Построение математической модели четырёхколёсного мобильного робота с двумя дифференциальными приводными блоками Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

Построение математической модели четырёхколёсного мобильного робота с двумя дифференциальными приводными блоками

Мешковский Евгений Олегович,

аспирант Института Энергетики Санкт-Петербургского политехнического университета Петра Великого, meshkovskii_evge@mail.ru

Курмашев Арон Даутханович,

к.т.н., доцент, доцент Высшей школы киберфизических систем и управления Санкт-Петербургского политехнического университета Петра Великого, adk553@mail.ru

Рассмотрена задача построения математической модели четырёхколёсного мобильного робота с двумя дифференциальными приводными блоками, которые осуществляют передачу усилия на корпус робота двигателями постоянного тока с постоянными магнитами. Динамическая часть модели учитывает силу трения скольжения согласно закону Амонтона и динамику системы электроприводов. Построенная математическая модель позволяет производить моделирование различных режимов работы электромеханической системы колёсного робота. Масштабируемая структура модели позволяет производить расчёты для мобильных роботов с числом дифференциальных поворотных блоков больше двух и другими видами электроприводов при помощи несложных модификаций. Структура модели даёт возможность внедрять её в системы управления, что позволяет проводить анализ поведения объекта, предварительную настройку и оптимизацию параметров систем управления заданием основных параметров робота и фазных напряжений электродвигателей.

Ключевые слова: Колёсный робот, дифференциальный приводной блок, математическая модель, двигатель постоянного тока, метод Ньютона-Эйлера, Закон Амонтона

В современном мире мобильные роботы применяются во многих областях деятельности человека. Для решения задачи оптимизации и тестирования алгоритмов управления принято использовать метод математического моделирования. Большое количество работ посвящено математическим моделям разной степени проработанности и сложности [1-5].

В данной работе рассматривается построение математической модели динамики четырёхколёсного мобильного робота с двумя поворотными блоками, движение которого осуществляется за счёт двигателей постоянного тока с постоянными магнитами.

Исследуемый мобильный робот можно представить в виде системы корпуса, поворотных блоков, колёс, электроприводов и сосредоточенной массы. Корпус робота располагается на двух поворотных блоках, построенных по принципу дифференциального привода: поворотный блок состоит из двух электроприводов, к валу которых через редукторы прикреплены колёса; блок способен вращаться вокруг точки крепления к корпусу робота; поворот блока осуществляется за счёт разности скоростей колёс.

Движение робота происходит по горизонтальной плоскости, следовательно, достаточно рассматривать случай плоского движения. На рис. 1 представлена обобщённая расчётная схема исследуемого объекта.

Рис. 1

На рис. 1 приняты следующие обозначения: ОХУ1 -глобальная неподвижная система координат, OoXooУooZoo - локальная подвижная система координат, связанная с центром симметрии корпуса робота; 1, 2 -

2 О

м о

о см

0 см

сч

01

о ш т

X

<

т о х

X

точки крепления поворотных блоков к корпусу; 11, 12,

21, 22 - колёса робота; Ц = [/15 к] , Ц =[/2, к2 ] -

векторы, соединяющие центр корпуса робота Оо с точками крепления поворотных блоков 1 и 2, состоящие из проекций на оси с.к. OоXооYооZоо; Хо, Уо - координаты центра корпуса робота в неподвижной с.к. ОХУТ; во -угол поворота корпуса робота (между неподвижной с.к. OXYZ и подвижной с.к. OоXооYооZоо); вь р2 - углы положения поворотного блока 1 и 2 в подвижной с.к. OоXооYооZоо.

Построение математической модели начнём с записи координат центров масс колёс во внешней неподвижной системе координат OXYZ для составления кинематической составляющей модели:

{Хг] = Хо + (1г • Ро - к ' sln Ро ) - ' sln (Рс + Рг )5

|У] = Г0 + (( • Ро + кг ' Ро ) + Ь ' (Ро + Рг ) • (1)

Здесь индекс / обозначает номер поворотного блока; у - номер колеса /-го поворотного блока; ^ =[ Хо,7о ]Т -положение центра корпуса робота в неподвижной си-

- положение / у-

-(

»У = »У

крепления;

V = |>Х, иу ]

корпуса на оси неподвижной системе координат OXYZ;

V.. = Гих, и У1

г] гр г. ]

■ проекции скорости / у-го колеса на оси

то

йг й

Vо = ^о

3о '~ГЮо = Мо5

й^о = V),

йг

-гРо =®о> йг

то - масса корпуса робота, ио - момент инерции корпуса робота относительно оси OоZоо подвижной с.к.; Ро -суммарный вектор всех приложенных сил, Мо - суммарный момент всех сил, относительно оси OоZоо подвижной с.к.

