ПОСТРОЕНИЕ МНОЖЕСТВ ДОСТИЖИМОСТИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА НЕГЛАДКИХ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ НА ПЛОСКОСТИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР. 15. ВЫЧИСЛ. МАТЕМ. И КИВЕРН. 2024. № 2. С. 6-17 Lomonosov Computational Mathematics and Cybernetics Journal

УДК 517.977, 519.863

A.C. Асеев1, С. П. Самсонов2

ПОСТРОЕНИЕ МНОЖЕСТВ ДОСТИЖИМОСТИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА НЕГЛАДКИХ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ НА ПЛОСКОСТИ

Для класса негладких управляемых динамических систем на плоскости, возникающих в экономике, предложен метод приближенного нахождения границы множества достижимости. Метод основан на явной процедуре сглаживания системы и применении аппарата принципа максимума Понтрягина. В качестве примера рассмотрена задача построения границы множества достижимости для управляемой версии известной модели бизнес-цикла Калдора.

Ключевые слова: управляемая система, множество достижимости, принцип максимума Понтрягина, численные методы, модель бизнес-цикла Калдора.

DOI: 10.55959/MSU/0137-0782-15-2024-47-2-6-17

1. Введение. В последние десятилетия интерес многих исследователей привлекают управляемые динамические модели (т.е. управляемые системы), возникающие в экономике, в частности, в теории экономического роста [1]. Исследование этих моделей вызывает большие трудности, вызванные нелинейностью и негладкостью фигурирующих в них функций, а также наличием неопределенностей. Эффективным средством исследования динамики управляемых систем является аппарат множеств достижим,ости. Множество достижимости управляемой системы — это множество всех точек фазового пространства, в которые можно попасть в заданный момент времени из заданного начального состояния системы при помощи всех возможных допустимых управлений. Знание динамики множества достижимости позволяет не только решать различные задачи оценивания и оптимизации, но и сравнивать выбранный, например, оптимальный в каком-то смысле процесс, с другими допустимыми (не обязательно оптимальными) процессами. Последнее обстоятельство особенно важно в контексте экономических задач, являющихся по сути многокритериальными, и содержащими, как правило, неопределенные параметры.

Задаче построения и оценивания множеств достижимости посвящена обширная литература. Методы эллипсоидальной аппроксимации множеств достижимости для линейных систем развивались в работах [2,3]. Пиксельные методы построения множеств достижимости нелинейной управляемой системы рассмотрены в работе [4]. В настоящей работе предлагается метод приближенного построения границы множества достижимости для одного класса двумерных управляемых систем со скалярным управлением, основанный на специальной процедуре сглаживания динамики системы и применении принципа максимума Понтрягина как необходимого условия попадания траектории на границу множества достижимости. При этом исходная негладкая (липшицева) управляемая система аппроксимируется с заданной точностью управляемой системой с гладким гамильтонианом, для которой (в силу принципа максимума) задача приближенного нахождения границы множества достижимости сводится к решению семейства стандартных гладких задач Коши. Предлагаемый метод отличает простота реализации и возможность распараллеливания вычислений. Заметим, что интерес к двумерным нелинейным динамическим моделям в экономике вызван тем, что, с одной стороны, они имеют достаточно богатую динамику, способную отражать различные реальные экономические явления, например, демонстрировать циклическое поведение системы. С другой стороны, с технической точки зрения анализ двумерных моделей как правило существенно проще общего многомерного случая.

1 Факультет ВМК МГУ, асп., e-mail: anton.ser.asQgmail.com

2 Факультет ВМК МГУ, доц., к.ф.-м.н., e-mail: samsonovQcs.msu.su

Разработанный метод применяется для приближенного построения границы множеств достижимости управляемой версии (см. [5]) известной модели бизнес-цикла Калдора (см. [6-8]), описывающей динамику национального дохода и основного капитала идеализированной экономики при заданной нелинейной и негладкой функции инвестиций. Выбор допустимого управления характеризует проводимую центральным планирующим органом политику стимулирования спроса. Данная модель представляет большой интерес. Известно, что в неуправляемом случае (т.е. в оригинальной модели Калдора (см. [7])) при определенных значениях параметров ее динамика может демонстрировать циклические движения, что может интерпретироваться как периодическое наступление экономических кризисов.

2. Постановка задачи и алгоритм сглаживания. Пусть заданы Т > 0 и непустое открытое множество О С К2. На интервале времени [0, Т] рассмотрим в О следующую управляемую систему:

¿(¿) = /с(ж(^)) + /1(х(£))и(£), х(0) = Ж0, (1)

и(£) € [0,1]. (2)

Здесь х = (х^х2) € К2 — фазовый век тор1, х0 € О — заданное начальное состояние системы, и € К1 — управляющий параметр. Будем считать, что век торные функции /: О ^ К2, г = 0,1, удовлетворяют условию Липшица с постоянной Ь > 0. Кроме того, будем предполагать, что векторная функция Д(-) не обращается в нуль ни в одной точке х € О.

