CC BY
33
УДК 539.3
ПОСТРОЕНИЕ КРИВЫХ ПРЕДЕЛЬНЫХ ДЕФОРМАЦИЙ ПО МЕТОДУ ХИЛЛА - СВИФТА С УЧЕТОМ КРИСТАЛЛОГРАФИИ СТРУКТУРЫ
С.В. Сурудин, Я. А. Ерисов, И.Н. Петров, В. А. Разживин
На основании критериев локализации деформации при пластическом формоизменении листового металла, предложенных Р. Хиллом и Г. Свифтом, а также критерия пластичности, учитывающего в явном виде константы кристаллической решетки и кристаллографии структуры, выведены зависимости для теоретического построения кривых придельных деформаций. Проведен анализ влияния типовых кристаллографических ориентаций на предельные деформационные возможности материала.
Ключевые слова: кривые предельных деформаций, локальная деформация, метод Хилла - Свифта, критерий пластичности, кристаллографическая ориентация.
Введение. В технологических расчетах процессов листовой штамповки до сих пор используются соотношения теории пластичности, основанной на феноменологическом подходе и гипотезе сплошной (бесструктурной) среды, куда не входят параметры кристаллографической текстуры и константы кристаллической решетки, являющиеся физической основой прочности, пластичности и анизотропии свойств заготовок [1, 2].
В практике листовой штамповки стандартом для оценки условий начала локализованного образования шейки при различных видах нагруже-ния (от одноосного растяжения, сдвига и плоской деформации до равноосного двухосного растяжения) стали кривые предельных деформаций (FLD)
[3].
Экспериментальное построение кривых предельных деформаций, по-прежнему, остается самым надежным способом прогнозирования разрушения материала. Однако, используемые экспериментальные методы относительно трудоемкие и дорогостоящие, так как для их проведения необходимо специализированное оборудование, большое количество испытываемого материала. При этом полученные результаты не всегда удается воспроизвести.
Существуют два подхода к теоретическому расчету предельных деформаций в процессах листовой штамповки: энергетический и кинематический [4]. Энергетический подход заключается в определении предельной деформации на момент начала образования шейки и предсказывает несущую способность заготовки; кинематический подход - на момент локализации деформации, когда на большей части заготовки формоизменение останавливается [5].
Наибольшее распространение среди кинематических методов получили методы Г. Свифта и Р. Хилла [6, 7]. Оценка достоверности данных методов показала, что метод Г. Свифта целесообразно использовать для построения кривой предельной деформации только для области, где обе главных деформаций в плоскости листа принимают положительные значения, а
метод Р. Хилла, где одна из деформаций имеет отрицательные значения. Таким образом, совместное применение данных методов позволяет теоретически построить кривую предельных деформаций во всем диапазоне деформаций [8].
Используя подходы, предложенные Г. Свифтом и Р. Хиллом, построены кривые предельных деформаций и выполнен анализ влияния кристаллографии структуры на предельные деформационные возможности материала.
Будем считать, что функция текучести является функцией напряженного состояния <7г-= /(сг^сг2) и функцией интенсивности деформации
<7, = /(£1) одновременно. Тогда в случае изотропного упрочнения производную функции текучести можно определить двумя путями:
Эсг . Э<х . ¿/<7, . ...
О/ =-Н-<71 =-Г£г> (!)
0(Т\ 0(72 1
где &1 и ¿1 - скорости изменения интенсивности напряжений и деформаций; и &2 ~ скорости изменения главных нормальных напряжений, действующих вдоль направления прокатки и поперечного направления.
Согласно Г. Свифту, образование шейки при двухосном растяжении происходит, когда нагрузка достигает максимума вдоль главных направлений [6]:
<71 = <71 ¿1;
1 1 1 (2)
Подставляя уравнения (2) в (1), с учетом ассоциированого закона течения получим условие потери устойчивости по Г. Свифту:
ГЛ2 Г л2
(1о
дет, Ъох)
о Л +
да,
'д(Ти
<?2 ■ (3)
Для того чтобы учесть влияние кристаллографии структуры на деформационные возможности материала, воспользуемся функцией текучести, учитывающей константы кристаллической решетки и параметры кристаллографической ориентации структуры [9, 10], которая для случая плоского напряженного состояния в главных осях анизотропии описывается следующим выражением:
Ъ = +Лъ\)- Щгта + {П\2 + гцъ)™2а°ъ (4)
где та = ох/<т2- показатель плоского напряженного состояния; г/^ -обобщенные показатели анизотропии:
15(^-1)
Ъ + 2А'
А' - параметр анизотропии кристаллической решетки:
^=^111-^122 (6) 2^2323
Аг+А7-А,-4], (5)
Зщ - упругие константы кристаллической решетки; дг- - ориентационные факторы кристаллографической ориентировки {Ик!](иш}:
д _ И^к2 + к2!2 + ^ ,
' (И} + к2 +¡2 )2
И, к, ¡! - индексы Миллера, определяющие /-е направление в кристалле относительно системы координат, связанной с образцом. Подставляя в условие (3) функцию (4), получим
^ [(^12 +^31) - 112тд ]2 + тд [(112 + 123 ) тд - 112 ]2 (8)
(112 + 131)- 2112та + (Л12 + 123 ) т%
2
Предположим, что зависимость между интенсивностями напряжений и деформаций описывается степенной функцией
V = КеП, (9)
где К и п - константы материала.
