CC BY
118
УДК 004.94
Л.А. Хворова, А.Г. Топаж
построение моделей агроэкосистем и их адаптация
к конкретным условиям
Предпосылки разработки методов и алгоритмов структурно-параметрической идентификации моделей
Разработано достаточно много моделей продуктивности агроэкосистем, которые имеют свою специфическую структуру, реализующую конкретные цели разработчиков [1—3]. Однако в большинстве существующих моделей ряд процессов, происходящих в агроэкосистеме, описан на полуэмпирическом (или даже эмпирическом) уровне. Кроме того, появляются новые экспериментальные факты, которые не нашли отражения в ранее созданных моделях. Это означает, что процесс совершенствования моделей является непрерывным и свидетельствует об актуальности темы исследования, посвященной вопросам идентификации и адаптации имитационных динамических моделей продукционного процесса.
Полностью адаптировать любую разработанную уже модель к условиям других регионов достаточно сложно, во-первых, без участия самих разработчиков; во-вторых, цели пользователей могут не совпадать с целями разработчиков моделей; в-третьих, необходимое информационное обеспечение моделей может отличаться от той агрометеорологической информации, которой владеет пользователь [4]. Поэтому в практике применения таких моделей возникают проблемы модификации структуры модели, отдельных ее блоков, включения в модель новых блоков, позволяющих реализовать практические цели пользователя, а также определения необходимой агрометеорологической информации и параметров, входящих в модель, прямые измерения которых в данных условиях невозможны или затруднены. Процесс решения данных проблем можно отнести к процедуре структурно-параметрической идентификации. Структурная и параметрическая идентификация динамических моделей продуктивности и их адаптация к конкретным почвенно-климатическим условиям - главное условие их применимости, а вопросы теории и
техники идентификации моделей делают эту проблему актуальной.
Отличительные признаки методов структурно-параметрической идентификации моделей агроэкосистем
Необходимо отметить, что классическая теория идентификации рассматривает, в основном, автоматизированные системы, технологические процессы и задачи управления ими. Предмет теории идентификации - решение задачи построения математических моделей динамических систем по данным наблюдений за их поведением [5].
Вопросы структурной идентификации моделей являются новыми для математического моделирования продуктивности агроэкоси-стем. Сформулируем основные отличия методов идентификации в применении к моделям аг-роэкосистем от методов классической теории идентификации в применении к моделям автоматизированных динамических систем.
1. В классической теории идентификации задача идентификации формулируется следующим образом [6]. Задан объект, в процессе нормального функционирования которого одновременно (синхронно) могут быть измерены его входная х и выходная у переменные. По результатам измерения х^) и у(Х) необходимо построить модель заданного объекта, т. е. найти оператор, ставящий в соответствие выходную у(Х) и входную х^) функции.
При идентификации агросистем невозможна одновременная фиксация значений х^) и у(Х), где х(() - набор агрометеорологической информации, у^) - набор выходных характеристик (урожайность сельскохозяйственной культуры, характеристики роста и развития культуры, характеристики почвы и т. п.). Наиболее значимые результаты могут быть получены лишь по прошествии определенного периода времени (вегетационного периода, который для яровых зерновых культур составляет в среднем для условий Алтай-
ского края четыре месяца). Здесь можно говорить о некотором начальном состоянии вектора входной информации х0 (?) (например, на дату сева), который, в принципе, не является достаточно информативным для предсказания значения у(?). На величину у(?) влияют постоянно изменяющиеся значения вектора х(?) = (х1(?), х2(?), ..., хт(?)), где т - число различных агрометеорологических факторов. Причем, на определенных временных этапах (этапах вегетационного периода сельскохозяйственных культур) значимость отдельных из них для результатирующей величины у постоянно меняется.
2. Модель в понимании многих представителей классической теории идентификации - это уравнение (в основном регрессионное) или система линейных, нелинейных алгебраических или дифференциальных уравнений. Модель агроэко-системы имеет более сложную структуру (структуру блочного типа), включающую в себя описания множества подсистем, каждая из которых может быть описана подобным образом.
3. Различие в наборах входных данных (данных наблюдений). Если входные данные рассматриваемых в классической теории идентификации динамических систем можно представить в виде вполне обозримой матрицы небольшой размерности, то для качественной идентификации аг-роэкологических систем требуются многолетние ежедневные данные за 10-20 лет, содержащие агрометеорологическую информацию. То есть набор данных для идентификации агроэкосистем является существенно многомерным.