При движении робота, силы, действующие на его корпус, возникают от колёсной системы. По этой причине начнём рассмотрение динамики робота с описания сил, действующих на колесо. На рис. 2, а изображены проекции сил со стороны оси вращения колеса; рис. 2, б содержит изображение проекций сил на виде сверху.

стеме координат OXYZ;; V =Гх У

] У'^У

го колеса в неподвижной системе координат OXYZ;; I/ , Ь - проекции вектора Ц, соединяющего центр симметрии корпуса робота с точкой крепления /-го поворотного блока, на оси подвижной системы координат OоXооYооZcю; (у - расстояние от точки крепления /-го поворотного блока до центра /у-го колеса; в/ - угол положения /-го поворотного блока в подвижной с.к. OоXооYооZоо.

Продифференцировав по времени уравнения (1), получим выражения для проекций скоростей точек контакта колёс с поверхностью:

и X = ио -Юо ' (( • ^ Ро + кг ' Ро ) -

®гН ' (о + Рг) (2)

®о '(( Ро - кг ' ^ Ро )-

-(®о +®г)/] ' ^ (Ро + Рг)5

где шо - угловая скорость корпуса робота относительно центра подвижной с.к. OоXооYооZоо; ш/- скорость вращения /-го поворотного блока относительно точки

проекции скорости центра

неподвижной системе координат OXYZ.

Углы положения корпуса робота во и поворотных блоков в/, скорости вращения корпуса робота шо и поворотных блоков ш/, положение центра корпуса робота Бо и его скорость Vо будут определяться из уравнений динамики.

Для вывода динамической составляющей модели робота воспользуемся методом Ньютона-Эйлера [6, с. 272-274], который базируется на балансе сил и моментов:

б

Рис. 2

В процессе движения на колесо действует приводная сила Рпр и сила трения скольжения Ртр. Рассмотрим данные силы в локальной с.к. O¡jX¡jY¡jZ¡j, связанной с центром скорости /у-го колеса.

Приводная сила Рпр возникает за счёт работы электродвигателя, подключённого к валу колеса. В нашем мобильном роботе используются электродвигатели постоянного тока с постоянными магнитами. Математиче-

а

ское описание электропривода / /-го колеса можно привести к системе дифференциальных уравнений первого порядка (без учёта контуров положения и скорости) [7, с.38-39]:

р. = рч

У пру

■Ггу...

тру

ш

дву

иу ]

1 ру ■ КК] '

й Т 1

л я у II ц к

М ДЫХ Дч 1 ру

1 я] )'

Му

кеу ' ш дву ^яу -1 яу

.. I ..

яУ '

Следующим этапом построение математической модели колёсного робота идёт рассмотрение динамики поворотного блока. К поворотному блоку колёса прикреплены параллельно, оси вращения колёс расположены на одной прямой. Силы, участвующие в движении поворотного блока изображены на рис. 3. Все операции рассматриваются в локальной с.к. /Х/У 2/, связанной с точкой крепления поворотного блока к корпусу.

(4)

шдв] - скорость вращения электродвигателя / /-го

колеса; и] - проекция линейной скорости //'-го колеса

и

на ось О/Х/ локальной с.к. О/ХУ2{; 1я// - ток якоря; и фу - напряжение фазы; Кяу, Ьяу - сопротивление и индуктивность обмотка, кеу , км. - конструктивные по-

Мвых

Д.. - динамический момент на

выходе редуктора;

1ДУ

1 ру -

передаточное число редук-

тора; ^ у - коэффициент полезного действия редук-

'р у тора.

