Построение оптимального портфеля в условиях неопределенности с учетом рисков и сожалений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК: 519.8 MSC2010: 91A10

ПОСТРОЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО ПОРТФЕЛЯ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ С УЧЕТОМ РИСКОВ И СОЖАЛЕНИЙ

© А. Е. Бардин

Московский государственный областной гуманитарный институт факультет информатики ул. Зеденая, д.22, 1 учебный корпус, г.Орехово-Зуево, Московская область,142600,

Российская Федерация Е-МА1Ь: intch2006@rambler.ru

© Ю. Н. Житенева

Московский государственный областной гуманитарный институт факультет информатики ул. Зеденая, д.22, 1 учебный корпус, г.Орехово-Зуево, Московская область,142600,

Российская Федерация е-ма1Ь: unzh2011@mail.ru

© Т. В. Макаркина

Московский государственный областной гуманитарный институт факультет информатики ул. Зеденая, д.22, 1 учебный корпус, г.Орехово-Зуево, Московская область,142600,

Российская Федерация Е-МА1Ь: tatmak14-7@yandex.ru

Portfolio selection problem under uncertainty, taking account of risks and regrets.

Bardin A. E., Zhiteneva Y. N., Makarkina T. V.

Abstract.

In this paper new solution for portfolio selection problem under uncertainty is formalized. It is based on three concepts: guaranteed result, regret function, Pareto optimal solution.

This paper deals with a portfolio selection problem under uncertainty. Let us consider n securities with return rate i e {1,... ,n} and denote by xi the proportion of total amount of funds invested in the i-th security. A portfolio selection problem consists in finding the investment

rate vector x = (xl,..., xn), where xi > 0, ^ = 1, i e {1,..., n}. Vector x e Rn maximizes the

i

n

total portfolio return £P = ^ xi£i. The traditional Markowitz models of portfolio selection treat

i=l

the return rates as a random variables vector following a probability distribution with vector

I of, i = j,

£ = (£l,... ,£n) and a covariance matrix V = \\aij||, where oij = <

lcov(£i,£j), i = j.

In particular, the well known model proposed by Markowitz, consists in minimizing the

ij

portfolio variance up = ^ xixj Uj = xT Vx

i=l

n

In this paper, the total portfolio return equals £P = ^ xiyj-, where uncertainty yi £ [ai, bi],

i=l

parameters ai > 0, variables xi > 0, xi = 1, i £ {1,...,n}. We have two-criteria problem

i

under uncertainty Pl = (X, Y, {fl(x, y), f2(x, y)}), where the set

X = < x = (xi,..., xn)

Xi > Q,J> = 1 > ,

i=1

the set Y = {y = (yi ,...,y„) |yi e bi]}, first criteria fi(x,y) = ^ Xiyi second

i

criteria /2(x,y) = f1(x,y) — max f1(x,y). Then we consider two-criteria problem P2 = (X, {gi(x),g2(x)}), here gi(x) = — Ry(x), g2(x) = —Rs(x) and

Ry(x) = maxmin /1(x,y) — min /1(x,y)is risk function,

x y y

Rs(x) = max$(x,y) — minmax$(x,y) - regret function.

y x y

Further we look for vector xp e Rn, which minimizes the function

G(x) = RV(x) + R|(x), x e X.

Solution xP e X is Pareto optimal for given problem P2. In this paper, we construct the algorithm finding optimal portfolio selection.

Key words: portfolio selection, uncertainty, risk, regret, two-criteria problem, Pareto optimal solution.

Введение

Согласно Толковому словарю русского языка сущность риска с одной стороны раскрывается выражениями "возможная опасность"и "действовать на свой страх с другой стороны риск рассматривается как "действие наудачу в надежде на счастливый исход". Там же, в частности, сожаление трактуется как чувство, вызванное утратой, сознанием невозможности что-то изменить. В дальнейшем, формализуя понятия риска и сожаления для задачи при неопределенности, будем учитывать одновременно как ожидаемые потери при принятии рискованных решений, так и возможность благоприятных для лица, принимающего решение (ЛПР) действий неконтролируемых им факторов. В научной литературе описываются различные математические модели риска и способы его измерения. Особое место занимают стохастические модели, в которых риск связан со случайными неконтролируемыми факторами, имеющими известные законы распределения.

