Построение кривых Гурвица для универсального хеширования Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИНФОРМАЦИОННО-ТЕЛЕКОММУНИКАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

УДК 681.3.06

ПОСТРОЕНИЕ КРИВЫХ ГУРВИЦА ДЛЯ УНИВЕРСАЛЬНОГО ХЕШИРОВАНИЯ

О.Г. ХАЛИМОВ1 А.Д. БУХАНЦОВ2 Г.З. ХАЛИМОВ1

1}Харьковский национальный университет радиоэлектроники

2)Белгородский государственный Национальный исследовательский университет

e-mail:

gennadykhalimov@mail.ru

bukhantsov@bsu.edu.ru

Представлен метод построения кривых Гурвица по делителям порядка конечного поля на основе последовательного подъёма показателей кривых от наименьшего значения старшего показателя к искомому, что позволяет сократить время вычисления степенных показателей кривой и получить кривую с наилучшим отношением числа точек к роду кривой.

Ключевые слова: универсальное хеширование, алгебраические кривые Гурвица.

Универсальное хеширование по алгебраическим кривым х над конечным полем ¥ц на основе скалярного произведения по рациональным функциям линейного

базисного пространства / е ¥(х)\ {о} для сообщения т = (т1,...,тк), т1 е ¥д в точке

к

кривой Р} определяется вычислением кР, (т) = ^ (р )т . Вероятность коллизии

1=1

определяется отношением £ = рк /N, где рк - максимальное значение полюса

рациональной функции /к и N - число точек алгебраической кривой [1]. Практическое

универсальное хеширование реализуется в конечных полях размерности 264 + 2128. Классическое решение задачи построения хеширования по максимальным кривым третьего рода в квадратичном поле представлено в [2]. Быстрые вычисления кр (т) в

простом поле определяют проблематику построения алгебраических кривых заданного рода с большим числом точек. Для простого поля наилучший результат достигается по кривым Гурвица [3]. Основные результаты по кривым Гурвица представлены в [4-7].

Серия История. Политология. Экономика. Информатика.

2014 № 1 (172). Выпуск 29/1

Впервые оценки параметров кривых Гурвица в конечном поле получены в [4] и развиты в работах [5-8]. Решение задачи построения максимальных кривых Гурвица представлено в [1, 5, 9]. Важной научной задачей является разработка метода построение кривых Гурвица заданного рода без ограничений на показатели степени над произвольным конечным полем с уменьшенной сложностью вычислений.

Целью статьи является разработка метода построения кривых Гурвица заданного рода по делителям порядка конечного поля. С этой целью в разделе 1 приводятся основные результаты и определения по кривым Гурвица. В разделе 2 представлен метод построения кривых Гурвица на основе последовательного подъёма показателей кривых.

1. Основные результаты по кривым Гурвица в конечном поле. Многообразие нетривиальных кривых Гурвица определяется значениями делителей порядка поля.

Утверждение 1[6]. Пусть F конечное поле и q — 1 = рхЄірг...pkk, et > 1. Нетривиальные кривые Гурвица Hп п n > l принадлежат одному из семейств:

a) XnY + YnZ + XZn = 0, если A(n,l = l) = n2 — n +1 = p •... • p};

b) XnYl + YnZl + XlZn = 0, если A(n,l) = n2 — nl +12 = pl •... • p];

c) XcnYcl + YcnZcl + XclZcn = 0, если A(cn,cl) = c2 • p •... • p};

d) XcYc + YcZc + XcZc = 0, если A(c, c) = c2,

где делители p,...,p . тождественны 1 по mod 6 кроме, делителя равного 3, все c,p,...,p.

взяты из набора делителей порядка поля q — 1 = p^1 p/2...pkek и gcd(n,l)> 1.

Замечание 1.

1. Кривые с числом точек N ^ q + 2 называются нетривиальными [6].

2. Уравнения а) и b) утверждения 1 определяют кривые Гурвица Hn и Нпг.

Уравнения с) и d) являются производными от кривых а) и b), и определяются по делителям порядка конечного поля.

3. Просто показать, что кривые Гурвица XnY1 + YnZ1 + Xі Zn = 0,

X!Yn + YlZn + XnZl = 0 и XnYn—l + YnZn—l + Xn—Zn = 0, n > l являются кривыми одного

рода и имеют одинаковое число точек с точность до перестановки координат.