Вычислив момент на выходе редуктора в (4), можно определить продольную составляющую вектора приводной силы РЩру (поперечная составляющая отсутствует):

.. Мвы

рху = Ду

р у - ^ '

(5)

Рис. 3

На поворотный блок действуют силы со стороны колеса /1 и /2. Проекции векторов сил колёс не требуют дополнительных преобразований из-за условий их расположения. Вектор суммарной силы 8, действующей на поворотный блок, и численное значение момента относительно оси 2, создаваемого силами со стороны колёс, можно найти следующим образом [8, с.176]:

¥УУ = 0.

яру

1Ку

Колесо робота двигается без проскальзывания. Для

расчёта силы трения скольжения гу

законом Амонтона в проекциях на оси с.к. колеса [8, с.101-102]:

1Г = г 1 + г

М = ц 1 х г;

Ц 2 х г 2'

(8)

где знаком ■т

обозначено векторное произведение;

1 тр у Н1 1 У у

и:

и

и-

гуу. =-ц- N. -

тр у г .

и.

воспользуемся ц = [о, /л ] , Ц2 =[0, —/2 ] - векторы, соединяющие

центры //-го колёс с точкой крепления /-го поворотного блока.

Динамическую модель поворотного блока составим путём подстановки (8) в (3). Приведя её к форме Коши, удобной для численного моделирования [9, с.119], получим:

(6)

р - коэффициент трения скольжения; N/ - сила реакции опоры; УЦ = , иу | - проекции линейной скорости //-го колеса на оси О/Х// и О/У/ локальной с.к.

й 1 ^

—ш. = — ■м1,

Ж ' X ' й Р

-Р < =ш,-

Ж ' '

(9)

О/Х/У/^/];

и.

модуль вектора линейной скорости / /-

го колеса.

Просуммировав (5) и (6), найдём проекции вектора суммарной силы 8/ колеса на оси локальной с.к.

О/Х/У/¡2 /

Проинтегрировав уравнения в (9) можно получить угловую скорость ш/ и угол положения в/ /-го поворотного блока.

Для перехода к рассмотрению воздействия сил со стороны поворотных на корпус робота (рис. 4) необходимо произвести преобразование проекций сил 8 из локальных с.к. /ХУ в локальную с.к. ОоХооУоо2оо. Это действие можно совершить при помощи матрицы поворота [10, с.56]:

X X

о

го А с.

X

го т

о

ю

2 О

м о

X

о

CN О

сч сч

о ш m

X

<

m О X X

Рис. 4

Проекции вектора суммарной силы Ро, действующей на корпус, и численное значение момента относительно оси OоZоо, создаваемого силами со стороны поворотных блоков, можно найти следующим образом:

I я0о = я (-Р1)' я/ + я (-Р2)' яД (11)

[М о = Ц X (я (-Р1)• Я/ ) + ¿2 X (я (-Р2)• Я/),

Динамическая модель корпуса робота образуется путём подстановки (11) в (3). Для определения проекций скорости корпуса робота в неподвижной с.к. OXYZ следует предварительно преобразовать проекции вектора Ро из локальной с.к. OоXооYооZоо в неподвижную. Приведя динамическую модель к форме Коши, получим:

V = — • R (-р0 )• Fo,

(12)

йг

й 1

—®о = —'М о,

аг 3о =

—Ро = ®о> йг

Интегрируя систему (12) можем получить проекции векторов V у на оси с.к. OXYZ подстановкой в уравнения (2). Для использования их при расчёте скорости электропривода в (4) и силы трения (6) следует произвести предварительное преобразование проекций Vj в локальную с.к. iX¡Y¡Zí:

Vj = R ((o + ( ) -

(13)

v;=r (Po+P, )*v ,

I „, ,-Rv,

I„J = j- • ((фЦ - ■ - R„j ■1 „j)

M т=-

1pjj * %

F'J =

npij

Fmpjj =

F"ij =

npij r> R

Fy'J = 0,

npj '

m вт

F"1 =-ц-N * т-Ч,

mpi j r^ j '

Fy'j =-Li-N *j,

mp\j > ij '

Fij = Fij + Fij

ij npij mpij'

F' = Fj + Flv M = j xFj + L2 xF'2,

d 1 n

—at =—Mi,

dt J d P

dt

Fo0 = R (-(j)• F + R (-P2) * F2'

Mo = j x(R(-(j)•Fj1) + j x(R(-P2)• F22),

JdtVo = -L. R (-(o)• Fo, dt mo d 1 ,, —»o = Т'м o,

dt Jo

ddt^o=Vo, d P

—(o =»o, dt

f = J "j = Xo + (( •cos (o - hi * sin (o ) - lij -sin ((o + (i ) ij 1У" = 7o + ( • sin Po + hi * cospo) + lij * cos (Po + Pi),

V =JU" = U° "®o* (('sin(o + hi *c0s(o)-(c°o + roiK 'cos((o + P) j К = +»o *(li'cos (o - VSin (o )-(»o + »i )lij 'sin ((o +(i )■

(14)

На основе системы (14) можно составить блочную структуру программной реализации математической модели колёсного робота (рис. 5).