В качестве допустимых управлений системы (1) будем рассматривать все измеримые по Лебегу функции и: [0,Т] ^ К1, удовлетворяющие при всех £ € [0, Т] ограничению (2). Если и(-) — допустимое управление, то в силу липшицевости функций /¿(-), г = 0,1, соответствующее и(-) (единственное) абсолютно непрерывное решение ж(-) задачи Коши (1) существует в О на некотором максимальном интервале времени [0,т), т > 0, и единственно. Предполагается, что для произвольного допустимого управления и(-) соответствующее решение х(-) задачи Коши (1) определено в О на всем интервале [0, Т]. Будем называть это решение х(-) допустимой т,раект,орией системы (1), соответствующей допустимому управлению и(-), а пару (х(-),и(-)) будем называть допустимой парой.

[0, Т]

О

х(£) = / (х(£),и(£)), х(0) = хо, (3)

и(£) € и. (4)

Здесь х € К2, хо € О и € К2, множество и — непустой компакт в К2. Будем считать, что на-

х0 О Т > 0

системой (3) — те же самые, что и в случае системы (1). функция /(■, ■) предполагается непрерывной вместе с матрицей своих частных производных /ж(-, ■) на множестве О х и. В качестве допустимых управлений системы (3) будем рассматривать все измеримые по Лебегу функции и: [0,Т] ^ К2, удовлетворяющие пр и всех £ € [0, Т] ограничению (4). Так же, как и в случае системы (1), будем предполагать, что для произвольного допустимого управления и(-) соответствующее ему (единственное) решение х(-) задачи Коши (3) определено в О на всем интервале [0, Т]. Будем называть это решение х(-) — допустимой траекторией, соответствующей управлению и(-), а пару (х(-),и(-)) — допустимой парой системы (3). Кроме того, будем считать, что для системы (3) с некоторой постоянной Со ^ 0 выполняется следующее условие роста:

(х, /(х, и)) ^ С0 (1 + ||х||2) для всех х € О, и € и. (5)

Напомним, что множеством достижимости управляемой системы (3) из начального состояния хо € О на интервале [0, Т] называется множество X (Т) всех точек фазового пространства

13десь и далее все векторы понимаются как векторы-столбцы. Запись х = (х1, х2) означает, что вектор-столбец х € К2 имеет координаты х1 и х2.

М2, в которые можно попасть из начально го состояния хо на интерв але [0,Т] при помощи всех возможных допустимых управлений и(-), т.е.

X(Т) = {х(Т): Хф п=' / (х(<),иф), х(0) = хо, п(г) € и}.

В силу условия (5) множество X(Т) ограничено, а при дополнительном условии выпуклости век-

тограммы ^(х) = У /(х, и) системы (3) для любого х € С множество X(Т) — компакт (см. [9]).

и&и

Гамильтониан Н(■, •) системы (3) определим стандартным образом:

Н(х,ф) =шах(ф,/(х,и)), х € С, ф = (ф\ф2) € М2. (6)

В дальнейшем через Нх(-, ■) и Hф(■, ■) будем обозначать частные производные гамильтониана Н(■, ■) по переменным х и ф соответственно. Известно, что если гамильтониан Н(■, •) является непрерывно дифференцируемой функцией своих переменных (х, ф) на множестве С х |М2 \{0}|, то для любой допустимой траектории х(-) системы (3), попадающей в момент Т на границу дХ(Т) множества достижимости X(Т), существует такая абсолютно непрерывпая функция ф: [0,Т] ^ ^ М2, что пара (х(-),ф(-)) является решением следующей гамильтоновой системы:

хх(^) = Нф (х(^,ф^)), (7)

ф(£) = -Нл(х(*),ф(<)). (8)

Данный факт является следствием принципа максимума Понтрягина (см. [10, гл. 4, теорема 3]). Мы будем использовать его для обоснования предлагаемого метода построения границы множества достижимости системы (1).

Пусть координаты /1(•), ; = 1, 2, векторных функций /¿(-), г = 1, 2, фигурирующих в описании системы (1), имеют вид

Я(х) = ^Х^д^ ф1,2(х)}, (9)

где ф1я(•), д = 1, 2, — липшицевые с константой Ь и гладкие (класса Ск, к € N к ^ 1, т.е. к

С

функция /1 (■) является максимумом конечного числа функций, она может быть определена при помощи формулы (9) рекуррентно. Заметим, что липшицевые функции, являющиеся максимумами (минимумами) некоторого конечного числа гладких функций естественно возникают при описании динамики экономических систем, в частности, при использовании производственных функций леонтьевского типа (см., например, задачу об оптимальной разработке полезных ископаемых в [11, §3.3]).