4. Особенность функционирования моделей продукционного процесса блочного типа - разделение информационных потоков на те, которые замыкаются внутри отдельных блоков, и те, которые передаются из блока в блок. С одной стороны, это обстоятельство обеспечивает простоту модификации блоков или их замену (достаточно, чтобы альтернативные реализации конкретного блока удовлетворяли заранее утвержденному интерфейсу информационного взаимодействия с другими блоками). С другой стороны, это может значительно усложнить процедуру комплексной идентификации структуры и параметров моделей к условиям конкретного региона.
5. Для идентификации автоматизированных систем и технологических процессов в классической теории идентификации разработано достаточное количество методов и критериев
оптимизации параметров [5-8]: методы параметрического оценивания, непараметрические временные и частотные методы, рекуррентные методы и т. д. При решении задачи структурной идентификации агроэкосистем и моделей их продуктивности исключительно важную роль играет человеческий фактор: интуиция и жизненный опыт исследователя [8].
6. Под структурной идентификацией моделей продукционного процесса будем понимать определение состава моделируемых процессов (совокупности внутренних связей и отношений, а также связей между агроэкосистемой и окружающей средой) и их параметрическую формализацию; под адаптацией - приспособление модели к новым условиям.
Содержание процесса идентификации в данном определении понимается значительно шире, чем построение математической модели объекта или процесса по априорной информации и апостериорным измерениям. Структурная идентификация моделей агроэкосистем - это этап познавательной деятельности, связанной с поиском адекватной постановки прикладной задачи. В такой формулировке задача идентификации является задачей научного познания различных объектов и явлений. Существенная особенность познавательных моделей заключается в том, что они обязательно должны отражать механизм объекта или явления в своей структуре, т. е. все многообразие причинно-следственных связей, имеющихся у объекта и выявленных в процессе идентификации. В противном случае познавательная ценность модели существенно снижается.
7. Классическая теория идентификации в основном рассматривает тип задач, связанный непосредственно с потребностью управления объектом. Поэтому модель, созданная для целей управления, может и не отражать внутренних механизмов явления. Главное, чтобы она достаточно точно отражала качественные и количественные или только количественные соотношения между управляющими входными и управляемыми выходными, а также измеряемыми сигналами объекта в определенных условиях его функционирования. Математическое описание таких моделей строится по результатам исследования входных и выходных переменных объекта-оригинала, без учета его физической природы. В литературе по идентификации в основном рассматривается только этот класс моделей [5-8].
Необходимо отметить, что общих формальных подходов к решению задачи идентификации в широком смысле к настоящему времени не существует. Метод структурно-параметрической идентификации моделей агросистем основан на рассмотрении рассогласования между поведением реальной системы I0 и соответствующим поведением модельной системы с параметрами I. Именно поэтому необходимо вводить в модель дополнительные или альтернативные подмодели с целью вариации структуры модели и адекватного описания отдельных процессов, соответствующих, во-первых, целям потенциальных пользователей и наличию необходимой агрометеорологической информации, а, во-вторых, обеспечивающих качество идентификации.
Постановка задачи структурно-параметрической идентификации моделей агроэкосистем
Рассмотрим класс моделей 3 = (3 3 ..., Зт), представляющих собой динамические балансовые структуры блочного типа и описывающих систему «почва-растение-атмосфера». Причем, каждая 3 = 3(Х, У, S, X, Г), где хг е X, г = 1, пх -совокупность входных воздействий на систему; si е S, г = 1, пх - совокупность воздействий внешней среды; аг е ЕЕ, г =1,п -совокупность внутренних (собственных) параметров системы; уг е У, г = 1, пу - совокупность выходных характеристик системы.
Функция Г = , ...,Гп} есть не что иное, как разрешающий оператор совокупности математических соотношений, позволяющих по заданным входам хг е X, г = 1, пх и внешним воздействиям si е S, г = 1, пх, с той или иной определенностью находить функции уг е У, г = 1, пу на интервале
?0 < ? < ?п : '
у 1(?) = F1(xl, ..., xn, ^ ..., ^ ..., ^
уп(?) = Fn(xl, ..., ^ ..., sn, ..., ^ О или в короткой записи
У (?) = Г(X, S, Е, ?). (1)
Зависимость (1) называется законом функционирования модельной системы I.