г]

Собрав всё описанное ранее в единую систему, мо-

жем получить итоговую модель исследуемого объекта (с

целью уменьшения объёма конечной системы, часть

уравнений будут записаны в ранее используемой индексной форме [,} = 1,22):

Рис. 5

Структуры системы (14) и программной модели на рис. 5 дают возможность достаточно просто произвести преобразования для колёсных роботов с числом поворотных блоков больше 2. Помимо данного свойства, модель может производить расчёты для мобильных роботов с электродвигателями других типов (асинхронные, синхронные, шаговые, вентильные), заменой блока привода колеса.

j

Продемонстрируем результаты программной реализации полученной математической модели. При проведении первого эксперимента, в качестве начальных

условий укажем S0 = [о,о]Т, во = п / 8, в1 = 0, в2 = 0, Uф11

= Uф21 = 24 В, Uф12 = Uф22 = -24 В, mо = 150 кг. Для второго

эксперимента примем £о = [о,о]Т, во = п / 8, в1 = п / 3, в2

= - п / 4, Uф11 = Uф21 = 24 В, Uф12 = Uф22 = -24 В, mо = 150 кг. Результаты численных экспериментов представлены на рис. 6. На графиках изображено положение центра симметрии корпуса робота.

Y.

20

:о

/

/ /

S

/ J J

Г->

г1

б

Рис. 6.

Результаты первого эксперимента (рис. 6, а) соответствуют прямолинейному движению, которое достигнуто за счёт параллельного расположения поворотных блоков и одинакового фазного напряжения электродвигателей. Второй эксперимент (рис. 6, б) показывает ситуацию, при которой поворотные блоки вступают в «конфликт», из-за чего происходит «виляние» центра корпуса робота. По характеру кривой заметно, что данный процесс сходящийся и завершится прямолинейным движением.

В результате проведённого исследования была получена математическая и программная модель исследуемого колёсного робота. Структура модели даёт возможность производить численные эксперименты и встраивание в системы управления для роботов с количеством поворотных блоков больше 2. Полученная форма модели позволяет получать различные характеристики мобильного робота (ток фаз двигателей, силы и

моменты колёсной системы, линейные скорости колёс и корпуса, положение элементов конструкции) в зависимости от фазных напряжений путём ввода конструктивных параметров корпуса и параметров электродвигателей.

Литература

1. Андрианова, О. Г. Моделирование движения колесного робота по заданному пути / Андрианова, О. Г. // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. - 2011. - № 10. - С. 1-15.

2. Бартенев В.В. Математическая модель движения мобильного робота с двумя независимыми ведущими колесами по горизонтальной плоскости / Бартенев В.В., Яцун С.Ф., Аль-Еззи А.С. // Известия Самарского научного центра Российской академии наук - 2011. -Т.13, №4. - С. 288-293.

3. Бурдаков, С.Ф. Системы управления движением колесных роботов / С.Ф. Бурдаков, И.В. Мирошник, Р.Э. Стельмаков. - СПб: Наука - 2001. - 227 с.

4. Воркель А. А. Моделирование процесса путевой стабилизации колёсного робота / Воркель А. А., Ткачев С. Б. // Инженерный вестник. Электронное издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана. - 2015. - № 6. - С. 501517.

5. Лыков, А.С. Математическая модель движения четырехколесного мобильного робота на наклонной поверхности / Лыков, А.С. // Сб. науч. трудов SWorld: материалы международной науч.-практ. конф. «Современные направления теоретических и прикладных исследований '2013». - Одесса. - 2013.

6. O'Reilly O. M. Intermediate Dynamics for Engineers: A Unified Treatment of Newton-Euler and Lagrangian Mechanics. 2nd Edition. Cambridge, Cambridge University Press, 2008. 408 p.