Нетрудно видеть, что для функции /1 (•), определенной формулой (9), справедливо тождество /(х) = шах{0,ф1,1 (х) - ф1,2(х)} + ф1,2(х), х € С, г,; = 1,2.

Таким образом, изучение свойств функций вида (9) сводится к случаю, когда одна из функций ф^О ми ф 1 2(') — нулевая. Для простоты изложения далее будем предполагать, что ф^(х) = 0 С

Следующий вспомогательный результат позволяет построить гладкую аппроксимацию лип-шицевой функции /1 (■) явным образом.

Лемма 1. Пусть скалярная функция ф: С ^ М1 принадлежит классу

Ск, к € М, к ^ 1,

в С, а, функция Л-(-) определяется на, множест,ее С равенством

Л,(х) = шах{0, ф(х)}. (10)

Тогда функция, Л,к+1(-) принадлежит классу Ск в С. Кроме того, для любого х € С выполняется равенство

= (к + 1 )Нк(х)фх{х). (11)

Здесь фх(х) обозначает градиент функции ф(-) в т,очке х € С.

Доказательство. Доказательство будем проводить индукцией по к. Пусть к = 1. Рассмотрим произвольную точку £ € О. Если ф(£) = 0 то либо ф(£) > 0 либо ф(£) < 0. В первом случае Л(£) = Ф(£) и Л(х) = ф(х) в некоторой окрестности точки £ € О. Поэтому в силу непрерывной дифференцируемости функции ф(-) в О функция Л2(-) дифференцируема в точке £ и для х = £ выполняется формула (11) (с к = 1). Если ф(£) < 0, то Л(£) = 0 и Л(х) = 0 в некоторой окрестности точки £ € О. Очевидно, что функция Л2(-) снова дифференцируема в точке £ и для нее справедлива формула (11). Пусть теперь ф(£) = 0. Тогда Л(£) = 0 и для любого достаточно малого Дх имеем £ + Дх € О и либо Л(£ + Дх) = 0 либо Л(£ + Дх) = ф(£ + Дх) > 0. В обоих случаях справедливо равенство

Л2(£ + Дх) = Л2 (£) + (2Л(£)фж (£), Дх) + о (||Лж ||),

где о(Дх)/||Дх|| ^ 0 при Дх ^ 0 Следовательно, функция Л2(-) дифференцируема в точке £ и выполняется формула (11).

Таким образом, при к = 1 функция Л2(-) дифференцируема в любой точке £ € О и выполняется равенство (11). Из равенства (11) и непрерывности функции Л(-) и градиента фх(-) вытекает непрерывность градиента функции Л2(■) в О. Таким образом, утверждение леммы в случае к = 1 доказано.

Пусть утверждение леммы верно для к = г ^ 1. Докажем, что оно верно и для к = г + 1. Действительно, рассмотрим произвольную точку £ € О. Возможны два случая: либо ф(£) = 0, либо ф(£) = 0 В первом случае в некоторой достаточно малой окрестности точки £ либо Л(-) = ф(-) (если ф(£) > 0), либо Л(-) = 0 (если ф(£) < 0). Поэтому если ф(£) = 0 т0 функция Лг+1(-) дифференцируема в £ и выполняется равенство (11). Во втором случае ф(£) = 0 и, рассуждая аналогично случаю к = 1, получаем, что снова функция Лг+1(-) дифференцируема в £ и для х = £ справедлива формула (11). Таким образом, функция Лг+1(-) дифференцируема в каждой

х € О х € О

предположения индукции вытекает, что функция Лг+1 (■) принадлежит классу Сг в О. Так что утверждение леммы верно для к = г + 1. Лемма доказана.

Следствие. Пусть выполняются условия леммы 1. Тогда, для, любого к € N к ^ 1, и произвольного е > 0 функция (•), определенная для всех х € О равенством

К,к{х) = [кк+1{х)+е)^1 , (12)

принадлежит классу Ск в О. Кроме того, для любого х € О имеем

0 < ке,к{х) - к{х) < е^тг. (13)

Доказательство. Доказательство вытекает из леммы 1 и неравенства

{а + Ъ)^ ^ (Л + Ъ^, а,Ь^0, к£ N.

Определим множество (эллипсоид) ие С К2, е > 0, равенством

Ч-с'.-ЧттНИтЭЧ}- (14>

е ие

К2

и = {и = (и1, и2) : 0 < и1 < 1, и2 = 0}.

