CC BY
10
ления в сечении z = 7,5 м без стабилизатора (кривая 2) и со стабилизатором (кривая 1).
Выводы
1) Компактных размеров стабилизатора давления можно добиться при относительно малых периодах пульсаций давления (Т< 0,1 с). В противном случае необходимо устанавливать упругие камеры.
2) При увеличении частоты массового расхода (и (или) уменьшении скорости звука) при расчетах возникают ограничения по длине рассматриваемой магистрали. Для более протяженных систем необходимо введение дополнительных участков магистрали.
Литература
1. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. М.: Наука, 1967. - 444 с.
2. Рэлей Д.В. Теория звука: в 2 т. -М.:Гостехиздат, 1955. Т.1. - 504 е.; Т.2. - 476 с.
3. Жуковский Н.Е. О гидравлическом ударе в водопроводных трубах. - М.- Л.: Гос-техиздат, 1949. - 103 с.
4. Ржёвкин С.h. Курс лекций по теории звука. — M.: 1±зд-бс МГУ, 1960. — 336 с.
5. Бутпковский А.Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. - М.: Наука, 1975. - 568 с.
6. Кочин Н.Е., Кибель И.А.,Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. - М.: Физмат-гиз, 1963,- 4.1.-583 с.
7. Мясников М.П., Низамова Г.Х. Расчет стабилизатора давления диссипативного типа// Отчет № 4286 Института Механики МГУ. - 1993.-42 с.
8. Рахматулин Х.А. Обтекание проницаемого тела// Вестник МГУ. Серия физико-математических и естественных наук. - М.: Изд-во МГУ, 1950. - С.41-45.
ANALYSIS OF FORCED OSCILLATION IN CIRCULAR CYLINDRICAL
SHELLS WITH PRESSURE STABILIZER OF DISSIPATIVE TYPE FOR HIGHLY COMPRESSIBLE MEDIUMS
F.V. Rekach
Analysis of effective facility for reduction of harmful wave processes in circular cylindrical shells based on dissipative and compressible action in highly compressible mediums is described.
ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ДИНАМИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ПЛАСТИН
С.П. ИВАНОВ, д-р техн. наук, доцент О.Г. ИВАНОВ, канд. техн. наук Е.С. ИВАНОВА, студентка
Марийский государственный технический университет, г. Йошкар-Ола Введение
В настоящее время широко используются пластины в различных областях техники и строительства. При действии динамической нагрузки в плоскости, совпадающей со срединной плоскостью пластины, возникает вопрос о динамической устойчивости. Причем, если материал пластины имеет нелинейную диаграмму деформирования, то будет ставиться задача динамической устойчивости физически нелинейной пластины. Нелинейными свойствами обладают некоторые сорта сталей, сплавы, цветные металлы, композиты. В имеющейся литературе, в основном в физически нелинейной постановке, рассматривались вопросы, связанные с прочностью [1].
Математическое моделирование
Данные экспериментальных испытаний различных материалов, используемых в строительстве, авиации, кораблестроении, машиностроении и т.д. показывают, что зависимость между интенсивностями напряжений <т( и деформаций е, можно принять в виде кубической параболы
а=Е-е~Ехе] , (1)
где Е - начальный модуль упругости, а Е\ - постоянная, учитывающая степень физической нелинейности материала (принимаются по экспериментальным данным).
