CC BY
34
№ 4
УДК 629.735.33.015.3.025.73
533.6.011.35 : 629.7.025.73
ПОСТРОЕНИЕ ПРОФИЛЕЙ МИНИМАЛЬНОГО ВОЛНОВОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ С РАЗЛИЧНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ
С. В. Ляпунов
Изложена методика построения профилей минимального волнового сопротивления путем оптимизации их формы в ^-параметрическом семействе профилей методами нелинейного программирования. Рассмотрены особенности формы и обтекания оптимальных профилей, выявлена необходимость наложения дополнительных локальных ограничений, косвенно учитывающих влияние вязкости.
В последнее время большое внимание уделяется задачам проектирования профилей и крыльев с использованием хорошо развитых методов решения прямых задач обтекания. К числу таких задач относятся и задачи построения оптимальных профилей, при обтекании которых реализуется экстремальное значение той или иной величины. В связи с тем, что трансзвуковые течения идеального газа описываются нелинейными уравнениями и в поле течения имеются скачки уплотнения, положение которых заранее неизвестно, применение методов вариационного исчисления для систем с распределенными параметрами сталкивается с серьезными трудностями. Кроме того, как будет ясно из дальнейшего, успешное практическое проектирование оптимального профиля связано с наложением правильно выбранных ограничений. Такими ограничениями могут быть ограничения на подъемную силу профиля, его продольный момент, градиенты или величины давления на различных участках контура профиля (аэродинамические ограничения), а также ограничения на относительную толщину профиля, его площадь, радиус кривизны передней кромки и т. п. (геометрические ограничения). Часть этих ограничений, например, на градиенты и величины давления, относительную толщину, носят локальный характер, что еще более затрудняет применение методов вариационного исчисления. Поэтому для решения таких задач оптимизации применяются прямые методы, когда оптимальная аэродинамическая форма разыскивается в УУ-параметри-ческом классе форм профилей.
При этом оптимизируемая величина и значения ограничений, накладываемых на форму профиля, являются функциями N переменных, и задача оптимизации может быть решена с помощью какого-либо численного метода нелинейного программирования. Сужение класса рассматриваемых профилей окупается простотой и единообразием рассмот-
№ 4
УДК 629.735.33.015.3.025.73
533.6.011.35 : 629.7.025.73
ПОСТРОЕНИЕ ПРОФИЛЕЙ МИНИМАЛЬНОГО ВОЛНОВОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ С РАЗЛИЧНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ
С. В. Ляпунов
Изложена методика построения профилей минимального волнового сопротивления путем оптимизации их формы в Л^-параметрическом семействе профилей методами нелинейного программирования. Рассмотрены особенности формы и обтекания оптимальных профилей, выявлена необходимость наложения дополнительных локальных ограничений, косвенно учитывающих влияние вязкости.
В последнее время большое внимание уделяется задачам проектирования профилей и крыльев с использованием хорошо развитых методов решения прямых задач обтекания. К числу таких задач относятся и задачи построения оптимальных профилей, при обтекании которых реализуется экстремальное значение той или иной величины. В связи с тем, что трансзвуковые течения идеального газа описываются нелинейными уравнениями и в поле течения имеются скачки уплотнения, положение которых заранее неизвестно, применение методов вариационного исчисления для систем с распределенными параметрами сталкивается с серьезными трудностями. Кроме того, как будет ясно из дальнейшего, успешное практическое проектирование оптимального профиля связано с наложением правильно выбранных ограничений. Такими ограничениями могут быть ограничения на подъемную силу профиля, его продольный момент, градиенты или величины давления на различных участках контура профиля (аэродинамические ограничения), а также ограничения на относительную толщину профиля, его площадь, радиус кривизны передней кромки и т. п. (геометрические ограничения). Часть этих ограничений, например, на градиенты и величины давления, относительную толщину, носят локальный характер, что еще более затрудняет применение методов вариационного исчисления. Поэтому для решения таких задач оптимизации применяются прямые методы, когда оптимальная аэродинамическая форма разыскивается в Л/-параметри-ческом классе форм профилей.
