3 ■

(62)

Слагаемые и"

из равенства (51), включающие множителем

д2с" (0, у ,9k )

дх2

(0 у 0 (0,У.,0*) и (0,У,А)д2с"у,9к)

1 я дх2 дх дх2

с использованием соотношения (62), аппроксимируются выражениями:

" (°У, ,0к=(0,5К,у ,9к(-ОМх,у ,9к|С (Ьх,у ,9кК (0,у ,9,))-

К дЧ" (0, У, ,0к)'

3 дх

(63)

дНу (0,yj А)дЧ" (0,yj AL 1 ( й) й)/ 2 (-п (, й)

——дг = h (0,5hx, yj ,0k (-0,5hx, y ,9k (_r (hx, y ,9k)-

-_n (0, yj ,0k ))-

h d4" (0, yj ,0k )'

3 Sx3

„ д2а"г (0,у,. ,0к)

При аппроксимации производной --—-—- , получаем:

дУ

ддс"г (0, у А )_ еГг (0, у + ку ,9к )-2С;" (0, у Д )+С" (0, у - ку ,9к )

ду

К

OK ).

(64)

(65)

. (0, у, ,9 к )д2с" (0, у, ,9к )

Аппроксимируя слагаемое--—-—---—тт—- из равенства (51), включающее множителем

дх ду

с использованием соотношения (65), получаем:

дИу ("• У А с" (0, Уj ,9к ^ 1 , , , , ,

—^—-—ду2—= (0,5к • Уj к(-0,Я,Уj ,9кЖс(0,Уj + ку Ак-

-2с"г (0, у ,9 к )+с? (0, у -ку ,9 к к). Аппроксимация вида (66) выполнена с точностью 0(к). В самом деле, не сложно убедиться:

с" (о,у + ку ,9к)-2С" (о,у ,9кК (о,у -К ,9к) = дЧ" ,9к)К +0(1$,

^ (0,5кх, у ,9к (-0,5кх, у ,9к кх +0(к3).

д2с"г (0,у А) ду2 ;

(66)

(67)

(68)

+

h

x

u

С учётом равенств (67), (68) для соотношения (66), получаем:

Фи,(0,у,А)д2с"(О,у,,9к) 1 (ф,,(О,у,Л),,

дх

ду1

ИК V

дх Их+О(Их)

ду2

К +°(К)

у, ,9к ) д2с" у, ,9к ) +°(К}.

(69)

дх

ду2

„ д2е"г (0,у ,0,)

При аппроксимации производной -^—-, получаем:

дЧ(0УЛ)_ С (0, у А + К)-2с; (0, у ,0 к )+с; (0, у ,0к - к) J

д02

о(к).

(70)

Тогда для слагаемого 2/ \ ^

=2^ .. п \ Н (0-У) дх

1 У} .9, )д2еП (О.У} Д )

---2- из равенства (51), включающего множителем

дЧ" (0, у ,0, )

д92

д02

находим:

1 фу, (ауЛ^Ч^у.Д) _ 1 ( ( э) ( э)) (71) -дх--дэ2 = их н2 (о, у (0,Ъ,У',*')-»" (-0М,уЛ)> (71)

Погрешность аппроксимации выражения самом деле, с учётом равенства

■С (о, у д + х)-2с" (о, у д)+с" (о, у д - х)).

1 д^,(0-У}.9,)д2е"г (0-уД)

Н2 (0-у ) дх

д92

с; (0, у ,0 к + к )-2с; (0, yJ ,0 к)+с; (о, у ,0 к - к )_ 2дс ду,0 к) £+о(к )

соотношением (71), есть 0(Их). В

(72)

2

получаем:

1 д^ (0, у Д )дЧ (0, у Д )_

Н2 (0, у) дх

д92

КК Н2 (0, у )

дц„, (0, у ,9 к)

дх

К+0$)

^(0, у-,9') к+

д92

(73)

+0(кз)|=дьк,(0,у А)д:^0^+0(Кх).

дх

д92

деп (0, у. ,0,)

Далее рассмотрим производную —^—-—^. При её аппроксимации центральными разностями получаем:

ду

д< (0, у ,0 к)_ с; (о, у+ку ,0 к )-с; (о, yJ -иу ,0 к)

ду

2к,

(74)

ду"(0,У;,0к)де:(0,У;,0к) ^ деП (0, у.,0,) Тогда для слагаемого -^—--^—- из равенства (51), включающего множителем --—-—-

ходим:

дх ду

ду"(0,у Д)дс" (0,у ДУ 1

ду

на-

2КК

(у" (0,5кх, у, ,9к )-у" (-0,5кх, у, ,9к ))(с" (0, у + ку Д )-

(75)

дх ду

-с" (0у, -ку ,9к)).

