Построение и тестирование конечного элемента геометрически нелинейного стержня Бернулли-Эйлера Текст научной статьи по специальности «Физика»

Научно-технический и производственный журнал

Подземное строительство

УДК 69.04

В.В. ЛАЛИН, д-р техн. наук, Санкт-Петербургский государственный политехнический университет; А.В. ЯВАРОВ, инженер (yavarov_av@mail.ru), Санкт-Петербургский государственный политехнический университет, ООО «ИСПГеореконструкция» (Санкт-Петербург)

Построение и тестирование конечного элемента геометрически нелинейного стержня Бернулли-Эйлера

В настоящей работе построен конечный элемент геометрически нелинейного стержня, не имеющего ограничений на величины перемещений, поворотов и деформаций. Реализован метод решения задач продольно-поперечного изгиба и анализа закритического поведения стержней. Применение данного метода позволило получить хорошее совпадение численного и аналитического решений в тестовых задачах.

Ключевые слова: стержень Бернулли-Эйлера, конечный элемент геометрически нелинейного стержня, касательная матрица жесткости, системы нелинейных уравнений, тензор Жилина, продольно-поперечный изгиб стержней.

В задачах расчета конструкций на прогрессирующее обрушение [1], действие продольно-поперечного изгиба, анализа закритического поведения требуется учитывать геометрическую нелинейность. В настоящей работе рассматриваются стержневые системы.

Исследованию геометрически нелинейных стержней в контексте использования метода конечных элементов посвящены работы Ю.М. Ветюкова, В.В. Елисеева [2], А.С. Городецкого, И.Д. Евзерова [3], А.В. Перельмутера, В.И. Слив-кера [4], П.Ю. Семенова [5], Р. Wriggers [6] и др. исследования. В большинстве работ рассматривается стержень Тимошенко с учетом деформаций поперечного сдвига.

Целью настоящей работы является построение и тестирование конечного элемента геометрически нелинейного стержня Бернулли-Эйлера. При этом авторы не рассматривают вопросы, связанные с заданием внешних сосредоточенных моментов [4].

Задачами исследования являются:

- построение касательной матрицы жесткости конечного элемента стержня, для которого не будут установлены ограничения на величины перемещений, поворотов и деформаций;

- реализация метода решения нелинейных задач;

- решение тестовых задач.

В настоящей работе стержень рассматривается как материальная линия [7, 9]. Стержень упругий и относится к типу стержней Бернулли-Эйлера. В статье используются стандартные обозначения прямого тензорного исчисления [8].

Основные уравнения нелинейной механики стержней. В отсчетном положении локальная ось х стержня совпадает с глобальной осью Х(рис. 1, а). Текущая (актуальная) деформированная конфигурация стержня изображена на рис. 1, б, где показан репер Френе (_£ п, Ь), связанный с осью стержня.

Ось стержня определяется зависимостью радиус-вектора от начальной координаты:

г = г

(1)

где s = х - дуговая координата в отсчетном положении.

Повороты сечения стержня, связанные с изгибом и кручением, описываются ортогональным тензором поворота £(?), который выражается через вектор поворота ф^) [8].

Основными неизвестными при решении задачи в перемещениях являются компоненты вектора г и компоненты вектора поворота ф^).

Далее штрихи у искомых функций обозначают производные по начальным координатам:

(...У = £ (...у

(2)

Радиус-вектор в отсчетной конфигурации:

ф) = «. (3)

Компоненты производной радиуса-вектора отсчетного положения г':

г о = ¿0 = (хо у0 г0)т = (1 о о)т.

(4)

Компоненты производной радиуса-вектора текущей конфигурации г1:

Рис. 1. Конфигурация стержня: а — отсчетная; б — текущая

б

а

г

г

к

Х

Х

Подземное строительство

ц м .1

Научно-технический и производственный журнал

Рис. 2. Переход к повернутым векторам [10]: а — компоненты вектора N в базисе 1,1, к; б — компоненты вектора Fв базисеI, п, Ь

г' = (X У ¿У.