Необходимо из класса моделей 3 =(3 32, ..., 3 ) выбрать модель 3. С 3 с законом функционирования Г*: (30)—(скобки обозначают, что Г * -частично определенное отображение, т. е. не все
черты состава и структуры оригинала 3° отражаются моделью) таким, что Y (t) = F (X, S, I, t) + Функциональное преобразование F может быть выбрано из условия Y (t) - F(X, S, I, t) < котором пространстве выбранного класса функций F*, или чтобы минимизировать некоторый критерий рассогласования модельной системы и системы-оригинала (критерий качества модели): ^min .
F *
F eF
Требования к моделям и алгоритмическая схема решения задачи структурно-параметрической идентификации
Сформулируем основные требования, предъявляемые к модели 3. С 3 системы-оригинала 3°.
Полнота выбранной модели должна предоставлять пользователю возможность получения необходимого набора оценок характеристик системы с требуемой точностью и достоверностью.
Гибкость модели должна давать возможность воспроизведения различных ситуаций при варьировании структуры, алгоритмов и параметров системы.
Структура модели должна быть блочной, т. е. допускать замены, добавления и исключения некоторых частей без переделки всей модели.
Информационное обеспечение должно предоставлять возможность эффективной работы модели с базой данных систем определенного класса.
Программные и технические средства должны обеспечивать эффективную работу с моделью и удобное общение с ней пользователя.
Должно быть реализовано проведение целенаправленных компьютерных экспериментов с моделью системы с использованием аналитико-имитационного подхода.
С учетом этих требований предлагается алгоритмическая схема решения задачи структурно-параметрической идентификации моделей с целью их адаптации к конкретным почвенно-климатическим условиям региона.
1. Определение цели применения модели (изучение какой-либо стороны функционирования системы-оригинала; конкретизация оперативных производственных задач, которые необходимо решить в процессе эксплуатации модели и т. п.).
2. Выделение основных процессов в агроэко-системе, подлежащих моделированию.
3. Выбор объекта идентификации - некоторой модельной системы 3 (базовой модели).
4. Обоснование структуры информационного обеспечения модели, анализ доступных для решения задачи идентификации структуры данных.
5. Проведение структурно-параметрической идентификации модели согласно целям и задачам эксплуатации модели на основе имеющейся агрометеорологической информации. На данном этапе производится тестирование модели, делается вывод о возможности ее адаптации и применения в условиях региона, принимается решение об изменении структурно-функционального строения, определяется набор дополнительных или альтернативных подмоделей, осуществляется их разработка и включение в базовую модель.
6. Оценка адекватности проведенной структурно-параметрической идентификации модели (верификация модели на независимом материале).
Структурно-параметрическая идентификация и адаптация выбранной модели - процесс итеративный, т. е. для получения наилучшей модельной структуры, в общем случае, будет построена последовательность модельных структур Jj, J 2, ..., J к, принадлежащих классу моделей 3, и выбрана оптимальная модельная структура 3*опт с оптимальным разрешающим оператором Fопт= arg min ЭТ, наилучшим образом удовлетво-
F *eF
ряющая как целям исследования, так и наличию исходной информации для адаптации модели к конкретным условиям региона.
Анализ структурно-функционального
строения модели продуктивности EPIC
и ее адаптация к конкретным условиям
Продемонстрируем изложенные выше принципы структурно-параметрической идентификации на примере адаптации конкретной модели (EPIC) к условиям Западной Сибири.
1. Цель выбора модели - прогнозирование урожайности зерновых культур с учетом возможных вариаций агрометеорологических условий года.
2. При различных возможных реализациях погодных сценариев на любом этапе вегетационного периода должна быть доступной информация о состоянии водно-теплового режима почвы и посева, роста и развития растений для выработки и принятия технологических решений. Поэтому в модели должны быть представлены блоки, описывающие все основные процессы, происходящие в системе «почва-растение-атмосфера».
3. Согласно цели определяется и класс модели - динамическая структура блочного типа -имитационная модель EPIC [3].
Рассмотрим процедуру адаптации модели EPIC к условиям Западной Сибири и ее структурную идентификацию.
Имитационная модель EPIC - Erosion-Productivity Impact Calculator, разработана Техасской сельскохозяйственной научно-исследовательской лабораторией (США) для оценки последствий эрозии почв на продуктивность посевов. Это, естественно, наложило отпечаток на ее структурную и алгоритмическую реализацию.
