Построение моделей напряженного состояния буровых коронок при разрушении горных пород Текст научной статьи по специальности «Математика»

--------------------------------------- © А. А. Грабский, С.Н. Аракчеев,

2006

УДК 622.24.051

А.А. Грабский, С.Н. Аракчеев

ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛЕЙ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ БУРОВЫХ КОРОНОК ПРИ РАЗРУШЕНИИ ГОРНЫХ ПОРОД

~ИЪ момент внедрения коронки в -Щ-Э породу, в буровой коронке возникают усилия, вызывающие в свою очередь напряжения. Крайне важно, чтобы уровень напряжений в коронке не превышал допустимых значений прочности инструмента с учетом коэффициента запаса. В противном случае кромка резца начнет скалываться, что в свою очередь приведет к снижению производительности станка и полному разрушению твердосплавных элементов коронки.

Целью данного расчета является определение уровня напряжений в теле резца коронки, а также зависимости их от амплитудных значений усилий ударного импульса. Рассматриваются долотчатые, крестообразные и штыревые буровые коронки.

На рис. 1 представлена схема упругой системы типа ”ударник - буровая коронка - горная порода”.

Исходные данные туд - масса ударника бурового станка, кг; тк - масса коронки, кг; Уо - скорость соударения бойка с коронкой, м/с; Яуд - радиус закругления торцов ударника, мм; Як - радиус закругления торцов коронки, мм; і- тип коронки (1 - долотчатая, 2 - крестообразная, 3 - штыревая)

Физико-механические свойства элементов ударной системы приведены в таблице

Условия расчета

Для расчета напряженного состояния буровых коронок был применен программный комплекс Дезаин Стар 4.0 (Бе8Іп§8ТЛЯ 4.0), использующийся для решения задач механики, основанный на методе конечных элементов.

Рис. 1. Система типа”ударник - буровая коронка - горная порода”.

Физико-механические свойства элементов ударной системы

Элементы ударной системы Марка стали (сплава) Предел прочности, МПа Плотность, г/см3 Модуль упругости, МПа Коэффициент Пуассона

- - Ов У Е Ц

Штанга ЗОХНЗА 1100 7,8 2,05Е+5 0,28

Резец ВК-8 1700 14,6 6,1Е+5 0,28

Развитие метода конечных элементов (МКЭ) и его применение к задачам механики деформируемых тел началось с появлением ЭВМ, хотя сама идея моделирования сплошной среды ансамблем дискретных элементов возникла еще в XIX веке. Математические основы метода впервые были сформулированы Р. Курантом в 1943 г., а термин "конечный элемент" был введен в статье Р.В. Клафа, посвященной решению плоской задачи теории упругости. В настоящее время этот термин прочно вошел в техническую и учебную литературу, а сам МКЭ в силу своей общности и высокой степени формализации стал важным инструментом при решении разнообразных задач механики. Следует отметить, что первоначальная трактовка МКЭ базировалась на принципах строительной механики, что ограничивало сферу его приложений. Позже, когда были сформулированы основы метода в вариационной форме, открылись возможности его широкого применения при решении большого класса других проблем механики.

МКЭ основывается на возможности представления реальной конструкции в виде совокупности элементов конечных размеров, соединенных между собой в узлах конечным числом узловых связей. Другими словами, действительная физическая система заменяется идеализированной дискретной моделью.

Математическая сущность указанного приема состоит в приведении дифференциальных уравнений или функционалов, описывающих изучаемый объект, к системе линейных алгебраических уравнений, порядок которой определяется числом степеней свободы идеализированной модели. В этом смысле с математической точки зрения МКЭ тождественен методу Ритца. Основное и принципиальное отличие состоит в ку-сочно-непре-рывном определении полей интерполирования, что позволяет - и в этом заключается важное преимущество МКЭ - просто рассматривать нерегулярные границы тела. В свою очередь, кусочно-непрерывная аппроксимация позволяет получать редкозаполненную или ленточную структуру матрицы разрешающих уравнений и использовать эффективные прямые и итерационные методы их решения.

