CC BY
43
УДК 539.3
А.С. Чепурненко, В.И. Андреев*, Б.М. Языев
ФГБОУВПО «РГСУ», *ФГБОУВПО «МГСУ»
ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛИ РАВНОНАПРЯЖЕННОГО ЦИЛИНДРА НА ОСНОВЕ ТЕОРИИ ПРОЧНОСТИ МОРА
Аналитически получена зависимость распределения модуля упругости по толщине цилиндра, нагруженного внутренним давлением p, при которой эквивалентное напряжение по теории прочности Мора одинаково во всех точках. Задача решена для случаев плоского деформированного (ПДС) и плоского напряженного состояния (ПНС) в упругой постановке.
Ключевые слова: толстостенный цилиндр, оптимизация, теория прочности Мора, обратная упругая задача.
Из решения задачи Ляме известно, что в однородном толстостенном цилиндре, нагруженном внутренним давлением, максимальные напряжения ctq возникают на внутренней поверхности. Для уменьшения толщины цилиндра при заданных нагрузках или увеличения внешних нагрузок при заданных размерах цилиндра необходимо, чтобы предельное состояние наступало одновременно во всех его точках. Этого можно добиться, если создать искусственную неоднородность, уменьшив модуль упругости там, где возникли наибольшие расчетные напряжения, и наоборот. Задача, в которой определяется зависимость модуля упругости от радиуса, при которой напряженное состояние равно заданному, получила название обратной задачи. Решение подобных задач основано на идее, изложенной в работах В.И. Андреева [1—4]. На основе первой и третьей теории прочности данная задача приведена в диссертации Б.М. Языева [5]. Развитие данной идеи на другие теории прочности, в т.ч. для критерия прочности П.П. Баландина, справедливого для бетона, приводится в [6—12]. В данной статье рассмотрено решение обратной задачи на основе теории прочности Мора.
Основное разрешающее уравнение для рассматриваемой задачи имеет вид [13]:
d2sr (3 dE Л dsr m dE _ ^ dr2 ^ r dr ■ E) dr r dr ■ E r Для ПДС m _ (1 -2v)/(i -v), а для ПНС m _(1 -v).
Расчетное (эквивалентное) напряжение, при котором наступает опасное состояние по теории прочности Мора, для осесимметричной задачи записывается в виде [14] стэкв =ае-kar, где k = [стр]/[^с]— отношение допускаемых напряжений материала на растяжение и сжатие.
Условием постоянства расчетных напряжений по толщине является равенство нулю первой производной стэкв по радиусу: d d sr
k—^- _ 0. (2) dr dr
56
© Чепурненко А.С., Андреев В.И., Языев Б.М., 2013
Выразив из уравнения равновесия напряжения стд через стг в виде , после подстановки последнего равенства в (2) приходим к
dr
уравнению
d2 sr (k - 2) ds
(3)
dr2 r dr Общий интеграл данного уравнения имеет вид:
rk -1
S = С,— + с2> (4)
k -1
где С и С2 — произвольные постоянные интегрирования, которые находятся из граничных условий:
s r (a) =- Pa , s r (Ъ ) =- Pb ,
где a и b — соответственно внутренний и внешний радиусы цилиндра (диска); pa и ръ — соответствующие внутреннее и внешнее давления. Ограничиваясь случаем р= = р, рь = 0, определим константы:
С _ p(k -1) _ __ pbk
1 bk-1 - ak-1' 2 bk-1 - ak-1"
После подстановки (4) в (1) и последующих преобразований приходим к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными
(Ж _ (к +1)С/-2
E „ k-i (л m ,
C,rk 11 1 +-1 + C2m
1 I k -1 1 2
dr. (5)
Обозначим A = C,(k +1), B = C, I 1 + I, C = C2m. Тогда окончательно закон
распределения модуля упругости будет иметь вид
A_
-1)
E = С0 (Brk-1 + C)B(k-
где С0 — произвольная константа.
Данное решение справедливо при к ф 1 и В ф 0 . При к = 1 имеем частный случай теории прочности Мора — третью теорию. Рассмотрим случай, когда В = 0 :
1+0 (6)
С1 = 0 только при р = 0, поэтому, приравнивая второй множитель в уравнении
(6) к нулю, получим:
Г V для ПНС;
к = 1 - т = < V
1-- дляПДС.
И-V
Таким образом, расчетное напряжение для случая ПНС по теории Мора совпадает с расчетным напряжением по второй теории прочности:
В свою очередь для ПДС:
+ )■
Так как в случае ПДС ег = -1 [стг+сте)] = 0 то стг =у(стг +сте),
Е
и эквивалентное напряжение по второй теории прочности принимает вид
а ЭКв =(1 -V2 )(ав-^-а г ) = (( -V2 )(ав- каг).
