CC BY
18
УДК 539.3:534.2
ПОСТРОЕНИЕ МАТРИЦАНТА УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЙ УСРЕДНЕННОЙ АНИЗОТРОПНОЙ СРЕДЫ РОМБИЧЕСКОЙ СИНГОНИИ В ЯВНОЙ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФОРМЕ
С.К. Тлеукенов, Н.А. Испулов
Павлодарский государственный университет им. С. Торайгырова
Мсщапади тецдеулердщ жуйеЫ cepnindi орта цозгалыстары 6ipinuii рет тецдеулершщ эквивалентппк жуйеане тура Ke/edi. Жалпы окигада, ушш тецдеулердщ иегЬгл жуйелер1, 6epiK шеиимдердьц щурылымы салып алаЬы (матрицант) аналитикальщ усыну октын-оцтын б1ркелк1С13 к,абап. матрицантасы алынган. Анизотропты ортада толцын нуктес1н аньщтайтын нацты аналитикальщ ece6i кврсепплед1. Эртур.т полярлану толцындарыныц жылдамдьщтардыц индикатристердщ тецдеулер1 алынган.
В статье система уравнений движения упругой среды приводится к эквивалентной системе уравнений первого порядка. В общем случае, для исходной системы уравнений, строится структура фундаментальных решений (матрицанта). Получено аналитическое представление матрицанта периодически неоднородного слоя. На основу этого представления строится точное аналитическое решение, определяющее волновое полг в однородной анизотропной среде ромбической сингонии. Получены уравнения индикатрис скоростей волн различной поляризации.
In clause the system of the equations of movement of elastic environment is resulted in equivalent system of the equations of the first order. Generally, fo' initial system of the equations, the structure of the fundamental decisions (matricant) is under construction. The analytical representation of matrica.it periodically ofnon-uniform layer is received. On the basis of it the representation is under construction the exact analytical decision determining wave field in homogeneous anysotropic to environment rhombic singony. The equations of indicatris of speeds of waves of various polarisation are received.
Работа посвящена изучению распространения упругих волн в анизотропных средах ромбической сингонии. В статье система уравнений движения упругой среды приводится к эквивалентной системе уравнений перво-
го порядка. В общем случае, для исходной системы уравнений, строится структура фундаментальных решений (матрицанта). Получено аналитическое представление матрицанта периодически неоднородного слоя. На основе этого представления строится точное аналитическое решение, определяющее волновое поле в однородной анизотропной среде ромбической сингонии.
Распространение упругих волн описывается системой уравнений движений [1]:
дав дг1/,
дХ; д1г '
где уу - компоненты тензора напряжения, II- компоненты вектора смещения. Компоненты тензора напряжения имеют вид:
аи^ эи^ ди. ахх~с" дх+с>г дг +с13. зг;
дих диг ди.
сг, = ср —- + с„ •—- + с„ —-;
•" 12 дх 22 д¥ " дг ' эих ди диг
ст = с,,—- + с,2—- + —-; (2)
дх 32 ду дг ' у '
зиу <5£/
Шх ди.. I
55 эг дх '
Ж д11Л сгху-см(ду+ дх).
Уравнения движения упругой анизотропной среды (1), (2) на основе метода разделения переменных в случае гармонической зависимости от времени:
[и,(х,уЛ^у>4= М4 (3)
могут быть приведены в следующей системе уравнений первого порядка, которая в матричной форме имеет вид [4]:
где
и = [и._,а:г,их,ах:,иу,<гу:]' (5)
Индекс I означает транспонирование строки в столбец. Матрица коэффициентов В для ромбической сингонии в общем случае имеет структуру [6]:
5 =
0 Ьп 6,3 0 ¿,5 0
Ъи 0 0 ¿24 0 ¿26
Ьи 0 0 ¿34 0 0
0 ¿43 0 ¿45 0
¿5, 0 0 0 0 ¿56
0 ¿,5 ¿45 0 ¿65 0
(6)
Коэффициенты Ьу матрицы (6) равны:
Ьп =
К =и _■•/. 43.. ап 42 _ 1Кх >
¿21 = -раг\ Ьм = д3| = ¡кг; 626 = Ь}1 = ¡ку;
I /
6з4=—: = к;см-раз1 + к; с,,--
¿45 = ¿63 =
'-бб + С| 2
С,,Сг
!/сА; ¿56 = —; = - р«2 + с22 -
44 ^ 1-33
2. Построение структуры матрицанта основано на его представлении в форме экспоненциального матричного ряда [2]:
Т=Е+ + ])в(г, )В(22
О II I)
И аналогичном представлении обратного матрицанта Т1 Г1 = Е- ¡Век, + )\В(22 )В(2,
II О I)
Матричные ряды (7), (8) представимы в виде сумм матриц
л=<)
В первом приближении
4" С =
(7)
(8)
(9)
(Ю)
Сравнение элементов второго приближения дает следуюцую зависимость между элементами матрицантов Т и Т"1
Г' =
(I)
'22 0 0 'з2 0 '52
0 'п '4! 0 'б. 0
0 '<4 '44 0 'б4 0
'23 0 0 'зз 0 '53
0 '.6 '46 0 'бб 0
<25 0 0 'з5 0 '55.
(И)
Здесь элементы ^ являются элементами прямого матрицанта Тт = :\)в(1{)В{гг)ё1^г.
0 о
В то время как Т '(2) есть матрица
(I о
Индекс (2) означает второе приближение.