7. Михайлов, О.П. Гибкие производственные системы, промышленные роботы, робототехнические комплексы. Практическое пособие. Книга 14. Современный электропривод станков с ЧПУ и промышленных роботов / О.П. Михайлов, Р.Т. Орлова, А.В. Пальцев - М.: Высшая школа. - 1989. - 111 с.

8. Сивухин, Д. В. Общий курс физики. Т. I. Механика - М.: Наука, 1979. - 520 с.

9. Устинов, С.М. Вычислительная математика: учебное пособие для вузов по направлениям подготовки "Системный анализ и управление" и "Информатика и вычислительная техника" / С.М. Устинов, В. А. Зимниц-кий - СПб: БХВ-Петербург - 2009. - 330 с.

10. Лурье А. И. Аналитическая механика. - М.: Физ-матлит. - 1961. - 824 с.

Construction of a mathematical model of a four-wheel mobile

robot with two differential drive units Meshkovskiy E.O., Kurmashev A.D.

Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University The task of constructing a mathematical model of a four-wheeled mobile robot with two differential drive units that transmit power to the robot body with DC motors with permanent magnets is considered. The dynamic part of the model considers the sliding friction force according to Amonton's law and the dynamics of the electric drive system. The constructed mathematical model allows modeling various operating modes of the electromechanical system of a wheeled robot. The scalable structure allows calculations for mobile robots with various differential rotary blocks and other types of electric drives with the help of simple modifications. The structure of the model makes it possible to implement it in control systems, which allows an analysis of the object's behavior, preliminary tuning

X X О го А С.

X

го m

о

ю

2 О

м о

а

and optimization of control system parameters by setting the basic parameters of the robot and phase voltage of electric motors. Keywords: Wheel robot, differential drive unit, mathematical model,

DC motor, Newton-Euler method, Amonton's law References

1. Andrianova, O. G. Modeling the movement of a wheeled robot

along a given path / Andrianova, O. G. // Science and Education. MSTU named after N.E. Bauman. Electron. journal - 2011. - No. 10. - S. 1-15.

2. Bartenev V.V. The mathematical model of the movement of a

mobile robot with two independent driving wheels on a horizontal plane / Bartenev V.V., Yatsun S.F., Al-Ezzi A.S. // Bulletin of the Samara Scientific Center of the Russian Academy of Sciences - 2011. - T.13, No. 4. - S. 288-293.

3. Burdakov, S.F. Wheel Robot Motion Control Systems / S.F.

Burdakov, I.V. Miroshnik, R.E. Stelmakov. - St. Petersburg: Science - 2001 .-- 227 p.

4. Vorkel A. A. Modeling the process of track stabilization of a

wheeled robot / Vorkel A. A., Tkachev B. B. // Engineering Herald. Electronic Publishing House MSTU. N.E. Bauman. -2015. - No. 6. - S. 501-517.

5. Lykov, A.S. A mathematical model of the movement of a four-

wheeled mobile robot on an inclined surface / Lykov, A.S. // Sat scientific Proceedings of SWorld: Proceedings of the international scientific-practical. conf. "Modern directions of theoretical and applied research '2013." - Odessa. - 2013.

6. O'Reilly O. M. Intermediate Dynamics for Engineers: A Unified

Treatment of Newton-Euler and Lagrangian Mechanics. 2nd Edition. Cambridge, Cambridge University Press, 2008. 408 p.

7. Mikhailov, O.P. Flexible manufacturing systems, industrial robots,

robotic systems. Practical Guide. Book 14. Modern electric drive of CNC machines and industrial robots / O.P. Mikhailov, R.T. Orlova, A.V. Fingers - M .: Higher school. - 1989. - 111 p.

8. Sivukhin, D. V. General course of physics. T. I. Mechanics - M .:

Nauka, 1979. - 520 p.

9. Ustinov, S.M. Computational mathematics: a textbook for universities in the areas of training "System Analysis and Management" and "Computer Science and Computer Engineering" / S.M. Ustinov, V.A. Zimnitsky - St. Petersburg: BHV-Petersburg - 2009 .-- 330 p.

10. Lurie A. I. Analytical mechanics. - M .: Fizmatlit. - 1961. - 824 p.

o

CN O CN

CN

O HI

m

X

<

m o x

X