Учитываем гипотезы Кирхгоффа-Лява и гипотезу о нелинейно-упругом теле. Запишем известные соотношения между деформациями и перемещениями:
= (2)
где
_дгу> дхг'
д2\у. _ д2м> Ху = ду" ' Хху
Перемещения точки К в нормальном 2 направлении (рис, 1) представим в виде разложений по В.З.Власову [2]
*(х,У,0 = 1И'к(0/к(х,у), (к = 1,2,3,...,и). (3)
к
Обобщенные перемещения являются искомыми функциями и зависят от переменной (((- время). Выбор координатных функций /к(х,у) осуществляется по виду деформированного
у состояния системы. >>
Выражения интенсивности деформаций e¡ и объемной деформации в с учетом гипотез Кирхгофа-Лява и сжимаемости материала
(ог = 0, = 0, Еуг = 0)
можно записать следующим образом:
Рис. 1. Пластина в системе координат х, у, 2
Л
2(1 +
(в, - е, )5 + (6/ -ег)2 + (в, -ех)2 +
в = —(ех+£Л
а деформации, в виде
1-у V
■{ех+еЛ
1 V Л -"у;
1-У
Составим удельную энергию изменения объема и формы [1] 1 т 24
1 " о 2 (■
(4)
(5)
(6)
(7)
/ з 0
где К = £/[3(1 - 2у)] - модуль объемного сжатия, v - коэффициент Пуассона.
Работа, отнесенная к единице площади поверхности пластины равна
д/2
А= \ф<к, (8)
-312
где 6 - толщина пластины.
Полная энергия I системы, состоящая из потенциальной Я и кинетической
энергий Г: 54
п. Я будет равна
Л--РЦ)
(д^ \д*2 ;
Оуйг, (9)
Т=1ГГР*
2» в
дю
4у (к,
ь = п - т.
(10)
(11)
В (9), (10) введены следующие обозначения:/?- объемный вес материала; g - ускорение свободного падения; - нагрузка, действующая в направлении оси г; Р(г) - динамическая нагрузка, приложенная к краям пластины в направлении оси х. Определим минимум функционала (11), составляя для него известное уравнение Лагранжа:
Ы й дЬ =0
где - подынтегральная функция выражения (11), а индексы после запятой показывают частные производные от обобщенных перемещений по соответствующим переменным, что используется в дальнейших выкладках (см. уравнение (14)). После раскрытия уравнения (12) приходим к колебательным уравнениям при действии продольной сжимающей динамической Р(Ц и поперечной статической ц нагрузок
!>,* +с1к] ^ -ттХ«.« =ф.> (13)
где а - ширина пластины на которую приходится, действующая полная дина-
мическая нагрузка ]
л у
12(1 — v )
Ф, - выражение учитывает физическую нелинейность материала и имеет следующий вид Ф, = || Ы1хх/1(к(^у Х2{1уу<к(1у - 11 (14)
X у X у X у
Выражения N2, М, входящие под интегралы записываются следующим образом: /V, =Дс( ухХх + 0,5 и^); М2=Дс(у1& +0,5у2хх); =Дс%х, . (15)
где
Д = 0.9Е2&2, Е2
1-у Е (1 + у)2
с = М% 1+х2.)+ч2%х%,+х1,
v, =-
(1-У у
-+1
1
V, --
2 3
2у
(1-у)2
Коэффициенты уравнения (13) записываются так:
= ЦХ*/,« ¿х д.у\ Ь,к = \\/Кху/1<ху ¿х с1у;
у X
У X
(16)
с,к = \\кЛуу & АУ■ = ¡¡Л/, ¿X ¿У-
ух ух
Реализация математической модели. На основании уравнений (13) проведен расчет на динамическую устойчивость шарнирно-опертой по краям прямоугольной пластины (рис. 2) от действия динамической нагрузки . При потере устойчивости по одной полуволне синусоиды в направлении оси х и у перемещения (3) можно записать в следующей форме
Нх,у,0 = 1¥1 (0/, (х,у) = 1¥> №п—зш^. (17)
а о
тогда дифференциальное уравнение вида (13) запишется следующим образом
аО
«О
«.„-О^Ф,.
(18)
В уравнении (18) при вычислении коэффициентов пределы интегрирования по х будут меняться от 0 до а, а по^ от 0 до Ь.
Введем следующее обозначение /'для параметра времени
(19)
/ =
кр
шарнирным опиранием краев
где Ркр - критическая нагрузка при статической устойчивости. При шарнирном опирании краев пластины РщгАт^О/а2.