Здесь

ду" (0, у ,0, ) _ V" (0,5кх, у. ,0, )-у" (-0.5А,, у ,0, )

дх кх

Несложно убедиться, что погрешность аппроксимации для выражения соотношением (75), есть 0(кУ) и имеет место равенство:

+0{к2х ).

д^ (0, у ,0к ) дсП (0, у ,0к )

(76)

дх

^ УА) д< УА)=_±_№ У А) +т

ду 2кхк I дх х х

дх

дУ

\

выполненная

^ дс:(0,у,.,0,) . 3Ч

2 г Уду }к+0(к)

54

=дс? (0, у. Д )+о(к1).

дх

ду

1

„ д< (0,у,. ,0к)

При аппроксимации производной --—-—'- , получаем:

д0

дс" (0, у ,9к )=С" (0, у ,9к + к)-д" (0, у ,9 к - к

д9

21h

Oh2).

Тогда для слагаемых

1 Öw'r"(0,у.,9,)д< (0,у.,9k) 1 (0,yj,Qk)dc"r(0,yj,Qk)

H (0,у.) дх

д9

H2 (0, yj ) 5x59

59

(78)

из равенства (51)

д< (0, у.. ,0к )

включающих множителем --—-—- , находим:

д0

1 (0,у. д) д< (0,У А) _

Я(0,у) дх

59 2//И (0,y)

(С (0, y ,9k + /)-c" (0, y ,9k - h)); 1 (0, y ,9k )5< (0, y ,9k ^_1

(w'r" (0,5hx, yj ,9k )-w'r" (-0.5hx, yj ,9k ))•

(79)

H2 (0,y) 5x59 59 "2//2H2 (0,y)^ ^ y ,9k +0,5h)-

(-0,5/, y ,9k + 0,5/))-« (0,5/, y ,9k-0,5/)-^r (-0,5/, y ,9k-0,5/))]-(c; (0, y. ,9k + /)-c; (0, yj ,9k - /)).

(80)

Здесь при записи соотношений (79), (80) использовались равенства:

У (0, у ,е к ) = < (0,5кх, у ,9 к )-< (-0,5кх, у ,9 к ) _ дх к

Щ ),

(81)

34, (0,y ,9к )_ 1 f br (0,5hx ,y. ,9k + 0,5йе)-^ (-0,5kx, y ,9k + 0,5/)

5x59 k9 ^ kx

^ (0,5kx, y ,9k -0,5^)-^ (-0,5kx, y ,9k - 0,5/9)

k

t O(k )+O(k ).

(82)

k

кв

С учётом неравенства % ~к 22 из (39) можем утверждать, что аппроксимация вида (80) выполнена с по-

грешностью 0(к).

При аппроксимации с"г (0,у.,9к), заменяем её на сеточный аналог с"г у, Д).

Тогда для слагаемых

1дУ (0, yj ,9k )

2 дх2

k'c"

" (0, у ,0, ),

включающих множителем с(0, у] ,9к), находим:

1 дУ (0, y. А )

2 дхду

к,< (0, y ,9к ) и 2H (0, у ) ' дхд9

1 д2 < (0, у ,9k )

k'c"

(0, у ,9k ),

1 d2un(0, y ,9k) ,

H* СП (0, У ,9k )s

(un (0,5kx, y ,9k )-2un (0, y ,9k )+un (-0,5kx, y ,9k ))•

0,5 k2x H (0, y )

< (0, y ,9k );

152v" (0, y. ,9k ) , ч 1 г/ / ч / чч

(0, y. ,9k )= щ; № (0,5hx, y+0,5h ,9k )-v" (-0,5h, y.+0,5h ,9k ))-

(83)

-(v (0,5kx, y. -0,5/,9k )-vn (-0,5/, y. -0,5/,9k ))]ç"(0, y. ,9k ).

1 d2w'r" (0, yj ,9k )

2И (0,y) 5x59

< (0, У ,9k ) =

2hxh9 И (0, yj )

[« (0,5hx, y,9k + 0,5/)-

(84)

-(< (-0,5hx, y. ,9k +0,5/))« (0,5/, yj ,9k -0,5/)-< (-0,5/, y. ,9k -0,5/))]c" (0, y. ,9k ).