Предполагается, что искомые непрерывные величины (перемещения, напряжения, температура и т. д.) в пределах каждого КЭ при помощи задаваемых аппроксимирующих функций можно выразить через значения этих величин в узловых точках, а произвольное внешнее воздействие (например, заданную нагрузку, действующую на конструкцию) можно заменить эквивалентным сосредоточенным в узлах воздействием (системой эквивалентных узловых сил).

При такой кусочно-непрерывной аппроксимации обеспечивается условие совместности лишь в узловых точках, а

в остальных точках границ элемента это условие удовлетворяется в общем случае приближенно. Поэтому различают элементы, обладающие различной степенью совместности. Элементы, для которых обеспечивается непрерывность при переходе через общую границу для искомой функции со всеми ее производными, относят к классу Сп - эле-

ментов. При решении пространственных задач с использованием объемных элементов, как правило, ограничиваются С -элементами, при расчете тонкостенных, в том числе и балочных конструкций - С -элементами.

Наряду с узлами, расположенными на границе элемента, в некоторых элементах для удобства построения аппроксимирующих функций вводятся внутренние узлы. Однако, при объединении элементов эти узлы при помощи так называемой процедуры статической конденсации из рассмотрения исключаются.

Последовательность процедур может быть представлена в следующем виде:

1. Дискредитация рассматриваемой области, т.е. замена континуальной среды совокупностью КЭ заданной формы, соединенных между собой в узлах конечным числом связей.

Этот этап, несмотря на видимую простоту, имеет важное значение, хотя он и не обусловлен строгими теоретическими рекомендациями и во многом определяется интуитивно.. Обычно при построении конечно-элементной модели руководствуются предварительными представлениями о характере ожидаемого результата, и в местах высоких градиентов искомых величин сетку конечных элементов сгущают.

Важным моментом является также рациональная нумерация узлов сетки КЭ, поскольку нумерация оказывает существенное влияние на структуру

матрицы разрешающих уравнений (ширину ленты), что отражается на времени счета и объеме используемой оперативной памяти ЭВМ. .

Отметим, что в настоящее время разработаны программы автоматизированной разбивки области на КЭ и рациональной нумерации узлов.

2. Выбор вариационного принципа.

Выбор вариационного принципа определяет основные неизвестные функции, через которые впоследствии устанавливаются остальные неизвестные. В задачах механики деформируемого

твердого тела используются следующие вариационные принципы: принцип Лагранжа, в соответствии с которым варьируются перемещения; принцип Кас-тильяно (варьируются напряжения),

принцип Рейсснера (варьируются перемещения и напряжения), принцип Ху-Вашицы (варьируются перемещения,

напряжения и деформации).

В практических расчетах чаще всего используется принцип Лагранжа. Поэтому дальнейшее изложение базируется на его основе.

3. Выбор аппроксимирующих функций.

Выше уже отмечалось, что при кусочно-непрерывной аппроксимации

предполагается, что перемещения внутри элемента могут быть выражены через перемещения в его узлах. Эта связь описывается при помощи так называемых функций формы, которые аппроксимируют действительное поле перемещений внутри элемента. От выбора аппроксимирующих функций в значительной степени зависит точность решения. Эти функции должны удовлетворять следующим критериям:

- критерию полноты: при стремлении размеров элемента к нулю выбранные функции формы должны обеспечить любые постоянные значения.

Рис. 2. Схема организации расчета по методу конечных элементов на ЭВМ

- критерию совместности: функции формы должны обеспечивать непрерывность перемещений и ее производных до (п-1)-го порядка на границе между элементами (где порядок старшей производной в функционале энергии). Если выбранный тип элемента обеспечивает непрерывность поля перемещений, то по указанной выше классификации его относят к классу С-элементов, а если обеспечивается и непрерывность деформаций, то к классу С-элементов.

При выполнении этих критериев с увеличением числа конечных элементов, моделирующих конструкцию, результаты расчета монотонно сходятся к точному решению. Нарушение критерия совместности в ряде случаев приводит к

достоверному результату, но сходимость в этих случаях не будет монотонной.

