CC BY
73
УДК 624.073:519.86
А.А. Трещев, В.Г. Теличко, А.В. Башкатов
ФГБОУ ВПО «ТулГУ»
ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ДЕФОРМИРОВАНИЯ КОМПЛЕКСНОЙ ЖЕЛЕЗОБЕТОННОЙ ПЛИТЫ С ПОЛИМЕРБЕТОННЫМ СЛОЕМ ПОД ДЕЙСТВИЕМ
АГРЕССИВНОЙ СРЕДЫ
Рассмотрена математическая модель модификации гибридного конечного элемента для расчета армированных железобетонных плит Приведены инкрементальные уравнения, связывающие приращения напряжений с приращениями деформаций.
Ключевые слова: математическая модель, агрессивная среда, метод конечных элементов, гибридный конечный элемент, изгиб, железобетонная армированная плита, полимербетонный защитный слой, приращения напряжений, приращения деформаций.
В процессе длительной эксплуатации инженерные сооружения подвергаются комплексу внешних воздействий: нагрузок, температур и агрессивных эксплуатационных сред, различных физических полей, совместное влияние которых во многих случаях может привести к интенсивному развитию повреждений и сокращению срока службы сооружений. Агрессивная эксплуатационная среда является одним из главных факторов, влияющих на работоспособность инженерных сооружений. Хлоридсодержащая среда является одной из наиболее распространенных агрессивных эксплуатационных сред для многих конструкций заводов химической промышленности, а также транспортных сооружений. Наиболее распространенным конструктивным элементом при этом являются армированные железобетонные плиты. Ввиду этого ставится задача по разработке математической модели деформирования железобетонной плиты с защитным полимербетонным слоем под действием агрессивной среды.
Железобетон — это сложный композиционный материал, при расчете кон -струкций из которого необходимо учитывать разносопротивляемость и трещи-нообразование. Наиболее эффективно решать подобного рода задачу методом конечных элементов (КЭ), который лишен недостатков, присущих методу конечных разностей. Для расчета конструкций подобного типа наименее противоречивой является модель, предложенная в [1], и гибридные КЭ [2]. Р. Куком получены две модификации гибридных КЭ с тремя степенями свободы в узле. Непосредственное применение КЭ Р. Кука к расчету железобетонных пространственных конструкций некорректно, так как они не учитывают продольные усилия и перемещения в срединной плоскости, а также не дают возможности достаточно просто определить вектор обобщенных сил {M} в центре КЭ. В связи с чем потребовалась разработка модификации гибридных КЭ с пятью степенями свободы в узле и матрицей жесткости. Рассмотрим математическую модель полученного КЭ [3].
126
© Трещев А.А., Теличко В.Г., Башкатов А.В., 2014
Внутри КЭ вектор обобщенных сил представим следующим образом [4]:
М Н* (1)
где [Р] — матрица некоторых функций от координат точки элемента; {р} — вектор коэффициентов, подлежащих определению.
Вектор обобщенных деформаций представим в виде
Г М }=[£ ]{М}, (2)
где [Е ] — матрица податливости.
Энергия деформации для объема КЭ будет определяться как интеграл по его площади
и = 2\{МУ [Е]М}^. (3)
2 я
С учетом того, что КЭ данного класса основаны на функционале вида [5]
П = Х
Un - |{ф|г {t}dS + |{ф)г{t}dS
(4)
где Уп — граница объема элемента; Я — часть границы объема элемента, находящаяся под действием внешнего вектора сил {ф}; п — количество элементов; {}— граничные перемещения, связанные с узловыми перемещениями {д} выражением
{'№М (5)
Тогда получаем, что вектор сил на границе элемента {ф} определяется из уравнения :
{ф}=И{P}, (6)
где — матрица [Р] для контура границы объема элемента.