(5)

W=|"'(Е • £ + т • Q)dx,

¿'О

(8)

где £ - повернутый вектор продольной и сдвиговой деформаций; т - повернутый вектор крутящего и изгибающих моментов; О - повернутый вектор деформаций кручения и изгиба.

Используя повернутые векторы, записываем физический закон [7, 9] как:

Е =&• £ , (9)

где Со - тензор второго ранга жесткости стержня на растяжение-сжатие и сдвиг в отсчетной конфигурации, матричное представление которого имеет вид:

сг О О с0 = I о С20 О 0 Сз

(10)

где С1=ЕЛ - жесткость стержня на растяжение-сжатие; С2, С3 - жесткости стержня на сдвиг. Конкретные выражения жесткостей С2, С3 не важны, так как соответствующие им компоненты сдвиговых деформаций для стержня Бернулли-Эйлера равны нулю. По аналогии записывается закон Гука для повернутых векторов т и О.

Определение деформаций кручения и изгиба. Квадратичная аппроксимация тензора поворота и тензора Жилина. Для записи выражения деформации кручения и изгиба воспользуемся выражением:

О = г . ф',

(11)

где X - тензор Жилина, связывающий угловую скорость ю и производную по времени от вектора поворота ф [8]:

гт=1

1- СОБф ф2

ф ~ БШф

ф3

ФФ-^Ф2) (12)

Как показано в [10], при решении задач в отсчетной конфигурации удобнее использовать повернутые векторы деформаций и усилий. Повернутые векторы - это векторы, отличающиеся от исходных тем, что они выражены в другом базисе. Так, вектор продольной и перерезывающих сил N раскладывается в базисе актуальной конфигурации как:

N = N1 + йу п + Qz Ь, (6)

где N - продольная сила; Qy, Qz - перерезывающие силы по соответствующим направлениям.

При переходе к повернутому вектору Е применяется тензор поворота Е (рис. 2) и получается повернутый вектор продольной и перерезывающих сил Е:

Е=Ет^ = N + 0у]+ Qz к. (7)

Как результат получаем выражение для потенциальной энергии деформации стержня Щ выраженное с помощью повернутых векторов:

где ф=д/ф? + ф2 + Фз - модуль вектора поворота; 1_ - единичный тензор.

Далее тензоры Жилина и поворота раскладываются в ряд Маклорена, а затем в итоговом выражении для каждого из тензоров оставляются только линейные и квадратичные члены относительно компонент вектора поворота.

Касательная матрица жесткости конечного элемента стержня строится с использованием квадратичных слагаемых относительно компонент векторов перемещений и поворота.

Векторы деформации для теории Бернулли-Эйлера. Запишем выражение для вектора деформации £ [9, 10]:

£ = Рт • г' - 10 ; £ = (е У у Yz)T ,

(13)

(14)

где е - продольная деформация; у , Yz - деформации сдвига по соответствующим направлениям.

Перейдя к перемещениям (г = г0 + и), получаем выражение для £ в форме квадратичного приближения:

= У у кв I = V гкв/

Ф1Ф2

— Ф3 — ф3и'+ V' +ф1м>'

Ф. Ф* , ,

(15)

где и = Щ + V/ + ук.

Выполняем переход к теории Бернулли-Эйлера. Получаем выражение для ф2 и ф3, используя условия равенства нулю деформации сдвига:

Уу кв = 0, Т^кв = 0; ф2 = 0,5 Ф^' - уу'+и' w';; ф3 = 0,5 Ф^' + V' - и V.

(16)

(17)

(18)

Из (13) с учетом (17) и (18) получаем следующее выражение для е с учетом квадратичного приближения:

екв = и' + 0,5 »с'2 + 0,5 V,2. (19)

Особенностью формул (17) и (18) является наличие членов и'у/', - «'у', соответственно. Данные члены отсутствуют в работе [4], в которой построение зависимостей для стержня выполняется по теории второго порядка исходя из уравнений теории упругости.

Следует отметить, что и', V1, ъ>' в нелинейном случае не являются углами поворота относительно какой-либо оси. Все три величины являются равнозначными. Отметим также, что, удалив из (17-19) квадратичные члены, получаем выражения, известные из линейной теории стержней.