Отождествим управляющий параметр и с координатой и1 точки и € и. Тогда содержащий управление член правой части системы (1) записывается в виде

/1(х)и = ^ (х)и,

где и € И и ^(ж) = / 1(ж), /2(ж)^ — невырожденная матрица размеров 2 х 2 со столбцами Д(ж)

и /2(ж) а липшицева функция /2: С ^ М2 такова, что ||/2(ж)|| = 1 для любого ж € О. Нетрудно видеть, что такая векторная функция /2(■) всегда существует. Например, функцию /2(0 можно определить равенством

/2(ж) = ("Й1'Й1)' (15) Поскольку /1 (ж) = 0 то функция /2(■) определена равенством (15) корректно, 11/2(ж) | = 1 и в силу равенства (/1(ж),/2 (ж)) = 0 матриц а ^ (ж) — невырожденная пр и всех ж € О. Заметим, что если функция Д(-) принадлежит классу Ск(О) к € N т0 и функция /2(0, определенная равенством (15), очевидно, принадлежит тому же классу гладкости Ск в О, что и /1(-). Рассмотрим теперь следующую управляемую систему с параметром е > 0:

жф = /о , е(ж(<)) + (ж) , ж(0) = жо, (16)

€ Ие. (17)

ж(0) = жо € О

/о,£: О ^ М2 и невырожденная матричная функция : О ^ М2х2, = (/1,е(-), /2,е(•))> определены для всех достаточно малых значений е > 0 и принадлежат классу Ск, к ^ 1, в О. Множество И£ определено равенством (14), а допустимые управления V: [0,Т] ^ М2 — измеримые функции, удовлетворяющие условию (17). Множество достижимости системы (16) с начальным условием (2) в момент Т > 0 обозначим через Х£(Т).

Лемма 2. Пусть векторные функции Д£(-), г = 0,1, 2, принадлежат классу Ск, к € N к ^ 1, в О. Тогда, гамильтониан Н£(■, ■) системы (16) принадлежит тому же классу гладкости Ск в О х {М2 \ 0}.

Доказательство. В силу определения гамильтониана (см. (6)) и представления эллипсоида ие (см. (14)) в виде IIе = 0)+АеВ1 (0), где Ае — диагональная 2х2-матрица с диагональными

компонентами 1 + е и е и Вг(0) = {ж € М2: ||ж|| ^ г} — круг радиуса г > 0 с центром в 0 из М2,

имеем

Н(ж,ф) = (/о,е(ж),ф) + 8ИР (^£(ж)и,ф) = (/о,£(ж),ф) + 8ИР (ж)Ф) =

= (/о,£(ж),ф) + ^/11,£(ж)ф1 + ^/12£(ж)ф2+ вир (и,АеЕ£*(х)гР) =

1 1 и£В 1 (0)

= (/о,£(ж),ф) + ^/^(ж)^1 + ^/12£(ж)ф2 + \ \\А£Р:{х)Ф\\ .

Поскольку матрица (ж) — невырожденная для любого ж € О, отсюда вытекает, что гамильтониан Н£(, ■) принадлежит тому же классу гладкости Ск в О х {М2 \ 0}, что и функции Д£(-), г = 0,1, 2.

Теорема. Пусть Т > 0 и предположим, что функция /о,£: [0,Т] ^ М2 и матричная функция : О ^ М2х2, (ж) = / 1,£(ж), /2,£(ж)^ (с^. (16)), удовлетворяют неравенствам

8ИР ||/(ж) - /г,£(ж)|| < е, г = 0, 1, 8ИР ||/2,£(ж)| < 1.

хео хео

, [0, Т]

в О. Тогда для множеств достижимости X(Т) и Х£(Т), систем (1) и (16) соответственно выполняется неравенство

с[Ы(Х(Т),Х£(Т)) < ^ (еьт - 1) , (18)

где dist (X(Т),Х£(Т)) — хаусдорфово расстояние между компактами X(Т) и Х£(Т).

Доказательство. Прежде всего заметим, что в силу сделанных предположений обе системы (1) и (16) удовлетворяют условию роста (5) (каждая со своей постоянной Co) и имеют выпуклые вектограммы в G. Поэтому их множества достижимости X (T) и X£(T) являются компактами в М2 (см. [9]). Пусть (x(-),u(-)) — произвольная допустимая пара системы (1). Тогда v(-) = (u(-), 0) — допустимое управление системы (16). Обозначим через x£(-) соответствующую ему допустимую траекторию системы (16). Тогда на отрезке [0, T] имеем

x(t) = f (t,x(t)) = fo(x(t)) + /i(x(i))u(i), x(0) = xo,

(t) = fe (t, x£(t)) = fo,£(x£(i)) + F£(x£(i))v(i), x£(0) = xo.