Подставляя выражения (1), (3), (5), (6) в уравнение (4), получаем функционал вида
П = \(Р}Г [Н]{Р} --{Р}Г [Т]{д} + {ф0}Г {*}), (7)
где
[H] = j[P]T [E][P]dS; (8)
S
[T]= j[R]T [L]dS; (9)
{Ф о} =|{Ф}№^. (10)
я
Из определений вариаций функционала по параметрам {р}, {д}и приравнивая эти вариации к нулю, получаем выражение вида
![т ]т [я Г [т ]{*} = £{ о}, (11)
п п
из которого выделяется матрица жесткости элемента
n
[К ] = [Т ]Т [Я ]-1 [Т ]. (12)
При определении вариации функционала (7) по коэффициентам {Р} получаем связь этих коэффициентов с узловыми перемещениями:
{Р} = [ЯГ [ТМ (13)
Подставляя (13) в соотношение (1), получаем зависимости вида
{М } = [ Р][ Я ]-1 [Т ]{д}. (14)
Получаем, что вектор обобщенных сил {М} определен.
Если представить вектор обобщенных сил через неизвестные коэффициенты {р} в виде
М11 =р1 + Р4X + Р9Х{; М22 =р2 + Р5X + Р10Ч;М 12 =Р3 + Р12X + Р11X2; ^^ 5)
01 =Р4 + Р11; Qг =Р5 +Р12; N11 =Р6;N22 =Р7; N12 =Р8.
С учетом уравнения получаем матрицу [Р] функций М11... М12 от координат точки элемента. При этом вектор Р примет вид
{Р} = {Р 1 Р 2 Р 3 Р 4 Р 5 Р 6 Р 7 Р 8 Р 9 Р10 Р11 Р12 } . (16)
Подставляя матрицу [Р] в соотношение и учитывая известные выражения для интегралов по площади треугольника [1], получим выражения для элементов квадратной матрицы двенадцатого порядка [Я ].
Записав выражение работы вектора обобщенных сил {М} вдоль контура
КЭ, выделим из этого выражения векторы {Р}Т и {д}, тогда то, что останется (см. уравнение), есть матрица [Т].
Рис. 1. Схема треугольного КЭ в плоскости x1 0 x 2
С учетом условия равновесия элементарного треугольника ABC, приведенного на рис. 1, получаем следующие равенства:
Mil = MuCj+ M12S j; M22 = -M22Sj -MnCj; Nn = NnCv+ N,,S v; (17)
N22 = N 22 Sj + N12C j ; Q = QlCj + Q2 Sj , Cj = COS ф j ; Sj =sin ф j. С учетом зависимостей определяем работу распределенных вдоль стороны i - j (рис. 2) сил и моментов следующим образом:
1
А = Я б.>-(м12с„. + м22 б..) +(м12 Sli+ МпС „ ) 2 +
0
+ (мпС. +N12 Б.) +(N22 Б. +МпС. )« 2 ]
где \ = 1 / Ь. — безразмерная координата, измеряемая вдоль стороны КЭ 1 - . .
Зная, что работа усилий и моментов, совершаемая на соответствующих перемещениях вдоль всего контура треугольного КЭ, определяется суммой:
А = А12 + А23 + А31. (19)
Зададимся вектором перемещений в -м узле КЭ:
{я,} = {* V1 V 2, «1,- « ъ } =
= {Я ,1 Я ,2 Я ,3 Я ,4 Я ,5} . (20)
Вектор узловых перемещений всего КЭ можно представить так
{Я} = {Я1 Я2 Яз .. Я15} . (21)
Аппроксимацию граничных перемещений в зависимости от узловых перемещений примем в следующей форме [4]:
*=[МН]{ *}+^-^(-е. ));
У1 =[(1 -^{ь чи-}; V2 =[(1 2, V2.}; (22)
«1 =[(1 1, «1; }; « 2 =[(1 Ч) ^]{« 2, « 2; };
где = + 42,; = V! / ; + V - ; — длина стороны ^ - ] .