Приведем простой пример. Пусть X есть множество допустимых решений ЛПР, например, совокупность инвестиционных портфелей. Рассматривается случайное событие А, состоящее в том, что ЛПР понесет убытки при выборе некоторого решения (портфеля) х Е X. Тогда вероятность этого события Р(А) есть численная оценка (мера) финансового риска данного решения (портфеля).

Методика оценки (измерения) финансовых рисков как вероятностей неблагоприятных событий является неудобной с точки зрения финансового менеджера, так как она формирует вероятностное распределение убытков, но не дает стоимостную оценку финансового риска.

Одним из современных методов определения финансового риска является УЛИ-метод, получившей название от словосочетания "Уа1ие-а1;-Ш8к". В последнее время УЛИ-метод стал важным средством управления и контроля риска в компаниях различного типа. Так стандартная методика начисления страховых премий основана на данном методе оценки риска. Другим методом вычисления финансового риска является БЛИ-метод (ВЬой^аП-а^Шзк), который определяет значение ожидаемой величины убытка как функции от резервного капитала.

С середины двадцатого века после появления портфельной теории активно используется определение риска финансовых операций через среднее квадратичное отклонение. Нобелевский лауреат Гарри Марковиц формализовал двухкритериальную математическую модель портфеля инвестиций, в которой первый критерий оценивает ожидаемую доходность портфеля, а второй критерий определяет риск портфеля как степень взаимной зависимости доходностей активов при помощи матрицы ко-вариаций. Моделирование риска указанным образом позволяет свести двухкритери-альную задачу к минимизации линейно-квадратичной функции.

Надо отметить, что существуют аргументированные возражения противников рассмотренных выше моделей риска. Первый довод связан с тем, что отношение лица, принимающего решение к риску в условиях действия случайных неконтролируемых факторов, будет субъективным. Именно, в одной и той же ситуации разные люди оценивают риск различным образом. Поэтому выбор оптимальных решений (с их точек зрения) в одной и той же задаче не будет совпадать.

С другой стороны измерение риска при помощи среднего квадратичного отклонения может привести к парадоксальным результатам. Например, показатель рискованности Шарпа иногда представляют в виде отношения Мщ, где величина М [£] есть математическое ожидание случайной величины доходности финансовой операции, а значение является средним квадратичным отклонением. Проанализируем следующую задачу выбора оптимального решения в условиях риска.

Пусть у ЛПР есть возможность получить 1000 единиц дохода с вероятностью равной 1. В этом случае величина равна 0, и, следовательно, показатель рискованности = 0. Также предлагается участвовать в лотерее (игре), где он равновероятно либо наверняка получит 1000 условных единиц, либо значение а > 1000. Любой здравомыслящий человек предпочтет участие в лотерее, несмотря на тот факт, что во втором случае величина риска Мщ > 0 .

Отметим, что моделирование риска для стохастических задач предполагает знание ЛПР функций распределения случайных величин, которые являются переменными в данной модели. Однако принятие соответствующей статистической гипотезы о законе распределения может быть ошибочным. Более того, неконтролируемые ЛПР факторы могут описываться неопределенными величинами, о которых известны только области возможных значений. Наконец, наличие риска в процессе принятия решений не всегда является негативной особенностью данной задачи. Многочисленные примеры салонных игр, а также реальные проблемы, связанные с экономическими, политическими и военными конфликтами, свидетельствуют о возникающей часто необходимости принятия рискованного выбора. В статье предлагается подход к формализации оптимальных решений для задачи оптимизации портфеля инвестиций в условиях действия неопределенных факторов и с учетом рисков и сожалений.

1. Постановка задачи

В данной статье математическая модель портфеля ценных бумаг (активов) формализуется как двухкритериальная задача при неопределенности с учетом рисков по Вальду и сожалений по Сэвиджу [3]. Предлагается подход к выбору единственного оптимального портфеля. Перейдем к построению математической модели.