В силу предположений о системе (1) (липшицевости с постоянной L функций fo(-) и fi(-)) для любых x1; x2 из G и t € [0,T] выполняется неравенство ||f(t,x1) — f(t,x2))|| ^ L||x1 — x2||. Кроме того, в силу предположений леммы для любых х € G и t € [0,T] имеем ||f (t,x) — f£(t,x)|| ^ 2e. Отсюда в силу неравенства ^ ||Ä(i)|| ПРИ п-в- t € [0, Т] получаем

^||x(i)-x£(i)|| < ||x(i)-x£(i)|| = \\f(t,x(t))-fe(t,xe(t))\\ <

< ||f (t,x(t)) — f (t,Xe(t))|| + ||f (t,Xe(t) — fe(t,Xe(t))|| < L||x(t) — Xe(t) || + 2e. Так как x(0) = x£(0) = Xo, то отсюда получаем ||x(T) — х£(Т)|| ^ ^ (eLT — 1). Следовательно,

Х(Т)сХ£(Т)+Б^(еьТ_1}(0).

Противоположное включение доказывается аналогично. Для произвольной допустимой пары (х£(-),v(-)), v(-) = (v1(-),v2(•)), системы (16) определим допустимую пару (x(-),u(-)) системы (1) равенством u(-) = v1 (•). Повторяя предыдущие рассуждения, получаем

Х£(Т)сХ(Т)+Б^(еьТ_1}(0).

Таким образом, неравенство (18) доказано.

Доказанная теорема позволяет приближенно находить границу множества достижимости X (T) негладкой системы (1) при помощи ее аппроксимации системами вида (16) с гладким гамильтонианом (на множестве Gx {М2 \ {0}}). Действительно, в силу гладкости гамильтониана системы (16) граница dX£ (T) множества достижимости X£ (T) содержится в множестве

Xe(T) = U X£(T).

Здесь объединение берется по всем решениям х£(■) соответствующей (16) гамильтоновой системы вида (7), (8) с начальными условиями х(0) = Xo и ^(0) = ^o € dB, где dB = {^o = = H^oH = 1} — единичная окружность в М2. С другой стороны, само множество X£(T)

по определению содержится в множестве достижимости X£(T). Таким образом, всегда выполняются включения

0X£(T) С X£(T) С X£(T). (19)

Включения (19) дают основание рассматривать множество X£(T) концевых точек х£(T), получающихся в результате решения соответствующей (16) гамильтоновой системы, в качестве приближения границы dX£ (T) множества достижи мости X£ (T). Будем называть это мн ожество X£ (T) гамильтоновой аппроксимацией границы dX£ (T) множества достижи мости X£ (T) системы (16). Пусть {^o,i}^=51 — некоторая ¿-сеть в dB и (xi(-),^г(■)) — решение на [0,T] задачи Коши

x(t) = Я; (x(t),^(t)), (20)

#) = —HX(x(t),^(t)), (21)

ж(0) = Хо, ф(0) =

Заметим, что в силу однородности гамильтониана H£ (ж, ф) по перемен ной ф для любого решения (ж£(•),ф|(•)) системы (20), (21) с ненулевым начальным состоянием ф(0) = ф0^ € dB имеем ф|(t) = 0 для любого t € [0, Т].

Обозначим: Хг,£ = |J ж£(Т) С Х£(Т). Следующий результат позволяет оценить точность i=1,...,Ns

нахождения решений системы (20), (21) в зависимости от выбора 5.

Лемма 3. Пусть правая часть гамилътоновой системы (20), (21) удовлетворяет условию Липшица, с постоянной L£ > 0, i = 1,..., N&. Тогда, для, любых ф0 € dB и ф0^ € 0B, ||ф0 — ф0^|| ^ 5, для траекторий (ж£(),ф£(•)) и (ж|(0,ф£(•)) системы (20), (21) с начальными условиями ж£(0) = ж0, ф£ (0) = ф0 и ж|(0) = ж0, ф£ (0) = ф0^ соответственно выполняется неравенство

||(ж£(Т),ф£(Т)) — (Жi(Т),фДТ))|| < e^T5.

Доказательство. Доказательство вытекает из липшицевости правой части системы (20), (21) с постоянной L£, равенств ж£(0) = ж£(0) = ж0 и неравенства

d п.в.

-\\{Хе{1),Фе{т-{хт,Ф£гт\ < ¿е|о,т].