Представим текущие координаты х1, х 2 на стороне , - ; через координаты узлов в виде
Х1 = ХИ - 1Ц; Х2 = Х2г + 1Ц% Сц • (23)
Подставляя зависимости (15), (18), (22), (23) в уравнение (19), учитывая при этом (21) и выделяя векторы {в} , {у}, получаем выражения для элементов матрицы [Т ] размера 12 х 15.
Исходную постановку задачи изгиба железобетонных плит рассматриваем в условиях активной деформации и простого нагружения, что позволяет представить бетон как нелинейный материал с его упругопластическими свойствами, укладывающимися в «рамки» потенциала деформаций [6]. Деформации ползучести не учитываем.
В зависимости от конкретных условий напряженно-деформированного состояния фиктивных слоев выделим следующие группы: а) бетонные слои; б) армированные (железобетонные слои). Моделирование данных слоев подробно рассмотрено в [7].
(18)
Рис. 2. Схема усилий и перемещений на стороне КЭ
ВЕСТНИК
3/2014
Новизна работы заключается в том, что к вышеуказанным слоям при моделировании добавляется еще один слой — полимербетон. Для того чтобы построить инкрементальную модель изгиба железобетонной плиты с учетом действия агрессивной среды, необходимо иметь уравнения, связывающие приращения напряжений с приращениями деформаций. Для этого необходимо получить применительно к (24) дифференциал Гато, позволяющий получить физические соотношения в инкрементальной форме.
D = 2 E*D .
а з с £
Данные уравнения построены В.В. Петровым в [8] и имеют вид
(24)
Да =- E*
Д£ X + 1 Д£ v | + -X 2 v j 3
Да v = 3 E.
Д£v +1 Д£X 1 + 4 v 2 X J 3
1
£X + _£v
X 2 v
dE
£ v +— £,
v 2 X
a[b(t)]
dE*
5[5(t)]
Д5;
Д5;
(25)
1 1 dE*
Дт = — E*^y +— Ду —;—c— Xv 3 k ixv 3 ixv 5[5(t)]
Д5.
Однако в нашей модели присутствуют еще два вида касательных напряжений:
Л 1 Л 8E'c Л0
Дх = — Е*Лу +—Ду ——^ До:
xx 3 k 1xz 3 1xz 8[5(0] '
Л ^сЛ 1 Л 8E* Ло
Дх = — E Лу + —Лу —-—c—- Ло, 3 k V 3 V 8[8(0]
(26)
где Дсх, Дс , Дх ху, Дххг, Дх^ — приращения нормальных и касательных напряжений, вызванные приращением внешних воздействий; Двх, Дв , Дуу, Ду хг, Ду ^ — приращения линейных и угловых деформаций; Е* — переменный касательный модуль; Д5 — приращение глубины проникания агрессивной среды.
В дальнейших работах планируется представить описание моделирования слоев, итоги решения задач по расчету плит указанной ранее конструкции и сравнение полученных результатов с уже имеющимися данными опытов.
Библиографический список
1. Трещев А.А. Теория деформирования и прочности материалов, чувствительных к виду напряженного состояния. Определяющие соотношения. Тула : ТулГУ, 2008. 264 с.
2. Cook R.D. Two hybrid elements for analysis of thick thin and sandwich plates // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1972, vol. 5, no. 2, pp. 277—288. DOI: 10.1002/nme.1620050213.
3. Теличко В.Г., Трещев А.А. Гибридный конечный элемент для расчета пространственных конструкций с усложненными свойствами // Актуальные проблемы современного строительства : сб. науч. тр. XXXII Всеросс. науч.-техн. конф. Пенза : Изд-во ПГАСА, 2003. Ч. 2. Строительные конструкции. С. 138—143.
4. Артемов А.Н., Трещев А.А. Поперечный изгиб железобетонных плит с учетом трещин // Известия вузов. Строительство. 1994. № 9-10. С. 7—12.