Род кривой Гурвица определяется выражением

g = (n2 — nl +12 + 2 — 3gcd( n, l))/2 = (A(n, l) + 2 — 3gcd( n, l))/2. (1)

Замечание 2. Род кривой определяется делителями порядка поля, так как A(n,l) = n2 — nl +12 = p •... • p ., что впервые отмечено в [7].

Вычисления по кривым Гурвица для простого поля F , q = 2011 представлены в

q

табл. 1. Максимальных кривых в простом поле не существует, за исключением тривиального случая квадратичного уравнения.

Замечание 3. Как следует из прямых вычислений для кривых Гурвица при малом роде число точек кривых почти равняется порядку простого поля и только когда g > q

значение N / q становится существенно больше единицы.

Существование обобщенных кривых с наименьшим значением параметра A(n, l) = p • р • р определяется теоремой 1 [6] .

Теорема 1. Пусть задано конечное поле F . Делители порядка поля q — 1 есть

числа p,р,...,р и p = 1mod6, для Vi кроме, может быть одного делителя равного 3.

Тогда существует обобщенная кривая Гурвица Нп1 XnYl + YnZl + XlZn = 0, такая что

gcd(п2 — nl +12,(q —1)) = p1p2 . pk.

154

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Таблица 1

Параметры кривых Гурвица над простым полем F

q q -1 = Pi Рг- H Й l Д(п, l) — n — nl + l N g NH N / Nh N / q

2011 2^5^7 (2,1) 3=3 1953 1 2101 0,93 0,97

(9,2) 67=67 1544 33 4949 0,312 0,77

(16,5) 201=3-67 1611 100 10912 0,148 0,8

(4,2) 12=22^3 2043 4 2368 0,863 1,02

(6,3) 27=33 1947 10 2902 0,671 0,97

(10,5) 75=3^52 2403 31 4771 0,504 1,19

(12,6) 108=22^33 1515 46 6106 0,248 0,75

(18,4) 268=2^67 2147 132 13760 0,156 1,07

(20,10) 300=22^3^52 603 136 14116 0,043 0,3

(27,6) 603=3^67 1812 298 28534 0,064 0,9

(30,15) 675=3^5**2 2703 316 30136 0,09 1,34

(32,10) 804=22^3^67 4023 400 37612 0,107 2

(45,10) 1675=5^67 3353 831 75971 0,044 1,67

(48,15) 1809=3^67 1812 901 82201 0,022 0,9

(80,25) 5025=3^52^67 10053 2506 225046 0,045 5

(90,20) 6700=225267 13403 3336 298916 0,045 6,66

(134,67) 13467=3672 26937 6634 592438 0,045 13,39

(160,50) 20100=2235267 40203 10036 895216 0,045 19,99

(268,134) 53868=223672 107739 26734 2381338 0,045 53,57

(670,335) 336675=352672 673353 167836 14939416 0,045 334,83

(1340,670) 1346700=22352672 2693403 672346 59840806 0,045 1339,34

Прмечание: жирным шрифтом выделены кривые с параметрами отношения N / q > 1, Nff - значение границы Хассе-Вейля числа точек для кривой рода g.

Построение нетривиальных кривых Гурвица Hп по делителям порядка поля Fq определяется теоремой 2.

Теорема 2 [7]. Пусть задано конечное поле F . Делители порядка поля q —1 есть

числа р = 1mod6, для Vi кроме, может быть одного делителя равного 3. Степень n нетривиальной кривой Гурвица XnY + YnZ + XZn = 0 определяется выражением

п = nipi + n2 p2 +... + щРк mod pi ■ p2 •... • pk, (2)

к

p = bt П Ps = 1(mod P,) , (3)

s=1

s

где n,n2,•••,nk- образующие элементы мультипликативных подгрупп 6-го и 2-го порядков по модулям p,рр , а b - целые числа.

Действие теоремы представлено в примере 1.

Пример 1. Пусть задано конечное поле F , q = 232 - 3713. Среди делителей

порядка поля q — 1 есть числа p = 13, р = 43, р = 7. Построить по делителям p, р, р3

нетривиальную кривую Гурвица Hn.