Пусть в начальный момент времени £0 инвестор обладает некоторой суммой денег Ш0, которую он хочет использовать, желая получить в момент времени £ прирост капитала ДШ = Ж (£) - Ш0.

Величина доходности портфеля определяется как прирост капитала на единицу вложений, то есть,

*=ДШ (1)

Предположим, что инвестор имеет п способов распределить денежные средства Ш0 по ценным бумагам, выбирая произвольную комбинацию возможных инвестиций на промежуток времени Д£ = £ — £0. Пусть хг, г Е {1, 2,... , п}, есть доля общего коли-

п

чества средств Ш0, инвестируемых в г-ый актив. Вектор х = (х^х2,..., хп), ^ = 1,

г=1

будем называть портфелем инвестиций, при этом величины хг, г Е {1,... , п}, являются неотрицательными действительными числами. Обозначим через величину доходности г-ой акции на единицу вложенных средств. В простейшем случае величину можно выразить через цену акции 9 и дивиденды Пг, которые выплачиваются в момент времени £ на одну акцию г-го типа, именно,

П —

& = ^^А г Е{1, 2,..., п} (2)

Пусть в момент времени £0 инвестор имеет капитал W0 и покупает пг акций г-го вида, г Е {1,... , п}. Тогда справедливы равенства

W (¿) = ^ п^, (3)

г=1

а также

хг = тйгт, г Е{1, 2,..., п}. (4)

W (¿о)

При этом величина капитала в момент времени £ > ¿0 равна

W(£) = ^ пгПг. (5)

г=1

Преобразуя равенство (1) с учетом формул (2) - (5), получаем:

- -WYtЛ- W7tЛ = ^ (6)

W(¿о) ^ w(¿о) V 9 г

В классических портфельных моделях [5] нобелевского лауреата Г. Марковица величины и £г, г Е {1,... , п}, считаются случайными с известными параметрами распределения — М [£г], аг — П[£г], г Е {1,..., п}, где есть математическое ожидание величины £г, а аг - её среднее квадратичное отклонение. Далее формализована принципиально другая математическая модель портфеля, в которой неконтролируемые ЛПР величины г Е {1,... , п}, являются неопределенностями. Именно, для указанных величин неизвестен закон распределения, а только области допустимых значений.

Далее будем использовать обозначения и терминологию, применяемые в теории многокритериальных задач при неопределенности [3], [4], [5].

Пусть неопределенности уг — , г Е {1,..., п} являются доходностями г-го актива на единицу вложенных средств в момент времени ¿. Тогда доходность портфеля в

тот же момент времени, согласно формуле (6), равна

n

& = (7)

i=1

где x Е R2 - неотрицательный вектор, сумма компонент которого равна 1. Набор y = (y1,... , yn) есть векторная неопределенность, компоненты которой удовлетворяют условиям

y Е K&i], i Е {1,...,n}. (8)

В дальнейшем будем рассматривать случай

a > 0, i Е {1,...,n}. (9)

Принятие решений ЛПР осуществляется по следующей схеме: во-первых, в момент t0 ЛПР выбирает вектор

x = (x1,..., xn), где xi > 0, ^^ xi = 1, i Е {1,..., n};

i

во-вторых, в момент времени t независимо от действий ЛПР происходит реализация неопределенности y Е Rn, причем yi Е [ßi, bi], i Е {1,... , n}.

n

Обозначим через X = { x = (x1,... , xn)| xi > 0, YI xi = 1} множество возможных

i=1

решений ЛПР, а множество Y = {y = (y1,..., yn)| yi Е [ai,bi],i Е {1,...,n}} есть совокупность неопределенностей y Е Rn.

Каждую допустимую пару (x,y) Е X х Y ЛПР оценивает по двум критериям:

f1(x,y) = Е xiУi, , ч

i (10)

f2(x,y) = ^foy^ где

$(x,y) = max f1(x,y) - f2(x,y). Таким образом, формализуется двухкритериальная задача при неопределенности

P = (X, Y, {/1 (x,y),/2(x,y)}> , (11)

параметры которой определены выше.