4. В модели EPIC используется стандартная агрометеорологическая информация. Однако при отсутствии какого-либо показателя, он заменяется смоделированным значением.
5. Результаты тестирования модели биопродуктивности EPIC показали, что параметрами, наиболее влияющими на рост и развитие растений, являются: приходящая солнечная радиация, температура воздуха и поверхности почвы, осадки.
5.1. Тестирование блока радиации. Расчеты приходящей солнечной радиации по модели проводились для г. Барнаула (Алтайский край), г. Тобольска (Тюменская обл.), г. Коченёво (Новосибирская обл.). Наблюдаются существенные расхождения между экспериментальными данными и рассчитанными по EPIC (табл.).
Изучение блока радиации модели EPIC показало, что при отсутствии экспериментальных данных (а данные по суммарной радиации измеряются не всеми метеостанциями) исходный блок модели EPIC позволяет найти только максимальную суммарную приходящую радиацию. Ее ослабление для условий конкретного дня вычисляется следующим образом: если количество осадков больше нуля, то суммарная радиация уменьшается в два раза. Указанный алгоритм носит очень приближенный характер и приводит к большим ошибкам в расчетах. Вместе с тем, на многих агрометеостанциях и агрометеопостах России измеряется облачность или продолжительность солнечного сияния. Использование этих косвенных данных может значительно увеличить точность оценки поступающей к посеву солнечной радиации.
5.2. В модели большое влияние на рост и развитие растений оказывает температура на по-
Значения суммарной солнечной радиации, МДж/м2^сут
Наблюдаемые Рассчитанные по EPIC Рассчитанные по (2)-(12)
Наблюдаемые Рассчитанные по EPIC Рассчитанные по (2)-(12)
Наблюдаемые Рассчитанные по EPIC Рассчитанные по (2)-(12)
Барнаул Май Июнь 19,34 19,93 37,51 37,35 21,88 20,66 Тобольск 21,68 23,73 38,23 30,94 23,68 22,68 Коченёво 20,37 22,60 41,85 33,78 23,11 20,00
Июль Август
20,10 22,06
37,46 43,25
18,53 14,97
22,55 14,68
33,93 33,32
20,29 12,55
19,13 17,81
34,77 39,67
14,27 11,32
верхности почвы. При ее отсутствии в экспериментальных данных происходит грубая замена смоделированными данными, что сказывается на результатах расчетов по модели.
5.3. Содержание минеральных веществ в почве, в частности, содержание азота, не оказывает существенного влияния на величину биомассы.
При тестировании остальных блоков выявлен адекватный отклик модели на изменение параметров. Модель адекватно реагирует на стрессовые ситуации: недостаток или избыток влаги, низкую или высокую кислотность почвы, содержание гумуса в почве. Однако в результате глобальных стрессов (засуха, переувлажнение) не происходит гибели растения, а лишь приостановка его развития. Величина урожая в модели зависит от сроков сева.
Учитывая все сказанное выше, можно сделать вывод о том, что модель EPIC в «чистом» виде не может быть использована для прогноза урожайности на территории Западной Сибири, необходима ее модификация. Для этого были сохранены те блоки модели, которые хорошо идентифицируются на данных по Западной Сибири, и модифицированы блоки радиации, теплового режима почвы с использованием исследований радиационного режима атмосферы и теплового режима почвы [1, 9].
Приведем в качестве примера основные соотношения, составляющие предложенную модификацию блока радиационного режима. В его рамках моделируется приходящая к посеву солнечная радиация, поглощенная посевом коротковолновая радиация, тепловая радиация и ФАР. Для солнечной радиации, приходящей на горизонтальную поверхность земли, используется соотношение:
(2)
где N - длительность светового дня, ч; n - число часов солнечного сияния; Ra - солнечная радиация, приходящая к границе атмосферы. Входящие в эту зависимость коэффициенты a = 0,22, b = 0,54.
sn у
Величина Ra рассчитывается по соотношению:
Ra = Ro Sin(ho) , (3)
где R0 - солнечная постоянная, равная 1370 Дж/м2с; h — высота солнца над горизонтом.
Расчет высоты солнца производится по формуле:
sin Aq = sin cpcos 5 + + coscp cos 8 cos(2ji(/a +12) / 24), (4)
5 = -0,408cos(2Ti(íd +10)/365), где ф - географическая широта местности; 5 -угол склонения солнца; th - время суток, отсчитываемое от полудня, ч; td - номер дня по Юлианскому календарю.