Проведенные рассуждения позволяют сформулировать алгоритм приближенного нахождения границы дХ£(Т) (гамилътоновой аппроксимации) множества достижимости Х£(Т) системы (1) в Т > 0

Шаг 1. Для заданных е > 0 при k € N k ^ 1, используя формулы (10) и (12), определить координаты гладких (класса Ck в G) векторных функции /0,£(•) и /i,£(-), аппроксимирующих с заданной точностью координаты функций /0О и /i(-). При этом пара метр е определяет

k

гладкости Ck в G.

Шаг i?. Для заданных е > 0 при k € N k ^ 1, выбором векторной функции /2,£() заданного класса Ck в G и множества U£ (см. (14)) определить сглаженную систему (16) с ограничением на управление (17). При этом должны выполняться условия леммы 2 и теоремы. Именно,

матрица F£(ж) = (/1,£(ж), /2,£(ж))) должна быть невырожденной и sup ||/2,£(ж)|| ^ 1 для всех

xec

ж € G. Тогда в силу леммы 2 гамильтониан H£(-, •) системы (16) принадлежит классу Ck при ф = 0, а в силу теоремы множество достижимости Х£(Т) системы (16) приближает с заданной точностью множество достижимости X (Т) системы (1).

Шаг 3. Для заданных е > 0 при k € N k ^ 1, выбираем параметр 5 > 0 и {ф0^}N=51 — некоторую

5-сеть в dB. Решая для i = 1,... ,N5 набор задач Коши системы (20), (21) с начальными

условиями ж£(0) = ж0, ф£(0) = ф0 и ж£(0) = ж0, ф£ (0) = ф0^, получаем множество точек

ХЙ£ = U ж£(Т) С Х£(Т) — гамильтонову аппроксимацию границы множества дости-i=1,...,N5

жимости Х£(Т). В силу леммы 3 выбором параметра 5 можно обеспечить заданную точность построения множества Х^£. Заметим, что выбор значения k определяет возможность использования того или иного стандартного пакета для решения задачи Коши.

Заметим, что шаг 3 сформулированного алгоритма допускает очевидное распараллеливание вычислений по начальному условию ф£ (0) i = 1,..., N5.

В следующем разделе рассматривается применение описанного алгоритма приближенного построения границы множества достижимости к управляемой версии модели бизнес-цикла Калдо-ра.

3. Пример. Рассмотрим следующую управляемую версию модели бизнес-цикла Калдора (см. [5]):

F(t) = а [I(Y(t), K(t)) — (1 — u(t))S(Y(t))], K(t) = I(Y(t), K(t)) — 5K(t)

с функциями инвестиций I(■, •) и сбережений S(■) вида

I(Y, K) = max {0, I(Y) — ßK} , S(Y)= yY Y> 0, K> 0. (23)

Здесь Y(t) и K(t) — величины национального дохода и основных производственных фондов (капитала) в момент t ^ 0 а > 0 — поправочный коэффициент, характеризующий скорость реакции системы, 5 > 0 — норма амортизации основных фондов, ß > 0,0 < y < 1- Предполагается, что функция I: [0, то) ^ М1 — логистическая, т.е. I(■) — такая положительная дважды непрерывно дифференцируемая функция, что I(0) = Io > 0 lim I(Y) = < то, I'(Y) > 0 и существует

такое К > 0, что I''(Y) > 0 при Y < Y и I''(Y) < 0 при Y > У. Параметр y характеризует величину сбережений S(Y) как часть yY национального дохода Y в неуправляемом случае. В дальнейшем, аналогично [12], будем использовать функцию I(■) вида

Здесь а, b, c и d — положительные числа и bc > ln а. Тогда при заданных положительных значениях ß и y соответствующие функции инвестиций I (■, •) и сбережен ий S (■) определяются в G

удовлетворяет условию Липшица с постоянной

L = \l ЬЧ\У2) + a^ß2 + ^ + ^ +

В качестве допустимых управлений системы (22) будем рассматривать все измеримые функции и: [0,Т] ^ [0,1].

Обозначим фазовый вектор системы (22) через х = (х1,х2) х1 = У, х2 = К и положим /(х,и) = /о(х) + /1(х)и, где векторные функции / : О ^ К2, г = 0,1, определяются равенствами

/о(х) = (а [I(х1, х2) — 7х^ , I(х1, х2) — ¿х2) , /1(х) = (^х1, 0) .