От задачи (11) перейдем к двухкритериальной задаче вида

P2 = (X, {g1 (x), g2(x)}>, (12)

g1 (x) = -Ry(x) = -I maxmin /1(x,y) - min/](i,yn ,

\ x y y j

(х) — — Дз(х) — — Д^(х) — — ( шахФ(х,у) — тттахФ(х,у) ) ,

\ У х У у

а множество X допустимых решений х описано в задаче (11).

В задаче (12) ЛПР стремится получить значения обоих критериев #г, г Е {1, 2}, возможно большими, то есть, он хочет, чтобы риск Ду(х*) по Вальду и сожаление Дз(х*) по Сэвиджу для оптимального решения х* были "как можно меньше".

Согласно теории многокритериальных задач при неопределенности [3-5] имеются различные способы определения оптимального решения для задачи (11). Рассмотрим способ построения оптимального по Парето решения хи, который базируется на методе точки утопии. Согласно подходу, изложенному в работах [1], [2], задачам (11) и (12) ставится в соответствие классическая оптимизационная задача

(13)

x е X

G(x) ^ min,

где G(x) = Д^>(x) + Д|(х). Оптимальное решение xu = (xU,xU,..., хП) задачи (13 будем считать оптимальным для задачи (11).

2. Алгоритм НАХОЖДЕНИЯ ОПТИМАЛЬНОГО ПОРТФЕЛЯ

Опишем последовательность действий, которые приведут к нахождению оптимального портфеля xu = (xU , x u,..., xn ). Предположим, что далее выполняется условие

P|[ai,bi] = 0. (14)

i

Также будем считать, что a1 > a2 > ... > an > 0.

I шаг. Построение функции Ду (x)

Очевидно, что min f (x, у) = x1a1 + x2a2 +... + xnan. Тогда справедливо равенство y

maxmin f (x,y) = a1, (15)

x y

соответственно,

Ду (x) = maxmin f (x, y) — min f (x, y) = a1 — (x1a1 + x2a2 + ... + xnan). (16)

x y y

II шаг. Построение функции Ф^,у)

Введем обозначения: I = {1, 2,... , п}, У = {у € У | у > у-, € I\{г}}. При указанных условиях получаем

max f (x, y) = <

yi, если y G Yi, У2, если y G Y2,

yra, если y G Y„.

Окончательно,

ф(х,У) = max f (x,y) - f (x,y) = <

Е(У1 - yj)xj, если У G Уъ

Е(У2 - yj)xj, если y G j=2

(17)

E (Уп - yj)xi, если y G Yn, III шаг. Построение функции (x)

Для каждого фиксированного индекса i G I = {1, 2,... , n} рассмотрим функцию ФДх) = E(bj — aj)xj и множество Xj, i G I, которое является решением системы

неравенств ФДх) > Фj• (х), х G X, j G I\{i}. Тогда имеем

E(b1 — aj)xj, если х G X1, j=i

E(b2 — aj)xj, если x G X2, j=2

Ф(x) = тахФ^^) y

(18)

(bn — ßj)xj, если x G Xn

Далее находим гарантированное минимаксное сожаление по Сэвиджу, именно, minx maxy Ф(х, y) = Ф*, которое получаем из решения задачи

Ф(х) ^ min, х G X.

Окончательно, имеем явный вид функции сожаления по Сэвиджу:

— о?— Ф*, если x G Xb

— öj)xj — Ф*, если x G X2, Ry(x) = Ф(х) — Ф* = { j=2 (19)

(bn — öj)xj — Ф*, если x G Xn.

J=n

IV шаг. Нахождение оптимального портфеля.

Для нахождения оптимального портфеля xu = (xU,xU,... , x^) решается классическая оптимизационная задача

RV(x) + R|(x) ^ min, x G X. (20)

Отметим, что каждый шаг алгоритмически реализуем, в частности, существует решение задачи (20), так как функции Ry (x) и R|(x) являются непрерывными на компактном множестве X. Проиллюстрируем построенный выше алгоритм для случая двух видов ценных бумаг.