5. Tong P., Pian T.H.H. A variation principle and the convergence of a finite-element method based on assumed stress distribution // International Journal of Solids and Structures. 1969, vol. 5, no. 5, pp. 463—472. DOI: 10.1016/0020-7683(69)90036-5.
6. Гениев Г.А., Киссюк В.Н., ТюпинГ.А. Теория пластичности бетона и железобетона. М. : Стройиздат. 1974. 316 с.
7. Теличко В.Г., Трещев А.А. Математическая модель расчета пространственных конструкций с усложненными свойствами // Математическое моделирование и краевые задачи : тр. Всеросс. научн. конф. Самара : СамГТУ 2004. Ч. 1. С. 223—226.
8. Петров В.В. Построение инкрементальных соотношений для физически нелинейного материала с развивающейся неоднородностью свойств // Проблемы прочности элементов конструкций под действием нагрузок и рабочих сред. Саратов : Сарат. ун-т, 2005. С. 6—10.
Поступила в редакцию в январе 2014 г.
Об авторах: Трещев Александр Анатольевич — доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой строительства, строительных материалов и конструкций, Тульский государственный университет (ФГБОУ ВПО «ТулГУ»), 300012, г. Тула, пр. Ленина, д. 92, 8(4872)35-54-58, taa58@yandex.ru;
Теличко Виктор Григорьевич — кандидат технических наук, доцент кафедры строительства, строительных материалов и конструкций, Тульский государственный университет (ФГБОУ ВПО «ТулГУ»), 300012, г. Тула, пр. Ленина, д. 92, 8(4872)35-54-58, katranv@yandex.ru;
Башкатов Александр Валерьевич — аспирант кафедры строительства, строительных материалов и конструкций, Тульский государственный университет (ФГБОУ ВПО «ТулГУ»), 300012, г. Тула, пр. Ленина, д. 92, 8(4872)35-54-58, a.bashkatov90@mail.ru.
Для цитирования: Трещев А. А., Теличко В. Г., Башкатов А.В. Построение математической модели деформирования комплексной железобетонной плиты с поли-мербетонным слоем под действием агрессивной среды // Вестник МГСУ 2014. № 3. С. 126—132.
A.A. Treschev, V.G. Telichko, A.V. Bashkatov
DEVELOPING ARITHMETIC DEFORMATION MODEL OF COMPLEX REIFORCED CONCRETE PLATE WITH POLYMER CONCRETE LAYER UNDER THE IMPACT OF CORROSIVE MEDIUM
The arithmetic model of reinforced concrete slab distortion with a polymer-concrete layer exposed to aggressive influences is introduced. The relevance of this object choice as a matter of actual practice. The least contradictory model for specification of the strain-stress state of reinforced concrete constructions is sampled. The most efficient way of solving such tasks is the finite elements method, which lacks the drawbacks of the finite differences method. In this article, the arithmetic model of hybrid finite element qualification for the armored reinforced concrete slabs design is considered. The problem of reinforced concrete slab with a polymer-concrete layer bending is dealt with in the presence of dynamic deformation and simple loading, which gives the opportunity to introduce concrete as a nonlinear material with its elastic-plastic properties, which stay within the strain potential limits. The deformation of creep is not taken into account. The incremental equations connecting stress and deformation increments are provided.
Key words: arithmetic model, corrosive medium, finite elements method, hybrid finite element, bend, reinforced concrete slab, polymer-concrete layer, stress increment, strain increment.
ВЕСТНИК .
МГСУ_3/2014
References
1. Treshchev A.A. Teoriya deformirovaniya i prochnosti materialov, chuvstvitel'nykh k vidu napryazhennogo sostoyaniya. Opredelyayushchie sootnosheniya [The Theory of Deformation and Strength of Materials, Sensitive to a Form of Strained Stress. Defining Relations]. Tula, TulGU Publ., 2008, 264 p.