При этом оптимизируемая величина и значения ограничений, накладываемых на форму профиля, являются функциями N переменных, и задача оптимизации может быть решена с помощью какого-либо численного метода нелинейного программирования. Сужение класса рассматриваемых профилей окупается простотой и единообразием рассмот-
рения различных ограничений и оптимизируемых величин, т. е. универсальностью метода.-Такой .подход был использован для решения некоторых задач оптимизации форм профилей в работах ['1, 2].
В настоящей работе кратко изложена методика расчета формы оптимальных профилей при околозвуковых скоростях и приведены некоторые результаты построения профилей с минимальным волновым сопротивлением, которые представляют методологический интерес, поскольку демонстрируют необходимость удовлетворения ряда ограничений, требуемых для получения профилей с высокими аэродинамическими характеристиками на практике. Волновое сопротивление было выбрано в качестве оптимизируемого параметра, поскольку с одной стороны оно является важной характеристикой современных скоростных профилей, а с другой стороны оно может быть достаточно быстро и точно определено при помощи существующих программ расчета обтекания профиля идеальным газом.
1. Основными элементами методики расчета оптимальных профилей является рассматриваемое семейство профилей, метод нелинейного программирования, а также метод расчета обтекания профиля и вычисления минимизируемой величины и ограничений.
Рассматривался следующий класс профилей: ординаты профиля
задавались соотношением
где х, у— соответственно продольная и поперечная координаты профиля, функция Уо{х)—определяет форму базового (исходного) профиля, щ являются оптимизируемыми параметрами, а функции !г(х), представленные на рис. 1, обеспечивают определенный вид деформации профиля. Деформации подвергается как верхняя, так и нижняя поверхности профиля. Все аэродинамические и геометрические характеристики профиля являются функциями щ. Был выбран набор функций, приведенный на рис. 1, который отличается от использованного в работе [2]
набора функций вида /, = (8т тех”')™' и /) = хп] (\ — х) ё~т1х, по-
лу
(1)
X ^ИС- *
о
0„25
0,50
0,75
скольку в конкретных расчетах набор функций, приведенный на рис. 1, дал меньшее волновое сопротивление и более быструю сходимость процесса оптимизации.
При практическом проектировании оптимальных профилей существенную роль играют ограничения геометрического и аэродинамического типа, накладываемые на форму профиля. Как правило эти ограничения можно сформулировать в виде неравенств. В связи с этим, метод нелинейного программирования должен решать задачу о минимизации функции N переменных при ограничениях типа неравенств. В качестве такого метода был выбран метод проекции градиента [3]. Вкратце он заключается в том, что если в рассматриваемой точке нет нарушенных ограничений, то оптимизация осуществляется по методу наискорейшего спуска. Если рассматриваемая точка находится на границе допустимой области, то изменение параметров ведется в направлении проекции вектора градиента целевой функции на гиперплоскость касательную к поверхности нарушенных ограничений, что обеспечивает в линейном приближении движение по ограничениям. Наконец, если рассматриваемая точка находится в недопустимой области, то предварительно осуществляется изменение параметров с целью вывода рассматриваемой точки на границу допустимой области (коррекция). Составляющие дР)да1 вектора градиента целевой функции Р (а); а = {аг} вычисляются путем численногр дифференцирования вида
Р (а\ 0.1 + д аь - %) — Р Оь •••. я; «л?)
Д а,-
Такая операция требует многократного вычисления целевой функции, т. е. многократного расчета обтекания различных профилей. Поэтому одним из основных требований к программе расчета аэродинамических характеристик профиля является ее быстродействие.