Радиационный баланс посева Rnc определяется по значению приходящей интегральной радиации с учетом альбедо а:
Rc = а - a)R, (5)
Приходящая к посеву радиация включает в себя две составляющие - прямую и рассеянную (диффузную) части. При безоблачном небе, когда n/N ~ 1, доля диффузной радиации определяется по формуле
D/S = min{l; 01/sinh0}, (6)
где S - прямая радиация, D - диффузная. При наличии облачности, т. е. в тех случаях, когда n/N < 0,9, прямая радиация отсутствует, и вся радиация является диффузной.
Функция ослабления суммарного потока радиации при ее проникновении вглубь посева для растений рассчитывается по полуэмпирической формуле Х.Г. Тооминга [8]:
(S/D) exp(-qLsin Aq) +aD(L, Aq)
+
1 + S/D (7)
+ c2[exp(-cjc3 sin ¡Tq) - exp(-qL/ sin hq)],
где c1 = 0,5, c2 = 0,3, c3 = 0,15; L - величина листового индекса.
Функция ослабления радиации используется для расчета радиации, поглощенной в некотором слое фитомассы. Так, для яруса листьев между двумя поверхностями с листовыми индексами L' и L" поглощенная радиация равна:
ARp=Rc(\-a)(a^(L)-ai(L )).
(8)
В соответствии с этим радиационный баланс на поверхности почвы определяется как
АЯ5=Дс(1-а)(1-^Ш). (9)
Переход от суммарной радиации к суммарной ФАР осуществляется по формуле
0ф = ^ (10) где коэффициент перехода cQ равен
ce = (cSD-1 + cD)(1 + S/D).
При этом величина cs зависит от высоты стояния солнца, а cD постоянна и приблизительно равна °,6. Поглощение ФАР растением рассчитывается по тем же формулам, что и для интегральной радиации, если положить в них с2 =
Для величины длинноволнового радиационного баланса принято соотношение:
Ki = (0,9^ + ОД) • (0,34 - 0,139 • Vöx
N (11)
ха-0
где ed - дефицит влажности воздуха, кПа; Tmax и Tmin - максимальная и минимальная температуры
воздуха, К; о - постоянная Стефана-Больцмана, МДж/м2 K4 сут.
Радиационный баланс посева равен:
R = R - R , . (12)
np nc nl 4 '
Результаты численных расчетов величины приходящей радиации по альтернативному блоку радиационного режима посева для трех регионов Западной Сибири приведены в таблице и говорят о хорошем совпадении экспериментальных данных с расчетными. Положительный результат получен и после модификации блока теплового режима почвы. Идентификация параметров модели проводилась одновременно в рамках единого алгоритма идентификации.
Результаты исследовательской работы: сформулированы принципы и разработан алгоритм структурно-параметрической идентификации моделей продукционного процесса для их адаптации к конкретным почвенно-климатическим условиям регионов;
алгоритм структурно-параметрической идентификации реализован на модели биопродуктивности EPIC (модернизирована структура модели за счет модификации блока радиационного режима и включения блока теплового режима почвы);
модифицированная модель EPIC адаптирована к условиям Западной Сибири и может быть использована в области упреждающего прогнозирования урожайности зерновых культур.
Следует отметить, что модель EPIC, разработанная в 80-х гг. прошлого столетия, не соответствует уровню развития современных информационных технологий в области моделирования продукционного процесса растений. Прогресс в развитии как элементной базы, так и программного обеспечения заставляет пересмотреть принципы построения интерфейса модели.
Работа выполнена при поддержке ведомственно-аналитической программы «Развитие научного потенциала Высшей школы 2009-2010» №2.2.2.4/4278.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Полуэктов, Р.А. Модели продукционного процесса сельскохозяйственных культур [Текст]/Р.А. Полуэктов, Э.И. Смоляр, В.В. Терлеев, А.Г. Топаж.-СПб.: Изд-во СПбГУ, 2006.-396 с.
2. Penning de Vries, F.W.T. Simulation of ecophysi-
ological processes of growth of several annual crops [Текст]/
F.W.T. Penning de Vries, D.M. Jensen, H.F.M. ten Berge, A.H. Baketa.-Wageningen, 1989.-308 p.