Решение. Делители р, р, р определяют мультипликативные подгруппы 6-го

порядка так как р = 1 mod 6, i = 1,3 . Каждая мультипликативная подгруппа определяется двумя образующими элементам (по вычислениям из формулы Эйлера). Просто показать, что образующие элементы для подгрупп по модулям р, i = 1,3 принимают значения:

- п = 4 и 10 для подгруппы по модулю рх = 13;

- п2 = 7 и 37 для подгруппы по модулю р2 = 43 ;

- п = 3 и 5 для подгруппы по модулю р3 = 7 .

Вычисления по формуле (3) дадут следующие значения параметров р, р, Р3:

- р = Ьррз = Ь43 • 7 = 7 • 301 = 2107 = 1шо<!13 ;

- Р2 = ь2р1р3 = Ь213 • 7 = 26 • 91 = 2366 = 1шо<!43 ;

- р = Ь3ргр2 = Ь13 • 43 = 6 • 559 = 3354 = 1шо<17.

Вычисления по формуле (2) по модулю р • р • р = 13 • 43 • 7 = 3913 приводит к кривым Гурвица следующего вида:

для п = 4 , п2 = 7 п 3;

для п = 4 , п2 = = 7, п3 = 5;

для п = 10, п2 = 7, п = = 3;

для п = 4 , п2 = = 37, п3 = 3;

я л д п = 10, п2 = 37, п3 = 3;

для п = 10, п2 = 7 , п = = 5;

для п = 4 , п2 = 37 , п = 5;

для п = 10, п2 = 37, п3 =5.

- XJ,4Y + YJ'48Z + Ж3,48 = 0,

- X2630Y + Y2630Z + XZ 2630 = 0,

- X738Y + Y738Z + XZ738 = 0,

- X381Y + Y381Z + XZ381 = 0,

- X1284Y + Y1284Z + XZ1284 = 0,

- X3533Y + Y3533Z + XZ3533 = 0,

- X3116Y + Y 3176Z + XZ3176 = 0,

- X166Y + Y166Z + XZ166 = 0,

Замечание 4.

1. Применение теоремы 2 приводит к кривым Гурвица Hп с разными значениям показателя степени п, в зависимости от выбора образующих элементов мультипликативных подгрупп 6-го порядка по модулям p,p2pk. При этом кривые Hп при различных показателях степени имеют одинаковое число точек (см. утверждение 1 [6]) и разные значения рода (см. выражение (1)).

2. Кривые Hn, построенные по делителям порядка поля, являются избыточными

по роду, если в разложении Д(п,l = 1) = n2 — n +1 = p •...• pj содержатся делители, которые не являются делителями порядка поля. Все кривые из примера 1 являются избыточными по роду, так как параметр Д(п, l = 1) = п2 — п +1 имеет не только заданный набор делителей p = 13 , p = 43, p = 7.

3. Приведение к кривым наименьшего рода реализуется через обобщенные кривые Гурвица Hnl по представлению теоремы 1. Вычисление показателей п и l кривых осуществляется методом последовательного перебора значений наименьшего показателя степени l и вычисления второго показателя по модулю п' = п • l mod ppp с проверкой

разложения на делители Д(п', l). Алгоритм останавливается, когда выполнится условие

Д(п',I) = р • p2 • p3.

4. В случае вычислений по одному делителю порядка поля можно дополнить вычисления (2), (3) еще одним делителем.

Выводы.

1. Вычислительные затраты на приведение кривых Гурвица Hп к обобщенным кривым H минимального рода определяются размером делителей порядка конечного поля и являются пропорциональными произведению этих делителей. Вычисления для практически важных конструкций кривых над большими полями « 264 ^ 2128 становятся существенными.

2. Для построения обобщенной кривой минимального рода с наименьшими показателями степеней п и l следует выполнить вычисления для всех обычных кривых, построенных по теореме 2, что дополнительно увеличивает сложность вычислений.

Ниже рассматривается переборный метод построения кривых Гурвица по делителям порядка поля.

2. Метод построения кривых Гурвица на основе последовательного подъёма показателей кривых.