1

1

1

Очевидно, что выражение (83) получено с точностью 0(И2х). При записи соотношений (84) и (85) использовались равенства:

д2у" (0, у. А )=1 (V" (0,5кх, у. + 0,5ку ,0, )-у" (-0,5кх, у. + 0,5ку ,0к ) _ дхдУ ку \ кх

(86)

у" (0,5кх, у. -0,5ку ,0, )-у" (-0,5кх, у. -0,5ку 0 ^

4 °(К )+°(к2),

д2 К" (0, у ,9к )_ У (< (0,5/, у А + 0,5/)-< (-0,5/, у ,9к + 0,5/) -

(87)

дхд9 /

(0,5/, у -0,5/ ,9к )-К'" (-0,5/, у -0,5/ ,9к ^

+/ °(Й92 И/ ).

С учётом равенств (86) и (87) получаем, что погрешность аппроксимаций (84) и (85) есть 0(И ). Таким образом, получены аппроксимации всех слагаемых, находящихся в скобке правой части равенства (51). В результате подстановки в равенство (51) аппроксимаций, выполненных выражениями (63), (64), (66), (71), (75), (79), (80), (83)-(85) с погрешностью 0(И ) (или выше), получаем:

где

^ ^ ^ Ц, +О(Их), (88)

»1 =»10 (»1С(К,У! А)+»12с(0,у + / ,0,)+»пс(0,у, -ку а)+»мс (0,у А + /)+»15с (0,у а -К)+

+»1<С (0, у, ,0, )), (0,5/ у А)+^ (-0,5/ у ,вк))

»10 —

~4Ци, (0,5/, у А )+(-0,5 Их, у] А )-(«" (0,5/, У А )+ип (-0,5/, у] 0 ))/'

1 2

»и = 12 (и" (0,5Их, У] А)+«" (-0,5 Их, У] ,0к))--3 (^ (0,5/, у А (-0,5/, у ,0к));

1 2

»и =1 {и" (0,5Их, У] ,0к)+"" (-0,5Их, У] ,0к))-из (0,5Их, У] 0 (-0,5/, у 0));

»12 V (0,5/, у А К (-0,5/, у А К (0,5/, У А (-0,5/, у А ));

2ИхИуу У '

»13 (V" (0,5Их,АН" (-0,5Их,у А(Ц/, (0,5Их,у А(-0,5/х,у,А));

2ИхИ/ ~х"1' к) У

^ = (0,5И, У ^)-* (-0,5И, У А))-ШЧоУ) , у А )-

(-0,5А,, у А))-2ИИ11 (0у) (^ (0,5И, у А +0,5/)-^ (-0,5И, У, А+0,5/)-(0,5Их, У, А -0,5/)+К, (-0,5Их, у А -0,5Ие));

^ =-^ (0,5Их, У, ,ек)-< (-0,5Их, У, А))-ихиенга ^ (0,5Их, У, ^)-

-К, (-0,5Их,у А))+2ии21 (0у )(^ (0,5Их,у, ,ек + 0,5/)-^ (-0,5Их,у А + 0,5/)-

(0,5Их,У А-0,5/)+^ (-0,5Их,у А-0,5/));

1 2

»16 =-£ (и (0,5Лх, у ,0, )+и (-0,5ИХ, у А ))+^Н(Оу) ' ^ '9к )-

к

Л

Л

СотриШ-опа1 Ма1кета11сэ апсИпиогтайоп Теекпо1о§1еэ. 2024;8(3):43-59. еТ88М2587-8999

-2и" (0, у, ,2 к )+и" (-0,0/, у, Д ))+-1- (у" (0,0/, у + 0,0/ Д (-0,0/, у + 0,0/ Д )-

2//

-у"(0,0К,у,-0,0/,2к)+у"(-0,0/,у -0,0/,2к))+^ к ^(0 у )(<(0,0/,у,,2к +0,0/)--< (-0,0/, у, ,2 к + 0,0/)-w'r" (0,0/, у, ,2к -0,0/)+(-0,0/, у, Д -0,0/))+

+2

1 1

-т+-

К //2 //2н2 (0,у,)

К (0,0 к, у,2)-Цк,; (-0,0/, у, ,2 к ))•

Используя равенство (88) для БсЛ = можем составить выражение:

М =0 =1К (0,5/, у Д (-0,5/, у Д ))(СТ (Ах, у Д И" (0, уД ))-

(-0,5/х, у ,0к )3 »1.