4. Реализация вариационного принципа.

На этом этапе осуществляется вычисление матриц жесткостей элементов и построение глобальной матрицы системы алгебраических уравнений и вектора узловых сил. Глобальная матрица жесткости может быть получена несколькими методами:

- методом непосредственного сложения жесткостей;

- методом конгруэнтного преобразования;

1.851 е+008 1.696е+008 1.542е+008 1.388е+008 1.234е+008 1.080е+008

9..254е+008 7.713е+008 6.171е+007 4.629е+007 3.087е+007 3.663е+004

5.905е+008 5.413е+008 4..921е+008 4.429е+008 3..937е+008 3.445е+008 2.953е+008 2.461 е+008 1.969е+008 1.477е+008 9.849е+007 4.929е+007

8..485е+004

- при помощи конечно-разностных операторов.

5. Учет граничных условий. Полученная на основе указанных методов матрица жесткости является вырожденной, поскольку в соответствии с уравнениями равновесия заданной системы часть уравнений (для пространственных систем - шесть, а для плоских -три) окажутся взаимно зависимыми. Корректировка этой матрицы при учете граничных условий приводит к невыро-

гмная модель Рис. 5. Объемная модель

ш коронки штыревой коронки

жденной системе линейных алгебраических уравнений.

6. Решение системы алгебраических

2.601е+008 2.384е+008 2.167е+008 951 е+008 1.734е+008 1.517е+008 1.301 е+008 1.084е+008 8..674е+007 6..507е+007 4.340е+007 2.173е+007 6.445е+

уравнении.

Для решения системы алгебраических уравнении используются стандартные программы, имеющиеся в математическом обеспечении ЭВМ, и специально подготовленные и лучшим образом учитывающие симметрию и структуру матрицы жесткости системы -редкозаполненность или ленточность.

7. Определение деформации и напряжении.

После определения узловых перемещении в соответствии с известными соотношениями теории упругости могут быть определены деформации и напряжения.

Расчет производится в расчетном комплексе Бе8^8ТАЯ 4.0 по схеме, приведенной на рис. 2.

Расчет

- Построение объемных моделей долотчатых, крестообразных и штыревых буровых коронок.

На рис. 3-5 представлены объем-ные модели долотчатой, крестообразной и штыревой коронки.

На рис. 6-8 приведены распределения внутренних напряжений в момент удара для долотчатых, крестообразных и штыревых коронок.

По результатам расчётов построим зависимость уровня внутренних напряжений в теле резцов коронок от амплитудных значений усилий ударного импульса (рис. 9).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. АЫБУБ в руках инженера: Практическое руководство. Изд. 2-е, испр. - М.: Едито-риал УРСС, 2004. - 272 с.

2. Чигарёв А.В., Кравчук А.С., Смалюк А.Ф. Л№У8 для инженеров: Справ. пособие. -М.: Машиностроение-1, 2004. 512 с.

1

у = 0,0184х + 13,857 Р2 = 0,9944

2

3

у = 0,0083х + 6,7143 у = 0,0062х - 2,7143

К

а

с

та

X

X

ф

а

ей

.о

х

ф

ей

о

а

>

амплитудные значения ударного импульса, Н

Рис. 9. Зависимости уровня

внутренних напряжений буровых коронок от амплитудныш значений ударного импульса.

50

Коротко об авторах

Грабский А.А. - кандидат технических наук, доцент, Аракчеев С.Н. - инженер,

Московский государственный горный университет.

Р2 = 0,9928

Р2 = 0,9952

ТЕКУЩАЯ ИНФОРМАЦИЯ О ЗАЩИТАХ ДИССЕРТАЦИИ ПО ГОРНОМУ ДЕЛУ И СМЕЖНЫМ ВОПРОСАМ

Автор Название работыь Специальность Ученая степень

УРАЛЬСКИЙ ГО< :ударственный ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТ! :т

ЧУПРОВ

Игорь

Валерьевич

Исследование взаимосвязи параметров электромагнитных молотов с физикомеханическими свойствами горных пород при дроблении негабаритов

к. т. н