Положим О = {х = (х1,х2): х1 > 0,х2 > 0}. Тогда записанная в терминах фазовой переменной х

вид

х= а [I(х1 (¿),х2(£)) — Yx1(í)l + аYu(í)x1 (¿),

(24)

хх 2(£) = I (х^х2 (¿)) — ¿х2(;£). 1 '

Если заданы начальное состояние хо = (Уо, Ко) € О и допустимое управление и(-), то соответствующая ему допустимая траектория х(-) = (х1(-), х2(-)) есть абсолютно непрерывное решение

х(0) = хо

для любого начального состояния хо € О и произвольного допустимого управления и(-) соответствующая допустимая траектория х(-) существует и единственна. В силу ограниченности функции I(■) данная траектория определена на всем интервале времени [0, Т] и лежит в открытом О

Для приближенного построения границы множества достижимости X(Т) системы (24) в моТ > 0

При достаточно малом 0 <е<1ои к € N к ^ 1, определим векторные функции /о,е(-) и /1>е(') равенствами

i(x) = (а [I£,fc(x1,x2) — yx1] ,I£;fc(x1,x2) — 5x2)

f 1,£ (x) = f1(x) = (aYx1, 0) , x = (x1,x2) € G

Здесь функция /£ k(■) определяется при помощи формул (10) и (12) как гладкая аппроксимация липшицевой функции /(•) (см. (23)):

h,k(x) = (hk+1(x) + в) k+1 , h(x) = max{0,/(ж)}, x = (ж1 ,x2) € G.

Заметим, что в данном случае функция /i)£(-) не зависит от е. Шаг 1 завершен.

Для заданных е и k определим функцию /2,е(') класс a Ck в G равенством /2,е(ж) = /2 (ж) = = (1, 0) ж = (ж1, ж2) € G и множество U£ равенством (14). Тем самым определена сглаженная система (см. (16)) с матричной функцией

F£(x) = F(ж) = (/i(x), /2(ж)) , /i(x) = («7Ж1, 0) , /2(ж) = (0,1) ,

и ограничением на управление (17). Очевидно, что матрица F(ж) — невырожденная и ||/2(ж)|| = 1 при всех ж € G. Построенная сглаженная система имеет вид

ж 1(t) = a [/e,fc(ж1 (t)^2(t)) - 7ж1^)] + aYv1 (¿)ж1 (t), ж2(t) = /£,k(ж^ж2(t)) - 5ж2(£) + v2(t).

В соответствии с леммой 3 гамильтониан H£(-, ■) системы (25) принадлежит классу Ck в G х х CR2 \ 0}:

H£(ж,^) = a [/£;k(ж1, ж2) - 7ж^ + [/£;k(ж1 ,ж2) - ¿ж2] + sup [о^ж1^1 + v2=

= а [/^(ж1, ж2) - 7ж1С0] V'1 + [^^(ж1, ж2) - 6х2] ф2 + V1 + \ || («7(1 + е)х1ф\еф2) || .

При заданном T > 0 в силу теоремы для множеств достижимости X£(T) системы (24) и построенной сглаженной системы (16) справедлива оценка (18). Шаг 2 завершен.

Для приближенного построения множества 0X£ (T) — гамильтоновой аппроксимации границы множества достижимости X£ (T) системы (22) зададим параметр 5 > 0 и {^г }^=51 — некоторую ¿-сеть в 0B. Решая для i = 1,..., N набор задач Коши (20), (21) с начальными условиями ж|(0) = ж0, (0) = получаем искомое множество = (J ж|(Т) С X£(T). Таким

образом, шаг 3 завершен.

Приведем результаты численных экспериментов в среде Maple.

Выберем следующие значения параметров системы: a = 1, b = 4.2, c =1 d = 0.6, a = 2.2,

в = 0.6, 7 = 0.5 и 5 = 0.5. В этом случае система (22) имеет в области G периодическую

траекторию — предельный цикл (У(-),КС(•)), t ^ 0, внутри которого находится единственное

неустойчивое положение равновесия (У, К) = (1,1) — неустойчивый фокус (см. [5]).

В качестве параметров аппроксимации выберем е = 0.00001 и k = 3. В этом случае правая

часть сглаженной системы дважды непрерывно дифференцируема, а точность аппроксимации

1

векторного поля составляет величину (e)fc+1 = 0.01 (см. следствие ?? к лемме 1). На единичном круге dB выберем равномерную сеть в количестве N = 100000 точек. В этом случае 5 и 0.0000628.

Векторные поля исходной системы (22) и аппроксимирующей ее гладкой системы (25) для выбранных значений параметров в неуправляемом случае приведены на рис. 1. Численное моделирование демонстрирует аппроксимацию векторного поля исходной системы посредством векторного поля сглаженной системы (см. рис. 2).