Метод построения кривых Гурвица на основе приведения к обобщенным кривым H наименьшего рода по теоремам 1 и 2 определяется последовательным перебором значений наименьшего показателя степени l и вычислением второго показателя по модулю п' = п • l mod p1 • p2 ••• pk с проверкой условия Д(п', l) = p1 • p2 ••• pk. Реализуется последовательный спуск от кривых избыточного рода с показателем Д(п, l = 1) к без избыточной кривой с Д(п', l) < Д(п, l = 1) .

Для заданного значения Д(п, l) пределы изменения значения показателя п определяются леммами 1 и 2 [10].

Лемма 1. Параметр Д(п, l) лежит в диапазоне

п2 — п2/4 < Д(п,l) < п2 — п +1. (з)

Лемма 2. Показатель степени кривой Гурвица HnZ

д/Д(п, l) < п < 2^1 Д(п, l) / 43 (4)

Свойства показателя Д(п, l) представлены в предложении 1.

Предложение 1. Пусть п > l и 1 < l < п/2. Справедливо следующее:

1. Д(п, l — 1) — Д(п, l) = п — 2l +1; (5)

п / 2

2. ^А(п,от — 1) — Д(п,от) =(п/2 — от)2 , если п четное; (6)

l=от+1

[п/2]

3. ^ Д(п,от — 1) — Д(п, от) =([п /2] — от)((п —1)/2 — от), (7)

l=OT+1

если п нечетное, [•] - округление к большему целому.

Доказательство. Выражение (5) следует из подстановки Д(п, l ) = п2 — п1 +12.

Пусть п четное, легко заметить, что выражение (6) является суммой нечетных чисел 1 + 3 + 5 +... + (п — 2(от +1) +1), откуда следует (6).

Аналогично для нечетного п, просто показать, что выражение (7) является суммой четных чисел 0 + 2 + 4 +... + (п — 2(от +1) +1).

Пример 2. Для п = 5,20, l = 1,10 построить все кривые Гурвица.

Вычислим Д(п, l) = п2 — п1 +12 для п = 5,20, l = 1,10 со значениями в табл. 2.

Обычные кривые Гурвица Hn определяются параметром Д(п, l = 1) = п2 — п +1 в

первом столбце таблицы. Обобщенные кривые Hn t l > 2 задаются всеми остальными

столбцами. Уравнение b) утверждения 1 определяет кривые XnY1 + YV'ZI + XlZn = 0 с

параметром Д(п, l) = п2 — nl +12 = p •...• p. и для Vt делители p = 1mod6 и может быть

один p = 3 . Например, кривая X16Y3 + Y16Z3 + X3Z16 имеет Д(16,3) = 217 = 7 • 31. Уравнение c) XcnYcl + YcnZcl + XclZcn = 0 является производным от кривых а) и b), и определяется по делителям порядка конечного поля. Кривая X16Y2 + Y16Z2 + X2Z16 с Д(16,2) = 228 = 4 • 57 является производной от кривой XSY + Y8 Z + XZ8 с Д(8,1) = 57 = 3-19. Так как кривые XnYl + YnZl + X= 0 и

ХпУп + уп7п + Хп 2п = 0 являются эквивалентными (см. замечание 1), все вычисления можно ограничить условием I = 1, т /2.

Таблица 2

Значения параметра А = п 2 — п1 +12 для кривых Гурвица Н п 1

п А — п — п1 +1

1=1 1=2 1=3 1=4 1=5 1=6 1=7 1=8 1=9 1=10

20 381 364 349 336 325 316 309 304 301 300

19 343 327 313 301 291 283 277 273 271 271

18 307 292 279 268 259 252 247 244 243 244

17 273 259 247 237 229 223 219 217 217 219

16 241 228 217 208 201 196 193 192 193 196

15 211 199 189 181 175 171 169 169 171 175

14 183 172 163 156 151 148 147 148 151 156

13 157 147 139 133 129 127 127 129 133 139

12 133 124 117 112 109 108 109 112 117 124

11 111 103 97 93 91 91 93 97 103 111

10 91 84 79 76 75 76 79 84 91 100

9 73 67 63 61 61 63 67 73 81

8 57 52 49 48 49 52 57 64

7 43 39 37 37 39 43 49

6 31 28 27 28 31 36

5 21 19 19 21 25

Утверждение 1, леммы 1,2 и предложение 1 определяют переборный метод построения кривых Гурвица минимального рода по заданному набору делителей порядка поля. Основными шагами являются следующие.