Окончательно, разностная схема (44) с учётом соотношений (47) и (89) примет вид:

—п _СЛ-1 1

; ; +—(«п(0.5/,у,д)-мп(-0.5/,у,ек))—:(/,у.д)+

т 2/

+4 (уП (0, у- +°.5/у ,ек)—п (0, у- + К ,ек )_уп (0 у- _0.5/у ,ек)—п (0 у- _ К ,ек))+2 н (о1 у )К ■

•(< (0, у ,ек +0.5/е)—п (0, у, ,ек + /)-< (0, у- ,ек _0.5/е)—: (0, у. д _/)=/■ « (0.5/,, у. д)+

(89)

+Ц/, (-0,5/х, У, ,0к ))(с" (/, У, ,0к )-С" (0, У, Д ))-Ц/, (-0,5/х, У, ,0к )т »1 +1К (0, У, + 0,5/ Д )

(90)

•(-" (0, у + / ,9, )--" (0, у ,9, ))-иКг (о, у -0,5/ ,9, )(-" (0, у,9 )--" (0, у -/ ,9, )))+ гЦт « (0, у ,9, + 0,5/)(-" (0, у ,9, + / )--" (0, у ,9, ))-^ (0, у ,9,-0,5/)•

н2 (0, у)/

•(г"(0,у,9,)--"(0,у ,9,-/)))+^", (0,у ,9,)еГ, г=1,2,3, п=1,...,Ыт.

Погрешность аппроксимации схемы (90) в граничных узлах сетки ю+ при х . = 0 равна 0(т+А2) .

Для случая, когда выполнено граничное условие (11) и х. = Ь,, а также случаев граничных условий (12) и (13), методы построения разностной схемы для задачи (8)-(13) аналогичны тем, которые описаны выше, начиная с соотношения (43). В виду громоздкости их описания в рамках данной статьи они не приводятся.

Обсуждение и заключение. Предложена разностная схема второго порядка аппроксимации на равномерной сетке, которая приближает начально-краевую задачу для трехмерного уравнения диффузии-конвекции мультиф-ракционных взвесей во всех узлах равномерной сетки, включая граничные узлы. Особое внимание уделено описанию методов аппроксимации в граничных узлах сетки с использованием расширенной сетки. Предложенная схема имеет погрешность аппроксимации в норме сеточного пространства С: второй — относительно шагов пространственной сетки и первый порядок точности относительно временного шага. Дальнейшие исследования связаны с доказательством устойчивости и сходимости построенной разностной схемы на основе сеточного принципа максимума при нежестких ограничениях на сеточное число Пекле, выполнении условия Куранта, указанных выше условий гладкости и других ограничениях, которые естественным образом выполняются для дискретных моделей гидрофизики прибрежных систем.

1

х

Список литературы / References

1. Сухинов А.И., Чистяков А.Е., Бондаренко Ю.С. Оценка погрешности решения уравнения на основе схем с весами. Известия ЮФУ. Технические науки. 2011;8(121):6-13.

Sukhinov A.I., Chistyakov A.E., Bondarenko Yu.S. Error estimation of the solution to the equation based on weighted schemes. Izvestiya YUFU. Technical Sciences. 2011;8(121):6-13. (in Russ.)

2. Сухинов А.И., Чистяков А.Е., Проценко Е.А. Построение дискретной двумерной математической модели транспорта наносов. Известия ЮФУ. Технические науки. 2011;8(121):32-44.

Sukhinov A.I., Chistyakov A.E., Protsenko E.A. Construction of a discrete two-dimensional mathematical model of sediment transport. Izvestiya YUFU. Technical Sciences. 2011;8(121):32-44. (in Russ.)

3. Сухинов А.И., Чистяков А.Е., Проценко Е.А., Сидорякина В.В., Проценко С.В. Параллельные алгоритмы решения задачи динамики изменения рельефа дна в прибрежных системах. Вычислительные методы и программирование. 2020;21(3):196-206. https://doi.org/10.26089/NumMet.v21r318

Sukhinov A.I., Chistyakov A.E., Protsenko E.A., Sidorakina V.V., Protsenko S.V. Parallel algorithms for solving the problem of dynamics of bottom relief changes in coastal systems. Computational Methods and Programming. 2020; 21(3):196-206. (in Russ.) https://doi.org/10.26089/NumMet.v21r318

4. Сухинов А.И., Чистяков А.Е., Проценко Е.А., Сидорякина В.В., Проценко С.В. Комплекс объединенных моделей транспорта наносов и взвесей с учетом трехмерных гидродинамических процессов в прибрежной зоне. Математическое моделирование. 2020;32(2):3-23. https://doi.org/10.20948/mm-2020-02-01

Sukhinov A.I., Chistyakov A.E., Protsenko E.A., Sidorakina VV, Protsenko S.V A complex of combined models for sediment and suspension transport considering three-dimensional hydrodynamic processes in the coastal zone. Mathematical Modelling. 2020;32(2):3-23. (in Russ.) https://doi.org/10.20948/mm-2020-02-01