С учетом (19), после вычисления всех коэффициентов и не-
сложных преобразований для квадратной пластины (Ъ = а) уравнение (18) при-
„ с/2^,
нимает следующим вид
Л"
- + (1 -гЩ-д^ЯЩ1,
(20)
где
а рл
К
■ 0.04425К82
2 я4
Ях-
да
я6/)'
чпру
Интегрирование дифференциального уравнения (20) выполнялось численным методом Рунге-Кутта по фортран программе на ПЭВМ. Результаты расчета представлены графиками (рис. 3). Динамическую критическую нагрузку определяем из критерия бурного выпучивания пластины. Для оценки введем понятие коэффициента динамичности К,), выражающей отношение динамической "критической" нагрузки к статической [3]. В момент бурного выпучивания коэффициент динамичности ^соответствует параметру времени С согласно (19).
В расчет вводим поперечную "нагрузку" д\ = дх /а3 малой величины, с помощью которой учитываем начальное несовершенство пластины. Линии 9-12 соответствуют зависимостям =Мг\(/)/д при степенях физической нели-
нейности Е2= Ю6, 105, 10\ 103 и $ 1, д*= 10"11, Ыа = 0,1. Кривые 5-7
построены для Е2 - 106, 105, 103 при величинах 5*= 0,1; 10'", 51а = 0,1. Кривые 3, 4 построены соответственно при Е2= Ю5, 103; 5*= 0,1; = 10"5, Ыа = 0,1. Графики 1 и 2 построены для значений Е2 = 106, 105, 5,*= 0,01; =10'5, Ыа -0,01. Кривая 8 построена для значений Е2 = 103, 1, д\ = 10'5, Ыа = 0,01. Выводы:
1. Из анализа расчетных данных по кривым 9-12, видно, что коэффициент динамичности Кд с увеличением степени физической нелинейности Е2 уменьшается. Так, при Е2 = Ю3 коэффициент динамичности Кд составляет около 11,5 (см. кривую 12), а при Е2 = 10б величина Кд становится около 10,3 (см. кривую 9). Тоже самое наблюдается, если рассматривать кривые 5 и 7. Здесь К^ = 6 при Е2 = 103 и Кд= 5,2 при Е2 =106 (при 5,*= 0,1).
2. При более быстром росте нагрузки, что характеризует коэффициент 5*, коэффициент динамичности Кд возрастает. Так, при увеличении с 0,1 до 1 коэффициент /¡Гй увеличивается почти в два раза.
к
8 12
A
1 i I
10
2
3| t Si
J Jj — ill
С 1 2 3 А 5 С 1 8 S 10 И 12
Рис. 3. Зависимости "прогиб - время" для сжатой пластинки динамической нагрузкой при различных степенях физической нелинейности и роста нагрузки
3. С уменьшением толщины пластины коэффициент Кд уменьшается (см. кривые 1, 2 и 8). Здесь отношение Ыа = 0,01.
4. С увеличением начального несовершенства пластины, характеризуемой
величиной q\, коэффициент Кд уменьшается.
Работа выполнялась при поддержке грантов: РФФИ № 08-08-00750-а, молодых ученых МК -5371.2008.8.
Литература
1. Лукаш П.А. Основы нелинейной строительной механики/ П.А. Лукаш.- М.: «Стройиздат», 1978.-204C.
2. Власов В.З. Тонкостенные пространственные системы/ В.З. Власов- М.: Гос-стройиздат, 1958. - 502 с.
3. Вольмир А.С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек/ А.С. Вольмир. - М.: Наука, 1972.-432с.
CONSTRUCTION OF MATHEMATICAL MODEL OF DYNAMIC STABILITY OF PLATES C.P .Ivanov, O.G. Ivanov, E.C.Ivanova
The mathematical model of account on dynamic stability of plates having the nonlinear diagram deformation of material is submitted. The algorithm of realization of the given mathematical model is offered. The example of account of plate with hinged supports of sides is considered.