Дифференцируя уравнение (9) и подставляя результат в выражение (8), найдем предельную интенсивность деформации [9, 10]:
V 2 [(112 + 131)-2112та + (112 +123 )т^]2 _
еV _~Т--2--2 п. (10)
[(112 +131) - 112та ] + та [(112 +123 ) то-112 ] Подставляя (10) в формулы для главных деформаций [9, 10]
е _ 1 _(112 +131 )-112та_е
е _—¡=—I - е ,
1 ^(112 +131) - 2112та + (112 +123 ) т-
е _ J__(112 +123 ) та-112_е
определим предельные деформации по Г. Свифту:
(11)
е
(112 +131) - 2112та + (112 + 123 ) ] [(112 +131) - 112та ]
V __
[(112 +131)- 112та ]2 + та [(112 +123) та -112 ]2
(112 +131) - 2112та + (112 + 123 ) ] [(112 + 123 ) та -112 ]
п,
е _ е2 _
(12)
[(112 +131)- 112та ] + та [(112 +123) та -112 ]2
п.
12 V [(112 +123) та п2 Хилл Р. предположил, что при одноосном растяжении локализация утонения начинается, когда вызванное пластической деформацией упрочнение, приводящее к увеличению напряжений, становится равным разупрочнению вследствие уменьшения толщины [7]. Данное условие выполняется, если
&\=°\{ё\+£2)- (13) Подставляя уравнение (13) в (1) для случая <т2 = 0 (та = 0), с учетом
ассоциированного закона пластического течения получим
Л 2
Л?,
Эсг7
г- = (1 + те) ^ а19 (14)
где т£ = £2/£1 ~ показатель деформированного состояния.
С учетом функции текучести (4) выражение (14) примет следующий
вид:
¿/сг7 1
г
с/£. 72
(1 + те)у1т]п (15)
Используя, как и в методе Г. Свифта, степенную функцию упрочнения (9), найдем из (15) предельную интенсивность деформации:
-^ (16)
(1 + ^)^12+131
Подставляя (16) в формулы для главных деформаций (11), определим предельные деформации по Р. Хиллу:
н п
1 + т
£
(17)
«2
я _ т£п
1 + т£
Так как рассматривался случай одноосного растяжения, то выражения (17) справедливы только при те < 0 . Кроме того, как видно из выражений (17), метод Р. Хилла не позволяет учесть кристаллографической ориентации структуры даже при использовании соответствующего критерия пластичности.
Для построения обеих ветвей кривой предельной деформации необходимо использовать метод Г. Свифта для области те > 0 и метод Р. Хилла для те < 0 .
Рассмотрим лист из меди, для которого компоненты тензора податливости 5{Х11 =15,0 ТПа-1; Б'1122 = 6,30 ТПа"1 и 5^323=33,3 ТПа"1 [11], тогда по формуле (6) имеем А' =3,203. Используя зависимости (5) и (7) для типичных идеальных кристаллографических ориентировок [12] рассчитаем ориентационные факторы и обобщенные показатели анизотропии (табл. 1).
На рисунке показаны кривые предельных деформаций для различных кристаллографических ориентировок (таблица). Как и ожидалось, в области те<0 невозможно проводить анализ деформационных возможностей материала с учетом его кристаллографии структуры. При двухосном растяже-
нии наиболее высокие деформационные возможности по сравнению с изотропным материалом обеспечивают ориентировки {110}<001> и {110}<112>. Необходимо отметить, что кривые для изотропного случая и кубической ориентировки совпадают.
Ориентационные факторы и обобщенные показатели анизотропии
идеальных кристаллографических ориентировок
Кристаллографическая ориентировка Ориентационные факторы Обобщенные показатели анизотропии
Наименование {hkl}<uvw> D1 D2 A3 h12 h23 h31
Медь {112}<111> 0,333 0,250 0,250 0,533 1,116 0,533
Латунь {110}<112> 0,250 0,333 0,250 0,533 0,533 1,116
S {123}<634> 0,281 0,278 0,250 0,617 0,835 0,814
«Куб на ребре» {100}<011> 0,250 0,250 0,0 -0,054 1,703 1,703
Кубическая {100}<001> 0,0 0,0 0,0 1,703 1,703 1,703
Госса {110}<001> 0,0 0,250 0,250 1,703 -0,054 1,703
Изотропный случай 0,20 0,20 0,20 1,0 1,0 1,0
--¡—'1-1-' £у!п
-0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4
- Изотропный ....... Copper {112}<111> ......Brass {110}<112>
■ S{123}<634> — - Rotated Cube {100}<011>
а
----| £Jn
-0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4
- Изотропный---- tube (100ИЭ01>
- - Goss{110}t001>
б
Кривые предельных деформаций по методу Г. Свифта и Р. Хилла для идеальных кристаллографических ориентировок деформационного (а) и рекристаллизационного (б) типов
Заключение. Построены кривые предельных деформаций материала на основе методов Р. Хилла и Г. Свифта с учетом критерия пластичности, учитывающего кристаллографию структуры материала. Однозначно назвать ориентировку, обеспечивающую наилучшие деформационные возможности невозможно, так как предельные параметры деформирования зависят от конкретной технологической операции листовой штамповки (напряженного состояния), так, при линейном растяжении наилучшие показатели - у ориентировки деформационного типа, при двухстороннем растяжении - у ориентировки рекристаллизационного типа.