1. Фиксируем конечное поле Г , разложение порядка поля д — 1 на сомножители,

д

ек

в общем случае, со степенями д — 1 = р^1 р/2 ...р1", ег - 1 и набор делителей р,..., р. которые по модулю 6 тождественны единице и, если существует, сомножитель равный 3.

2. Фиксируем делители из набора рр ., для которых вычисляем искомое

значение параметра А = р •... • р .

3. По лемме 2 фиксируем целочисленные начальное и конечное значения показателя степени кривой Гурвица Нпг

л/А < п < 2л/А / л/3.

4. Перебираем последовательно значение параметра п от л/А , где округление

до наибольшего целого и вычисляем А'(п, I = |~п /2~) = А'

5. По предложению 1 для поиска искомых п и I для фиксированного четного п вычисляем

А —А' = (п/2 — т)2 , г = >/А —А',

I = т = п/2 — г . (8)

Если г = л/А — А' - целочисленное, тогда I является искомым.

Для нечетного п имеем следующие выражения

А —А' = (Гп/2~| — т)((п —1)/2 — т) , г = [л/а —А'], [•] -округление к наименьшему целому,

I = т = (п —1)/2 — г . (9)

Если г (г +1) = А —А ', тогда I является искомым.

2014. №1 (172). Выпуск 29/1

6. Искомая кривая Гурвица минимального рода определяется первыми найденными показателями степеней п и I на пространстве значений -/А < п < 2>/А/л/з ,

I < п/2.

Замечание 5.

1. Переборный метод построения кривых Гурвица по делителям порядка поля реализует последовательный подъём от кривых с наименьшими показателями степеней к искомым, которые соответствуют заданному значению А(п, I).

2. Метод не требует предварительных вычислений кривых Гурвица Нп по теореме

2.

3. Для широкого класса кривых с) из утверждения 1 с показателем А(п,I) = с2 • р •...• р ., следует предварительно понизить значение показателя

А(п', I') = А(п, I)/ с2. Понижение показателя А(п, Г) уменьшает диапазон изменения

значения показателя степени л/А< п'< 2>/А/>/з и уменьшает число итераций вычислений. Вычисления дополняются предварительным шагом понижения показателя А и последним шагом подъема показателей степеней п = с • п', I = с • Г .

Пример 3. Пусть А(п, I) = 316 = 4 • 79. Требуется построить кривую Гурвица Нп1 минимального рода.

Выполним понижение значения показателя А(п', I') = А(п, I)/ 4 = 79 .

Вычислим границы для показателя п' по лемме 2, получим 9 < п' < 10.

Фиксируем п = 9. Вычисляем по выражениям (9):

А '(9,1' = 5) = 61,

А —А ' = 18, г = [/А —А ']= 4.

Так как г(г +1) ф А — А', тогда п', I' не являются искомыми, и следует увеличить

п'.

Повторяем вычисления для четного п' по формулам (8):

А ' (10,1' = 5) = 75 А —А ' = 4, г = л/А —А ' = 2.

Так г = л/А — А' - целочисленное, имеем п' = 10, I' = п'/2 — г = 3. Выполняем подъем показателей степеней п = п'-2 = 20, I = I'-2 = 6, получим искомую кривую Гурвица X 20у6 + у 2о2 в + х в 2 20 с а(20,6) = 316 , что совпадает с результатами табл. 2.

Замечание 6.

1. Вычисления по предложенному методу позволяют найти все кривые с заданным значением А(п, I). Число кривых определяется числом делителей А(п,I) А = р •... • р ,

которые по модулю 6 тождественны единице и, если существует, сомножителем равным

3, и числом образующих элементов мультипликативных подгрупп 6-го и 2-го порядков по модулям этих делителей. В рассмотренном случае такой делитель один р = 79 и только одна кривая имеет А(20,6) = 316, п > I. Для случая А(п, I) = 301 = 7 • 43 таких кривых две:

X19У 4 + У192 4 + X4 219, X 20У9 + У 20 2 9 + X9 2 20. По замечанию 1 получим еще две кривые Гурвица.