Для управляемой системы (22) выберем в качестве начального состояния точку (Y0,Ko) = = (1.0568,1), лежащую на предельном цикле (У(-),Kc(-)) в неуправляемом случае, т.е. когда u(t) = 0 t ^ 0 (см. [5]). В этом случае движение системы (22) из точки (Y0, Ко) происходит вдоль предельного цикла (У(-),КС(■)) против часовой стрелки. Такую динамику системы можно интерпретировать как периодическое чередование интервалов роста (когда y(t) > 0) и следующих

к i.

К i -

Рис. 1. Векторное поле исходной системы

Рис. 2. Векторное поле сглаженной системы

за ними интервалов спада (когда Y(t) < 0), т.е. как периодическое повторение экономических кризисов.

Заметим, что множество достижимости системы (22) для всех значений времени T > 0 содержит точку (Yc(T),Kc(T)), соответствующую управлению u(t) = 0 t ^ 0, которая с увеличением времени T движется против часовой стрелки по траектории предельного цикла (Yc(-),Kc(•)). Кроме того, множество достижимости всегда содержит точку (Y(T),K(T)), соответствующую управлению U,(t) = 1, t ^ 0. При этом управлении координата Y(T) соответствующей траектории (Y(-),K(-)) неограниченно возрастает при Т —>■ оо. Соответствующая координата К(Т) в этом случае имеет предел lim К(Т) = /{а + ß) ~ 1.4545.

На рис. 3 приведено построенное при помощи изложенного в п. 2 алгоритма сглаживания множество Xs e(T), являющееся приближением гамильтоновой аппроксимации дХе(Т) множества достижимости Хе(Т) системы (22) в момент времени Т = 19.3477. Нижний и верхний фрагмент множества Х$е(Т) системы (22) в момент времени Т* = 19.3477 приведены на рис. 4 и 5.

Выбор момента времени T* связан с тем, что при заданных значениях параметров данное время является временем быстродействия из точки (Yo,Ko) в точку (Y*,K*) ~ (3.6768669,1.454533), которая в этом случае есть оптимальное стационарное состояние системы (22) (устойчивый узел). При этом оптимальность стационарного состояния (Y*, K*) понимается в смысле максимизации функционала

ф {Y,u) = Y-^-(UY^

на множестве всех пар (Y,й), где (Y,K) — стационарное состояние системы (22), u — величина соответствующего стационарного управления, а ш = 1.8 — параметр, характеризующий расходы в единицу времени на стимулирование спроса. Заметим, что в данном случае положению равновесия (Y*,K*) соответствует стационарное vnравление и* « 0.60440952 (подробнее см. [5]).

Y(t)

Рис. 3. Множество XgtE(T)

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3

шштшжхгхах

Yft)

16 18 20 22

26 28 30 32 34

Yft)

Рис. 4. Нижний фрагмент множества Х$,£(Т) Рис. 5. Верхний фрагмент множества Х$,£(Т)

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Acemoglu D. Introduction to Modern Economic Growth. Princeton, N.J.: Princeton Univ. Press, 2008.

2. Chernousko F.L. State Estimation for Dynamic Systems. Boca Raton: CRC Press, 1994.

3. Kurzhanski А.В., Valyi I. Ellipsoidal Calculus for Estimation and Control. Basel: Birkhauser, 1994.

4. Гусейнов Х.Г., Моисеев А.И., Ушаков В.И. Об аппроксимации областей достижимости управляемых систем // Прикладная математика и механика. 1988. 62. № 2. С. 179-187.

5. Асеев А.С. Оптимальные стационарные режимы в управляемой модели бизнес-цикла Калдора // Матем. моделирование. 2019. 31. № 2. С. 33-47. (Aseev A.S. Optimal stationary regimes in Kaldor's business cycle controlled model // Math Models Comput Simul. 11. 2019. P. 750-758.)

6. Chang W.W., Smyth D.J. The existence and persistence of cycles in a nonlinear model: Kaldor's 1940 model re-examined // The Review of Economic Studies. 1971. 38. I. I. P. 37-44.

7. К a 1 d о r N. A model of trade cycle // The Economic Journal. 1940. 50. № 197. P. 78-92.

8. L о r e n z H.W. Nonlinear dynamical economics and chaotic motion. Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 1993.

9. Филиппов А.Ф. О некоторых вопросах теории оптимального регулирования / / Вестн. Моск. унта. 1959. № 2. С. 25-32.

10. Ли Э.Б., Маркус Л. Основы оптимального управления. М.: Наука, 1972.

11. Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ. М.: Наука, 1988.

12. Рязанова Т.В. Стохастические аттракторы и индуцированные шумом явления в моделях экономической динамики. Отчет о научно-исследовательской работе. Екатеринбург: УрФУ, 2013.

Поступила в редакцию 12.09.23 Одобрена после рецензирования 19.12.23 Принята к публикации 19.12.23