Для расчета аэродинамических характеристик профиля при околозвуковых скоростях был использован метод работы [4]. Силы, действующие на профиль, в частности, волновое сопротивление, вычислялись путем интегрирования эпюры давления. При расчетах использовался прием «замораживания» дальнего поля в итерационном процессе на расстояниях нескольких хорд от профиля. Теоретическое обоснование и методика использования этого приема описаны в работе [4]. Такой подход существенно ускоряет вычисления и позволяет рассчитывать обтекание профиля данной формы за время менее 1 минуты на ЭВМ БЭСМ-6. Кроме того, с целью ускорения расчета при вычислении вектора градиента целевой функции (волнового сопротивления) в качестве начального поля потенциала использовалось поле потенциала предыдущего расчета. Поскольку при этом изменения контура малы, то мало отличаются и значения потенциала, что позволяет уменьшить количество итераций и сократить время при расчете. В целом при описании формы профиля 10 параметрами решение всей задачи оптимизации требует 1—1,5 часа на ЭВМ БЭСМ-6.
2. Описанная методика была апробирована на случае построения симметричных профилей с минимальным волновым сопротивлением. На рис. 2 приведен результат оптимизации профиля МАСА 0012 (исходный профиль) при числе М набегающего потока Моо = 0,79 и при единственном ограничении на относительную толщину с>0,12. Количество варьируемых параметров а, равнялось шести. В результате коэффициент волнового сопротивления сх в был снижен более чем в
Рис. 2
семь раз. Оптимальный профиль имеет большой угол раствора задней кромки. Скорость течения на большом участке контура близка к звуковой (М=1). Положение максимальной толщины смещено к середине профиля. Полученный результат согласуется с теоретическими соображениями (см. работы [5,6]), в соответствии с которыми при симметричном обтекании профиль с максимальным критическим числом М (и, следовательно, с малым волновым сопротивлением на близких режимах) характеризуется наличием протяженного участка с числом М= 1 и углом раствора задней кромки 180°.
К профилю такого типа и стремится оптимальный, насколько позволяют использованные в формуле (1) функции ?г(х), 1=1, 2,..., 6. Однако при этом имеет место большой неблагоприятный градиент давления в диффузорной части профиля, который должен привести к отрыву потока. В связи с этим необходимо ограничить градиент давления в кормовой части профиля. Это можно сделать двумя путями: либо непосредственно ограничить градиент давления, либо, как сделано в случае расчета, результаты которого приведены на рис. 3, фиксировать угол раствора задней кромки профиля.
С этой целью этот расчет был проведен с использованием функций /1-^/5 (см. рис. 1), поскольку они в отличие от функции /6 не меняют угла раствора задней кромки профиля. Волновое сопротивление и интенсивность скачка уплотнения резко уменьшились по сравнению со случаем обтекания исходного профиля, при удовлетворительном значении градиентов давления в кормовой части профиля. Заметим, что в приведенных расчетах на промежуточных итерациях не наблюдалось тенденции к самопересечению контура профиля. При наличии такой тенденции необходимо ввести локальное условие положительности толщины профиля.
В последнее время широкое распространение получили профили сверхкритического типа, обладающие высоким значением критического числа М и малым сопротивлением при околозвуковых скоростях. Представляет интерес вопрос: можно ли получить такие профили путем опти-
Рис. 3
мизации по волновому сопротивлению? Ответ приведен на рис. 4, где представлены результаты оптимизации профиля «классического» типа при Моо = 0,75, ^ = 0,5 при ограничении на относительную толщину с>0,12. В набор функций /г(*), г= 1, 2...,6 была дополнительно включена функция /7 = а7(1 — х) хе, позволяющая модифицировать область задней кромки профиля на нижней поверхности. Формы верхней и нижней поверхностей варьировались независимо. В результате был получен профиль, обладающий рядом особенностей, характерных для профилей сверхкритического типа, а именно: «подрезка» в области задней кромки профиля на его нижней поверхности, малая кривизна верхней поверхности, большой радиус кривизны профиля в передней кромке. Волновое сопротивление полученного профиля в три раза меньше, чем исходного. Полученный результат является типичным в том смысле, что оптималь-
М~^0,75 ;суа=0,5 0,12
ные профили характеризуются повышенным значением местной скорости в области передней кромки и последующим уменьшением ее в сверхзвуковой области, т. е. неблагоприятным градиентом давления в передней части профиля. Заметим, что эпюры такого типа имеют и бесскачко-вые профили.