На рис. 1 показаны кривые Е(г), построенные V = 0,3; Ь/а = 2; р = 1° МПа, при для случая ПНС (Е0 = Е (а)). При k = 0 закон распределения совпадает с решением на основе первой теории прочности [5], при k = 0,29 «V решение близко к результату для второй теории прочности [7], а при к = 0,99 «1— к решению по третьей теории прочности [2, 5].
8
¿3 4
- - - -
1
2
—■
----~а7
_
1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
г/а
Рис. 1. Изменение модуля упругости в цилиндре: 1 — к = 0,99; 2 — к = 0,5; 3 — к = 0,29; 4 — к = 0
Таким образом, при В = 0 решение обратной задачи на основе теории прочности Мора сводится к решению той же задачи на основе второй теории прочности.
Рис. 2. Распределение эквивалентных напряжений по толщине: 1 — однородного цилиндра при Ь =1,52 м; 2—неоднородного цилиндра при Ь = 1,52 м; 3 — однородного цилиндра при Ь = 2 м; 4 — неоднородного цилиндра при Ь = 2 м
58
КБИ 1997-0935. Vestniк MGSU. 2013. № 5
На рис. 2 представлены зависимости эквивалентных напряжений от радиуса при k = 0,5 для случаев однородного и неоднородного цилиндров при различной их толщине. Неоднородный цилиндр с внутренним радиусом a = 1 м и внешним радиусом b = 1,52 м обладает такой же несущей способностью, как и однородный при a = 1 м и b = 2 м. Таким образом, создание косвенной неоднородности позволило уменьшить толщину оболочки с 1 до 0,52 м, т.е. почти в 2 раза. Сопоставляя графики 1 и 2, а также 3 и 4 соответственно, можно также сделать вывод о том, что в первом случае создание искусственной неоднородности приводит к увеличению прочности почти в 1,5 раза, а во втором — почти в 2 раза. По обоим критериям оптимизации (по толщине и по прочности) эффект создания неоднородности весьма значителен.
Библиографический список
1. Андреев В.И., Потехин И.А. О равнопрочных и равнонапряженных конструкциях // Сб. тр. Воронеж. гос. арх.-строит. ун-т. 2007. С. 84—90.
2. Андреев В.И. Некоторые задачи и методы механики неоднородных тел : монография. М. : Изд-во АСВ, 2002. 288 с.
3. Андреев В.И. Упругое и упруго-пластическое равновесие толстостенных цилиндрических и сферических непрерывно-неоднородных тел : дисс. ... д-ра техн. наук. М., 1986. 427 с.
4. Andreev V.I. Optimization of thick-walled shells based on solutions of inverse problems of the elastic theory for inhomogeneous bodies. Computer Aided Optimum Design in Engineering XII (OPTI XII). WIT Press. 2012, pp. 189—201.
5. Языев Б.М. Нелинейная ползучесть непрерывно неоднородных цилиндров : дисс. ... канд. техн. наук. М., 1990. 171 с.
6. Андреев В.И., Потехин И.А. О способе создания оптимальных строительных конструкций на основе решения обратных задач теории упругости неоднородных тел // Вестник строит. наук. 2007. Вып. 11. С. 48—52.
7. Андреев В.И., Потехин И.А. Построение модели равнонапряженного цилиндра на основе второй и четвертой теории прочности // Теоретические основы строительства : тр. XVI Словацк.-росс.-польск. сем. М., 2007. С. 29—34.
8. Потехин И.А. Способ оптимизации конструкций на основе решения обратных задач теории упругости неоднородных тел : дисс. ... канд. техн. наук. М., 2009. 144 с.
9. Андреев В.И., Потехин И.А. Итерационный метод построения модели равнопрочного цилиндра // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2008. № 1. С. 45—49.
10. Андреев В.И., Потехин И.А. Моделирование равнопрочного цилиндра на основе итерационного подхода // International Jornal for Computational Civil and Structural Engineering, v. 4, is. 1, 2008, pp. 79—84.
11. Zhenhai Guo, Xudong Shi. Experiment and Calculation of Reinforced Concrete at Elevated Temperatures [English]. Publisher: Butterworth-Heinemann. 2011. 226 p.