3. Williams, J.R. The EPIC Model [Текст]/ J.R. Williams-Temple, 1984.
4. Полуэктов, Р.А. Адаптируемость динамических моделей агроэкосистемы к различным почвенно-климатическим условиям [Текст]/Р.А. Полуэктов, И.В. Опарина, А.Г. Топаж [и др.]//Математическое моделирование.-2000.-Т. 12.-№ 11.-С. 3-16.
5. Льюнг, Л. Идентификация систем. Теория для
пользователя [Текст]/Л. Льюнг-М.: Наука, 1991. -432 с.
6. Гроп, Д. Методы идентификации систем [Текст]/Д. Гроп.-М.: Мир, 1979.-302 с.
7. Современные методы идентификации систем [Текст]/Под ред. П. Эйкхоффа.-М.: Мир, 1983.-400 с.
8. Гинсберг, К.С. Неклассические задачи теории
структурной идентификации [Текст]/К.С. Гинсберг// Тр. Междунар. конф. Идентификация систем и задачи управления.-М.-2000.-С. 992-1005.
9. Тооминг, Х.Г. Солнечная радиация и формирование урожая [Текст]/Х.Г. Тооминг.-Л: Гидрометеоиз-дат, 1977.-200 с.
УДК 519.8
В.А. Матвеев
конусная оптимальность в игровои динамическом задаче с векторными выигрышами
Математическое моделирование - важнейшая составляющая научно-технического прогресса. Методы математического моделирования активно развиваются, охватывая все новые сферы - от разработки сложных технических систем до анализа экономических и социальных процессов. Активное развитие общества приводит к все более сложным системам управления - разнообразны требования, предъявляемые к их работе, появляются новые критерии, диктуемые новой технической, экономической и социальной реальностью. Это вызывает необходимость изучения все более сложных управляемых систем [1]. В статье представлена такая модель: динамическая игровая задача с векторными выигрышами у каждого игрока.
Рассматривается линейно-квадратичная динамическая игровая задача двух лиц с векторными выигрышами у каждого игрока:
Г2 = <Е, и, V, {I (Г>}1еЩ,и(;)} }ем2 >. (1)
Здесь {I (г)}геМ1 (;)};еМ2) - векторная функция выигрыша, составленная из критериев первого (второго) игрока. Аналогичная многокритериальная динамическая задача изучалась в [2]. Векторная функция выигрыша первого (второго) игрока задается набором т1 (т2) компонент и множеством номеров компонент - М1 = {1,..., т1} (М 2 = {1,..., т2}).
В задаче Г2 динамика управляемой динамической системы Е описывается системой п линейных дифференциальных уравнений и начальными условиями:
х = А^) х + В!(? )и + В2(? )у, (2)
= х0 .
(3)
Элементы квадратной матрицы А^), порядка п , предполагаются непрерывными функциями на отрезке времени [?0, В], т. е. А(?) е Спхп [?0, В]. Матрица В^) е С^,В] (В2Ц) е Спхк2^0,В]). Здесь 0 < t0 < В - фиксированные моменты начала и окончания процесса. Текущее состояние системы Е в каждый момент времени tе [?0,В], характеризуется фазовым вектором х = (х1,..., хп) е Яп . Этот вектор зависит от времени, т. е. х(?) = (х1(?), ..., х()) и представляет всю информацию, которой располагают первый и второй игроки в момент времени t е [?0, В]. Задана начальная позиция ^0,х0) е [0, В] х Яп.
В (2)-(3) представлено изменение вектора состояния системы х = (х1,..., хп) е Яп под воздействием стратегий и = и(V, х) и V = х) первого и второго игроков соответственно. Дифференциальное уравнение (2) предъявляет определенные требования к их «функциональной природе». Стратегия или управляющее воздействие игрока отождествляется с вектор-функцией и(^х) = Р^)х (v(t, х) = Q(t)х), где элементы к1 х п матрицы Р(V) (к2 х п матрицы Q(t)) предполагаются непрерывными для t е В]. Множество его стратегий:
и = { и = Р^)х | P(t) е СИхп^,В] } (V = { V = Q(t)х I Q(t) е С2хп[to,В] }).
(4)
В управляемой системе Е используется стратегия по принципу обратной связи, т. е. стратегия зависит от ситуации (^ х) е В] х Яп . В то же время применяется наиболее простой вид та-