Влияние вязкости приводит к еще более интенсивному росту скорости в передней части профиля. Это обусловлено тем, что при положительной подъемной силе, вследствие разности толщин вытеснения пограничного слоя на верхней и нижней поверхностях профиля, при заданной подъемной силе профиль необходимо установить под большим углом атаки, чем в идеальном газе. Получающееся при этом распределение давления может служить причиной получения при экспериментальных исследованиях неблагоприятных характеристик как по величине аэродинамического качества, так и по величине М*р (которая обычно определяется
dc
как величина числа М», при которой =0,1). Это связано с тем,
что при эпюре давления такого типа рано формируется скачок уплотнения в передней части профиля, приводящий к раннему росту сопротивления. Кроме того, при испытаниях в аэродинамических трубах при числе Рейнольдса Re»3-10e точка перехода пограничного слоя на профиле расположена в области максимальной скорости и указанная перестройка эпюры давления приводит к смещению вперед точки перехода, к увеличению протяженности турбулентного участка пограничного слоя и к увеличению сопротивления профиля.
Таким образом, при оптимизации формы профиля по волновому сопротивлению без учета вязкости необходимо наложить ограничения, косвенно учитывающие влияние вязкости. Одно из них должно ограничивать градиент давления или угол наклона контура профиля в кормовой его части на верхней поверхности. Этого можно добиться путем,
dfi (jc)
например, использования функций fi (х), таких, что —=— = 0 при
_ dx
х=\, либо непосредственно, путем ограничения градиента давления в кормовой части профиля. Другое ограничение должно быть наложено с целью недопущения при вязком обтекании возникновения участков с большим неблагоприятным градиентом давления в передней части профиля на его верхней поверхности. Таким ограничением может слу-
dp
жить ограничение сверху градиента давления вида <const на некотором участке передней части профиля на его верхней поверхности, причем величина константы должна быть подобрана с учетом экспериментальных данных.
В заключение следует отметить, что описанная процедура оптимизации использованная для построения профилей с минимальным волновым сопротивлением, может быть применена для решения других задач проектирования профилей, например профилей с малым продольным моментом, с высокими несущими характеристиками и т. п. При наличии эффективной программы расчета обтекания профиля с учетом вязкости она может быть использована и при минимизации полного сопротивления.
ЛИТЕРАТУРА
1. Dutt Н. N. V., S reek anth А. К. Design of airfoils in incompressible viscous flows by numerical optimization. Comp. Meth. in Appl.
Mech. and Eng., 1980, N 23.
2. Hicks R. М., Vanderptaats G. N. Application of numerical
optimizati.ori to the .design of supercritical airfoils without drag-creep, SAE Paper, 1977, 770440. \ ,
3. Rosen J. B. The Gradient projection method for non-linear programming, Part II, — Non-linear constraints. J., 1961, vol. 9, N 4.
4. Владимирова H. А., Вышинский В. В., Ляпунов С. В., С е р е б р и й с к и й Я. М. Об ускорении сходимости методов расчета плоского и пространственного обтекания тел в неограниченном потоке.— Ученые записки ЦАГИ, 1985, т. XVI, № 4.
5. Gilbarg D., S h i f f m a n M. On the bodies achieving extreme values of the critical Mach number, I — J. Rat. Mech. Anal. 1954, N 3.
6. Брутян М. А., Ляпунов С. В. Оптимизация форм симметричных профилей с целью увеличения критического числа Маха. — Ученые записки ЦАГИ, 1981, т. XII, № 5.
Рукопись поступила 12111 1985