12. Bin Yang, Jinhua Huang, Chunjiao Lin, Xinkun Wen. Temperature Effects and Calculation Method of Closure Temperatures for Concrete-filled Steel Tube Arch Rib of Dumbbell-shape Section // The Open Civil Engineering Journal. 2011. № 5. pp. 179—189. Режим доступа: http://www.benthamscience.com/open/tociej/articles/V005/179TOCIEJ.pdf.
13. Литвинов C.B., Языев С.Б., Языева С.Б. Плоская деформация неоднородных многослойных цилиндров с учетом нелинейной ползучести // Вестник МГСУ 2010. Вып. 1. С. 128—132.
14. Александров А.В., Потапов В.Д., Державин Б.П. Сопротивление материалов / под ред. А.В. Александрова. 3-е изд., испр. М. : Высш. Шк., 2003. 560 c.
Поступила в редакцию в марте 2013 г.
Об авторах: Чепурненко Антон Сергеевич — студент института промышленного и гражданского строительства, ФГБОУ ВПО «Ростовский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «РГСУ»), 344022, г. Ростов-на-Дону, ул. Социалистическая, д. 162, anton_chepurnenk@mail.ru;
Андреев Владимир Игоревич — доктор технических наук, профессор, член-корреспондент РААСН, заведующий кафедрой сопротивления материалов, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, 8 (499) 483-55-57, asv@mgsu.ru;
Языев Батыр Меретович — доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой сопротивления материалов, ФГБОУ ВПО «Ростовский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «РГСУ»), 344022, г. Ростов-на-Дону, ул. Социалистическая, д. 162, 277588@rambler.ru.
Для цитирования: Чепурненко А.С., Андреев В.И., Языев Б.М. Построение модели равнонапряженного цилиндра на основе теории прочности Мора // Вестник МГСУ. 2013. № 5. С. 56—61.
A.S. Chepurnenko, V.I. Andreev, B.M. Yazyev
DEVELOPMENT OF A MODEL OF AN EQUAL STRESS CYLINDER BASED ON MOHR'S STRENGTH THEORY
The authors have employed analytical methods to identify the nature of dependence of the elastic modulus distribution over the thickness of a cylinder, loaded by internal pressure p, if the equivalent stress is the same in all points, according to Mohr's theory of strength. The problem in which dependence of an elastic modulus is to be identified along the radius, and the stress value is available, is called the inverse problem. The idea of the method is that if a certain area of a body has the value of its elastic modulus lower than the one in the homogeneous material, stresses in this area are also reduced. The problem is solved for the case of plane strain and plane stress in the elastic formulation. It is proven that assurance of artificial heterogeneity reduces the maximal equivalent stress. Therefore, we have taken two variants of shells: one having inner radius a = 1 m and outer radius b = 2 m, the other one having inner radius a = 1 m and outer radius b = 0.52 m. The value of the maximal equivalent stress calculated using Mohr's theory reduces almost two-fold in the first case and 1.5-fold in the second case. Moreover, the use of non-uniform thick-walled cylinders can significantly reduce their thickness with the value of the internal pressure being the same. In our case, the shell thickness reduces from 1 m to 0.52 m, which is almost 2 times. We also proven that the first, second and third strength theories in the case of an axisymmetric problem are the special cases of Mohr's strength theory. This result coincides with well-known analytical and numerical solutions.
Key words: thick-walled cylinder, optimization, Mohr's strength theory, inverse elastic problem.
References
1. Andreev V.I., Potekhin I.A. O ravnoprochnykh i ravnonapryazhennykh konstruktsiyakh [About Equal Strength and Equal Stress Structures]. Sb. tr. Voronezh. gos. arkh.-stroit. un-t. [Collection of Works. Voronezh State University of Architecture and Civil Engineering]. 2007, pp. 84—90.
2. Andreev V.I. Nekotorye zadachi i metody mekhaniki neodnorodnykh tel [Some Problems and Methods of Mechanics of Heterogeneous Bodies]. Moscow, ASV Pub., 2002, 288 p.
3. Andreev V.I. Uprugoe i uprugo-plasticheskoe ravnovesie tolstostennykh tsilindricheskikh i sfericheskikh nepreryvno-neodnorodnykh tel [Elastic and Elastoplastic Equilibrium of Thick-walled Cylindrical and Spherical Continuously Heterogeneous Bodies]. Moscow, 1986, 427 p.
4. Andreev V.I. Optimization of Thick-walled Shells Based on Solutions of Inverse Problems of the Elastic Theory for Inhomogeneous Bodies. Computer Aided Optimum Design in Engineering XII (OPTI XII). WIT Press. 2012, pp. 189—201.