Компоненты вектора деформации кручения и изгиба:

О = (О1 Оу □¿)т

(20)

где О1 - деформация кручения; ОУ - деформация изгиба в плоскости Х£; О., - деформация изгиба в плоскости УХ.

Из (11) получаем выражение для деформации кручения и изгиба с учетом квадратичного приближения для стержня Бернулли-Эйлера:

б

а

Q

z

к

N

£

Научно-технический и производственный журнал

Подземное строительство

Рис. 3. Расчетная схема задачи

Я>1 +

и> V

Ун,-

2 2 ^и? + ф^" - + ы^"

^-у'и" + V" - иУ' + фуу

(21)

К1ап8(Ц) = NNТ • НН • NN)dx.

(23)

=шх

^кр £2

Построение касательной матрицы жесткости конечного элемента геометрически нелинейного стержня. Для построения касательной матрицы жесткости требуется вычислить вторую производную Гато [3] от энергии деформации (8), получившееся при этом подинтегральное выражение обозначим: НН 8x8. Элементы матрицы НН зависят от перемещений и поворотов текущего состояния стержня.

Введем столбец перемещений узлов конечного элемента и 14x1:

иТ = (ир ур М>р Ф!^ и^ ^ w;, и2, V2, ^ ф2 кр, и^ (22)

Записываем матрицу функций формы NN 8x14. Как следует из формул (17-19) и (21), функционал содержит вторые производные от всех трех перемещений и, у, w. Следовательно, для построения совместного конечного элемента необходимо использовать для этих функций кубическую аппроксимацию (полиномы Эрмита). Максимальный порядок производных функции ф1 равен единице, поэтому для этой функции можно использовать линейные функции формы.

Для получения касательной матрицы жесткости необходимо проинтегрировать матрицу 14x14:

Приведенный алгоритм реализован авторами настоящей работы в прикладном математическом пакете Mathcad. При этом выполняется точное интегрирование по формуле (23).

Для решения систем нелинейных уравнений используется модифицированный пошаговый метод с предиктором и корректором.

Решение тестовых задач

Продольно-поперечный изгиб стержня. Закритическое поведение стержня. Расчетная схема задачи о продольно-поперечном изгибе стержня изображена на рис. 3.

Исходные данные представлены в табл. 1. Нагружение простое - пропорционально увеличиваются вертикальная и осевая силы. Для анализа закритического поведения максимальная величина осевой силы задана равной двум величинам критической силы 5кр:

„2

(28)

0 20000 40000 60000 80000 100000 120000 Осевая сила 5, кН

Рис. 4. Продольно-поперечный изгиб стержня: 1 — критическая сила; 2 — аналитическое решение; 3 — численное решение

и аналитического решений [4] до достижения критической силы (рис. 4). Поскольку построение конечного элемента стержня выполнено в геометрически нелинейной постановке без наложения ограничений на перемещения, повороты, деформации и ввиду упругости стержня, возможно проследить закритическое поведение стержня (рис. 5).

Изгиб балки с шарнирно-неподвижными опорами. Решение задачи об изгибе стержня с шарнирно-неподвижными опорами приведено в работе С.П. Тимошенко «Статические и динамические проблемы теории упругости (Киев: Науко-ва думка, 1975. 561 с.). Необходимо отметить, что решение этой задачи возможно только в нелинейной постановке, так как здесь прогиб стержня сопровождается продольным растяжением, а в линейной постановке изгиб не связан с растяжением.

Для данной задачи ввиду растяжения стержня критической силы нет, однако величина продольной силы заранее неизвестна, она должна находиться в процессе решения задачи. Задача решена для случая приложения сосредоточенной силы. Расчетная схема приведена на рис. 6. Размеры и сечение стержня такие же, как и в предыдущей задаче. Вертикальная сила в центре стержня составляет РСОСр=100000 кН.