2. Для практически применений достаточно получить первую кривую с наименьшими показателями п и Г . Значения показателей степеней будут определять значения полюсов рациональных функций функционального поля ассоциированного с

точками кривой и, в конечном счёте, алгоритм хеширования по выражению

k

hP, (m) = ^f (p )m и вероятность коллизии универсального хеширования.

1 i=1

Выводы. Предложен переборный метод построения кривых Гурвица заданного рода по делителям порядка конечного поля на основе последовательного подъёма показателей кривых от наименьшего значения старшего показателя к искомому, что позволяет сократить время вычисления степенных показателей кривой и получить кривую с наилучшим отношением числа точек к роду кривой.

Список литературы

1. Халимов Г.З. Максимальные кривые Гурвица для целей универсального хеширования. Материалы ХІ Международной научно-практической конференции «Информационная безопасность». Ч. 3.- Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 20i0. с.144-146.

2. Халимов Г.З. Универсальное хеширование по максимальной кривой третьего рода x(q+l)/d + x2(q+l)/d + yq+l = 0 / г.З. Халимов // Научные ведомости Белгородского государственного

университета. - 2011. - №i (96), - Вып. i7/i. - С. i37-i4s.

3. Халимов Г.З. Универсальное хеширование по алгебраическим кривым в простом поле / Г.З.Халимов // Журнал «Системи управління, навігації та зв’язку» Міністерство промислової політики України, ДП «Центральний науково-дослідний інститут навігації і управління» Київ. -2011. - Вип. i(i7). - СЛ56-161.

4. Халимов Г.З. Оценка параметров кривых Гурвица для целей универсального хеширования / Халимов Г.З.// Сб. трудов Первой международной научно-технической конференции “Компьютерные науки и технологии”. Белгород, Россия. S-i0 октября 2009. -Ч.2, -С.118-121.

s. Халимов Г.З. Универсальное хеширование по максимальным кривым Гурвица / Г.З. Халимов // Журнал “Прикладная радиоэлектроника”. Харьков: ХНУРЭ. - 2010. - Т.9, № 3. -С•3бs-370•

6. Халимов Г.З. Условия построения нетривиальных кривых Гурвица / Халимов Г.З.// Журнал «Системи управління, навігації та зв’язку» Міністерство промислової політики України, ДП «Центральний науково-дослідний інститут навігації і управління» Київ. - 2010. -вип 3(i5). -СЛ25-129.

7. Халимов Г.З. Условия существования нетривиальных кривых Гурвица / Халимов Г.З. // Системи обробки інформації МО України, Харківський університет Повітряних Сил ім. Івана Кожедуба. - 2010. -вип. 6(S7) -С. 229-233.

5. Халимов Г.З. Кривые Гурвица с большим числом точек в расширенных конечных полях / Г.З.Халимов // Журнал «Системи управління, навігації та зв’язку» Міністерство промислової політики України, ДП «Центральний науково-дослідний інститут навігації і управління» Київ. -2011. - Вип. 2(iS). - ^^5-189.

9. Torres F. Plan maximal curves / F.Torres // Acta Arithmetic. - 2001. - Vol. 98, No. 2. - P. 16s-179. 10. Beelen P. The Newton polygon of plane curves with many rational points. / P.Beelen, R.Pellikan //Designs, Codes and Cryptography. -2000. -N.21. -P.41-67.

10. Халимов О.Г. Универсальное хеширование по обобщенным кривым Гурвица / О.Г.Халимов, А.Н.Герцог // Журнал «Радиотехника». - Харьков, ХНУРЭ. -2012. - вып i7i. - СЛ40-146.

UNIVERSAL HASHING ON MAXIMUM CURVE OF THE THIRD GENUS

Presented a method for constructing Hurwitz curves of given genus over divisors of the order of a finite field, based on a consistent performance curves rise from the lowest value to the highest exponent desired, thereby reducing the computation time exponents of the curve and get the curve with the best ratio of the number of points to the genus of the curve.

^BelgorodNatiwa1 Re^earch Univ^sity Keywords: universal hashing, algebraic curves Hurwitz

e-mail:

gennadykhalimov@mail.ru

bukhantsov@bsu.edu.ru

O.G. KHALIMOV1 A.D.BUKHANTSOV2 G.Z. KHALIMOV1

1) Kharkiv National University of Radio Electronics