5. Yazyev B.M. Nelineynaya polzuchest' nepreryvno neodnorodnykh tsilindrov [Non-linear Creeping of Continuously Heterogeneous Cylinders]. Moscow, 1990, 171 p.
6. Andreev V.I., Potekhin I.A. O sposobe sozdaniya optimal'nykh stroitel'nykh kon-struktsiy na osnove resheniya obratnykh zadach teorii uprugosti neodnorodnykh tel [Method of Development of Optimal Structural Units on the Basis of Solutions to Inverse Problems of Theory of Elasticity of Heterogeneous Bodies]. Vestnik stroit. nauk. [Herald of Civil Engineering Sciences]. 2007, no. 11, pp. 48—52.
7. Andreev V.I., Potekhin I.A. Postroenie modeli ravnonapryazhennogo tsilindra na osnove vtoroy i chetvertoy teorii prochnosti [Development of a Model of an Equal Stress Cylinder on the Basis of the Second and Fourth Theories of Strength]. Teoreticheskie osnovy stroitel'stva. Tr. XVI Slovatsk.-ross.-pol'sk. sem. [Theoretical Fundamentals of Construction. Works of the 16th Slovak-Russian-Polish Seminar]. Moscow, 2007, pp. 29—34.
8. Potekhin I.A. Sposob optimizatsii konstruktsiy na osnove resheniya obratnykh zadach teorii uprugosti neodnorodnykh tel [Method of Optimization of Structures on the Basis of Solution to Inverse Problems of the Theory of Elasticity of Heterogeneous Bodies]. Moscow, 2009, 144 p.
9. Andreev V.I., Potekhin I.A. Iteratsionnyy metod postroeniya modeli ravnoprochno-go tsilindra [Iterative Method for Development of a Model of an Equally Strong Cylinder]. Stroitel'naya mekhanika inzhenernykh konstruktsiy i sooruzheniy [Structural Mechanics of Engineering Constructions and Structures]. 2008, no. 1, pp. 45—49.
10. Andreev V.I., Potekhin I.A. Modelirovanie ravnoprochnogo tsilindra na osnove it-eratsionnogo podkhoda [Modeling of an Equally Strong Cylinder on the Basis of Iterative Approach]. International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. 2008, vol. 4, no. 1, pp. 79—84.
11. Zhenhai Guo, Xudong Shi. Experiment and Calculation of Reinforced Concrete at Elevated Temperatures. Butterworth-Heinemann, 2011, 226 p.
12. Bin Yang, Jinhua Huang, Chunjiao Lin, Xinkun Wen. Temperature Effects and Calculation Method of Closure Temperatures for Concrete-filled Steel Tube Arch Rib of Dumbbell-shape Section. The Open Civil Engineering Journal. 2011, no. 5, pp. 179—189. Available at: http://www.benthamscience.com/open/tociej/articles/V005/179TOCIEJ.pdf.
13. Litvinov C.B., Yazyev S.B., Yazyeva S.B. Ploskaya deformatsiya neodnorodnykh mnogosloynykh tsilindrov s uchetom nelineynoy polzuchesti [Plane Deformation of Heterogeneous Multilayered Cylinders with Account for Nonlinear Creeping]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2010, no. 1, pp. 128—132.
14. Aleksandrov A.V., Potapov V.D., Derzhavin B.P.; Aleksandrov A.V., editor. Soprotivle-nie materialov [Resistance of Materials]. Moscow, Vyssh. Shk. Publ., 2003, 560 p.
About the authors: Chepurnenko Anton Sergeevich — student, Rostov State University of Civil Engineering (RSUSE), 162 Sotsialisticheskaya St., Rostov-on-Don, 344022, Russian Federation; anton_chepurnenk@mail.ru;
Andreev Vladimir Igorevich — Doctor of Technical Sciences, Professor, Associate Member of RAACS, Chair, Department of Strength of Materials, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; asv@mgsu.ru; +7 (499) 483-55-57;
Yazyev Batyr Meretovich — Doctor of Technical Sciences, Professor, Chair, Department of Strength of Materials, Rostov State University of Civil Engineering (RSUCE), 162 Sotsialisticheskaya St., Rostov-on-Don, 344022, Russian Federation; 277588@rambler.ru; +7 (863) 201-91-09.
For citation: Chepurenko A.S., Andreev V.I., Yazyev B.M. Postroenie modeli ravnonapryazhennogo tsilindra na osnove teorii prochnosti Mora [Development of a Model of an Equal Stress Cylinder Based on Mohr's Strength Theory]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2013, no. 5, pp. 56—61.