Таблица 1

Величина Обозначение Значение

Длина балки, м £ 10

Модуль упругости материала стержня, кПа E 2,1 х108

Площадь поперечного сечения стержня (сечение квадратное), м2 А 0,25

Момент инерции сечения стержня, м4 I = I 0,0052

Осевая сила, кН S = 2^р 215898

Вертикальная сила в центре стержня, кН Р 1000

Количество конечных элементов по длине стержня М„емвнтов 40

Количество шагов ^шагов 2000

Таблица 2

В результате применения модифицированного пошагового метода получено хорошее совпадение численного

Значение на последнем шаге решения Численное решение Решение С.П. Тимошенко Относительная погрешность, %

Прогиб в середине пролета, м 0,50714 0,49033 3,31

Продольное усилие N кН 311445 306237 1,67

р

в

S

А

L

Цкв =

Подземное строительство

ц м .1

Научно-технический и производственный журнал

50000 100000 150000 Осевая сила S, кН

200000

250000

z

\!

777777777777.7

7777777777777

Рис. 6. Расчетная схема задачи

В результате применения модифицированного пошагового метода получено хорошее совпадение численного и аналитического решений (табл. 2). Результаты расчета также проиллюстрированы на рис. 7, 8.

Заключение

В настоящей работе решены следующие задачи:

- выполнено аналитическое построение касательной матрицы жесткости конечного элемента геометрически нелинейного стержня Бернулли-Эйлера, не имеющего ограничений на величины перемещений, поворотов и деформаций;

- разработан алгоритм численного построения касательной матрицы жесткости и решения системы нелинейных уравнений. Решены задачи анализа закритического поведения стержня и продольно-поперечного изгиба. Применение построенного конечного элемента позволило получить хорошее совпадение численного и аналитического решений в тестовых задачах.

Список литературы

1. Тихонов И.Н. Принципы расчета прочности и конструирования армирования балок перекрытий зданий из монолитного железобетона для предотвращения прогрессирующего разрушения // Жилищное строительство. 2013. № 2. С. 40-45.

Рис. 5. Закритическое поведение стержня при продольно-поперечном изгибе: 1 — критическая сила; 2 — аналитическое решение; 3 — численное решение

0 50000 100000 150000 200000 250000 300000 350000 Продольная сила в середине пролета N, кН

Рис. 7. График зависимости прогиба в середине пролета от продольной силы: 1 — решение С.П. Тимошенко; 2 — численное решение

1 350000 г"

¡5 300000 -

ф

о

с 250000 -

ф

х ^

5 200000 -

ф

о

" 150000 -

Б 100000

50000

0 20000 40000 60000 80000 100000 120000 Вертикальная сила Р, кН

Рис. 8. График зависимости продольной силы от вертикальной:

1 — решение С.П. Тимошенко; 2 — численное решение

2. Ветюков Ю.М., Елисеев В.В. Моделирование каркасов зданий как пространственных стержневых систем с геометрической и физической нелинейностью // Вычислительная механика сплошных сред. 2010. № 3. С. 32-45.

3. Городецкий А.С., Евзеров И.Д. Компьютерные модели конструкций. Киев: Факт, 2005. 344 с.

4. Перельмутер А.В., Сливкер В.И. Устойчивость равновесия конструкций и родственные проблемы. М.: Издательство СКАД СОФТ, 2007. Т. 1. 704 с.

5. Семенов П.Ю. Стержневой конечный элемент для расчетов с большими перемещениями и вращениями // Проблемы нелинейной механики деформируемого твердого тела. Труды II международной конференции. Казань: НИИММ им. Н.Г. Чеботарева, 2009. С. 24-29.

6. Wriggers P. Nonlinear Finite Elements Methods. Berlin: Springer - Verlag Berlin Heide Iberg, 2008. 559 p.

7. Елисеев В.В. Механика упругих стержней. СПб.: СПбГТУ, 1994. 84 с.

8. Жилин П.А. Векторы и тензоры второго ранга в трехмерном пространстве. СПб.: СПбГТУ, 2001. 275 с.

9. Жилин П.А. Прикладная механика. Теория тонких упругих стержней. СПб.: Изд-во политехнич. ун-та. 2007. 100 с.

10. Лалин В.В. Различные формы уравнений нелинейной динамики упругих стержней // Механика материалов и прочность конструкций. Труды СПбГПУ № 489. СПб.: СПбГПУ, 2004. С. 121-128.

0

P

У

x

B

A

L