Список литературы
1. Демьяненко Е.Г., Тлустенко С.Ф., Попов И.П. Анализ технологических процессов отбортовки-формовки в системе LS-DYNA // Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета имени академика С.П. Королева. 2006. №2. Ч. 1. С. 282 - 286.
2. Демьяненко Е.Г., Попов И.П. Исследование способа формообразования тонкостенных деталей на основе процессов отбортовки и формовки // Авиационная техника. 2016. №2. С. 114 - 118.
3. Formability of Metallic Materials. Plastic Anisotropy, Formability Testing, Forming Limits / D. Banabic, H.J. Bunge, K. Pohlandt, A.E. Tekkaya. Berlin: Springer, 2000. 335 p.
4. Чумадин А.С. Теория и расчеты процессов листовой штамповки (для инженеров). М.: МАТИ, 2014. 215 с.
5. Stoughton T.B., Zhu X. Review of theoretical models of the strain-based FLD and their relevance to the stress-based // International Journal of Plasticity. 2004. Vol. 20. P. 1463 - 1486.
6. Swift H.W. Plastic instability under plane stress // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 1952. Vol. 1. P. 1 - 18.
7. Hill R. On discontinuous plastic states, with special reference to localized necking in thin sheets // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 1952. Vol. 1. P. 19 - 30.
8. Morales-Palma D., Martínez-Donaire A.J., Vallellano C. On the Use of Maximum Force Criteria to Predict Localised Necking in Metal Sheets under Stretch-Bending // Metals. 2017. Vol. 7. Art. No. 469.
9. Erisov Y.A., Grechnikov F.V., Surudin S.V. Yield function of the orthotropic material considering the crystallographic texture // Structural Engineering and Mechanics. 2016. Vol. 58, Is. 4. P. 677 - 687.
10. Ерисов Я.А., Гречников Ф.В., Сурудин С.В. Критерий пластичности анизотропной среды с учетом кристаллографии структуры и его экспериментальная проверка // Вестник Магнитогорского государственного технического университета им. Г.И. Носова. 2016. Т. 14. №4. С. 42 - 49.
11. Landolt-Bornstein. Numerical data and functional relationships in science and technology. New Series. Group III: Crystal and solid state physics. Vol. 1. Elastic, piezoelectric, piezooptic and electrooptic constants of crystals. Berlin: Springer, 1966.
12. Prediction of yield surfaces of textured sheet metals / J.H. Cho, F. Barlat, K. Chung, J.W. Kwon, K.H. Oh // Metallurgical and materials transactions. 1999. Vol. 30(A). P. 377 - 386.
Сурудин Сергей Викторович, канд. техн. наук, доцент, [email protected], Россия, Самара Самарский национальный исследовательский университет имени академика С. П. Королева,
Ерисов Ярослав Александрович, канд. техн. наук, инженер, [email protected], Россия, Самара, Самарский научный центр Российской академии наук,
Петров Илья Николаевич, студент, [email protected], Россия, Самара Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королева,
Разживин Василий Андреевич, студент, vasia.razzhivinayandex.ru, Россия, Самара Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королева
THEORETICAL ANALISYS OF FORMING LIMIT CURVES USING HILL-SWIFT APPROACH TAKING INTO ACCOUNT THE CRYSTALLOGRAPHIC TEXTURE
S. V. Surudin, Y.A. Erisov, I.N. Petrov, V.A. Razzhivin
In the work, based on the criteria for strain localization during sheet metal forming, proposed by R. Hill and H. Swift, as well as plasticity criterion, taking into account the crystal lattice constants and structure crystallography explicitly, dependences for theoretical calculation of forming limit curves were derived. The analysis of the effect of typical crystallographic orientations on the limit strains of the material is made.
Key words: limiting deformation curves, local deformation, Hill-Swift method, plasticity criterion, crystallographic orientation.
Surudin Sergey Viktorovich, candidate of technical sciences, docent, innosam63@gmail. com, Russia, Samara, Institute of Space Rocket Engineering, Samara National Research University,
Erisov Yaroslav Aleksandrovich, candidate of technical sciences, engineer, yaro-slav. erisov@mail. ru, Russia, Samara, Samara National Research University Samara Scientific Center of Russian Academy of Science,
Petrov Ilya Nikolaevich, student, ilpetrofl10895@yandex. ru, Russia, Samara, Institute of Space Rocket Engineering, Samara National Research University,
Razzhivin Vasily Andreevich, student, vasia.razzhivinayandex.ru, Russia, Samara, Institute of Space Rocket Engineering, Samara National Research University