Пример. Рассмотрим частный случай данной задачи, когда имеющиеся средства инвестор распределяет между двумя активами. В этом случае задачу (11) можно записать в виде:

f (x, y) = xiyi + x2^2 ^ max,

Ф^,у) = max f (x,y) — f (x,y) ^ min,

(xi,X2)

(21)

xi + x2 = 1, x, > 0, i G {1, 2}, öi < yi < bi, 02 < У2 < &2,

причем a > 0, i G {1, 2}.

Считаем, что далее выполняется условие [ai, bi] П [a2, b2] = 0. Также будем предполагать, что ai > ö2 > 0.

Очевидно, что minf (x,y) = xiai + x2a2. Тогда maxminf (x,y) = ai, соответствен-

y x y

но,

RV (x) = maxmin f (x, y) — min f (x, y) = ai — (xiai + x2a2) = ai (1 — xi) — a2x2.

x y y

Используя условие xi + x2 = 1 и обозначения

xi = t, x2 = 1 — t, 0 < t < 1,

функцию риска по Вальду можно записать следующим образом:

Яу(£) = (< - «2)(1 - £),

где а1 > а2 > 0. Отметим, что в частном случае, когда а1 = а2, функция Яу тождественно равна 0, то есть, согласно принятой выше концепции рискованного поведения, в процессе принятия решений любой портфель х = (х1 , х2) будет безрисковым.

Введем обозначения: У1 = {у € У | у1 > у2}, У2 = {у € У | у1 < у2}, здесь У = {У = (У1,У2)| < < у» < 6*, г € {1, 2}}. Получаем

(1 — ¿)(у1 — У2), если у € У1, , ,

Ф(£,у) = I (22)

[^(у2 — у1), если у € У,

где 0 < £ < 1. Из условия (1 — ¿)(61 — а2) > £(62 — 1) находим

61 — <22 < 61 + 62 — < — Й2 '

Таким образом,

- „ ч „ ч (1 — £)(61 — а2), если 0 < £ < т,

Ф(£) = шахФ(£,у) = I А 1 ^ < <

У I ¿(62 — а1), если т < £ < 1,

и

ш1пшахФ(£,у) = Ф(т) = Ф* = (6>1 — <2)(62 — 21), (23)

* У 61 + 62 — Й1 — Й2

где т = ь . Получаем явный вид функции сожаления по Сэвиджу:

^ , ч , ч (Д1 (1 — £ — А) , если 0 < £ < А, , ч

Я5(£)=шахФ(£,у) — ш1пшахФ(£,у) ={ ( Л,АУ Л < < А (24)

У * У I А2 (£ — А1) , если А < £ < 1,

где

Д1 = 61 — й2, Д2 = 62 — аь Д = Д1 + Д2. Множество Ь = {(Яу(£))| £ € [0,1]} представляет собой на координатной плоскости ЯуОЯ^ ломаную линию Ь, каждая точка М(£) которой определяет риск по Вальду и сожаление по Сэвиджу для лица, выбирающего портфель вида

х(£) = (х1 = £,х2 = 1 — £), 0 < £ < 1. (25)

В качестве оптимального решения (портфеля) выбираем хи = х(£и), которому соответствует точка

М (£«) = М (Яу (*„),Я5 (*«)), причем М(£и) - ближайшая точка к началу координат О(Яу = 0, Я^ = 0).

Для нахождения точки M (tu) решается классическая оптимизационная задача

R2(t) + R2(t) ^ min, (26)

0 < t < 1. ()

Оптимальный (согласно данному подходу) портфель имеет вид:

x(tu) = (tu, 1 - tu), (27)

где tu есть решение задачи (26).

Проиллюстрируем полученные формулы на числовом примере. Пусть

ai = 2, a2 = 1, bi = 3, b2 = 6

Тогда имеем

Ry = 1 — t,

2 (1 — t) если 0 < t < 1, (28)

S 4 (t — i) если i < t < 1.

Ломаная линия ABC, заданная условиями (28), изображена на рис. 1. Точка M (|2, 51) - ближайшая к началу координат, поэтому Ry = Ц, RS = 51.

Re

з

Рис. 1

Соответственно оптимальное значение параметра t равно tu = 51. Следовательно,

оптимальный портфель имеет вид

xu

/19

x — V 51

19 32 51' 51

/(Х«'У) е

y е Y.