5. Sukhinov A.I., Chistyakov A.E., Protsenko S.V., Sidoryakina V.V. Coupled 3D wave and 2D bottom deposit transportation models for the prediction of harmful phenomena in coastal zone. В сборнике: Trends in the Analysis and Design of Marine Structures — Proceedings of the 7th International Conference on Marine Structures, MARSTRUCT 2019. 2019. P. 597-603. https://doi.org/10.1201/9780429298875-68

6. Сухинов А.И., Сидорякина В.В. Построение и исследование корректности математической модели транспорта и осаждения взвесей с учетом изменений рельефа дна. Computational Mathematics and Information Technologies. 2018;2(2):76-90. https://doi.org/10.23947/2587-8999-2018-2-76-90

Sukhinov A.I., Sidoryakina V.V. Development and analysis of the correctness of a mathematical model for the transport and sedimentation of suspensions, taking into account changes in bottom relief. Computational Mathematics and Information Technologies. 2018;2(2):76-90. https://doi.org/10.23947/2587-8999-2018-2-76-90

7. Sukhinov A.I., Sukhinov A.A., Sidoryakina VV. Uniqueness of solving the problem of transport and sedimentation of multicomponent suspensions in coastal systems. В сборнике: Journal of Physics: Conference Series. Applied Mathematics, Computational Science and Mechanics: Current Problems. Bristol, 2020;1479:012081. https://doi.org/10.1088/1742-6596/1479/1/012081

8. Sukhinov A.I., Sidoryakina V.V. Development and correctness analysis of the mathematical model of transport and suspension sedimentation depending on bottom relief variation. Vestnik of Don State Technical University. 2018;18(4): 350-361. https://doi.org/10.23947/1992-5980-2018-18-4-350-361

9. Сухинов А.И., Чистяков А.Е., Сидорякина В.В., Проценко С.В., Атаян А.М. Локально-двумерные схемы расщепления для параллельного решения трехмерной задачи транспорта взвешенного вещества. Математическая физика и компьютерное моделирование. 2021;24(2):38-53. https://doi.org/10.15688/mpcm.jvolsu.2021.2.4

Sukhinov A.I., Chistyakov A.E., Sidoryakina VV, Protsenko S.V., Atayan A.M. Locally two-dimensional splitting schemes for parallel solving of the three-dimensional problem of suspended substance transport. Mathematical Physics and Computer Simulation. 2021;24(2):38-53. (in Russ.) https://doi.org/10.15688/mpcm.jvolsu.2021.2.4

10. Сидорякина В.В., Сухинов А.И. Построение и исследование близости решений в L2 двух краевых задач для модели переноса многокомпонентных взвесей в прибрежных системах. Журнал вычислительной математики и математической физики. 2023;63(10):1721-1732. https://doi.org/10.1134/S0965542523100111

Sidoryakina VV., Sukhinov A.I. Construction and analysis of the proximity of solutions in L2 for two boundary problems in the model of multicomponent suspension transport in coastal systems. Journal of Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2023;63(10):1721-1732. (in Russ.) https://doi.org/10.1134/S0965542523100111

11. Курант Р. Уравнения с частными производными. Москва: МИР; 1964. 832 с.

Courant R. Partial Differential Equations. Moscow: MIR; 1964. 832 p. (in Russ.)

Об авторе:

Валентина Владимировна Сидорякина, доцент кафедры математики и информатики, Донской государственный технический университет (344003, Российская Федерация, г. Ростов-на-Дону, пл. Гагарина, 1), кандидат физико-

математических наук, MathSciNet, Spin-код, ORCID, ResearcherlD, ScopusID, cvv9@ mail.ru Конфликт интересов: автор заявляет об отсутствии конфликта интересов. Автор прочитал и одобрил окончательный вариант рукописи.

About the Author:

Valentina V. Sidoryakina, Associate Professor of the Department of Mathematics and Computer Science, Don State Technical University (1, Gagarin Sq., Rostov-on-Don, Russian Federation, 344003), Candidate of Physical and Mathematical Sciences, MathSciNet, Spin-code, ORCID, ResearcherlD, ScopusID, cvv9@ mail.ru

Conflict of Interest Statement: the author declares no conflict of interest.

The author has read and approved the final version of manuscript.

Поступила в редакцию / Received 19.08.2024 Поступила после рецензирования / Reviewed 02.09.2024 Принята к публикации / Accepted 02.09.2024