2. Cook R.D. Two Hybrid Elements for Analysis of Thick Thin and Sandwich Plates. International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1972, vol. 5, no. 2, pp. 277—288. DOI: 10.1002/nme.1620050213.
3. Telichko V.G., Treshchev A.A. Gibridnyy konechnyy element dlya rascheta pros-transtvennykh konstruktsiy s uslozhnennymi svoystvami [Hybrid Finite Element for Calculating Spatial Structures with Complicated Properties]. Aktual'nye problemy sovremennogo stroitel'stva: sbornik nauchnykh trudov 32 Vserossiyskoy nauchno-tekhnicheskoy konferentsii [Proceedings of 32nd Russian Scientific and Technical Conference "Current Problems of the Modern Construction"]. Penza, PGASA Publ., 2003, Part 2 Stroitel'nye konstruktsii [Building Structures], pp. 138—143.
4. Artemov A.N., Treshchev A.A. Poperechnyy izgib zhelezobetonnykh plit s uchetom treshchin [Transverse Bending of Concrete Slabs with Account for Cracks]. Izvestiya vu-zov. Stroitel'stvo [News of Higher Educational Institutions. Construction]. 1994, no. 9—10, pp. 7—12.
5. Tong P., Pian T.H.H. A Variation Principle and the Convergence of a Finite-element Method Based on Assumed Stress Distribution. International Journal of Solids and Structures. 1969, vol. 5, no. 5, pp. 463—472. DOI: 10.1016/0020-7683(69)90036-5.
6. Geniev G.A., Kissyuk V.N., Tyupin G.A. Teoriya plastichnosti betona i zhelezobetona [Plasticity Theory of Concrete and Reinforced Concrete]. Moscow, Stroyizdat Publ., 1974, 316 p.
7. Telichko V.G., Treshchev A.A. Matematicheskaya model' rascheta prostranstvennykh konstruktsiy s uslozhnennymi svoystvami [A Mathematical Model for Calculating Spatial Structures with Complicated Properties]. Matematicheskoe modelirovanie i kraevye zadachi: trudy Vserossiyskoy nauchnnoy konferentsii [Proceedings of the All-Russian Scientific Conference "Mathematical Modeling and Boundary Value Problems"]. Samara, SamGTU Publ., 2004, Part 1, pp. 223—226.
8. Petrov V.V. Postroenie inkremental'nykh sootnosheniy dlya fizicheski nelineynogo materiala s razvivayushcheysya neodnorodnost'yu svoystv [Building Incremental Relations for Physically Non-linear Material with Developing Heterogeneity of Properties]. Problemy prochnosti elementov konstruktsiy pod deystviem nagruzok i rabochikh sred [Problems of Structures' Elements Strength under Loading and Working Environments]. Saratov, Saratov University, 2005, pp. 6—10.
About the authors: Treshchev Aleksandr Anatol'evich — Doctor of Technical Sciences, Professor, Head, Department of Construction, Building Materials and Structures, Tula State University (TulGU), 92 prospect Lenina, Tula, 300012, Russian Federation; taa58@yandex.ru;
Telichko Viktor Grigor'evich — Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, Department of Construction, Building Materials and Structures, Tula State University (TulGU), 92 prospect Lenina, Tula, 300012, Russian Federation; katranv@yandex.ru;
Bashkatov Aleksandr Valer'evich — postgraduate student, Department of Construction, Building Materials and Structures, Tula State University (TulGU), 92 prospect Lenina, Tula, 300012, Russian Federation; a.bashkatov90@mail.ru.
For citation: Treshchev A.A., Telichko V.G., Bashkatov A.V. Postroenie matematiches-koy modeli deformirovaniya kompleksnoy zhelezobetonnoy plity s polimerbetonnym sloem pod deystviem agressivnoy sredy [Developing Arithmetic Deformation Model of Complex Reinforced Concrete Plate with Polymer Concrete Layer under the Impact of Corrosive Medium]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2014, no. 3, pp. 126—132.