то есть ЛПР вкладывает Ц всех средств Ж0 в первый актив, а оставшиеся средства - во второй актив. При этом доходность оптимального портфеля принадлежит интервалу [ж^а + £2 + ж2Ь2], именно,

" 70 249" 51' "бГ

Можно сравнить найденное решение с "осторожным"поведением ЛПР. Пусть он осуществляет "осторожный"выбор и вкладывает все средства в первый актив, то есть жу = (1,0). Тогда

/(ху,у) е [2' 3].

Сравнивая решения, видим, что ЛПР, "рискуя"величиной 2 — 70 = Ц , может получить в благоприятном случае существенно большую доходность портфеля.

Заключение

В данной статье формализуются понятия функции риска и функции сожаления для задачи нахождения оптимального портфеля ценных бумаг, при этом учитывается одновременно как ожидаемые потери при принятии рискованных решений, так и возможность благоприятных для ЛПР действий неконтролируемых им рыночных факторов. Действия неконтролируемых факторов в построенной модели отождествляется с неопределенностями, о которых известны лишь области допустимых значений.

Каждый возможный портфель оценивается двумя критериями: риском по Валь-ду и сожалением по Сэвиджу. Первый критерий оценивает возможные потери при отклонении от гарантированного (максиминного) решения. Второй критерий учитывает возможность реализации «благоприятных» неопределенностей для лица, принимающего решения. В полученной двухкритериальной задаче находится оптимальное по Парето решение методом построения «идеальной точки». В статье приведен алгоритм вычисления оптимального портфеля, который проиллюстрирован на конкретном примере.

Приведенные в статье исследования являются новыми и представляются актуальными как с теоретической точки зрения, так и для практических приложений.

Модельный пример продемонстрировал эффективность предложенного алгоритма построения оптимального решения.

Список ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бардин А.Е. Риски и сожаления игроков в игровых моделях // Материалы III Межд. конф. МГОГИ. - Орехово-Зуево.: Изд-во МГОГИ, 2010. - C. 86-89.

BARDIN A.E. (2010) Risk and Regrets in the Games. III International conference. MGOGI. . p. 8689.

2. Бардин, А.Е., Житенева, Ю.Н. Риски и сожаления в игре с природой // Труды межд. конф. КРОМШ 2012. - Симферополь, 2012. - C. 2-5.

BARDIN, A. and ZHITENEVA, Y. (2012) Risk and Regets for One-Person Game under Uncertainty. International Scientific J. Spectral and Evolution Problems. vol.22. p. 2-5.

3. Жуковский, В.И. Риски при конфликтных ситуациях / В.И.Жуковский. — M.: URSS, 2011. — 328 с.

ZHUKOVSKIY, V.I. (2011) Risks at conflict situations. Moscow: URSS LENAND.

4. Жуковский, В.И., Кудрявцев К.Н Уравновешивание конфликтов и приложения /

B.И.Жуковский, К.Н.Кудрявцев. - M.: URSS, ЛЕНАНД, 2012. - 304 с.

ZHUKOVSKIY, V. and KUDRIAVSEV, K. (2012) Equilibrating conflicts and applications. Moscow: URSS, ЛЕНАНД.

5. Жуковский, В.И., Кудрявцев К.Н, Смирнова Л.В. Гарантированные решения конфликтов и их приложения / В.И.Жуковский, К.Н.Кудрявцев, Л.В.Смирнова. - M.: KRASAND, 2012. - 304 с. ZHUKOVSKIY, V. and KUDRIAVSEV, K. and SMIRNOVA, L. (2012) The guaranteed solutions in the conflict and applications. Moscow: KRASAND.

6. Savage, L.Y. The theory of statistical decision //J. American Statistic Association. - 1951. - №46. -

C. 55-67.

Savage, L.Y. (1951) The theory of statistical decision. . J. American Statistic Association (№46). p. .55-67

7. Markowitz, H. Portfolio Selection//Journal of Finance. - 1952.-vol. VII, №1, March. - C. 55-67. Markowitz, H. (1952) Portfolio Selection. . Journal of Finance (vol. VII, №1, March). p. 55-67.

Статья поступила в редакцию 31.05.2015