Аналогично сравниваются элементы третьего приближения:
(12)
(13)
Г1 =
х(3)
0 ',2 '42 0 'б2 0
'2, 0 0 'з. 0 '5,
'24 0 0 '34 0 '54
0 ',3 '43 0 'бз 0
'26 0 0 '36 0 '56
0 ',5 '45 0 'б5 0
(14)
(3)
Бесконечные матричные ряды можно представить в виде
Т=Тч + Тт,Гх=Т?-Т1.
Методом математической индукции доказывается, что структура Т"1 сохраняется при любом п.
Таким образом, Т1 для упругих волн распространяющихся в упругих анизотропных средах ромбической сингонии имеет следующую структуру:
Г' =
'22 -',2 -'42 '32 'б2 '52
-'2, 'п '4, -'з, 'б, -'5,
-'24 'и '44 'з4 'б4 "'54
'23 ~',3 -'43 'зз -'бз '53
~'26 ',6 '46 -',6 -'56
. ?25 -',5 "'45 '35 'б5 '55
элементы I матриц Т-1 являются элементами прямой матрицы Т.
3. Аналитическое представление матрицанта периодически неоднородного слоя выводится на основе знания структуры Т1.
Вводится следующая матрица [3]:
Р = аб)
Из (16) следует рекуррентное соотношение
Тг = 2рТ- Е. (17)
Откуда следует аналитическое представление [3]:
Г = Рп(р)Т-Рп_,(р). (18)
Здесь Р„(р) - матричные полиномы Чебышева - Гегенбауэра
4. Фундаментальная матрица уравнений движения усредненной периодически неоднородной упругой среды может быть получена из представления (3), при условии 1>>Ь длина волны, И -период неоднородности), полагая
р,а 1, ф-рг * Тф = (/ = 13), п
где Н=пк - общая толщина слоя,
п - число периодов в слое, получим матрицант усредненной среды [5]:
Ту*. = т =ЪрШр*)Т- РЖ)Е]=±Р
1=1
\
Есо$к1Н + (В)5'ткН
к,
(20)
/г .
= 1,2,3; I ^ ^ клФ к, а р,,рпрк - корни характеристического уравнения, следующие из условия:
= (21)
(2) 2
Для упругих волн в координатной плоскости (уг) матрица Р имеет вид:
Р =
(2)
Рх 0 0 />, 4 0 /V
0 Рх />:з 0 Р 25 0
0 Ры Р1 0 />35 0
/>23 0 0 Рг 0 />46
0 Рх 6 />46 0 Л 0
/>25 0 0 />35 0 Л.
(22)
(2)
Условие (20) с учетом (21) приводит к уравнению третьей степени
Л3 +р2 +Рз)Л2-(р25р16+рыр23 +РльРк -Р\Рг-Р\Рз-РгР*)Ь-(РхРгРз ~Р\Р<ьРъ -РгзРнРз + РпРхьРк + РгьРиРы ~ РиРмРг) =
(23)
или
а = 1
С = />|/>2 + Р^Р^ц ~ >
Я'-аЯ2-ЬЯ-с = 0
которое имеет следующие корни
/5, = и + V , /Г, = £{Ы + Вт)) , /?3 = е2и + £,у
(24),
и = + , у = ц^д-^ ,
1 . л/з 1 л/з _ а2 +ЗЬ -
8, =--+ /—£■, =-----, =----, Щ
' 2 2 2 2 3
2а3 аЬ
27 3
Подстановка корней (24) в (22) приводит к построению матрицанта (19) усредненной среды в явной аналитической форме, который записывается в виде:
>ч'<2> 3(и2+У2+иу) 1 А, 1
3(£2м + £,У + МУ)
Р2 + (Е2Ы + V)Р + (£{112 + g2У2 ~ ЦУ)£ 3(и2 +у2 +МУ)
~ (5) ~
Наряду с построением матрицанта (25) знание корней дает возможность получить уравнения индикатрис упругих волн различной поляризации. Кривые индикатрис определяются уравнениями:
(28)
Кроме того, знание этих корней дает возможность определить усредненные параметры периодически неоднородных сред ромбической гангонии.
В работе построена структура матрицанта уравнений движения, неоднородных вдоль оси г, упругих анизотропных сред ромбической синго-нии (15). На основе аналитического представления матрицанта периодически неоднородного слоя (19) с помощью полиномов Чебышева-Гегенба-уэра, используя низкочастотное (длинноволновое) приближение, построен матрицант уравнений движения усредненной анизотропной среды ромбической сингонии в явной аналитической форме (25).
ЛИТЕРАТУРА
1. Новацкий В. Электромагнитные эффекты в твердых телах: Пер. с польского -М.: Мир, 1986,- 160 с.
2. Гантмахер. Теория матриц - М.: Наука, 1988 - 552 с.
3. Тлеукенов С.К. О характеристической матрице периодически неоднородного слоя. // Математические вопросы теория распространения волн - 17 - Зап научн сем. ЛОМИ АН СССР,-Т.165,- 1987,-С. 177-181.
4. Тлеукенов С.К, Оспан А.Т. Изучение электромагнитных полей в анизотропных средах - Алматы, 2001.
5. Тлеукенов С.К. Построение структуры матрицанта уравнений движения изотропных и упругих анизотропных сред: Автореферат дисс. докт. физ -мат наук -Алматы, 1995,- 33 с.
6. Тлеукенов С.К, Испулов Н.А. Уравнение дисперсии упругих волн в анизотропных слоях. // Материалы науч. конф. молодых ученых, студентов, школьников «II Сатпаевские чтения»,- Павлодар, 2002 - Т.2.- С. 104-110.
